圆柱与圆锥的体积
圆柱与圆锥的体积
圆柱与圆锥的体积知识点回顾圆柱的体积：V=Sh h=V ÷S S=V ÷hV=∏r ²h （已知r ）V=∏(d ÷2) ²h （已知d ）V=∏(C ÷∏÷2)² h （已知C ）把一个圆柱体切分成若干份拼成一个近似的长方体，在这个过程中，形 状发生了变化，体积没有发生变化。
表面积增加了2rh.圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。
（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。
（3）高的特征：圆锥有一条高。
圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥的体积：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，反之圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
V 锥= 13 V 柱=13 ShV 锥= 13 ∏r ²hV 锥= 13 ∏(d ÷2)²hV 锥= 13 ∏(C ÷∏÷2)²h圆柱与圆锥的关系：（1）与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
（2）体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。
（3）体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
生活中的圆锥：沙堆、漏斗、帽子。
典型题：1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的∏倍， 即h=C=∏d ,它的侧面积是S 侧=h ²2、 圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，表面积扩大2倍，体积扩大4倍。
3、 圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。
4、 圆柱的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，表面积不变，体积扩大3倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米列式为：48÷（3+1）或48÷（1+ 13 ）6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米。
等底等高的圆锥和圆柱的关系
等底等高的圆锥和圆柱的关系
圆柱的体积与它等底等高的圆锥的体积是3倍的关系，即比值一定，成正比例。
设：等低等高的圆柱体与圆锥体的地面积为S,高为h。
则圆柱体的体积为V1=Sh。
圆锥体的体积V2=Shx1/3。
即V2=V1x1/3。
则圆柱体与圆锥体的体积比为三比一。
圆锥组成
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径，底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面，一个侧面，一个顶点，一条高，无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
圆柱与圆锥的体积与表面积计算
圆柱与圆锥的体积与表面积计算圆柱和圆锥是几何图形中常见的形状，它们的体积和表面积计算是我们学习数学时的基础知识之一。
在本文中，我们将介绍如何计算圆柱和圆锥的体积和表面积，并提供详细的计算公式和实例。
一、圆柱的体积与表面积计算圆柱是一个由圆形底面和与底面平行的侧面组成的立体图形。
圆柱的体积和表面积计算公式如下：1. 圆柱的体积计算公式：圆柱的体积（V）等于底面积（A）乘以高（h）：V = A × h = π × r^2 × h其中，A表示底面积，h表示高，r表示底面半径。
2. 圆柱的表面积计算公式：圆柱的表面积（S）等于底面积（A）加上侧面积（B）：S = A + B = 2π × r^2 + 2π × r × h其中，A表示底面积，B表示侧面积，r表示底面半径，h表示高。
下面通过一个例子来演示如何计算圆柱的体积和表面积：例：已知圆柱底面半径为3 cm，高度为8 cm，求解该圆柱的体积和表面积。
解：根据上述公式，我们可以进行如下计算：圆柱的体积V = π × r^2 × h = 3.14 × 3^2 × 8 ≈ 226.08 cm^3圆柱的表面积S = 2π × r^2 + 2π × r × h = 2 × 3.14 × 3^2 + 2 × 3.14 × 3 × 8 ≈ 150.72 cm^2因此，该圆柱的体积约为226.08 cm^3，表面积约为150.72 cm^2。
二、圆锥的体积与表面积计算圆锥是一个由圆形底面和一个顶点连接底面的侧面组成的立体图形。
圆锥的体积和表面积计算公式如下：1. 圆锥的体积计算公式：圆锥的体积（V）等于底面积（A）乘以高（h）再除以3：V = A × h ÷ 3 = π × r^2 × h ÷ 3其中，A表示底面积，h表示高，r表示底面半径。
圆柱和圆锥体积
例4.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆 柱形(不包括瓶颈)，如图：已
