2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(二十四)文科数学

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷（二十四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2,3}{|-20}A B x x x =-=≤，，则A B =( )A. {1,2}B. {1,0,2}-C. {0,1,2}D.{0,1,2,3}【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合B ，再由交集定义求解．【详解】2{|20}{|02}B x x x x x =-≤=≤≤，∴{0,1,2}A B ⋂=．故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础． 2.已知复数Z 满足4z z i -=-，则Z 的虚部是( ) A. 2 B. -2 C. -2i D. 2i【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知式求出b ，可得其虚部．【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则()24z z a bi a bi bi i -=+--==-，24,2b b =-=-， ∴Z 的虚部是2-． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的运算、复数及复数相等的概念．利用复数相等的概念求解是解决复数问题的常用方法． 3.已知0.10.9,0.9,log a b c πππ===，则a b c ，，的大小关系是( )A. b a c >>B. a c b >>C. b c a >>D. a b c >>【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数和对数函数的性质，借助中间值0，1比较． 【详解】由指数函数性质得0.11,00.91ππ><<，由对数函数性质得0.9log 0π<，∴a b c >>．故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，比较对数或幂的大小时，常常借助于中间值比较，如1,0等等．4.为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果B. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果C. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 【答案】D 【解析】 【分析】由等高条形图，可得服用A 药物的患病人数明显少于服用药物B 的人数，服用A 药物的未患病人数明显多于服用药物B 的人数，即可求解，得到答案.【详解】由等高条形图知，服用A 药物的患病人数明显少于服用药物B 的人数，服用A 药物的未患病人数明显多于服用药物B 的人数，所以药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果，故选D.【点睛】本题主要考查了等高条形图应用，其中解答中理解、掌握统计图表的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.定义在R 上的奇函数()f x 满足()(3)f x f x -=+，(2020)2f =，则(1)f 的值是( ) A. -1 B. -2C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的周期，由周期性变形，再由奇函数定义求值． 【详解】∵()f x 奇函数，∴(3)()()f x f x f x +=-=-，∴(6)(3)()f x f x f x +=-+=，∴()f x 是是周期为6的周期函数，∴(2020)(20164)(4)(31)(1)(1)2f f f f f f =+==+=-=-=- 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，利用周期变化自变量的大小以便求值是解这类问题的常用方法．6.设,m n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，且直线m ⊂α，直线n β⊂，下列命题为真命题的是( )A. “m n ⊥”是“n α⊥”的充分条件B. “//m n ”是“//m β”的既不充分又不必要条件C. “//αβ”是“//m n ”的充要条件D. “m n ⊥”是“αβ⊥”的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面间平行垂直的判定定理和性质定理判断命题的真假．也可举反例说明命题是假的． 【详解】n α⊥能得到n m ⊥，但n m ⊥，不能得出n α⊥，A 错；//m n 时，m 也可能在平面β内，不能得出//m β，反之//m β，β内的直线也不一定与n平行，即不能得出//m n ，既不充分也不必要，B 正确；//αβ时，,m n 可能是异面直线，不一定平行，//m n 时，,αβ也可能相交，不一定平行，C错；两个平面垂直，分别在这两个平面的的两条直线可能相交，可以平行，不一定垂直，D 错． 故选：B ．【点睛】本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，判断垂直平行时可根据判定定理或性质定理得出结论，也可通过举例说明命题为假．使用定理时要注意定理的条件是否全满足，否则不能轻易下结论．7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若1115m m m a a a +-++=，且27m S =，则m 的值是( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列性质求出m a ，由等差数列前n 项可求得m ．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴11315m m m m a a a a -+++==，5m a =， ∴1()(15)2722m m m a a m S ++===，9m =． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的性质与前n 项公式，掌握等差数列的性质是解题基础． 8.函数3cos (0)y a b x b =-<的最大值为32，最小值为1-2，则sin[(43)]y a b x π=-的周期是( ) A.13B.23C. 3π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】由最大值和最小值求出,a b ，再根据公式求出周期．【详解】∵0b <，∴332132a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴sin[(43)]sin(3)y a b x x ππ=-=，∴其周期为2233T ππ==． 故选：B ．【点睛】本题考查含余弦函数的最大值和最小值，考查三角函数的周期．解题时只要注意到1cos 1x -≤≤，就可表示最大值和最小值．9.在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()||||AB AC BC AB AC +⊥且•12||||AB AC AB AC =，则ABC ∆是( )A. 三边均不相同的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】AB AB和AC AC是两个单位向量，设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1•2AB AC ABAC=，求出BAC ∠即可判断． 