一次函数中的数形结合思想
一次函数求k取值范围数形结合
一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。
它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。
一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。
3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。
通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。
4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。
同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。
接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。
首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。
在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。
通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。
接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。
数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。
我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。
在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。
通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。
一次函数中的数形结合
像 ｎ图 ｌ ， 贝 ４ 下歹 ｑ结 论
① ＜ ０ ； ②ｎ ＞ ０ ； ③ 当ｘ ＜ ３ Ｄ ／ ／ ３＼ Ｙｌ ＝ ｋ ｘ ＋ｉ 时， Ｙ ＜ ｙ ２ 中， 正 确 的 个
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次 函数 中的数形结合
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华 罗庚 先 生 曾指 出 ： “ 数 与 形本 是 相 倚 Ｙ ， 在 两 个 函 数 图像 交 点 的 左 边 即 ｘ ＜ ３时 ，
依 ， 焉能分作 两边 飞 ； 数缺 形 时少直 觉 ， 形
Ｙ 的图像位于ｙ 图像的上方， 因 坳 ＞ Ｙ ２ ． 故
算 的 目的 ．
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【 典例精析 】
例 １ 一 次 函 数 ｙ ｌ ＝ ｋ ｘ＋ ｂ与 Ｙ２ ＝ ＋ ０的 图 ＼
Ｙ
【 解析 】 由ｋ ・ ｋ ２ ＜ Ｏ可得ｋ 。 与ｋ 异号 ， 故 有 一 条 直线 是 上 升 的 ， 一条直线是下降的 ，
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形” 可使 复 杂 问题 简单 化 ， 抽 象的数 学 问题 直观 化 、 生动 化 ， 能 够 变抽 象 思 维 为 形 象 思维 ， 有 助 于 把 握 数 学 问题 的 本 质 ． 另外，
由于 使 用 了数 形 结 合 的 方 法 ， 很 多 问题 便
迎 刃而 解 ， 且 解法 简捷 ， 从 而 起 到 优 化 计
～
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
浅析一次函数中的数形结合
浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。
数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。
如结绳计数、符号计数等。
因此，数与形相伴而生，如影随形。
所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。
其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。
数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。
一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。
所以说，一次函数是数形结合的典型模型。
一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。
这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。
利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。
（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。
反之亦然。
（2）、确定图象的位置。
具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。
我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。
但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。
下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。
数形结合思想在一次函数中的运用
数形结合思想在一次函数中的运用作者：张治国来源：《语数外学习·教学参考》2012年第11期函数是初中数学代数部分的重点，也是难点。
函数最本质的内容是性质和图象，核心思想是“数形结合”。
深刻理解和熟练运用数形结合思想是学好函数的关键。
著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休”。
由此可见数形结合在数学学习中的重要性。
一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。
对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。
本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。
一、从数到形，以形助数例1一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。
沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。
解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。
沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。
二、从形到数，量化入微例2有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。
假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。
（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。
（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。
（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。
写出小汽车车速达到40m/s之后，y与x的函数关系式。
解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10 m/s，之后以5m/s的速度提速，在提到40m/s的速度后便匀速行驶。
试谈“一次函数”中的数学思想
试谈“一次函数”中的数学思想辽宁省朝阳市喀左县平房子中学常文阁数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起指导作用。
基本知识点是数学课上首先要掌握的，但更重要的是解决问题的思路和方法，思路和方法的获取要靠自己一步一步地去体验和理解，更重要的是解决问题的过程，在过程中探索、获取思路和方法。
每年的中考数学题都着重考查了同学们对数学思想方法的理解和掌握。
因此，同学们在数学学习中，对重要的数学思想方法的学习要加强，而不是消弱。
下面谈一谈“一次函数”中的数学思想。
一、函数的思想：就是根据题中条件学会用函数方法解决实际问题。
“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映客观世界的动态，它们的相互制约性，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型。
经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想和一次函数在我们现实生活的广泛应用，培养同学们“数学化”的能力。
二、方程思想：就是从分析问题的数量关系入手，适当设出未知数，通过等量关系列出方程或方程组来解决问题的一种数学思想方法。
主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
函数思想与方程思想的联系十分密切。
如解方程就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；用函数图象的“交轨”方法，可以求出或讨论方程f(x)=g(x)的根或“函数组”化的方程组，等等。
这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。
三、转化思想：就是根据知识间的内在联系，把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是转化思想。
