(完整版)投影与视图经典题型总结
投影与视图知识总结与练习
第五章相交线与平行线1. 知识总结1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。
由平行光线形成的投影，叫平行投影。
中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影，叫中心投影。
平行投影与中心投影的区别与联系：区别联系光线物体与投影面平行时的投影平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。
(即都是投影)中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。
斜投影：投影线不垂直于投影面产生的投影。
2.三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。
一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。
从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。
从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。
还有其它三个视图不是很常用。
三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
3.投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等即：主视图和俯视图的长要相等主视图和左视图的高要相等左视图和俯视图的宽要相等。
在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。
如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。
可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。
一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。
三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
(完整版)投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结知识点一：中心投影有关概念1. 投影现象：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。
2. 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影n知识点三：平行投影及应用1.平行投影的定义太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影2.平行投影的应用：（1）等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。
（2）等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。
3.作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。
例1：如图,小华(线段CD)在观察某建筑物AB（1）请你根据小华在阳关下的影长（线段DF），画出此时建筑物AB在阳光下的影子。
（2）已知小华身高1.65m,在同一时刻，测得小华和建筑物AB的影长分别为1.2m 和8m，求建筑物AB的高。
例2：小明在公园游玩，想利用太阳光下的影子测量一颗大树AB的高，他发现大树的影子恰好落在假山坡面CD和地面BC上，如图所示，经测量CD=4m，BC=10m，CD与地面成30度的角，此时量得1m标杆的影长为2m，请你帮助小明求出大树AB的高度？知识点四：视图1.常见几何体的三视图2.三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。
注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。
在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。
例1：如图是几个相同的小正方体组成的一个几何体，请画出它的三视图。
投影与视图经典题型总结(精)
数学学科教学案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:_______课题投影与视图学习目标与考点分析1、经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间观念。
2、会画圆柱，圆锥，直棱柱的三视图，体会这几种几何体与其视图之间的相互转化3、了解投影、投影面、中心投影、平行投影的概念、体会投影在生中的应用。
学情分析部分知识点比较薄弱。
学习重难点1、会画圆柱，圆锥，直棱柱的三视图。
2、体会这几种几何体与其视图之间的相互转化。
教学方法引导发现、精题剖析。
知识点一:三视图1、画物体的三视图时，应首先确定的位置，画出，然后在主视图的下面画出，在主视图的右面画出。
2、主视图反映物体的和，俯视图反映物体的和，左视图反映物体的和，因此在画三视图时，主、俯视图要．．．．．．对正，主、左视图要．．．．．．．．．平齐，左、俯视图要．．．．．．．．．相等．．3、在画视图时，看得见部分的轮廓线要画成线，看不见部分的轮廓线要画成线。
知识点二:投影1、一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子．．叫做物体的________，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做___________。
2、有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。
由平行光线形成的投影是_____________。
3、太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化，在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于_______:在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变短，方向向正北方向移动；中午影子最短，方向正北；下午，影子的长度又逐渐______,其方向向正东移动。
3、由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做__________。
4、投影线垂直于投影面产生的投影叫做_________。
5、产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作_________,这两条直线的________,即为光源的位置。
《常考题》初中九年级数学下册第二十九章《投影与视图》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）A ．29cmB ．29πcmC ．218πcmD ．218cm 2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成？（ ）A ．12个B ．13个C ．14个D ．15个 5．一张矩形纸片在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（ ） A ．正方形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．等边三角形 6．由m 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m 能取到的最大值是（ ）A．6 B．5 C．4 D．37．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从它的正面、左面看到的形状图完全相同（如下图所示），则组成该几何体的小立方块的个数至少有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．下列各立体图形中，自己的三个视图都全等的图形有（）个①正方体；②球；③圆柱；④圆锥；⑤正六棱柱.A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是( )A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1) C．(4)(3)(1)(2) D．(2)(3)(4)(1)10．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm211．如图所示是某几何体从三个方向看到的图形，则这个几何体是()A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥12．