知它的容积为400毫升。当瓶
子正放时，瓶内酒精的液面高 为6厘米；瓶子倒放时，空余
2
部分的高为2厘米。问：瓶内
酒精的体积是多少毫升。
6
解答
将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体。
因为：V=Sh
所以： S=V÷ h
h=6+2=8（厘米） 6厘米
例3.将一个圆柱体木块沿上下底面圆 心切成四块，表面积增加48平方厘 米；若将这个圆柱体切成三块小圆 柱体，表面积增加50.24平方厘米。 现在把这个圆柱体木块削成一个最 大的圆锥体，体积减少多少立方厘
米？
解析
将圆心切成四块，需要切两刀，增加四个相等的长方形，每 个长方形的面积是48÷ 4=12（平方厘米）。如果切成三个圆
圆柱和圆锥体积
体积公式推导底面积源自高圆柱体积公式长方体的体积＝底面积×高
圆柱体的体积＝底面积× 高
圆锥体积公式
圆锥体积公式
结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆
柱体积的三分之一
V柱= Sh
V锥= Sh÷3
典型例题精讲
例1. 一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径 是2厘米。将它的底面平均
h锥=628× 3÷ 78.5=24（厘米）
答：铸件的高是24厘米。
例7. 如图所示，皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球 的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有 的体 4
5 积浸在水中，问皮球掉到水桶中后，水面升高了多少厘米？
（注：皮球的体积为 ） 4 3 πr 3
解 析
解：皮球的体积是：
分成若干个扇形后，再截开
拼成一个和它等底等高的长 方体，表面积增加了多少平 方厘米？
圆柱和圆锥的体积和表面积公式
柱圆锥的表面积公式和体积公式是什么？
圆锥体积：V=1/3Sh（S是底面积，h是高）。
圆锥表面积的计算公式是：圆锥的表面积＝底面积＋侧面积（侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形。
），用字母表示就是S=πr²+πrl（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）。
圆柱体体积公式：圆柱体积＝π＊r²*h=S底面积＊高（h）；先求底面积，然后乘高。
圆柱体积公式是用于计算圆柱体体积的公式。
圆柱体表面积公式：S=2πr(r+h)。
π是圆周率，r是圆柱底面的半径，h是圆柱体的高。
相关公式
正方形的周长＝边长×4
长方形的面积＝长×宽
长方形的周长＝（长＋宽）×2
正方形的面积＝边长×边长
三角形的面积＝底×高÷2
平行四边形的面积＝底×高
梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
直径＝半径×2半径＝直径÷2
圆的周长＝圆周率×直径＝圆周率×半径×2 圆的面积＝圆周率×半径×半径。
圆柱与圆锥底面积和体积关系
圆柱与圆锥底面积和体积关系
圆柱和圆锥是常见的几何体，它们的底面都是圆形。
我们可以通过比较它们的底面积和体积来研究它们之间的关系。
首先来看底面积。
圆柱的底面积为圆的面积，即$S_{text{圆柱}}=pi r^2$，其中$r$为圆柱的底面半径。
而圆锥的底面积也为圆的面积，即$S_{text{圆锥}}=pi r^2$。
因此，它们的底面积相同。
接下来研究体积。
圆柱的体积为$V_{text{圆柱}}=pi r^2h$，其中$h$为圆柱的高。
而圆锥的体积为$V_{text{圆锥}}=frac{1}{3}pi r^2h$。
可以看出，圆柱的体积是圆锥的三倍。
这是因为圆锥的高是圆柱高的$frac{1}{3}$，而体积是底面积和高的乘积，所以圆锥的体积是圆柱的$frac{1}{3}$。
综上所述，圆柱和圆锥的底面积相同，但圆柱的体积是圆锥的三倍。
这是因为圆柱的高是圆锥高的三倍，所以它的体积也是三倍。
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圆锥与圆柱的体积与表面积变化
圆锥与圆柱的体积与表面积变化圆锥和圆柱是几何学中的基本形状，它们的体积和表面积在不同的变化条件下会发生改变。
本文将探讨圆锥和圆柱的体积和表面积随着形状和尺寸的变化而变化的规律。
一、圆锥的体积与表面积变化圆锥的体积和表面积是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆锥的体积圆锥的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
由于圆锥的体积与底面半径的平方和高度成正比，当底面半径或高度增加时，圆锥的体积也会增加。
相反地，当底面半径或高度减小时，圆锥的体积也会减小。
2. 圆锥的表面积圆锥的表面积公式为S = πr² + πrl，其中S代表表面积，l代表母线的长度。
圆锥的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积等于圆的面积，侧面积由与底面相切的每一条母线的曲面构成。
与体积类似，圆锥的表面积也和底面半径以及母线的长度成正比。
