9广义积分习题课-26页word资料

第九章广义积分习题课

一、主要内容

1、基本概念

无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。

2、敛散性判别法

Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。

3、广义积分的计算

4、广义积分与数项级数的关系

5、广义积分敛散性的判别原则和程序

包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序：

1、比较法。

2、Cauchy 法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：

1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子

下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?

+∞+=0

q

p x

x dx

I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?

+=10

1q p x x dx I ，?+∞+=12q p x

x dx

I 对1I ，先讨论简单情形。

q p =时，1

q p ≠，

不妨设q p <，则?-+=1

1)

1(p q p x x dx

I ，故，0≤p 时为常义积分，

此时收敛。0>p 时，由于

1)

1(1

lim 0=+-→+

p

q p p

x x x x 因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1

因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。 上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}13

时发散。

对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则?

+∞

-+=1

2)

1(q

p q x x dx

I ，由于 1)

1(1

lim =+-+∞

→q p q q

x x x x

因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。

此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。 上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1￡

时发散。

综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1

例2 讨论21

sin()m x x I dx x

+∞

+=?的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。 分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。

解：先分析绝对收敛性，由于

1sin()

1|

|m m

x x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。

当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性，

2222A 2221111

|sin()||(1)sin()|111

|sin()()|A A A x dx x dx x x x x

x d x dx M

x x

x +=-++≤+++≤????

由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。

由于

2111

sin()2sin ()1cos 2()

2||m m m x x x x x x x x x

++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+?收敛，21m dx x +∞?发散，因而，21

|sin()|m x x dx x

+∞

+?发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。

注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。 注、不能将积分分成如下两部分

21

sin()m x x I dx x

+∞+=?＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+??， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。

例3 讨论dx x

x I m

?

+∞+=0

)

1ln(的敛散性。 分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +

→

和x →+∞时的性质，进行阶的比较。

解、记dx x x I m ?

+=1

01)

1ln(，dx x x I m ?+∞+=12)1ln(。 对1I ， 由于

1)

1ln(lim 1

=+-→+m

m x x x x ， 故，当11m -

<，即2m <时，1I 收敛；当2≥m 时，1I 发散。

对2I ， 利用已知的结论：0)

1ln(lim

, 0=+>?+∞→εεx

x x ，则 ?

?

?≥∞+<==++∞→m p m p l x x x m p

x , , 0)

1ln(lim ， 当1>m 时，取p 使得m p <<1，则 0)

1ln(lim =++∞

→m

p

x x

x x 故2I 收敛。

当1≤m 时，取1=p ，则

+∞=++∞

→m

x x

x x

)

1ln(lim 故2I 发散。

因而，当21<

sin 2x e x

I

dx x

l +?

=

ò

的敛散性，其中0l >。

分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel 判别法或Dirichlet 判别法。

解：记 dx x x e I x ?=1

0sin 12sin λ， dx x

x

e I x ?∞+=1sin 22sin λ 对1I ，当2 i.e , 11<<-λλ时，

e x

x

e x

x x 22sin lim sin 1

0=-→+

λ

λ 故，1I 收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。

当2 i.e , 11≥≥-λλ时，

e x

x

e x

x x 22sin lim sin 1

0=-→+

λ

λ 故，1I 发散。

对2I ，由于

λ

λx e

x x e x ≤2sin sin ，

故当1>λ时，2I （绝对）收敛。

当10≤<λ时，由于，对任意1>A ， 222sin sin 1

sin 1sin ≤=?

?dt te dx x e

A

t A

x

且 当+∞→x 时，λx

1

单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，2I 收敛。 又，此时

??

????-=≥≥---λλλλλx x x e x x e x x e x x e x 4cos 122sin 2sin 2sin 12

11sin 且??

