多元函数极值的充分条件
多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
等约束条件下多元函数条件极值的充分条件
０
０
０
０
ｆ ＋λφ 烎
０ ２ ２
０ ０ ２ ２
２ 三元函数的条件极值
２． １ 单等式约束条件下极值 三元函数 ｕ＝ｆ（ ｘ， ｚ）在 φ（ ｘ， ｚ） ＝０ 下取到极值的充分条件 。 ｙ， ｙ，
２ ２ ２ 定理 ２ 设函数 ｕ＝ｆ（ ｘ， ｚ）， ｘ， ｚ）存在二阶连续偏导数 ， ａ ｒ ａ ｎ ｅ 函数 ｙ， ｙ， ｇ ｇ ｘ ＋φ ｚ ≠０且Ｌ ｙ ＋φ φ（ φ 是空间区域 Ω 的内点且是 Ｌ（ Ｌ（ ｘ， ｚ， ｘ， ｚ） ｘ， ｚ）， Ｍ０（ ｘ ｚ ｘ， ｚ， ＝ｆ（ ＋λ λ） λ λ）的稳 ｙ， ｙ， ｙ， ｙ ｙ， ０， ０， ０， ０） φ（
在大学数学许多教材中 ， 关于等约束条件极值几乎只是给出了其必要条件 ， 而要求出极值通常是采 至于是极大值还是极小值往往是结合实际问题来讨论 ， 而要 用Ｌ ａ ｒ ａ ｎ ｅ 乘数法求出其可能的极值点 ， ｇ ｇ
１］ ２］ ２ 。 通常的方法是采用二阶微分法 ［ 从理论上准确判断出其是极大 、 极小值往往比较困难 ［ 求出ｄ Ｌ并
ｕ ｚ， ） 将 ｚ＝ψ（ ｘ ｘ， ｘ， ｚ）得 ： ｕ＝ｆ（ ｘ， ｘ， ＝ｆ ｙ ｙ）代入 ｕ＝ｆ（ ｙ， ｙ， ｙ） ０， ０ ）， ｘ ＋ｆ ｚ ψ（ ψ（ ｘ ｘ
２ ２ ｕ ｚ ｕ ｚ （ ｚ） ｚ ｚ ； ＝ｆ ＋ ｆ ＋ｆ ２ ＝ｆ ｚ ｘ ｘ ＋ｆ ｘ ｚ ｚ ｘ ＋ｆ ｚ ｚ ｚ ｙ ＋ｆ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ２ ２ ｚ （ ｚ） ｚ ｕ ｚ ； ＝ｆ ＋ ｆ ＋ｆ ｘ ｘ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｙ ＋ｆ ｙ ＋ｆ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ２ ２ ｚ （ ｚ） ｚ ｕ ｚ ； ＋ ｆ ＋ｆ ｆ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｙ ＋ｆ ｙ ｙ ＋ｆ ｙ ２ ＝ ２ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ２ ｚ ｚ ｘ ｙ ｘ ｘ ｚ －２ ｘ ｚ ｚ ｚ ｚ φ φｘ φｚ ＋φ φｘ ； 又将以下几式 ＝－φ ， ＝－φ ２ ＝－φ φ ３ ｘ ｘ ｙ φｚ φｚ φｚ ２ ２ ｘ ｙ ｚ－（ ｘ ｚ ｙ ｚ ｚ ＋φ ｚ ｚ ｙ ｙ ｙ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ φ φｙ ＋φ φｘ ） φ φｘ φｙ ； φ φｚ －２ φ φｙ φｚ ＋φ φｘ 代入 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 式 ４ ５ ６ ＝－φ φ ３ ２ ＝－ ３ ｘ ｙ ｙ ｚ ｚ φ φ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ｆ １ ｕ １ ｕ ２ ２ ２ ２ （ｘ 且令λ＝－ ｚ ｕ Ｌ Ｌ Ｌ ＝ ｚ ｘ ｚ －２ ｘ ｚ ｘ ｚ ＋Ｌ ｚ ｚ ｘ） ２ ； ２ ＝ （ ｚ －２ ｚ ＋Ｌ ｚ ｚ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ） ２ ； ２＝ Ｌ φ φ φ φ φ φ φ φ ｘ ｘ ｙ ｙ ｚ ｚ φｚ φ φ ２ ２ ２ ｕ ｕ １ ｕ ２ （ 其中μ＝ Ｌ Ａ， Ｂ， ２ Ｃ， ＝ ＝ ＝ ｘ ｘ ｚ ｚ ｚ ｚ ｙ ｙ ２ φｚ －Ｌ φｘ φｚ －Ｌ φｙ φｚ ＋Ｌ φｘ φｙ ） ２ μ μ μ ， ） ｘ ， ） ， ） ｘ（ ｙ（ ｘ ｙ（ ｘ ｘ ｚ ０ｙ ０ φ ０ｙ ０ ０ｙ ０ ２ ２
多元函数取局部极值的一个充分条件
在 尸１）， （ 。定由论，ｚ）点 局极值（）一 点ｔ，处Ａ ） ，推知 （ 在 尸 部小 ，．＝ （１ 一 ３ 正 ，， 取 １ １
在Ｐ， ｎ（一， 点ｚＯ ＝ 。ｊ （） ： Ｏ处
（ ） 定 。 然 而 ， 令 ＝０ 负 ，则 ｆ （ ｚ， ‘ ．Ｏ ０ ）处 不 取 局 部 极 值 。
“
６５ ０ ） ５０ ０
（
பைடு நூலகம்
，
） 凸区域 Ｄ （ Ｒ ）上具 有连续 偏 导数 的 ｎ元 函数 ， 方 程组 ， ． 是 Ｄ 若
。 ：，… ， 。 ，则 称 Ｐ。 ， 的 一 十 稳 定 点 。 ， 。 ） 是 ） 凸 区 域 Ｄ 上 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 的 元 函 数 ， （ 。ｚ。 … ，： 是 Ｐ。 ， ， ） （ Ｐ）， 矩 阵 Ａ （ｌ） 一 ａｊ
（ ： Ｐ 注 点 的坐标 为（ 十 ｚ ， ２ ＋ △ ， ， ＋ △ 】ｚ。 …
尸 （ ， ＋ 】 ２ ＾ Ｐ） （， Ｐ ）上 … ＋ △ｒ １
）Ｐ ， ∈ Ｄ ） 。
＾（ Ｐ ）下 （ Ｐ ）一
…
２ ｌ ＾（ Ｐ ）＋ ２ ２ ， （ Ｐ ）卞 … ＋ ， ，ｘ ／ Ｓ ， ｘＳ
处取局部 极小 （ ）值 。 大
证 明 ： 用 定 理 证 明 中 的 部 分 推 导 ， 对 点 尸。 Ａ 正 定 ，Ａ 的 所 有 顺 序 主 子 式 （ 于 ， ， 沿 针 ， 关
…
．
的 函 数 ）全 大 于 ０ 由 微 分 学 知 ，存 在 点 。
处 负 定 的 情 形
” ）≤ ，
多元函数极值条件的充分及必要条件
多元函数极值条件的充分及必要条件一、引言在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究方向。
求解多元函数的极值可以帮助我们了解函数的性质和优化问题。
本文将介绍多元函数极值的充分条件和必要条件，并通过数学推导和具体案例进行说明。
