多元函数的极值与最优化问题
7(10)无约束最优化问题
无约束最优化问题
三,极值的充分条件
定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 令 fxx ( x0 , y0 ) = A, fxy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C,
18
无约束最优化问题
作业
习题7.10 (112页 习题7.10 (112页) (A)2. 3.(2) 6. (B) 1. 2. 6.
19
�
一元函数 f ( x , y0 ) 在点 x0 处取得有极小值 处取得有极小值, 表示动点 P ( x , y ) ∈ U ( P0 , δ ),且 P ( x , y )沿直线
17
无约束最优化问题
y = y0上, 并沿该直线 即沿平行于 轴的正负 并沿该直线(即沿平行于 即沿平行于Ox轴的正负
方向)趋向于 方向 趋向于P0 ( x0 , y0 )时, f ( x, y) > f ( x0 , y0 ). 它们的关系是: 它们的关系是 取得极大(小 值 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极大 小)值 f ( x0 , y )和f ( x , y0 )分别在 y0点和x0点 取得极大(小 值 取得极大 小)值.
下半个圆锥面
x
点取极大值. 也是最大值). 在(0,0)点取极大值 (也是最大值 点取极大值 也是最大值 马鞍面
z
O
y
O
x
y
4
无约束最优化问题
多元函数的极值与最优化问题
P0 ,
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
设函数 且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U ( P ))
P0( x0 , y0 ), y ( x0 , y0 ) 0.
z
f ( x,
(x, y) y) 0
在点(
x0
,
y0
)处取得
极
值
z f [ x, y( x)]在x x0处取得极值.
dz dx
x x0
(
fx
fy
d d
y) x x x0
0
而 dy
x ( x0 , y0 )
d x x x0 y ( x0 , y0 )
计
算
：f
(
函数( xfi xi , yi )
,在y(i该i)区1(,域i2,D1上,,2n一,);定, n取) 得最值
2 求 f ( x, y)在D的边界上的最值m0 , M0;
(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件
利用偏导数研究多元函数最优化问题
利用偏导数研究多元函数最优化问题多元函数最优化问题是数学中的重要研究领域之一。
在解决这类问题时，利用偏导数可以提供有价值的信息。
本文将介绍如何利用偏导数研究多元函数的最优化问题。
偏导数的概念偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念。
对于一个多元函数，其自变量可能是多个变量，而不仅仅是一个变量。
而偏导数指的是当其他自变量保持不变时，函数对某一个自变量的变化率。
偏导数可以用符号∂ 表示，例如∂f/∂x 表示函数 f 对变量 x 的偏导数。
利用偏导数求最优解在多元函数最优化问题中，常常需要寻找函数的最大值或最小值。
这可以通过求函数的偏导数来实现。
具体步骤如下：1. 找到函数的所有偏导数。
对于一个多元函数，可能存在多个自变量，因此需要对每个自变量求对应的偏导数。
2. 将偏导数置为零，并解方程组。
令每个偏导数为零，可以得到一组方程。
解这个方程组可以得到函数的驻点（也就是函数可能的最优解）。
3. 求取二阶偏导数。
为了判断这些驻点是否为函数的极值点，需要求取二阶偏导数。
4. 利用二阶偏导数判断驻点的类型。
根据二阶偏导数的正负性可以判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。
5. 将判断的结果应用到原函数中。
通过寻找函数的极值点，可以找到函数的最大值或最小值。
注意事项在利用偏导数研究多元函数最优化问题时，需要注意以下几点：- 需要求取各个偏导数时，注意其他变量保持不变。
只有在其他自变量保持不变的情况下，才能正确求取偏导数。
- 在解方程组时，要考虑方程组可能存在多个解的情况。
可能存在多组驻点，需要找到所有可能的最优解。
- 求取二阶偏导数时，需要注意求导的次序。
不同的求导顺序可能得到不同的结果，因此需要谨慎求取。
- 在判断驻点类型时，需要根据二阶偏导数的正负性进行判断。
结论利用偏导数研究多元函数最优化问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
通过求取偏导数、解方程组和判断二阶偏导数，我们可以确定函数的驻点类型并找到最优解。
这为解决实际问题提供了有力的数学工具。
极值定义
一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。
二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点都有f（x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f （x）。