∞∞

＋＋发散，11

4cos 1

dx x x dx x λλ收敛，因此，λλx

e dx x x e x

≤?∞+2sin sin 1发散。 因而，当10≤<λ时，2I 条件收敛。

综上，条件收敛时绝对收敛；时，I I ,1021≤<≤<λλ；发散。时，I 2≥λ

例5 讨论?+∞

=0sin dx x x I q p 的敛散性，其中p 、q 非负。

分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子q x sin ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。

解、先考虑最简情形：0=q 时的情形。

记?=1

01)(dx x p I p ，?+∞

=12)(dx x p I p ，此时，)(1p I 、)(2p I 分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，1->p 时，)(1p I 收敛；1-≤p 时， )(1p I 发散；而对2I ，1-

当0≠q 时，令q x t =，q

q

p -+=

1α，则 tdt t

q

I q

q

p sin 1

1?

∞

+-+=

＝

????

??+??+∞110sin sin 1tdt t tdt t q αα 对?=1

01sin tdt t I α

，由于 1sin lim 10=+→+ααt

t

t t ，故1I 与dt t ?+101α同时敛散。因而，

2 , 1)1(-><+-ααie 时，1I （绝对）收敛；2-≤α时，1I 发散。

对?+∞

=12sin tdt t I α，由于ααt t t ≤sin ，故，1-<α时，2I 绝对收敛；当

01<≤-α时，由Dirichlet 判别法，2I （条件）收敛。

当0≥α时，利用周期函数的积分性质，则

??

=≥+π

π

ππ

α0

222sin sin tdt tdt t n n

因而，由Cauchy 收敛准则，2I 发散。

综上：0=q 时，I 发散；0≠q 时， 01

1<+<

q

p －时，I 绝对收敛； 110<+≤

q p 时，I 条件收敛； q

p 1

1+≤ 时，I 发散。 注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。

注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。 例6 讨论dx x x I ?

∞

+-??

?

???--=0

31

1)sin 1(的敛散性。 分析 首先将积分分段处理，记dx x x I ????

???--

=-1

031

11)sin 1( ，dx x x I ?

∞

+-??

?

???--=1

31

21)sin 1(。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对1I ，分析奇点附近被积函数的阶。由于

)(!

31sin

, )(!3sin 223

3x o x x x x o x x x +-=+-=， 因而，1

2

33sin (1)x x x

---:，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。 对2I ，对被积函数作阶的分析，由于x 充分大时sin 1x

x

<<，因

此，利用函数展开理论得

)(01)1(2x x x ++=+αα , )1,1(-∈x ，

由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。

解、记dx x x I ???????--=-1

03111)sin 1( ，dx x x I ?∞+-??

?

???--=131

21)sin 1(。

对1I ，利用L ’Hosptial 法则，

20sin 11lim 6

x x

x x +

?-=， 因而， 2

11

3

33

0sin 1lim (1)()6

x x x x +--?-=，故，1I 收敛。 对2I 由于

)1( , 1sin >

x

，则 )sin (0sin 311)sin 1(2231

x

x x x x x +=---

其中 222)sin (0x

C

x x ≤，因而

221

sin )x o dx x

￥

ò

＋（收敛，又由于?+∞

1sin dx x x 条

件收敛，故2I 条件收敛。

因此，I 条件收敛。

注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。

例7 dx x

x x I ?∞

++=1

1

cos

ln )