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三种形状图,则组成这个几何体的小正体的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个14．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）A ．12πB ．6πC ．12π+D ．6π+ 15．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题16．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个方向看到的图形，那么构成这个立体图形的小正方体有_______个.17．棱长是1cm 的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是____________．18．如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．这样搭建的几何体最多需要__________个小立方块．19．如图，用棱长为1cm的小立方块组成一个几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则这样的几何体的表面积的最小值是__cm2．20．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____ m．21．已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图所示，那么x的最大值是_____．22．将若干个正方体小方块堆放在一起，形成一个几何体，分别从正面看和从上面看，得到的图形如图所示，则这对小方块共有____________块.23．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于___米．24．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．25．如图，是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图这些相同的小正方体的个数是______．26．如图，在A 时测得某树的影长为4米，在B 时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.三、解答题27．晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯P 照射下的影子BC （请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；（2）如果小亮的身高 1.6AB m =，测得小亮影长2BC m =，小亮与灯杆的距离13BO m =，请求出灯杆的高PO ．28．树AB 和木杆CD 在同一时刻的投影如图所示，木杆CD 高2m ，影子DE 长3m ；若树的影子BE 长7m ，则树AB 高多少m ？29．由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图①，格中的数字表示该位置的小立方块的个数．（1）请在下面方格纸图②中分别画出这个几何体的主视图和左视图．（2）根据三视图，这个组合几何体的表面积为多少个平方单位？（包括底面积）（3）若上述小立方块搭成的几何体的俯视图不变，如图③，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则搭成这样的组合几何体中的表面积最大（包括底面积）仿照图①，将数字填写在图③的正方形中．30．如图1，是一个由正方体截成的几何体，请在图2的网格中依次画出这个几何体从正面、上面、和左面看到的几何体的平面图形．。
专题44 投影与视图【考点精讲】(含答案解析)
专题44投影与视图【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）专题44投影与视图考点1：图形的投影1.中心投影（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做（）投影．（2）中心投影的投影线交于一点．（3）投影面确定时，物体离点光源越近，影子越（）；物体离点光源越远，影子越（）．2．平行投影（1）太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做（）投影．（2）平行投影的投影线相互平行．（3）不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小和方向都改变．（4）垂直于投影面产生的投影叫做（）投影．【例1】（2020•绍兴）1．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）【例2】2．如图所示“属于物体在太阳光下形成的影子”的图形是（）A．B．C．D．投影的判断方法（1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．（2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（）A．500寸B．450寸C．100寸D．50寸4．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8m，小华的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___．5．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．考点2：几何体的三视图1.三视图：主视图、左视图、俯视图（1）主视图：从正面看到的图形，称为（）视图；（2）左视图：从左面看到的图形，称为（）视图；（3）俯视图：从上面看到的图形，称为（）视图．2.三视图的关系主视图反映物体的长和高；左视图反映物体的宽和高；俯视图反映物体的长和宽，因此三视图有如下对应关系：（1）长对正：主视图与俯视图的长度相等，且相互对正；（2）高平齐：主视图与左视图的高度相等，且相互平齐；（3）宽相等：俯视图与左视图的宽度相等，且相互平行．“长对正，高平齐，宽相等”，这“九字令”是阅读和绘制三视图必须遵循的对应关系．3.常见几何体的三视图正方体的三视图都是（）；圆柱的三视图有两个是（），另一个是（）；圆锥的三视图中有两个是（），另一个是（）；球的三视图都是（）．【例3】6．分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．【例4】（2020•河北）7．如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同1．画物体的三视图的口诀：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．注意：几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．2．由三视图确定几何体的方法（1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．8．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．9．下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．（2020深圳光明一模）10．如图所示的几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．考点3：由视图确定实物【例5】（2020•北京）11．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱锥D ．长方体（2020十堰）12．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱（2020内蒙古呼和浩特）13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．考点4：几何展开图1．多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的．2．正方体的展开图：【例6】（2021·北京中考真题）14．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱1．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的；2．正方体的展开图分为“一四一”型、“二三一”型、“二二二”型、“三三”型四类．（2021·浙江中考真题）15．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．（2021·四川自贡市·中考真题）16．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（）A．百B．党C．年D．