第7讲 关系幂运算与关系闭包 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)

2019/2/16 《集合论与图论》第7讲 13
定理18
定理18:
设 RAA, 若 s,tN (s<t),使得 Rs = Rt, 则 (1) Rs+k = Rt+k ; (2) Rs+kp+i = Rs+i, 其中k,iN, p=t-s; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS.
(1)
2019/2/16 《集合论与图论》第7讲 10
0 1 2 3 R ,R ,R ,R ,…是否互不相等?
R0
R0
R1
R1
R2
R2
R3
R3
R4
R4
R5
R6
R7
R8
R5=R19=R33=R47=… R6=R20=R34=R48=… R7=R21=R35=R49=… R8=R22=R36 =… R9
n n 个 R
power): 设RAA,

R R R R
Rn表示的关系,
1
2019/2/16
是R的关系图中长度为n 的有向路径的起点与终点的关系.
2 n-1
《集合论与图论》第7讲
n
3
关系幂运算(举例)
设A={a,b,c}, RAA, R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}, 求R的各次幂. b 解: b
定理16:
2019/2/16 《集合论与图论》第7讲 12
鸽巢原理(pigeonhole principle)
鸽巢原理(pigeonhole
principle): 若把n+1 只鸽子装进n只鸽巢, 则至少有一只鸽巢 装2只以上的鸽子. 又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle), (Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~1859) 推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则 m 至少有一只抽屉装 k 只以上的物品. 1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
例:
c G( R ) a G( R0 ) c
a
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《集合论与图论》第7讲
4
关系幂运算(举例,续)
解(续):
R 0 = I A, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>}, R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>},
b b
a
c
R17
R16
R15
R14
2019/2/16 《集合论与图论》第7讲
R10
R11
11
定理16
设 |A|=n, RAA, 则 s,tN, 并 2 n s = Rt. 且0 , 使得 R s t 2 证明: P(AA)对幂运算是封闭的, 即 R, RP(AA) RkP(AA), (kN). n2 n2 2 |P(AA)| = 2 , 在R0,R1,R2,…, R 这 n2 2 1个集合中, 必有两个是相同的. 2 n 所以 s,tN, 并且 0 s t 2 , 使得 Rs = Rt. #
第7讲 关系幂运算与关系闭包
内容提要 关系幂(power)运算 关系闭包(closure)
2019/2/16
《集合论与图论》第7讲
1
关系的幂运算

n次幂的定义 指数律 幂指数的化简
2019/2/16
《集合论与图论》第7讲
2
关系的n次幂
关系的n次幂(nth
nN, 则 (1) R0 = IA; (2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
定理17:
2019/2/16 《集合论与图论》第7讲 9
定理17(证明(1))
Rm○Rn = Rm+n ; 证明: (1) 给定m, 对n归纳. n=0时, Rm○Rn = Rm○R0 = Rm○IA = Rm = Rm+0. 假设 Rm○Rn = Rm+n, 则 Rm○Rn+1 = Rm○(Rn ○R1) = (Rm○Rn)○R1 = Rm+n○R = R(m+n)+1 = Rm+(n+1). (2) 同样对n归纳. #
a
c
G( R )
2019/2/16 《集合论与图论》第7讲
G( R2 )
5
关系幂运算(举例,续2)
解(续):
R0 = I A, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>}, R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>}, R3 = R2○R = {<a,b>,<a,b>,<a,c>} = R1,

2019/2/16 《集合论与图论》第7讲 8
定理17
设 RAA, m,nN, 则 (1) Rm○Rn = Rm+n ; (2) (Rm)n = Rmn. 说明: 可让 m,nZ, 只需IAdomRranR (此时IA=R○R-1=R-1○R)并且定义 R-n = (R-1)n = (Rn)-1. 回忆: (F○G)-1=G-1○F-1 (R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)2
b b
a
c
a
c
G( R )
2019/2/16
G( R3 )
《集合论与图论》第7讲 6
关系幂运算(举例,续3)
解(续):
R4 = R3○R = R1○R = R2, R5 = R4○R = R2○R = R3 = R1, 一般地, R2k+1=R1=R, k=0,1,2,…, R2k=R2, k=1,2,…,. #
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《集合论与图论》第7讲
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定理18(说明)
s
泵(pumping):
Rs+kp+i = Rs+i
p
i
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《集合论与图论》第7讲
15
定理18 (证明(1)(3))
Rs+k = Rt+k ; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS. 证明: (1) Rs+k = Rs○Rk = Rt○Rk = Rt+k; (3) 若 q>t-1s, 则令 q=s+kp+i, 其中 k,iN, p=t-s, s+i<t; 于是 Rq = Rs+kp+i = Rs+iS.
b b b
a G( R )
2019/2/16
c
a

a
c
G( R4 )
《集合论与图论》第7讲
G( R5 )
7
关系幂运算是否有指数律?
指数律: (1) Rm○Rn = Rm+n ; (2) (Rm)n = Rmn. 说明: 对实数R来说, m,nN,Z,Q,R. 对一般关系R来说, m,nN. 对满足IAR且AdomRranR的关系R来说, m,nN,Z, 例如R2○R-5=R-3,因为可以定义 R-n = (R-1)n = (Rn)-1 ?