可达矩阵的计算
系统工程可达矩阵,缩减矩阵
要点二
实现了缩减矩阵的求 解和应用
在可达矩阵的基础上，我们进一步求 解了系统工程的缩减矩阵。缩减矩阵 能够揭示系统中的关键元素和核心结 构，有助于我们更加高效地进行系统 优化和资源配置。
要点三
提出了针对性的优化 建议
根据可达矩阵和缩减矩阵的分析结果 ，我们针对系统工程的实际情况，提 出了一系列具体的优化建议。这些建 议涵盖了系统的结构调整、资源分配 、流程优化等多个方面，对于提高系 统工程的整体性能和效率具有重要意 义。
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2023 WORK SUMMARY
系统工程可达矩阵与 缩减矩阵
REPORTING
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目录
• 引言 • 可达矩阵基本概念与原理 • 缩减矩阵基本概念与原理 • 可达矩阵与缩减矩阵的关联性分析 • 基于可达矩阵和缩减矩阵的系统优化策略 • 案例研究：某复杂系统工程的可达性与缩减性
改进措施
针对评估结果中存在的问题，提出相应的改进措施，如调整算法参数、 改进算法设计、优化系统结构等，以进一步提高优化效果。
PART 06
案例研究：某复杂系统工 程的可达性与缩减性分析
案例背景介绍
系统工程概述
本案例涉及一个复杂系统工程，包含多个子系统，各子系统间存在复杂的交互 关系。
研究目的
通过对该系统的可达性与缩减性进行分析，旨在优化系统结构，提高系统效率。
缩减矩阵在系统工程中的应用
系统结构优化
通过分析缩减矩阵，可以发 现系统中存在的冗余元素和 不必要的连接，进而对系统 结构进行优化。
系统功能分析
缩减矩阵可以揭示系统元素 之间的直接和间接关系，有 助于分析人员理解系统的功 能和工作原理。
系统可靠性评估
可达矩阵的计算方法及例题
可达矩阵的计算方法及例题
可达矩阵是一类常用分析工具，可以考核有限系统中各元素之间可达性、有效性和通路上的损失程度。
由此可见可达矩阵在计算机科学等广泛领域有着广泛的应用。
以下是可达矩阵的计算方法及例题的相关内容：
一、可达矩阵的计算方法
1. 计算节点可达性：首先确定节点的权重，节点之间的距离，然后计算节点之间可达性。
2. 计算路径可达性：计算可达矩阵，可以根据有向图模型来计算各节点间的可达性。
通过求取以该节点为根的最短路径树，可以确定各节点之间的最短路径长度。
3. 计算有效性：有效性表示的是链接两个节点的信息的可靠性。
可以根据网络中每条边的长度和拓扑关系来计算节点之间的有效性。
4. 计算全部可达性：可以利用可达矩阵来计算有向图中任意两个结点之间是否可达，可达则该位置表示为1，否则表示为0。
二、可达矩阵的例题
例1.假设有一个有向图G = (V,E)，它的顶点集为V = {1, 2, 3, 4, 5}，边
集为E = {(1, 2), (1, 5), (2, 4), (2, 3), (3, 5), (4, 5)}，则该有向图的可达矩阵可以表示为：
1 2 3 4 5
1 1 1 0 1
2 0 1 1 1
3 0 0 1 1
4 0 0 0 1
5 0 0 0 0。
02-12.2 可达矩阵-PPT
由Bz的元素如(1)(i,戸1, 2,. . .n且i〈〉j)是否为0可写出有向图D的可达矩阵，但命总为1. 下图所
示有向图D的可达矩阵为
卩2
卩3
1 0 00
1 1 11 P=
1 0 11 1 0 11
I+ZG 3)xV前5 = • *孑 1
结论:
如果把邻接矩阵看作是结点集V上关系R的关系矩阵，贝间达矩阵P即为E+M捉 求可达矩 阵的方法： 求Cn=E+Al + ...+AE -----＞将G中不为0的元素改为1，为0的不变
小结
掌握图的可达矩阵的定义与性质，掌握求可达矩阵的方法步骤。关于 图的可达矩阵的思维 形式注记图如下图所示。
可达矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向图的每条边看成是具有相反方向的两条边 即可，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵 无向图G是连通图当且仅当它的可达矩阵P的所有元素均为1.