喜（2021·江苏扬州市·中考真题）17．把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱参考答案：1．A【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.2．A【分析】根据平行投影特点在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且方向相同解答即可．【详解】解：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．B 、D 的影子方向相反，都错误；C 中物体的物高和影长不成比例，也错误．故选A ．【点睛】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．3．B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x 寸， 竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸， 151505x =,解得：450x =．答：竹竿长为450寸， 故选：B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．4．4m【分析】设路灯的高度为x(m)，根据题意可得△BEF ∽△BAD ，再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x ﹣1.8，同理可得DN=x ﹣1.5，因为两人相距4.7m ，可得到关于x 的一元一次方程，然后求解方程即可．【详解】设路灯的高度为x(m)，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴EF BF AD BD=，即1.8 1.8x 1.8DF=+，解得：DF=x﹣1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴MN CN AD CD=，即1.5 1.5x 1.5DN=+，解得：DN=x﹣1.5，∵两人相距4.7m，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路灯AD的高度是4m．5．18【分析】根据题意可画出图形，根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【详解】解：如图，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．∴AE DE AC BC=．设屏幕上的小树高是x，则206 2040x=+．解得x=18cm．故答案为：18．6．D【分析】根据正方体、三棱柱、圆锥、圆柱的三视图的形状进行判断即可．【详解】解：根据三视图的定义可知,选项A主视图和左视图都是三角形,但俯视图是有圆心的圆；选项B主视图和左视图都是矩形，但俯视图是圆；选项C主视图是一个矩形，中间有一条线段，左视图是矩形，俯视图是三角形；选项D的主视图、左视图和俯视图都是正方形，完全相同．故选D．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．7．D【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．【详解】第一个几何体的三视图如图所示：第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选D．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键．8．A【分析】从左边看有2列，左数第1列有两个正方形，第2列有1个正方形，据此可得．【详解】从左边看有2列，左数第1列有两个正方形，第2列有1个正方形，故它的左视图是故选A．【点睛】此题考查三视图的知识；左视图是从几何体左面看得到的平面图形．9．B【分析】逐一分析从正面看到的图形即可解题．【详解】解：A.从正面看是长方形，故A不符合题意；B.从正面看是三角形，故B符合题意；C.从正面看是是长方形，故C不符合题意；D.从正面看是是正方形，故D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查从正面看几何体，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．B【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【详解】从左面看易得左视图为“”.故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．11．D【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体．【详解】解：长方体的三视图都是长方形，故选D．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．12．B【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，故选：B．【点睛】本题考查三视图．13．3π+4【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为1，故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案为：3π+4．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大．14．B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．15．A【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．16．B【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．17．A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．。
[数学]-专题19 投影与视图(题型归纳)(原版)
![[数学]-专题19 投影与视图(题型归纳)(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/33e17b755627a5e9856a561252d380eb629423a6.png)
C．从左面看和从上面看得到的平面图形相同
D．从正面、左面、上面看得到的平面图形都不相同正面
4．如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（）
A． B． C． D．
5．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于该几何体的三视图有下列说法：①主视图是轴对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图是中心对称图形．其中说法正确的有（）
A． B． C． D．
3．5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）
A． B． C． D．
3．如图所示的钢块零件的左视图为（）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体，其左视图是（）
A． B． C． D．
5．如图，这是由6个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）
A． B．
C． D．
1．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向下移时，圆形阴影的大小变化情况是（）
A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
2．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下 处测得影子 的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米B．15米C．16米D．20米
A．2mB．m+1C．m﹣1D．m
5．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是()
A． B．
C． D．
1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．9个B．7个C．5个D．10个
2．一个几何体的主视图与俯视图如图所示（其中俯视图为边长为4的正三角形），则该几何体的左视图的面积为（）
投影与视图经典测试题附答案