是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。
变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。
（xi,其中i是下标。
下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数是指同时含有两个或更多个变量的函数。
在数学中，研究多元函数的极值和最优化问题是一项重要的工作。
通过寻找函数取得最大值或最小值的点，可以在各种实际问题中找到最优解。
对于多元函数，极值点可以是极大值或极小值。
极值点可以通过求偏导数和解方程组来求解。
在求解时，首先需要计算函数的偏导数，然后令偏导数等于零，解此方程组可以得到极值点。
为了更好地理解多元函数的极值问题，下面以一个简单的例子进行解释。
假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，我们的目标是找到这个函数的极值点。
首先，我们计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。
偏导数是指在其他变量保持不变的情况下，对某一变量求导。
对于本例中的函数 f(x, y)，我们有以下偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y接下来，我们令偏导数等于零，并解这个方程组：2x = 02y = 0从方程组可以得到 x = 0，y = 0。
因此，函数的极值点为 (0, 0)。
同时，我们还需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。
为了做出判断，我们可以利用二阶偏导数的判定方法。
通过计算二阶偏导数的行列式，判断其正负性来确定。
在本例中，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂y² = 2二阶偏导数的行列式为H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (2)(2) - 0 = 4由于 H 大于零，所以函数的极值点 (0, 0) 是极小值点。
除了求取多元函数的极值点外，最优化问题也是多元函数的重要应用之一。
最优化问题的目标是找到函数取得最大值或最小值的点，并且通常还需要满足一些约束条件。
最常见的最优化问题是线性规划和非线性规划问题。
在线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
多元函数的极值与最优化
多元函数的极值与最优化多元函数是指具有多个自变量的函数，它在数学及实际问题中都扮演着重要的角色。
在求解多元函数的极值及最优化问题中，需要运用一系列数学方法和工具，如导数、梯度、约束条件等。
本文将简要介绍多元函数的极值和最优化，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、多元函数的极值多元函数的极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，常用的求得其极值的方法是求导。
假设函数的各个偏导数存在，则需要解方程组∂f/∂xi = 0 (i = 1, 2, ..., n)来求得驻点。
进一步，可以通过二阶偏导数的符号来判断该点是否为极值点。
通过求解多元函数极值问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值，从而指导实际问题的决策。
例如，在经济学中，利润函数可以看作是一个多元函数，通过求解其极值，可以帮助企业寻找最佳的经营策略。
二、多元函数的最优化多元函数的最优化问题是指在一定范围内，寻找使得函数取得最大值或最小值的自变量的值。
在最优化问题中，除了极值点外，还需要考虑约束条件。
最优化问题可以通过无约束最优化和约束最优化两种情况来进行求解。
无约束最优化问题是指在没有约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步接近最优解。
约束最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有拉格朗日乘数法、KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数，从而转化为无约束最优化问题进行求解。
最优化问题在现实中有着广泛的应用，如在工程设计中，需要优化设备的性能指标，可以利用最优化方法找到最佳的设计参数值。
三、多元函数的极值与最优化的实际应用多元函数的极值和最优化在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：在经济学中，通过求解效用函数的最大值问题，可以帮助消费者做出最优的消费决策；求解利润函数的最大值问题，可以帮助企业找到最佳的生产策略。
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( f ( x, y) f ( x0, y0 ))
则称函数在点
取得极大值 (f极( x小0 ,值y0).f ( x0 , y0 ).
极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点
称为极值点.