【详解】设AB AC ABAC+＝AD ，∵AB AB和AC AC是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，•AB AC ABAC111cos 2BAC ⨯⨯∠=，即1cos 2BAC ∠=，∴3BAC π∠=， ∴ABC ∆是等边三角形， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设AB AC ABAC+＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．10.在△ABC中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )A.38- B.334-C.38+ 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ，【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin 10A =， 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin a C c A ===，又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=++， 23302b b +-=，33b -+=（33b --=舍去）， ∴113333sin 1sin15022ABC S ab C ∆--==⨯⨯︒=． 故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．11.正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是线段11D C 的中点，点P 满足1113A P A A =，则异面直线,PQ AB 所成角的余弦值为( )A.2103B.210C. 2107－D.37【答案】D 【解析】 【分析】正方体中由11//AB C D ，可得异面直线,PQ AB 所成的角为1PQD ∠（或其补角），在三角形中求出这个角即可．【详解】正方体1111ABCD A B C D -中11//AB C D ，∴异面直线,PQ AB 所成的角为1PQD ∠（或其补角），长方体中11C D ⊥平面11ADD A，∴111C D PD ⊥，设正方体棱长为1，则因为点Q 是线段11D C 的中点，点P 满足1113A P A A =，所以1111,23D Q A P ==，221110()13PD =+=，2222111017()()326PQ PD D Q =+=+=，∴11132cos 776QD PQD PQ ∠===． 故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是作出这个角并证明．然后解三角形求得此角，注意若求得三角形中的角为钝角，需求其补角才是异面直线所成的角．12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③黑色阴影部分中一点()x y ，,则x y +的最大值为2． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】黑色阴影部分和白色部分面积相等，①中概率易求，由直线4(2)3y x =--与半圆22(1)1y x +-=的位置关系可确定②是否正确，点(,)x y 在半圆22(1)1y x +-=上时，x y+才能取最大值，求出这个最大值可判断③．【详解】由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等，因此在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，①正确； 黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，其方程为22(1)1y x +-=（0x ≥），直线4(2)3y x =--的一般式方程为：4380x y +-=，1d ==，说明直线4(2)3y x =--与半圆22(1)1y x +-=相切，②正确；点(,)x y 在半圆22(1)1y x +-=（0x ≥）上，设cos ,1sin ,[,]22x y ππθθθ==+∈-，cos sin 1)14x y πθθθ+=++=++，由[,]22ππθ∈-得3[,]444πππθ+∈-，∴42ππθ+=时，x y +111+=，③错．正确的有①② 故选：D ．【点睛】本题考查寓数学知识于数学文化之中，考查几何概型，考查直线与圆的位置关系，考查最值问题．本题属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量,a b 满足：()(2)4a b a b -⋅+=-，且|a |＝2，|b |＝4，则a 与b 的夹角是__________． 【答案】120° 【解析】 【分析】由数量积运算律求得a b ⋅，再计算夹角余弦，得夹角．【详解】22()(2)28164a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅-=-⋅-=-，4a b ⋅=-，cos ,4a b a b a b ⋅=<>=-，1cos ,2a b <>=-，,120a b <>=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量数量积的定义和运算律是解题基础． 14. 按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．【答案】5 【解析】试题分析：依据程序框图输出的A 值依次增大2，所以输出的三个数为1，3，5，故答案为5 考点：程序框图15.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为双曲线右支上一点，且满足2212||||4PF PF -=，则△PF 1F 2的周长为___________.【答案】33【解析】 【分析】先由离心率求得a ，由双曲线定义得12PF PF -，最后由已知可求得周长．【详解】由题意212a a +=，33a =2313c a =+=． P 为双曲线右支上一点，∴12232PF PF a -==∵22121212()()4PF PF PF PF PF PF -=-+=，∴1223PF PF +=∴△PF 1F 2的周长为1212431033PF PF F F ++==．故答案为：103【点睛】本题考查由双曲线离心率求参数，考查双曲线的定义．在圆锥曲线中涉及到曲线上的点到焦点的距离时，常常用到圆锥曲线的定义．利用定义时行转化求解．16.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.【答案】2π 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A 为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P （A ）=0.75.（1）求,a b 的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率. 【答案】（1）a =0.035，b =0.015（2）25【解析】 【分析】（1）由第三、四、五组三个小矩形面积为0.75可求得a ，再由所有小矩形面积为1可求得b ； （2）6人中第二组中应抽取2人，分别记为12a a ，，第四组中应抽取4人，分别记为1234,,,b b b b ，用列举法列举出所有可能，再确定满足条件的可能情况，从而可计算出概率．