必修2第1讲空间几何体培训讲义无答案.doc
第一章空间几何体
空间几何体
一、空间几何体的结构
(-)多面体与旋转体：多面体：棱柱、棱锥、棱台；
旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球；
另一种分类方式：①柱体：棱柱、圆柱；
%1椎体：棱锥、圆锥；
%1台体：棱台、圆台；
%1球
简单组合体：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
(二)柱、锥、台、球的结构特征
1.棱柱：①直棱柱斜棱柱正棱柱②三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等。
棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；
%1侧面、对角面都是平行四边形；
%1侧棱平行且相等；
%1平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2.棱锥：三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等等
(1)棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；
%1平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面E巨
离与的比的方*
(2)正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
%1正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三
角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一
个直角三角形。
%1正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。
%1正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
3.圆柱与圆锥：圆柱的轴圆柱的底面圆柱的侧面圆柱侧面的母线
4.棱台与圆台：统称为台体
(1)棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
(2)圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延氏线交于一点；母线长都相等.
5.球：球体球的半径球的直径.球心
O—A
二、空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影平行投影正投影
2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。
3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系尤力项，两轴夹角为45。
;
%1原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
%1原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
三、空间几何体的表面积和体积
1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图
2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式：
几何体表面积相关公式体积公式
棱柱S全=2S底+ S侧，其中S侧=/侧枝长&直截面周长V = S\h
棱锥S全=，底+ S侧V = —SDh3
棱台s全=s上底+ S下底+ S侧
v =L(s‘+ Js’s
+s)/z 圆柱
S全=2、r1 + 2/r rl
（r：底面半径，1：母线长=方：高）
V = sh =兀广h 圆锥
S 全=7T r 2 + 7T r 1
（r：底面半径，7：母线长）
V = —sh = —7rr2h
3 3
圆台
S全=勿（,"+尸2+,，/+〃）
（r：下底半径，广上底半径，7：母线长）
V = -($ '+ Js 'S + S)h 3球体S球面=4勿A?4正视图（从前向后）反映了物体上下高度、左右长度的关系; 侧视图（从左向右）反映了物体左右长度、前后宽度的关
系; 俯视图（从上向下）反映了物体上下高度、前后宽度的关系。
i MX 大
I
［当堂练习］
1.给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，旦所有侧 面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一 点。
其中命题正确的是（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
下列各组儿何体中是多而体的一组是 A 三棱柱四棱台球圆锥
0三棱柱四棱台正方体六棱锥 2.
D. 4个 ）
三棱柱四棱台正方体圆台 D 圆锥 圆台 球 半球
3.
4.
如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥
右图是一个儿何体的三视图，根据图中数据，可得该儿何体的
表面积是（
） A.9 Ji B. 10 Ji
C. 11 Ji
D. 12 Ji_
5. 若圆台的上下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线
长是（
）
A 2
B 2.5
C 5
D 10
6. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°,腰和上底均为1的等腰 梯形，那么原平面图形的面积是（）
A. 2+皿
c
24^/2 D ］+y ^
7. 已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5,且它的顶点都在同一个球面上，则这个
A 20^2 C 50
勿
8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A：BCDi中，
P 是 A）Bi±一点，且 PB：=-AiB>,则多面体 P-
BCC.B）
的体积为（
3 9.棱长为
）
B 也C4
3
各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的表面积为
D 16
球的表面积是（）
10.正方体表面积为。
七它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是
D 200
勿
体积为。
高一数学(人教A版)必修2课件：第一章 空间几何体
第一章 章末总结
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[答案] C
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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高一数学必修二空间几何体的结构讲课文档
想 ？
3、每相邻两个四边形的公共
边都互相平行.
满足上述三个条件的多面体 叫棱柱.
第十一页，共29页。
三:棱柱的结构特征:
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点
侧面
底面
侧棱
第十二页，共29页。
用表示底面各顶点表示棱柱。
A1 D1
C1 B1
上底面
侧面 侧棱 下底面 顶点
第二十一页，共29页。
2.判断下列几何体是不是棱台，并说明
为什么.
第二十二页，共29页。
探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，三者
关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转 化？
棱台
第二十三页，共29页。
上下底面一样 棱柱 上底面变成一个点 棱锥
六:什么叫圆柱
问题:有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如图所示，不是棱柱．
第十三页，共29页。
问题1：长方体ABCD-A’B’C’D’中，你能说出
它的底面吗?互相平行的平面有几对?