推广：n 元函数 f (P ), 极小值 f (P0 )：f (P0 ) f (P)
(
P
U
(
P0
),
P0
,
(1) 当a 0 时，
驻点
A
(0,0) 9a2 0
z(x, y) 非极值
(a, a)
27a2 0
6a
(a 0) (a 0)
极小值 极大值
即当a 0时，z x3 y3 3axy 在(0,0)不
取得极值. 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
得极小值：z(a,a) a3; 当a 0时，z x3 y3 3axy 在(a,a)取
P
Rn
)
例1 函数 z 3x2 4 y2
(1)
在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必有偏导数，
f x ( x0, y0 ) 0 ,
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
证 不妨设z f ( x, y)在点 P ( x0 , y0 ) 处有极大值,
即 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), ( ( x, y) U(P))
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x, y0 ) U (P ))
事实上， zx y, zy x,
z z
x y
(0,0) (0,0)
0 0
(0,0)是 z xy 的驻点.
但当 xy 0（一、三象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0 当 xy 0（二、四象限的点）时，z( x, y) z(0,0) 0
(0,0)不是 z xy 的极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
得 x2 ax 0, x 0, x a
有驻zz点xy ：
3x2 3(0y,20),
3ay 3(aa,xa)
0 0
① ②
3( x2 ax a2 ) 0
2º判断 zx 3x2 3ay , z y 3 y2 3ax A zxx 6x, B zxy 3a, C zyy 6 y, AC B2 36xy 9a2
A<0 时是极大值;
A>0 时是极小值.
2) 当 AC B2 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能判定 , 需另行讨论.
即有
f ( x0, y0 )
A 0, 极小值
0
A 0, 极大值 是极值
0
非极值
0
不定(需用其他方法确定)
( AC B2 )
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤： 1 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的点； 2 判断
第九节
第八章
多元函数的极值
与最优化问题
一、多元函数的无条件极值 二、多元函数的最值
三、多元函数的条件极值—— 拉格朗日乘数法
一、 多元函数的无条件极值
观察二元函数
z
xy ex2 y2
的图形
1. 极值定义
定义8.10 若函数
的某
邻域内有定义且满足
f ( x, y) f ( x0, y0 ) ( ( x, y) U(P))
x y
3x2 3 y2
3ay 3ax
0 0
① ②
当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0)
当 a 0 时， ① – ②：( x2 y2 ) a( x y) 0
( x y)( x y a) 0
x ya0
否则 x y a 0
x y 代入①，
z x 3[ x2 a( x a)]
(0,0)不是z x3 y3的极值点.
当a =0 时，
z x3 y3 3axy 无极值.
-o + x
二、多元函数的最值
假设: 目标函数可微且只有有限个驻点. 求最值的一般方法：
情形1 D是有界闭区域，z f ( x, y)在D上连续.
定理8.11(充分条件)
若函数z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某邻域内
具有二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 记 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则 1)当 AC B2 0 时,
令 ( x) f ( x, y0 ), 则
( x) ( x0 ) ( x U ( x0 )) ( x) f ( x, y0 )在x x0处可导
( x0 ) 0
即 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
注 1º 推广： 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )具有偏导数，则它在点 P( x0 , y0 , z0 )处有极值的必要条件为:
得极大值：z(a,a) a3.
(2) 当a =0 时，在唯一驻点(0,0)处，
AC B2 (36xy 9a2 ) 0
(0,0)
充分判别法失效！
此时，z x3 y3 , z(0,0) 0
当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) 当 x 0时，z( x,0) x3 0 z(0,0) y
(1) 利用极值的充分条件判定,
(2) 若充分条件不满足，则利用极值的定义.
例4 z x2 y2
zx (0,0), z y (0,0)均不存在，
但 z x2 y2在(0,0)处取得极小值 z(0,0) 0.
例5 求 z x3 y3 3axy (a为常数)的极值.
解 1º求驻点
z z
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
2º 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为多元函数的驻点.
驻点
可导函数的极值点
例如: 点(0,0)是函数 z xy 的驻点，但不是极值点.