二、充分条件对于一个多元函数，如果它在某一点处取得极值，那么该点的梯度向量为零。
这是多元函数极值的充分条件之一，也称为驻点条件。
假设函数为$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们定义其梯度向量为：$$\n ab la f=\l ef t(\f ra c{{\pa rt ia lf}}{{\p ar ti al x_1}},\f ra c {{\p ar ti al f}}{{\p a rt ia lx_2}},...,\fr ac{{\p ar ti alf}}{{\pa r t i al x_n}}\ri gh t)$$如果存在一个点$(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)$，使得$\na bl af(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)=\m at hb f{0}$，那么该点为函数$f$的驻点。
然而，驻点并不一定是极值点。
还需要进一步考察该点的二阶偏导数信息。
三、必要条件1.H e s s i a n矩阵H e ss ia n矩阵是多元函数在某个点处的二阶偏导数构成的矩阵。
对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其He ssi a n矩阵定义为：$$H(f)=\be gi n{bma t ri x}\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_1^2}}&\f ra c{{\par t ia l^2 f}}{{\pa rt ia lx_1\p ar ti al x_2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_1\par t ia lx_n}}\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_2\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_2^2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_2\par t ia lx_n}}\\\v do ts&\vd ot s&\dd o ts&\vd ot s\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_n\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_n\p a rt ial x_2}}&\cd ot s&\fr a c{{\pa rt i al^2f}}{{\pa rti a lx_n^2}}\e nd{b ma tr ix}$$2.S y l v e s t e r定理S y lv es te r定理给出了判别He ss ia n矩阵正定、负定和不定的条件。
多元函数极值的判定
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1定理中用到的定义 (2)2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5)3多元函数极值判定定理的应用 (7)参考文献 (8)多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.关键词：极值；条件极值；偏导数；判定The judgement of the extremum of the function of manyvariablesAbstract ：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables .Keywords : extremum; conditional ;partial derivative引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.1 定理中用到的定义定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.定义1.2[]1设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在0x 的某一领域有定义，则当极限0000000(,)(,)(,)limx xf x y f x x y f x y x x→+-=V V V V V 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x y fx∂∂.定义1.3[]3 设n D R ⊂为开集，12(,,,)n P x x x D ∈L ，0000122(,,,)P x x x D ∈L :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有000()()()limP P f P f P A P P P P →----,则称n 元函数12(,,,)n f x x x L 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为0()f P '.注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=---L 为n 维列向量. 注2：0P P -=注3：在导数存在的条件下，可求得：012()(,,,)nf f f f P A x x x ∂∂∂'==∂∂∂L ,它是一个n 维向量函数.