D’ C’
A’
B’
D
A
第十四页，共29页。
C B
变式：长方体ABCD-A’B’C’D’按如图截去 一部分，其中FG∥A’D’.你能说出这两部分 的几何体是什么吗？
D’
G
G’
C’
C’
A’
F B’ F’
H
H’
D
E
C E’
A
B
第十五页，共29页。
第十六页，共29页。
通过观察，你发现它们 具有哪些特点？
高中数学必修2《空间几何体》知识点(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
面的棱柱叫做直棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，棱台ABCD-A1B1C1D1由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…特殊的棱上下底面平行，其余各面是梯形，且侧棱延长后交于一点。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
人教版高中数学必修二 第一章：空间几何体_总结 学案(无答案)
高中二年级数学必修2第一章：空间几何体——总结一：考点考点1：三视图1. 主要考查：1) 由三视图中的部分视图确定其他视图；2) 由三视图还原成直观图；3) 三视图中相关量的计算；4) 三视图与其知识（如几何体的表面积、体积等）的综合。
1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A. 6B. 9C. 12D. 152. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图，则这个几何体的表面积为( )A. 65340+B. 65361+C. 58440+D. 58461+3. 如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A. ()π52+B. π4C. ()π222+D. π65. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A. 31B. 21C. 1D. 236. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A. 172B. 52C. 3D. 27. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将以圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. 60B. 30C. 20D. 109.将一长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为( )A. B. C. D.10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A. 1B. 2C. 3D. 211.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A. 26B. 6C. 24D. 413. 由一个长方体和两个41圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 。
(人教版,必修二)高中数学：第一章 空间几何体(配套讲
题型三 转化与化归思想 转化思想在本章应用较多，也是本章的难点，主要体现在 以下几个方面： (1)曲面化平面， 如几何体的侧面展开， 把曲线(折线)化为线 段 (2)等积变换，如三棱锥转移顶点等． (3)复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则 的几何体等．
例 3 如图所示，圆台母线 AB 长为 20 cm，上、下底面半径分 别为 5 cm 和 10 cm，从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆 台侧面转到 B 点，求这条绳子长度的最小值．
跟踪演练 2
(2013· 课标全国Ⅰ )某几何体的三视图如图所 ( )
示，则该几何体的体积为
A．16＋8π C．16＋16π
B．8＋8π D．8＋16π
答案 A
解析 解．
将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如 1 图所示)，其体积为 V＝4×2×2＋ π×22×4＝16＋8π. 2
高中数学·必修2· 人教A版
第一章
空间几何体
章末复习
1．空间几何体的结构特征 (1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每 相邻两个四边形的公共边互相平行． 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 三角形． 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的． 这三种几何体都是多面体．
题型二 几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问 题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容 积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的 柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角 形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要 重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法 是常用的技巧．
2020年高三总复习数学人教旧版-必修2[第1讲 空间几何体的结构与体积] 讲义(教师版)
的关系： r R2 d 2
5.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面；该定直
线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．
6.简单组合体
常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；
多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基
本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成
叫底面 O 的半径，线段 SO 是圆锥的高．
S 顶点
(2)圆的简单性质
①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面是全等的等腰三角形；
侧面
轴 母线
③圆锥的侧面展开图是扇形． 3.圆台 (1)圆台的定义
O B
A 底面
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台．
如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边
4.球
(1)球的定义
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球． 如右图，半圆的圆心
叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径； 半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．
(2)球的简单性质
A 直径
用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线
O
垂直于截面，球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有下面 球面
4．棱台和圆台的体积： (1) 如 果 台 体 的 上 、 下 底 面 面 积 分 别 为 S′ 、 S ， 高 是 h ， 则 它 的 体 积 是 V 台 体 ＝
㤶(h + h' + hh').
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是 r′、r，高是 h，则它的体积是 V 圆台＝ 㤶( + ' +
最新人教版数学必修2第一章1.1空间几何体的结构课件资料讲解
1、定义：以直角三角形的直角边所在直
S
线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所
围成的几何体叫做圆锥。
直角三角形 （1）旋转轴叫做圆锥的轴。
O
A
（2） 垂直于轴的边旋转而成
的曲面叫做圆锥的底面。
（3）不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
2、圆锥的表示
二、棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点？
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形， 由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。
有公共顶点的各个三角形叫 做棱锥的侧面。
各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C 棱锥的底面
B
S
A
BC
D
2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三
棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面 的字母表示，如棱锥S-ABCD。
三、圆柱的结构特征
O1
矩形
O
1、定义：以矩形的一边所在直 线为旋转轴，其余三边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆柱。
一、 观察下列几何体并思考：具备哪 些性质的几何体叫做棱柱?