投影与视图经典测试题附答案一、选择题1．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．【详解】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．故选B．【点睛】考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是( )A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．球【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱．故选A．【点睛】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．3．一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主(正)视图为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的主视图为长方形上面一个三角形，据此即可得.【详解】观察实物，可知这个几何体的主视图为长方体上面一个三角形，只有A选项符合题意，故选A.【名师点睛】本题考查了几何体的主视图，明确几何体的主视图是从几何体的正面看得到的图形是解题的关键.4．一个长方体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（）A．48 B．57 C．66 D．48236【答案】C【解析】【分析】先根据三视图画出长方体，再根据三视图得出32,4AB CD CE ===，然后根据正方形的性质求出,AC BC 的长，最后根据长方体的表面积公式即可得．【详解】由题意，画出长方体如图所示：由三视图可知，32,4AB CD CE ===，四边形ACBD 是正方形AC BC ∴=22218AC BC AB +==3AC BC ∴==则这个长方体的表面积为24233434184866AC BC AC CE ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三视图的定义、长方体的表面积公式等知识点，掌握理解三视图的相关概念是解题关键．5．图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，23S x x =+主，2S x x =+左，则S =俯（ ）A ．243x x ++B ．232x x ++C ．221x x ++D ．224x x +【答案】A【解析】【分析】 直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．【详解】解：∵S 主23(3)=+=+x x x x ，S 左2(1)=+=+x x x x ，∴主视图的长3x =+，左视图的长1x =+，则俯视图的两边长分别为：3x +、1x +，S 俯2(3)(1)43=++=++x x x x ，故选：A ．【点睛】此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键．6．如图是空心圆柱，则空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】找出从几何体的正面看所得到的视图即可．【详解】解：从几何体的正面看可得：．故选：C ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．7．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左视图改变D ．主视图改变，左视图不变【答案】D【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D ．【考点】简单组合体的三视图．8．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据三视图的画法即可得到答案.【详解】解：从上面看是三个矩形，符合题意的是C ，故选：C ．【点睛】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键.9．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的表面积是（ ）A ．(822π+B ．11πC ．(922π+D ．12π【答案】D【解析】【分析】 先根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=圆柱的底面直径=2，圆锥的母线长为3，圆柱的高=4，然后根据圆锥的侧面积等于它展开后的扇形的面积，即S=12LR，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆柱侧面积等于展开后矩形的面积，矩形的长为圆柱的高，宽为底面圆的周长；而该几何体的表面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的底面积．【详解】根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=2，圆锥的母线长为3，∴圆锥的侧面积=12•2π•1•3=3π，圆柱的侧面积=2π•1•4=8π，圆柱的底面积=π•12=π，∴该几何体的表面积=3π+8π+π=12π．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法：圆锥的侧面积等于它展开后的扇形的面积，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查了看三视图和求圆柱的侧面积的能力．10．图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．【详解】A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；B、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；C、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形；D、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．故选C．【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形．11．如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.【详解】从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.故答案为：A.【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．12．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【解析】【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．【详解】请在此输入详解！【点睛】请在此输入点睛！13．下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念结合各几何体的主视图逐一进行分析即可.【详解】A、主视图是正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；B、主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；C、主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意；D、主视图是圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了立体图形的主视图，轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握相关知识是解题的关键.14．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．15．如图所示的几何体的俯视图为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看外面是一个矩形，里面是一个圆形，故选：C．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．16．如图所示的几何体，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 找到从几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看有两列，从左到右每列正方形的个数分别为：3、1，所以选项B 符合题意． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．17．如图，某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图（图中尺寸单位：m ）．根据三视图可以得出每顶帐篷的表面积为（ ）A ．6πm 2B ．9πm 2C ．12πm 2D ．