利用邻接矩阵A和可达矩阵P,可以判断图的连通性：
❸ 1）有向图G是强连通图，当且仅当它的可达矩阵P的所有元素均为1； , 2）有向图G是单侧连通图，当且仅当的所有元素均为1； ❸3）有向图G是弱连通图，当且仅当以作为邻接矩阵求得的可达矩阵P' 中所有元素均为1。
12. 2可达矩阵
定义12.2
设DKV, E〉为有向图。v ={n}r 令 Pij =
1, V/可达vj 0,否则
称(Pij)nxn为D的可达矩阵，记作P(D),简记为P. ___
由于e V, %可达叫，所以P(D)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对角线上的元素全为1.
由定义不难看出，D强连通当且仅当P(D)为全1矩阵
关于可达性矩阵的一类算法的研究
关于可达性矩阵的一类算法的研究作者：程楠来源：《科技资讯》2017年第25期DOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.25.247摘要：对于线性代数教材中，给出了很多种不同的计算方法，但是教材之中的这些方法均显得比较复杂、繁琐。
而基于布尔矩阵理论计算可达性矩阵，方法比较简便，步骤较为清晰，可为大多数人所接受。
本研究主要探讨了布尔矩阵理论算法如何计算可达性矩阵，旨在为从事本领域的研究者提供一种新的算法。
关键词：可达性矩阵布尔矩阵理论算法中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（a）-0247-02图的可达性矩阵主要是用于判断图中任意2点之间是闭合还是顺畅的一个非常重要的途径与手段，同时它也是判断一个有向图连通强弱的一个非常重要的方法。
然而，目前常规求解可达性矩阵的方法较为繁琐。
对此，应该探寻一种简便、实用的算法来对可达性矩阵进行求解计算，从而为此种类型的矩阵的求解提供一种新的方法。
1 可达性矩阵的具体定义设D=属于有向图，其中V=﹛v1，v2，v3…，vn﹜，现令：vi可达vj否则称属于D的可达性矩阵，一般可将其记为“P（D）”，简化可记为P。
由于∈V，vivi，由此可知：可达性矩阵P上主对角线上的元素均为数字1。
2 可达性矩阵的一般算法对于可达性矩阵的计算而言，主要包括两种方法，即：根据有向图D的通路数或者回路数算法、算法。
2.1 根据有向图D的通路数或者回路数算法定理：首先设A为有向图D的邻接矩阵，集合V=﹛v1，v2，v3，…，vn﹜均属于D的顶点集，那么A的l次幂（记作“Al”）之中的元素为D中vi到vj，长度为l所具有通路的数量大小，其中为vi至自身长度为l的回路的数量大小。
根据可达性矩阵的具体定义以及定理，我们可将Bn=A1+A2+…+An（其中n属于图中所有的顶点数量）中所有非0元素改为0，当改为0的元素保持不变。
此外，还应该将主对角线上面的数字全部变成1。
ISM模型：用python实现可达矩阵求解和层级划分
ISM模型：⽤python实现可达矩阵求解和层级划分ISM模型求解可达矩阵和元素分层，⽹上已有matlab代码实现。
但是由于最近碰到⼀个求解要素⽐较多的问题，四⼗多个要素。
如果⼿动输⼊这个矩阵的话，有⼀千多个数据，不清楚matlab是否有⽂件导⼊导出功能，所以照着matlab代码尝试写了⼀段python，⽤pandas导⼊导出矩阵，⽐较⽅便，代码如下：1import numpy as np2import pandas as pd3import numpy.matlib4#⽤pandas导⼊数据5 file_path='C:/Users/84430/Desktop/指标.xlsx'6 sheetName='Sheet5'7 df=pd.read_excel(file_path,sheet_name=sheetName)8#处理⼀下，转为arrary9 df.set_index('F',inplace=True)10 =None11 array=np.array(df)12#转为矩阵13 A=np.matrix(array)14#⽣成⼀个单位矩阵15 I=np.matlib.identity(len(A))16#计算A+I17 new_matrix=A+I18 old_matrix=new_matrix19 m=020 step=121while m==0:22 old_matrix=new_matrix23 new_matrix=old_matrix*new_matrix24for i in range(len(new_matrix)):25for j in range(len(new_matrix)):26if new_matrix[i,j]>=1:27 new_matrix[i,j]=128 step+=129print(step)30# 求解打印出可达矩阵并保存为⽂件31if (old_matrix==new_matrix).all():32 m=133print(new_matrix,step)34 pd_matrix=pd.DataFrame(new_matrix)35 pd_matrix.to_csv('./可达矩阵和分级(45).csv')36# 元素分级37 P=np.array(new_matrix)3839 zero=np.zeros(shape=(len(P),len(P)))40 r=141while not (P==zero).all():42for i in range(0,len(P)):43 R=[x+1 for (x,val) in enumerate(P[i,:]) if val==1]44 A=[x+1 for (x,val) in enumerate(P[:,i]) if val==1]45 C=set(R).intersection(set(A))#返回交集46if len(C)==len(R) and len(R)!