D1
C1
A1
B1
A1
C1 B1
A1 B1
E1 D1 C1
D A
C BA
C A
BB
E D
C
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
高中数学必修2第一章空间几何讲义与习题与答案
数学必修2第一章讲义与习题一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。
难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。
三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。
在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。
这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。
1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法4. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（S 侧）全面积（S 全）体积（V ）棱柱棱柱直截面周长×l S底·h=S 直截面·hS 侧+2S底直棱柱ch S 底·h棱锥棱锥各侧面面积之和12ch′正棱锥S 侧+S底13S 底·h棱台棱台各侧面面积之和12正棱台(c+c ′)h ′S 侧+S 上底+S1下底 3h(S上底+S下底+S上底S )下底表中S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高度，h′表示斜高，l 表示13.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧2πrl πrl π(1r+r 2)lS 2 全2πr(l+r) πr(l+r) π(1r+r2)l+ π(1r+r 2 2 2) 4πR2 2V πr h（即πr l ）132hπr132 2πh(r1+r1r2+r 2)433πR表中l、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2 分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。
高中数学同步讲义必修二——第一章 空间几何体
1学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略．1．原图形到直观图的转化例1已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2分析先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．解析根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝3 4a.作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝6 8a.S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12a×68a＝616a2.答案 D评注通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为24∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位．2．直观图到原图形的转化例2一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解方法一如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过点D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1. 又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2. 再建立一个直角坐标系xBy ，如图(2)，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2， 在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2. 过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的原平面图形． 四边形ABCD 为直角梯形，其中上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2， 所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S ′＝(1＋1＋2)×222＝2＋12.所以原四边形的面积为2＋1224＝2×(2＋1)＝2＋ 2.点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用． (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S 直观图S 原图形＝24.3 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用． 1．锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积． 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解 如图所示，过S 点作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连接AO 并延长与BC 相交于D 点.由正三角形的性质得D 为BC 的中点，连接SD ，则SD 为正三棱锥的斜高．在Rt △ASO 中，∠ASO ＝45°， AO ＝33×4＝433(cm)，∴SO ＝AO ＝433(cm)． 在Rt △SOD 中，OD ＝36×4＝233(cm)， 故SD ＝SO 2＋OD 2＝163＋43＝203＝2153(cm)． 令SD ＝h ′，根据正三棱锥的侧面积公式，得S 侧＝3×12×4×2153＝415(cm 2)，又△ABC 的面积为4 3 cm 2，故正三棱锥的表面积为(415＋43) cm 2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决． 2．柱体的表面积例2 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其底面是等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝2，AC ＝A 1A ＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个 大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解 (1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为12×2×2＝1，三个侧面面积和为2×(2＋2＋2)＝4(2＋1)，故其表面积S ＝6＋4 2.(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S 1，则组合后的直棱柱的表面积为2S －2S 1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA 1C 1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S －2S 四边形AA 1C 1C ＝4＋8 2.评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积的变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较．3．台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解 如图所示，正三棱台ABC －A 1B 1C 1中，O ，O 1分别为两底面中心，D ，D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．∵A 1B 1＝20 cm ，AB ＝30 cm ， ∴OD ＝5 3 cm ，O 1D 1＝1033 cm ，由S 侧＝S 上＋S 下，得12(20＋30)×3×DD 1＝34(202＋302)， ∴DD 1＝1333 cm.∴棱台的斜高为1333 cm.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43(cm)． ∴棱台的高为4 3 cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形.4 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积． 分析 根据锥体的体积公式V ＝13Sh ，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360.解得⎩⎨⎧r ＝157，l ＝6r ＝6157.所以h ＝l 2－r 2＝(6r )2－r 2＝35r 2＝35r ＝35×157＝5 3. 所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥体积为2537π cm 3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析 如题干图所示，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC 和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可． 解 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S ∆＝4S . 所以1A ABC V －三棱锥＝13S △ABC ·h＝13Sh ，111C A B C V －三棱锥＝13111A B C S ∆·h ＝43Sh . 又111ABC A B C V －三棱台＝73Sh ，所以111111111B A B C ABC A B C A ABC C A B C V V V V =--－－－－三棱三棱台三棱三棱锥锥锥＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh .所以111111::A ABC B A B C C A B C V V V －－－三棱三棱三棱锥锥锥＝1∶2∶4.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2，1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积． 解 设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC ＝13×12×1×3×2＝1(cm 3).5 巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．解题流程正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.例2如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M，N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N点，求其最短长度．解题流程圆柱→沿一条母线将侧面展开→长方形解如图所示，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为(2π×1)2＋22＝4π2＋4＝2π2＋1.例3已知圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为P AB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．解题流程圆锥→沿一条母线将侧面展开→扇形解圆锥沿P A将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA＝1，PO＝22，∴P A＝3，∴∠AP A′＝2π2π·3×360°＝120°.作PD⊥AA′，则∠APD＝60°.∴AA′＝2AD＝2×3×sin 60°＝33，∴最短绳长为3 3.评注在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为()A．1＋3B．2＋10C．3 2 D．2 3解析求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是3 2.答案 C。