18πm 2【答案】B【解析】【分析】 根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为2m ，底面圆的半径为1.5m ，圆柱的高为2m ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形面积公式和矩形面积公式分别计算，然后求它们的和【详解】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为2m ，底面圆的半径为1.5m ，圆柱的高为2m ，所以圆锥的侧面积=12π 1.522=3π2m 圆柱的侧面积=2π 1.52 =6π2m 所以每顶帐篷的表面积=3π+6π=9π2m故正确答案为B【点睛】此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图是一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了三视图18．如图是某几何体得三视图，则这个几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．三棱体【答案】B【解析】分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．故选B．19．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】简单几何体的三视图．【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．故选B．20．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵该几何体上下部分均为圆柱体，∴其左视图为矩形，故选C．考点：简单组合体的三视图．。
备战2024年中考数学复习之必考点题型全归纳(全国通用)专题28 投影与视图(解析版)
专题28投影与视图【专题目录】技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系技巧2：投影规律在实际问题中的应用技巧3：三视图与实物的互相转化技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积【题型】一、与平行投影有关的计算【题型】二、与中心投影有关的计算【题型】三、确定正投影的图像【题型】四、判断几何体的三视图【题型】五、画三视图【题型】六、由三视图还原原图形【题型】七、与三视图有关的计算问题【考纲要求】1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．2.会判断简单物体的三视图．3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠.【考点总结】一、由立体图形到视图1．视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．2．常见几何体的三种视图：几何体主视图左视图俯视图圆柱长方形长方形圆圆锥三角形三角形圆和圆心球圆圆圆3．三视图的画法：(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．【考点总结】二、由视图到立体图形由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．【考点总结】三、物体的投影1．平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．2．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．【技巧归纳】技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系类型一：利用平行投影与中心投影的定义判断投影1．如图，下列判断正确的是()(第1题)A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子C．图①和图②都是在阳光下的影子D．图①和图②都是在灯光下的影子2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是()(第2题)A．③④②①B．②④③①C．③④①②D．③①②④类型二：利用平行投影与中心投影的特征作图3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)(第3题)4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．(第4题)(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？(2)你是用什么方法判断的？(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．类型三：正投影的识别与画法5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是()(第5题)6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝EF，如图所示．若正方体的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．(第6题)答案1．B点拨：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．2．C3．解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线AA1，BB1.观察可知，AA1∥BB1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的．过旗杆的顶端C画AA1(或BB1)的平行线CC1，交地面于点C1，连接旗杆底端O和点C1，则线段OC1即为同一时刻旗杆的影子．点拨：根据物体和影子之间的关系可以判断是平行投影，然后根据平行投影的特征即可完成题中的要求．(第3题)4．解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．(第4题)(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为AB；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为CD.误区诊断：平行投影和中心投影对应的光线是不同的，形成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．5．C点拨：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，故选C. 6．解：画出的正投影如图所示．这个物体在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及线段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.点拨：当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．(第6题)技巧2：投影规律在实际问题中的应用角度一：平行投影的实际应用类型1投影线不受限时的测量1．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图③，测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长为50cm，未被照射到的部分KP长为32cm.(第1题)(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：①求灯罩底面半径MK的长；②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．类型2投影线在特定条件时的测量2．如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为3m ，两楼之间的距离为30m ．为了了解太阳光与水平线的夹角为30°时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B 的影子E 落在乙楼的第几层．(第2题)角度二：中心投影的实际应用3．如图，一位同学身高1.6m ，晚上站在路灯下A 处，他在地面上的影长AB 是2m ，当他沿着影长的方向移动2m 站在B 处时，影长增加了0.5m ，求路灯的高度．(第3题)答案1．解：(1)根据平行投影的性质，得Rt △ABC ∽Rt △DEF.∴AB AC ＝DE DF ，即8060＝DE 900.解得DE ＝1200(cm )＝12m ．即学校旗杆的高度为12m .(2)①根据题意可知，Rt △GPH ∽Rt △KPM ∽Rt △ABC ，∴AB AC ＝GP GH ＝KP MK ，即8060＝50GH ＝32MK.解得GH ＝37.5(cm )，MK ＝24(cm )．即灯罩底面半径MK 的长为24cm .