【详解】（1）由题意知P (A )=10×（a +0.030+0.010）=0.75，解得a =0.035，又10×（b +0.010）=0.25,所以b =0.015.（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为12a a ，，第四组中应抽取4人，分别记为1234,,,b b b b ，从这6人中抽取2人的所有可能情况有()11,a b ， ()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ，共15种.其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有12(b ,b )，13(b ,b )，14(b ,b )，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ，共6种，所以所求概率为62155=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率，属于基础题，其中概率问题是用列举法求解．18.已知等差数列{}n a 的首项为6，公差为d ，且134,2,2a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若0d <，求123||||||...||n a a a a ++++的值.【答案】（1）7n a n =-或24n a n =+ （2）2213722.1342722n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，， 【解析】【分析】（1）由通项公式写出34,a a ，利用134,2,2a a a +成等比数列可求得d ，从而得数列的通项公式；（2）由（1）得n a 的表达式，确定n a 中哪些项为正，哪些项为负，然后分类求和． 【详解】（1）16a =，公差为346263.d a d a d ∴=+=+，， 13422a a a +又，，成等差数列，()214322,a a a ∴⋅=+解得1d =-或2d =当1d =-时，7n a n =-； 当2d =时，24n a n =+， 故7n a n =-或24n a n =+.（2）∵d <0，∴d =-1，此时7n a n =-． 当7n ≤时，21212130 (22)n n n n n a a a a a a a ≥+++=+++=-+，当7n >时，()1212789...|........n n n a a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()27177061342.2222n n n n--+-+=-=-+（）故212213722 (134272)2n n nn a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+>⎪⎩，， 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．考查含绝对值的等差数列的和．含绝对值的数列的和，一般要确定项的正负后根据绝对值的定义去掉绝对值符号后再求和，这就要求分类讨论，最后结论是一分段函数．19.如图，多面体ABCDEF 中，21AB DE AD ===，，平面CDE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC ∥EF ，点G 在线段CE上，且23EG GC AB ==.(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)若2EF BC =，求多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比. 【答案】（1）证明见解析(2) 11:1 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理证得ED CD ⊥，再由面面垂直的性质定理得线面垂直；（2）连接EB,AE . 多面体ABCDEF 被分为,,,B AEF E ABD E BDG G BDC ----四个三棱锥，由它们之间的体积关系可求得比值． 【详解】（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以CD =AB . 因为AB =DE =2，所以CD =DE =2. 因为点G 在线段CE 上，且EG =2GC =223AB ，所以EC =2AB =2CD =22 所以222DE CD EC +=，即DE CD ⊥又平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面ABCD =CD,DE ⊂平面CDE ， 所以DE ⊥平面ABCD .(2)设三棱锥G -BCD 的体积为1，连接EB,AE . 因为EG =2GC,所以CG =13EC,所以33E BCD G BCD V V --==. 易知 3.E BCD E ABD V V --==又EF =2BC,BC ∥EF ，所以2ABD EFA S S ∆∆=，故2B ABD B AEF V V --= 又3B ABE E ABD V V --==，所以6B AEF V -= 故633111.B AFE E ABD E BDG V V V ---++=++-=故多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比为11:1.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理证线面垂直，考查多面体的体积，多面体的体积一般通过分割成若干个三棱锥求解较方便．利用体积公式易得这些小三棱锥之间体积的比值． 20.已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：（1）根据()2f '=0求出a 的值，再求函数f(x)的极值.(2)对a 分类讨论，求函数的单调性.详解：（1）∵()()2112f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210af x ax a x x-=++'->，由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14a =，此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x--=，当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数， 当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-.（2）由题意得()()121a f x ax a x -=+-+' ()()2112ax a x a x+-+-=()()1210a a x x a x x-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减； 当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增．②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120ax a-<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121ax a-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减．③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12ax a->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121ax a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减．