定义 1.4[]3（二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 某一点）上可微，则称f 在D （或D 某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得2222121122222122222212()n n nnn ff f x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪''=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭L L L L L L L此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：00000001()()()()()()()()2T n f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+--+-.2 函数极值的判定定理对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.定理2.1[]1 （必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域偏导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则0000(,)(,)0f x y f x y x y∂∂==∂∂. 定理2.2[]1 （充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点00(,)x y 的某领域有二阶连续偏导数存在.记222200000022(,)(,)(,),,,,f x y f x y f x y A B C AC B x x y y∂∂∂====-∂∂∂∂V 则1）当0<V 时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0>V 是，若0A >,则点00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当0=V 时，该方法不能判断其是不是极值点.注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0=V 的情形）.利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.定理2.3 （必要条件）设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y f x x x =L 在点0P D ⊂可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量(0,0,,0)L ）.证明 由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，012()(,,,)0nf f ff P x x x ∂∂∂'==∂∂∂L . 定理2.4（充分条件）设n D R ⊂为开集，n 元实函数12(,,,)n y f x x x =L 在0()U P D ⊂上存在二阶连续偏导数，且0()0f P '=，则当0()n f P 为正定或半正定时，f 在0P 点取得极小值，当0()n f P 为负定或半负定时，f 在0P 点取得极大值.证明 0P ，P 点坐标分别满足00012(,,,)n x x x L 与12(,,,)n x x x L ，且0()P U P ⊂,0i i i x x x =-V ，当0()0f P '=时，由Taylor 公式，有000000212012121211()()()()()()21(,,,)()(,,,)(())2(,,,)()T n nT nn n i i i nn i i f f P f P P P f P P P O P P x x x f P x x x o x x g x x x o x ===-=--+-=+-=+∑∑V V V L V V V L V V V L V V 当0()U P 充分小时,只要0()P U P ⊂，则该式子的符号由12(,,,)n g x x x V V L V 确定.当0()n f P 为正定时，二次型12(,,,)0n g x x x >V V L V ，当0()n f P 为半正定时，二次型12(,,,)0n g x x x ≥V V L V .故当0()n f P 为正定或半正定时，0()()0f f P f P =-≥V ，所以0()()f P f P ≥，故0P 点是f 的极小值点.同理可证，当0()n f P 为负定或半负定时，0P 点是f 的极大值点.定理 2.5[]1 设在条件12(,,,)0,1,2,,()k n x x x k m m n ϕ==<L L 的限制下，求函数12(,,,)n y f x x x =L 的极值问题，其中f 与(1,2,,)k k m ϕ=L 在区域D 有连续的一阶偏导数.若D 的点000012(,,,)n P x x x L 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵01111n m m n P x x x x ϕϕϕϕ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭K M O M L的秩为m ，则存在m 个常数(0)(0)(0)12,,,mλλλL ，使得000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为拉格朗日函数121212121(,,,,,,)(,,,)(,,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλλϕ==+∑L L L L的稳定点，即000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为下述n m +个方程： 111111112120(,,,)0(,,,)0n mmx k k mx k k n nn m n f L x x f L x xL x x x L x x x λλϕλϕλϕϕ==∂∂⎧=+=⎪∂∂⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪⎪==⎪⎪⎪==⎩∑∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 的解.