②∵MPK ＝∠NLK′，MKP ＝∠NK′L ＝90°，＝NK′，∴Rt △KPM ≌Rt △K′LN.∴LK′＝KP ＝32cm .易知Rt △ABC ∽Rt △GLQ ，∴AB AC ＝LG GQ，即8060＝32＋32＋50＋KK′37.5＋90.解得KK′＝56cm .∴从正面看灯罩得到的图形面积为24×2×56＝2688(cm 2)，从上面看灯罩得到的图形面积为π×242＝576π(cm 2)．2．解：过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，则∠BEF ＝30°，设EC ＝h m .在Rt △BFE 中，EF ＝AC ＝30m ，AB ＝10×3＝30(m )，所以BF ＝AB －AF ＝AB －EC ＝(30－h)m .因为∠BEF ＝30°，所以BE ＝(60－2h)m .由勾股定理得，BF 2＋EF 2＝BE 2，所以(30－h)2＋302＝(60－2h)2.解得h≈12.68.(h≈47.32不合题意，舍去)因为4＜12.683＜5，所以甲楼楼顶B 的影子E 落在乙楼的第五层．方法点拨：这道题是平行投影在实际生活中的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．3．解：设路灯高为x m .由题意知，当人在A 点时，影长AB ＝2m ；当人在B 点时，影长BC ＝(2＋0.5)m .易知x 1.6＝OC BC ，x 1.6＝OB AB ，则＝OC 2＋0.5，＝OC －2.52，＝8，＝12.5.即路灯的高度为8m .技巧3：三视图与实物的互相转化角度一：判断物体的三视图1．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是()2．【中考·丽水】由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()(第2题)角度二：画物体的三视图3．观察如图所示的几何体，画出它的三视图．(第3题)角度三：已知三视图想象物体的形状4．【中考·河北】如图所示的三视图所对应的几何体是()(第4题)5．请根据如图所示物体的三视图画出该物体．(第5题)角度四：由三视图确定小正方体的个数6．已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有()(第6题)A．4个B．5个C．6个D．7个7．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？答案1．D点拨：A中圆柱的主视图为矩形，俯视图为圆；B中圆锥的主视图为三角形，俯视图为带圆心的圆；C中三棱柱的主视图为矩形且中间有一条竖直的虚线，俯视图为三角形；D中长方体的主视图和俯视图都为矩形．故选D.2．A3．解：如图所示．(第3题)方法点拨：画三视图时，要根据几何体合理想象，看得见的轮廓线用实线画，看不见的轮廓线用虚线画．(第5题)4．B5．解：如图所示．技巧点拨：该物体是一个长方体切去了右上角后剩余的部分，还原物体时，还要根据实线和虚线确定切去部分的位置．6．C7．解：这样的几何体不是只有一种，最少需要10个小立方块，最多需要16个小立方块．技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积类型一：利用三视图求几何体的表面积1．如图是一个几何体的三视图．(1)写出此几何体的名称；(2)求此几何体的表面积S.(第1题)2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm )，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)(第2题)类型二：利用三视图求几何体的体积3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其体积．(球的体积公式：V ＝43πr 3，其中r 为球的半径)(第3题)4．如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积．(第4题)答案1．解：(1)圆锥．(2)由题图可知，圆锥高为8cm ，底面直径为12cm ，易求得母线长为10cm .∴S ＝πr 2＋πrl ＝36π＋60π＝96π(cm 2)．2．解：(1)主；俯(2)表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm 2)．点拨：(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可得答案．(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体的表面积＋上面圆柱的侧面积即可得解．3．解：圆锥的高为：132－52＝12(cm )，则不倒翁的体积为：13π×52×12＋12×43π×53＝100π＋250π3＝550π3(cm 3)．4．解：先求圆台的表面积和体积．(第4题)构造如图所示的三角形，OA ＝OB ，CD ∥AB ，AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，EF ＝CG ＝5cm ，则梯形ABDC 可表示圆台的主视图．∴AE ＝12AB ＝3cm ，EG ＝12CD ＝2cm ，∴AG ＝AE －EG ＝3－2＝1(cm )．在Rt △ACG 中，AC ＝CG 2＋AG 2＝52＋12＝26(cm )．∵CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB.∴CD AB ＝OF OE ＝OF OF ＋EF，即46＝OF OF ＋5.解得OF ＝10cm .∴OE ＝OF ＋EF ＝10＋5＝15(cm )．由OC AC ＝OF EF ＝21，得OC ＝2AC ＝226cm .∴OA ＝326cm .∴手电筒圆台部分的表面积为S 1＝π＋(π×62×326－π×42×226)＝(9＋526)π(cm 2)，圆台的体积为V 1＝13π×15－13π×10＝953π(cm 3)．又∵手电筒圆柱部分的表面积为S 2＝π＋π×4×12＝52π(cm 2)，圆柱的体积为V 2＝π×12＝48π(cm 3)，∴该手电筒的表面积S ＝S 1＋S 2＝(9＋526)π＋52π＝(61＋526)π(cm 2)，该手电筒的体积V ＝V 1＋V 2＝953π＋48π＝2393π(cm 3)．【题型讲解】【题型】一、与平行投影有关的计算例1、AB 和DE 是直立在水平地面上的两根立柱，7AB 米，某一时刻测得在阳光下的投影4BC 米，同时，测量出DE 在阳光下的投影长为6米，则DE 的长为（）A ．143米B ．212米C ．247米D ．76米【答案】B【提示】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长EF 为6m ，∵△ABC ∽△DEF ，AB=7m ，BC=4m ，EF=6m∴AB DE BC EF ，∴746DE ，∴DE=212（m ）故选：B ．【题型】二、与中心投影有关的计算例2、如图，位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为25：，且三角板的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【提示】根据位似图形的性质得出相似比为2：5，则对应边的比为2：5，即可得出投影三角形的对应边长．【详解】由于三角板与其在灯光照射下的投影是位似图形，且相似比为2:5，三角板的一边长为8cm，所以投影三角形的对应边长为2820()5cm .故选A.例3、如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（）A．3B．5C．6D．7【答案】C【提示】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图∵P （2，2），A （0，1），B （3，1）．∴PD ＝1，PE ＝2，AB ＝3，∵AB ∥A ′B ′，∴△PAB ∽△PA ′B ′，∴AB AD A B AE ，即312A B ∴A ′B ′＝6，故选：C ．【题型】三、确定正投影的图像例3、把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．例4、如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解．【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．故选C ．【题型】四、判断几何体的三视图例4、如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A．该圆锥的主视图是轴对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】A【提示】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，故选A．