1

sin 1ln(βα （0>α）。 分析：这是无穷限广义积分，分析+∞→x 时被积函数的性质，此时

01

sin

→α

x ，故 α

ααx

x x 1

~1sin ~)1sin

1ln(+， 又 )1

(2111cos 32x

o x x +-=，故

)1(

211ln(1cos

ln 3

2

x o x x +-

=2

1

~x 所以

21~1cos

ln )1sin

1ln(-++βαβ

α

x x

x x ，证明过程就是验证上述函数关系。 解、由于

x

x x x x x x x x x 1

cos ln 11)1sin 1ln(lim |1cos ln |)1sin

1ln(lim 22-+=+?+∞→-++∞→α

αβαβα

2cos ln lim 1

cos

ln 1

lim

2

02=-=-=→+∞→t t x

x t x 因而，I 与广义积分?+∞

-+1

2

1dx x

βα同时敛散。

故3>+βα时，I 收敛；3≤+βα时，I 发散。

下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。

例8 证明：设)(x f 、),[)(+∞a x g 在上连续，)(x g 单调且

0)(12>≥≥C x g C ，

则?+∞a dx x f )(与?+∞

a dx x g x f )()(同时敛散。

证明：若?+∞

a dx x f )(收敛，由Abel 判别法，?+∞

a dx x g x f )()(收敛。 若?+∞

a dx x g x f )()(收敛，则

?

+∞

a

dx x f )(＝?

+∞

a

dx x g x g x f )

(1

)

()( 仍有)

(1

x g 单调且01)(1121>≥≥

C x g C ，由Abel 判别法，则?+∞a dx x f )(收敛。 注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。下面，通过一个例子，说明例8的作用。

例9 讨论dx x x

x I q

p ?∞

++=11sin )0(≥q 的敛散性。 解、由于

q

q

p q p x

x x x x x --+=+11sin 1sin , 由于

q x -+11 非负单调且21

111≥+≥-q

x

，因此，利用例8的结论，其与dx x x

p q ?+∞-1sin 同时敛散。因而，1>-p q 时绝对收敛；10≤-

0≤-p q 时发散。

下面一个结论与例8具有类似的思想。

例10 设函数f （x ）、g （x ）、h （x ）定义在[,)a +?上且对任意有

限的实数A>a ，它们都在[a, A]上可积，证明：若()()

()f x g x h x ＃且

广义积分

?

+∞

a

dx x f )(、

()a

h x dx +?

ò

都收敛，则()a

g x dx +?

ò

也收敛。

分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。

证明：由所给的关系式，则 0()()()()g x f x h x f x ?

?，

由条件和广义积分性质，则(()())a

h x f x dx +?

-ò

收敛，由比较判别法，

则

(()())a

g x f x dx +?

-ò

收敛，由于()()()()g x g x f x f x =-+，再次

利用积分性质，则

()a

g x dx +?

ò

收敛。

注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一思想。

注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。

下面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。

例11 设f(x)>0且单调递减，证明?+∞

a dx x f )(与2()sin a f x xdx +∞

?同时敛散。

证明：因为f(x)>0且单调递减，故lim ()x f x →+∞

存在。

若lim ()x f x →+∞

＝0，则由Dirichlet 判别法，()cos 2a f x xdx +∞

?收敛。由于

22

()sin a f x xdx +∞

?＝?+∞a dx x f )(－()cos 2a f x xdx +∞

? 故，?+∞

a dx x f )(与2()sin a f x xdx +∞

?同时敛散。

若lim ()x f x →+∞

＝b>0，此时?+∞

a dx x f )(发散。由极限定义，存在A>a ，使

得x>A 时，

()02

b f x >

> 故，取n 充分大，使得 222

4

A n A n A π

π

ππ'''=+

>=+

>，则

21

()sin 8

A A

f x xdx b π'''≥?，

故，2()sin a f x xdx +∞

?发散。因而，此时二者同时发散。 下面的例子用上述结论很容易处理。 例12 讨论2

sin sin p x

I dx x x

+∞=+?

的敛散性。

解、由于

2sin sin sin sin (sin )

p p p p x x x

x x x x x x =-++

对12

sin p

x

I dx x +∞

=?

，已知p>0时收敛，0p ≤时发散。为讨论222

sin (sin )

p p

x

I dx x x x +∞=+?

的敛散性，注意到 2222222sin sin sin sin 2sin 2(1)(sin )(1)p p p p p p p p

x x x x x

x x x x x x x x x ≤≤≤≤++-

故，222

sin (sin )p p x

I dx x x x +∞

=+?与2

22sin p x dx x +∞?同时敛散，由例11，又与221p dx x

+∞?