此定理的证明可参阅文献[1]第二十三章的定理23.19的证明. 由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.定理 2.6[]2 设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y L x x x =L 在0()U P D ⊂存在二阶连续偏导数，且0()0L P '=,则当20()0d L P >时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极小值；20()0d L P <时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极大值.证明 11n nL LdL dx dx x x ∂∂=++∂∂L ， 2121222212121211()()n nn n L L Ld L d dL ddx d dx d dx x x x L L Ldx dx dx dx x x x x x ∂∂∂==+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂L L22212221222222122212()()n n n n n nL L L dx dx dx dx x x x x x L L L dx dx dx dx x x x x x ∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂L L L22211112221(,,)n n n nn L L x x x dx dx dx dx L L x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂⎝⎭K L MO M L L11(,,)()n n dx dx dx f P dx ⎛⎫⎪''= ⎪ ⎪⎝⎭L L .又因为0()0L P '=，固由定理4知当0()f P ''正定，即20()0d L P >时，0P 为L 的极小值点，当0()f P ''负定，即20()0d L P <时，0P 为L 的极小值点 .3 多元函数极值判定定理的应用由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定.例 3.1[]2 求三元函数(,,)22f x y z x y z =-+在受约束条件2221x y z ++=限制下的极值.解 设222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-++++-，由0L L L L x y z λ∂∂∂∂====∂∂∂∂有：当32λ=-时，122(,,)(,,)333x y z =-，当32λ=时，122(,,)(,,)333x y z =--，现判断是极大值还是极小值 .方法1：对函数(,,)22f x y z x y z =-+用定理2，其中z 视为,x y 的函数，即(,)z z x y =，它由2221x y z ++=决定。
《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题
f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式 当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证 设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解 问题 转化为求二元 函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组 即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最 线性近似公式
补例 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
多元函数的微分中值定理与极值判定
多元函数的微分中值定理与极值判定多元函数的微分中值定理和极值判定是微积分中重要的理论基础，也是应用广泛的数学工具。
它们是研究函数性质和优化问题的重要工具。
本文将介绍多元函数的微分中值定理和极值判定的概念、原理和应用。
一、多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分的基本定理之一，它是单变量函数中值定理在多元函数中的推广。
多元函数的微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。
1.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是多元函数微分中值定理的一种形式。
设函数$f(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$f(b,d) - f(a,c) = f_x(x_0,y_0)(b-a) + f_y(x_0,y_0)(d-c)$$其中，$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$分别表示函数在点$(x_0,y_0)$的偏导数。
1.2 柯西中值定理柯西中值定理是多元函数微分中值定理的另一种形式。
设函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，并且$g_x(x,y)$和$g_y(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上不同时为零，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$\frac{f(b,d)-f(a,c)}{g(b,d)-g(a,c)} =\frac{f_x(x_0,y_0)}{g_x(x_0,y_0)} =\frac{f_y(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$$二、多元函数的极值判定多元函数的极值判定是通过求函数的偏导数和判定二次型的正负来确定函数的极值点。