增加底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积增加，减小底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积减小。
二、圆柱的体积与表面积变化圆柱的体积和表面积同样是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆柱的体积圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
不同于圆锥，圆柱的体积只和底面半径的平方和高度成正比。
当底面半径或高度增加时，圆柱的体积会增加；反之，当底面半径或高度减小时，圆柱的体积会减小。
2. 圆柱的表面积圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中S代表表面积。
圆柱的表面积由底面积和侧面积两部分构成。
底面积等于圆的面积乘以2，侧面积等于矩形的周长乘以高度。
圆柱的表面积和底面半径以及高度成正比。
增加底面半径或高度会导致圆柱的表面积增加，减小底面半径或高度会导致圆柱的表面积减小。
综上所述，圆锥和圆柱的体积与表面积随着形状和尺寸的变化而变化。
了解这种变化规律有助于我们在实际问题中进行计算和应用。
圆柱与圆锥的体积与表面积计算
圆柱与圆锥的体积与表面积计算圆柱与圆锥是几何学中的基本几何体，它们在日常生活和工程领域中都有广泛的应用。
在计算它们的体积和表面积时，我们需要了解一些相关的数学公式和计算方法。
一、圆柱的体积与表面积计算圆柱是由一个底面为圆形的柱体和两个平行的底面上的圆形直筒组成。
为了计算圆柱的体积和表面积，我们需要知道它的底面半径和高。
1. 圆柱的体积计算公式如下：V = π * r^2 * h其中，V表示圆柱的体积，π为常数，约等于3.14159，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高。
根据这个公式，我们可以直接将半径和高代入计算得到圆柱的体积。
2. 圆柱的表面积计算公式如下：A = 2π * r * (r + h)其中，A表示圆柱的表面积。
根据这个公式，我们可以将底面圆的面积和侧面的面积相加得到圆柱的表面积。
二、圆锥的体积与表面积计算圆锥由一个底面为圆形的圆锥体和一个顶点在圆锥体上的尖锥构成。
在计算圆锥的体积和表面积时，我们需要知道它的底面半径、高和斜高。
1. 圆锥的体积计算公式如下：V = (1/3) * π * r^2 * h其中，V表示圆锥的体积。
根据这个公式，我们可以将半径、高代入计算得到圆锥的体积。
2. 圆锥的表面积计算公式如下：A = π * r * (r + l)其中，A表示圆锥的表面积，l表示圆锥的斜高。
根据这个公式，我们可以将底面圆的面积和侧面的面积相加得到圆锥的表面积。
三、举例说明现假设一个圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，计算它的体积和表面积：1. 圆柱的体积计算：V = π * 5^2 * 10 = 250π ≈ 785.4cm³2. 圆柱的表面积计算：A = 2π * 5 * (5 + 10) = 2π * 5 * 15 ≈ 471.2cm²再假设一个圆锥的底面半径为3cm，高为8cm，斜高为10cm，计算它的体积和表面积：1. 圆锥的体积计算：V = (1/3) * π * 3^2 * 8 = 24π ≈ 75.4cm³2. 圆锥的表面积计算：A = π * 3 * (3 + 10) = π * 3 * 13 ≈ 122.6cm²通过以上的计算，我们可以得到圆柱和圆锥的体积和表面积。
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圆柱与圆锥的体积
一、填空：
1、等底等高的一个圆柱和一个圆锥，体积的和是72立方分米，圆柱的体积是（）立方分米,圆锥的体积是（）立方分米。
2、底面半径2分米，高9分米的圆锥形容器，容积是（）毫升。
3、一个圆柱底面半径2分米，侧面积是113.04平方分米，这个圆柱体的高是( )分米。
4、底面积85立方厘米、高是12厘米的圆锥的体积是（）立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是（）立方厘米。
5、一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长25.12厘米的正方形，圆柱体的高是（）厘米。
二、判断：
1、等底等高的圆柱与圆锥的体积比一定是3：1。
( )
2、高不变，圆锥的底面半径扩大2倍，体积也扩大2倍。
（）
3、一个圆锥和一个圆柱的体积相等，他们高的比一定是3：1。
（）
三、应用题
1、一个圆锥形稻谷堆，底面直径是6米，高是1.5米。
如果每立方米稻谷重0.65吨，这堆稻谷重多少吨？（得数保留整数）
2、一个圆锥形沙堆，底面周长是62.8米，高6米，用这堆沙在10米宽的公路上堆10厘米厚的路面，能铺多少米长？
3、会议大厅里有10根底面直径0.6米，高6米的圆柱形柱子，现在要刷上油漆，每平方米用油漆0.5千克，刷这些柱子要用油漆多少千克？
4、有一段底面直径8厘米，长9厘米的圆柱形钢材。
如果把它锻造成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？。