④当121a a -=，即13a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增． 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间（1,+∞）上单调递增．点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是()()()1210a a x x a f x x x求出-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>'后，由于x=1和12a x a -=大小关系不能确定及12ax a-=是否在函数的定义域内，所以要分类讨论.21.已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB =-⋅ （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值.【答案】（1）22x y =(2) 8 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，，由直线方程与抛物线方程联立，消元后可1212,x x x x +，代入3.4OA OB =-⋅可求得p ，得抛物线方程；（2）设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠，，，，，易知点M ，N 的横坐标与P 的横坐标均不相同.不妨设m >n . 写出直线PM 的方程，由直线PM 与圆相切得一关系式，同理PN 与圆相切又得一关系式，两者比较说明,m n 是一个方程的根，由韦达定理得,m n mn +，从而可表示并求出m n -（用00,x y 表示），而PMN ∆面积为01()2S m n y =-，表示为0y 的函数，由基本不等式可求得最小值．【详解】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p （，）.设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，， 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，所以221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，因为121234OA OB x x y y ⋅=+=-，所以 1.p =故抛物线的方程为22x y =.(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠，，，，，易知点M ，N 的横坐标与P 的横坐标均不相同.不妨设m >n .易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=，又圆心（0,1）到直线PM 的距离为11=，所以()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，所以m ，n 可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--，，所以()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- 因为()00P x y ，是抛物线C 上的点，所以2002x y =则()()222042y m n y -=-，又02y >，所以02,2y mn y =-从而 ()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++--- 48≥=当且仅当()2024y -=时取得等号，此时004,y x ==± 故△PMN 面积的最小值为8.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是“设而不求”，这也是直线与圆锥曲线相交时的常用方法．本题第（2）小题解法值得借鉴，设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠，，，，，，为了求m n -（不妨考虑m n >），利用直线PM与圆相切得一与m 有关的等式，同理可得一个与n 有关的等式，这两个等式结合，,m n 可看作是一个一元二次方程的两根，由韦达定理表示出,m n 的和与积，从而可求得差． 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM面积的最小值．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣【解析】 【分析】(1)先将3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩化简成直角坐标方程,再利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=化简即可.(2)由ABM 为以AB 为底,M 到AB 的距离为高可知要求ABM 面积的最小值即求M 到AB 的距离最大值.再设(32,42)M cos sin θθ++求解最值即可.【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩,（θ为参数）,有3242x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩.上下平方相加得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)4x y -+-=, 化简得2268210x y x y +--+=将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=,代入得曲线C 的直角坐标方程有： 26cos 8sin 210ρρθρθ--+=．（2）设点(32,42)M cos sin θθ++到直线AB ：x +y +2＝0的距离为d ,则d ==, 当sin （4πθ+）＝﹣1时,d所以△ABM 面积的最小值S 12AB d =⨯⨯=9﹣． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型. 23.设函数()5|||2|.f x x a x =---+ (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) {|-32}x a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）按绝对值符号里的式子的正负分类讨论去掉绝对值符号，解不等式；（2）不等式()1f x ≤等价于2 4.x a x -++≥利用绝对值三角不等式求得2x a x -++的最小值，再解相应的不等式可得a 的范围．【详解】(1)当1a =时，()262221241x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，，， 2260,32x x x <-+≥-≤<-，，21x -≤≤时恒成立，1,240,12x x x >-+≥<≤，综上()0f x ≥的解集为{|32}x a -≤≤． (2)()1f x ≤等价于2 4.x a x -++≥而22x a x a -++≥+，当且仅当()()20x a x -+≤时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥.由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，解题方法是分类讨论，根据绝对值符号里面的式子的正负分类．不等式()1f x ≤等价于2 4.x a x -++≥利用绝对值三角不等式求得2x a x -++的最小值，由这个最小值4≥可得a 的范围．- 21 -。