例5、下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体【答案】D【提示】分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．【详解】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；故选：D．【题型】五、画三视图例6、如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同【答案】D【提示】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．【详解】第一个几何体的三视图如图所示：第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选D．例7、下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【提示】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C错误；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确；故选D．【题型】六、由三视图还原原图形例8、已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是()A．B．C．D．【答案】B【提示】本题可利用排除法解答.从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除A，C，D.【详解】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意，故选B．例9、如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】B【提示】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．【题型】七、与三视图有关的计算问题例10、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A ．48πcm 2B ．24πcm 2C ．12πcm 2D ．9πcm 2【答案】B 【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）．故选：B ．例11、如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）A ．20πB ．18πC ．16πD ．14π【答案】B 【提示】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为422r，∴这个几何体的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积22r rh rl=22π+2 2 2π+3 2π=18π，故选：B．投影与视图（达标训练）一、单选题1．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【详解】由图可知，该几何体左视图为完整长方形，右侧有突出正方形．故选：B【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．3．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（）A．④③②①B．③④①②C．②④③①D．①②③④【答案】D【分析】太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断．【详解】解：按时间先后顺序排列为①②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．4．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长．∴左视图是：故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键．5．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．【详解】解：从物体左面看，是一个长方形，长方形的内部有两条横向的实线．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中．6．四个几何体中，左视图不是四边形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据从左边看到的图形进行判断即可．【详解】解：∵左视图是从左边看到的图形，圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，∴左视图不是四边形的几何体是圆锥和球共2个．故选B．【点睛】此题考查了左视图，熟练掌握左视图的定义是解题的关键．7．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．【详解】解：根据几何体的左视图的定义以及性质得，这个几何体的左视图为：故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图；掌握几何体三视图的性质是解题的关键．8．如图所示几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义即可得出答案．【详解】从正面看，共有两行，第一行有一个小正方形，第二行有三个小正方形，在下方，只有选项A符合故选：A．【点睛】本题考查的是三视图，比较简单，解题的关键是熟练掌握三视图的画法．二、填空题9．校园内一棵松树在一天不同时刻的影子如图所示，按时间的顺序排列，第一个序号是__________．【答案】②【分析】根据影子的方向，可以判断出太阳光的方向，再根据太阳东升西落，判断出太阳所在的方向，进而得出时间.【详解】解：图①根据影子的方向即可求出太阳光在南西靠近南的方向上，图②根据影子可以判断太阳光在东侧，图③根据影子的方向可以判断太阳光在在西南方向靠近西的方向上，图④根据影子可以判断东南方向靠近东的方向上.按照时间顺序应为：②④①③∴第一个序号应该是②故答案为：②.【点睛】本题考查的是根据树的影子判断时间，理解方位角的概念是解题的关键.三、解答题10．下图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．(1)这个几何体的名称为______．(2)求该几何体的左视图中a 的值．【答案】(1)正三棱柱(2)【分析】（1）根据俯视图为正三角形和棱柱的概念解答即可；（2）由条件可知所求的a 的值是等边三角形的高，据此求解即可．【详解】（1）这个几何体的名称为正三棱柱；故答案为正三棱柱．（2）如图，过点C 作CM AB 于M ．∵ABC 是正三角形，∴6AB AC BC ，∴132A M BM AB ，∴CM∴左视图中a 的值为【点睛】本题考查了几何体的三视图和等边三角形的相关知识，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．投影与视图（提升测评）一、单选题1．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得．【详解】解：该组合体的俯视图为：故该组合体的俯视图的面积为：113=3故选：B【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键．2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（）A．B．。
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投影与视图知识点一:三视图1、画物体的三视图时，应首先确定 的位置，画出 ，然后在主视图的下面画出 ，在主视图的右面画出 。
2、主视图反映物体的 和 ，俯视图反映物体的 和 ，左视图反映物体的 和 ，因此在画三视图时，主、俯视图要 对正，主、左视图要 平齐，左、俯视图要 相等3、在画视图时，看得见部分的轮廓线要画成 线，看不见部分的轮廓线要画成 线。
知识点二:投影1、一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的________，照射光线叫做________，投影所在的平面叫做___________。
2、有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。
由平行光线形成的投影是_____________。
3、太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化，在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于_______:在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变短，方向向正北方向移动；中午影子最短，方向正北；下午，影子的长度又逐渐______,其方向向正东移动。
