通用版中考数学精讲 专题27 弧长及扇形的面积

考点二十七：弧长及扇形的面积聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝n πr180； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝12lr ．2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A ．32πcm B ．（2+23π）cm C ．43πcm D ．3cm【答案】C考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式．【举一反三】1．(2015.安徽省，第12题，5分)如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，AB⌒的长为π2，则∠ACB 的大小是．【答案】20°.【解析】试题分析：连接OA、OB，由弧长公式的92180nππ⨯⨯=可求得∠AOB=40°,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°.考点：弧长公式；圆周角定理.2.（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．πC 23πD ．43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算． 考点典例二、扇形面积的计算【例2】（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．3π D ．32π【答案】D ． 【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD ，故S △OCE =S △OD E ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB =30°，∴∠COB =60°（圆周角定理），∴OC =2，故S 扇形OBD =2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形；5．数形结合． 【举一反三】（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A C ．29π D ．49π【答案】D ． 【解析】考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．12π B．24π C．6π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O=2226012116636022πππ⨯+⨯-⨯=24π．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】（2015.河南省，第14题，3分）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD 交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .12p .考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积. 考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（2015.山东莱芜第8题，3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．15【答案】C 【解析】试题分析：根据侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，因此可设母线长为x ，根据题意得：2πx ÷2=2π×5，解得x=10． 故选C考点：圆锥的侧面展开图【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形． 【举一反三】1.（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A ． 【解析】试题分析：设扇形的半径为R ，根据题意得2904360r ππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm ．故选A ． 考点：圆锥的计算．2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10πcm ，高为12cm 的圆锥的侧面积为． 【答案】65πcm 2． 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，∴r =102ππ=5，∴a =13，∴圆锥的侧面积=12×10π×13=65π，故答案为：65πcm 2． 考点：圆锥的计算．考点典例五、求阴影部分的面积【例5】（2015·辽宁营口）如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)若PD=316cm ，AC=8cm ，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．【答案】（1）参见解析；（2）22548cm 2π-；（3）试题解析：（1）如图，连接OC ，∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAO=90º．∵OP ∥BC ，∴∠AOP=∠OBC ，∠COP=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠AOP=∠COP ．又∵OA=OC ，OP=OP ，∴△PAO ≌△PCO (SAS)，∴∠PAO=∠PCO=90 º，又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；（2）由（1）得PA ，PC 都为圆的切线，∴PA=PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO=∠PAO=90º，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD ，∴∠PAD =∠AOD ，∴△ADO ∽△PDA ．∴AD DOPD AD=，∴2AD PD DO =⋅，∵AC=8， PD=163，∴AD=12AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC=2OD=6，AB=10．∴S 阴=S 半⊙O －S △ACB =()221101254868=cm 2222ππ-⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭．∴阴影部分的面积为22548cm 2π-；（3）如图，连接AE ，BE ，∵点E 是AB ︵的中点,AB 是直径，则△AEB 是等腰直角三角形，过点B 作BM ⊥CE 于点M ．∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90º，由同弧所对的圆周角相等，∴∠ECB=∠EAB=45º，∴∠CBM=45º，∵BC=6，∴CM=MB==，BE=ABcos45º=10×=，∴在Rt △EBM 中， EM=，∴CE=CM+EM=()cm ,∴CE 的长为．考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.【点睛】本题考查了圆的有关性质、三角形全等与相似的判定、解直角三角形等知识点的综合运用． 【举一反三】（2015•聊城，第12题）如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ）A.12 B.13 C.23 D.35【答案】B 【解析】试题分析：作OD⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=AOC S 扇形得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13. 故选B考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算 课时作业☆能力提升 一、选择题1. (2015·湖北衡阳，17题，3分)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）． 【答案】3π 【解析】试题分析： 此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360n πr S =，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为212033360πS π==. 考点： 扇形面积的计算2. （2015·湖北鄂州，14题，3分）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．考点：圆锥的计算．3. （2015·山东潍坊，第10题，3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是（ ）A. （163π-2cm B. （163π-2cm C. （83π-）2cm D. （43π-2cm【答案】A 【解析】试题分析：如图：过点O 作OD ⊥AB,垂足为C ，连结OA,OB,则AC=BC=12AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在Rt△OAC 中，OC=2，AC=∠AOC=60°,所以AB=∠AOB=120°,所以阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△OAB 的面积=21204116236023ππ⨯-⨯=-，故选：A.考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.扇形的面积.4.（2014·宿迁）若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A. 15πB. 20πC.24πD. 30π 【答案】A ．考点：1.简单几何体的三视图；2. 圆锥的计算．5. （2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A ． 【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360rππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选A．考点：圆锥的计算．6. （2015.山东德州第9题，3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A．考点：圆锥的计算．7．（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．二、填空题8(2015.宁夏，第12题，3分)已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是．【答案】163π. 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，根据弧长公式38180120ππ=r 可求得r=4，根据扇形的面积公式可得3164382121ππ=⨯⨯==lr S 扇形. 考点：弧长公式；扇形的面积公式.9．（2015·湖南常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘米（结果保留π）。