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多元函数极值的充分条件
马丽君
（集宁师范学院 数学系）
我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若
0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值
点）
对于多元函数()
Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充
分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中
12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12
,,,T
n f f
f x x x ⎛⎫∂∂∂
⎪∂∂∂⎝⎭
为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，
则()f X 在点00
0012(,,,)n X x x x =取得极值的必要
条件
是
：
0112(),,
,0T
n n X X f f
f gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭
证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶
连续偏导数，00
0012(,,
,)n X x x x =是()f X 的驻点，
现定义
()f X 在点0X 处的矩阵为：
2220002
112122220002021
22222
0002
1
2
()
()()()()
()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫
∂∂∂⎪⎪
∂∂∂∂∂⎪
⎪⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪
=∂∂∂∂∂⎨⎬
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
∂∂∂⎪
⎪∂∂∂∂∂⎩⎭
由
于
各
二
阶
偏
导
数
连
续
，
即
22(,1,2,,)i j j i
f f
i j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，
所以0()f H X 为实对称矩阵。
定理 设n 元函数()f X ，其中
12(,,,)n X x x x =，具有对各自变量的二阶连续偏导
数，00
0012(,,
,)n X x x x =是()f X 的驻点，则 （1） 当
0()
f H X 正
定
时
，
000012(,,
,)n X x x x =是()f X 的极小值
点；
（2） 当
0()
f H X 负定时，
000012(,,
,)n X x x x =是()f X 的极大值
点；
（3） 当
0()
f H X 不定时，
000012(,,
,)n X x x x =不是()f X 的极大
值点
证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式
00000112212
2200200
0001111222112
2
0001112
2
0000221122212
()()()()()()()()()1()[()()()]2()()()()()()()(n n n n n n
f X f X f X f X X X X X X X f X f X f X X X X X X X X X X X X X f X X X X X X X f X f X X X X X X X X X X ∂∂=+-+-∂∂∂∂∂++-+-+--∂∂∂∂∂+
+--∂∂∂∂+--+-∂∂∂()02
2200
022********
200022220202121212
0)()()()()()()()()()()()]()()1
()2
n n n n n n n n n n n n
n
T n n n n f n f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X R X x x f X gradf X x x x x x x H X x ∂++--∂∂∂+
+--∂∂∂+--∂∂∂+
+-+∂∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦∆⎡⎤⎢∆⎢+
∆∆∆⎢⎢∆⎣n
R ⎥
⎥+⎥⎥⎦
是 其中0
(1,2,,)i i i X X X i n ∆=-=，n R 比X ∆高阶的无穷小
对于驻点0X ，由引理结果01()0n gradf X ⨯=，则上述泰勒展开式又可写为：
()1201201
()()()2
n f n
n x x f X f X x x x H X R x ∆⎡⎤⎢⎥
∆⎢⎥-=
∆∆∆+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
由此可见，当0()f H X 正定时，在点0X 的某去心邻域内就有0()()0f X f X ->，
即0()()f X f X >。
故000
012(,,,)n X x x x =为()f X 的极小值点。
同理可知：当0()f H X 负定时，
0000
1
2
(,,,)n
X x x x =为的极大值点：对
0()f H X 不定时情况，本文不再详细讨论。
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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