3、由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做__________。
4、投影线垂直于投影面产生的投影叫做_________。
5、产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作_________,这两条直线的________,即为光源的位置。
知识点三、探究 “投影”类考题“投影”是现行初中数学教材新增的一个知识点，其解题的核心是抓住某一时刻物高与影长的变化规律，探究一：比例求高“投影”类题题型1 （2006年成都市）如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为________米.变化1－1 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：如图2，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m变化1－2 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）(A)11.5米 (B)11.75米 (C)11.8米 (D)12.25米变化1－3 如果将上题中的DE 改为斜坡，再改变部分已知条件梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB 的高度．如图5，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB 的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C 处，测得影长CE=2 m, DE=4m,BD=20m ，DE 与地面的夹角．在同一时刻，测得一根30α= 长为1m 的直立竹竿的影长恰为4m ．根据这些数据求旗杆的高度．（结果保留两个有效数字）AB图2探究二：三角函数求高 “投影”类题题型2 （2007年福建龙岩）如图7，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲55°测得自己的影长为1.16m ，则玲玲的身高约为 m ．（精确到0.01m ） 变化2－1如果将太阳光改为照明灯，再适当改变已知条件和问题的形式：（2007年南宁市）如图9所示，点P 表示广场上的一盏照明灯．若小丽到灯柱MO 的距离为4.5米，照明灯P 到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P 的仰角为，她55°的目高QB 为1.6米，试求照明灯P 到地面的距离（结果精确到0.1米）．.探究三：相似三角形求高 “投影”类题题型3 （2007年大连市）如图11，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具。
移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为__________m ．变化3－1 如果将上题的太阳光线的平行投影改为灯具的中心投影，再适当改变已知条件和问题的形式：（2008年聊城市）如图12，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？图7图12o单元检测1、一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A ．6B ．8C ．12D ．24左视图俯视图2、如图2，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（ ）A ．逐渐变短B ．先变短后变长C ．先变长后变短D ．逐渐变长3、一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（）A ．3，B ．2，C ．3，2D ．2，34、在一个晴朗的上午，皮皮拿着一块正方形术板在阳光下做投影实验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）5、如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（A ）85πcm 2 （B ）90πcm 2 （C ）155πcm 2 （D ）165πcm 2ngs6、一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是A. 4πB.6πC. 8πD. 12π（第11题）7、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（）12A.B.C.D.2318、如图是一房子的示意图，则其左视图是（）9、有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（）10、如图是四棱锥（底面是矩形，四条侧棱等长），则它的俯视图是（）．A．B．C．D．A．B．C．11、如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ ）A ．B ．C ． D．3192πcm 31152πcm 3312、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）（A ）两个外离的圆（B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆（D ）两个内切的13、.如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为14、一个几何体的三视图如图12：其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．2π12π4π8π第12题22左视图右视图俯视图15、heirorso 16、小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．17、右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）18、下列图形中，不是正方形的表面展开图的是（）A． B． C． D．19、如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从左边看到的图形是( ) D20、左下图是由若干个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时, 所看到的几何图形是( )21、如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相对的面上的汉字是（）A、文B、明C、奥D、运B．C．D．A B C(D)(C)从左面看讲文明迎奥运第22题从正面看22、如图，是由8相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉），其三个仍都为2×2的正方形，则最多能小立方块的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．423、在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来．如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ） A ．9箱B ．10箱C ．11箱D ．12箱二、填空13、 如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________。
14、一个几何体的三视图如图，则这个几何体是（A ）圆锥 （B ）三棱锥 （C ）球（D ）圆锥15、一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个.16、 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是.17、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现O 测得，这个三角尺的周长与它在墙上形20cm 50cm OA OA '==，成的影子的周长的比是．图6投影左视图主视图俯视图（23题图）三、解答题18、如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D ，请你求出这个线路的最短路程．19、问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm 的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm .任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求NH O A M 景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用NG 等式）.222156208260+=俯视图B主视图左视图单位：厘米F图2图1图3。