领悟了转化思想，能够帮助同学们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。
例如，一次函数的图、表、式三种表示方法之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，求两条直线交点的问题转化为解二元一次方程组的解。
使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。
一次函数图象的应用的教法建议
一次函数图象的应用的教法建议1．注意数形结合思想的渗透教学中要注意“数”与“形”的联系，要注意加以体会与实施．“数”与“形”是一切数学对象不可分割的两个方面，因此，在教学中要鼓励学生从数、形等多方面认识函数，解决有关实际问题．在本节的教学中，要注意加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向．2．尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化．在教学过程中，要关注全体学生的发展．对于学习有困难的学生，教师要给予及时的帮助与指导，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，发表自己的看法，对他们的解法和表述进行恰当地指导和评价．对于学有余力的学生，可鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法；同时，给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的知识视野．3．充分挖掘结合学生生活实际的素材，加强数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用．一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是．如有关计时的漏刻、沙漏、日晷、钟表等，计重的天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例．教材中设计的例、习题多数具有现实生活背景，力求让学生体会数学的广泛应用．尽管如此，在教学中，教师仍应结合本地本校学生的生活实际和认知状况，选择更为贴近学生生活实际和认知水平的教学素材，促进学生新的认知结构的建构和数学应用能力的发展．4．本节各题都有多种解法．可以鼓励解法的多样性，但要认识到本节的设计目的在于培养学生良好的识图能力，因而在教学中，建议不要故意引导学生用代数方法解题，应避免习惯的“代数化”倾向．对于用代数方法求函数表达式，学生尚不熟悉，可以在学完二元一次方程组后，让学生回顾本节问题并用代数方法求解，让学生进一步体会函数与方程、数与形的关系，建立良好的知识联系．5．读一读的目的在于通过有趣的问题激发学生的学习兴趣，同时让学生体会数形结合的作用．看似复杂的一个实际问题，利用图象很直观地获得了解决，这必然给学生强烈的震撼，这正是我们所希望学生感悟到的数形结合的威力．教师可鼓励他们进行阅读和尝试求解，也可将这部分同学组织起来，进行适当的数学研究活动，发展他们的数学才能．。
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。
在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。
大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。
那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。
在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。
并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。
上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。
另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。
如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。
如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。
但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。
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一次函数中的数形结合思想
在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.
一、面积型
根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.
例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.
【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.
所以交点C的坐标为（5，13）
因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .
【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.
例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴
围成三角形的面积为4，求直线的解析式.
【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.
【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：
当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；
当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；
当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；
当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；
综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4
【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型
例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：
（1）x取何值时，x+3＞0；
（2）x取何值时，x+3＜0；
（3）x取何值时，x+3＞1；
【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研
究方法相同.
【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.
（1）当x＞-3时，x+3＞0；
（2）当x＜-3时，x+3＜0；
（3）当x＞-2时，x+3＞1.
【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.
例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数
的解析式.
【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象
和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一
次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2
或最小值-4，这要视k的符号而定.
【解】对k的值分两种情况进行讨论；
（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因
此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8
（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得
y=﹣x+2.
综合上述两种情况，符合条件的解析式为：
y=x+8或y﹣x+2
【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.
三．实际应用型
我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意
解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，
求出与之对应的自变量的值.
例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，
然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6
元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.
（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；
（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.
（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；
（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；
（3）由图像可知：
当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；
当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；
当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，
【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。