=0 and len(A)!=0:47# 打印出分级结果48print('第'+str(r)+'级元素为'+str(i+1))49 P[i,i]=050for x in range(0,len(P)):51if P[x,x]==0:52 P[x,:]=053 P[:,x]=054 r+=1。
可达矩阵
12.2 可达矩阵定义12.2
⎩⎨⎧=否则
可达,0,1j i ij v v p ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101110111110001P
结论：
可达矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向图的每条边看成是具有相反方向的两条边即可，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。
无向图G 是连通图当且仅当它的可达矩阵P 的所有元素均为1.
求C n =E+A 1+…+A n-1将C n 中不为0的元素改为1，为0的不变
利用邻接矩阵A和可达矩阵P，可以判断图的连通性：
小结
掌握图的可达矩阵的定义与性质，掌握求可达矩阵的方法步骤。
关于图的可达矩阵的思维形式注记图如下图所示。
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现作者：姚道洪来源：《价值工程》2015年第28期摘要：系统解释结构模型（ISM）是系统工程中广泛运用的一种分析方法，根据邻接矩阵求可达矩阵是建立多级递阶结构模型的一个重要步骤.本文从邻接矩阵和可达矩阵的定义出发，介绍了一种求可达矩阵的简易方法，并通过MATLAB编程实现。
Abstract： Interpretative Structural Modeling（ISM） is an analytic method and it is widely used in system engineering， and the calculation of reachability matrix is also the most important step of ISM. Starting from the definition of adjacency matrix and reachability matrix， this paper introduces a simple algorithm of reachalility matrix， and attached to program code.关键词：解释结构模型；邻接矩阵；可达矩阵；MatlabKey words： interpretative structural modeling；adjacency matrix；reachability matrix；Matlab中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）28-0212-030 引言解释结构模型法（Interpretative Structural Modeling Method，简称ISM），是系统分析中常用的结构模型化技术。
它将复杂系统化整为零，充分利用专家知识，将子系统结合计算机技术构建多级递阶结构模型。
在要素较多，关系错综复杂的情况下，ISM能发挥重要作用，利用有向图、矩阵、计算机技术定性地对要素间层次结构做一解释，以助于对系统做出合理评价。
可达矩阵求解过程
可达矩阵求解过程
可达矩阵是指给定一个图，矩阵中的元素表示从一个顶点到另一个顶点是否存在一条路径。
可达矩阵的求解过程可以通过图的遍历算法来实现。
以下是可达矩阵的求解过程：
1. 首先，建立一个与图的顶点数量相同的矩阵，初始化为全0的矩阵。
这个矩阵就是可达矩阵。
2. 对于每个顶点，使用图的深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法进行遍历。
3. 遍历过程中，对于每个到达的顶点，将对应的矩阵元素标记为1，表示这两个顶点之间存在一条路径。
4. 遍历完成后，可达矩阵中的元素就表示了图中两个顶点之间是否存在路径的信息。
注意：可达矩阵是基于给定的图求解的，因此在进行可达矩阵求解之前，需要先建立好图的数据结构。
具体的图的构建方法可以根据实际需求选择，例如邻接矩阵、邻接表等。
可达矩阵
张扬 上海海事大学经济管理学院
2010.11.2
内容
系统分析概述 系统分析的内容 系统结构模型化技术
系统分析概述
z 系统分析的概念 z 系统分析方法的特点 z 系统分析的步骤 z 系统分析的要素 z 系统分析的原则
系统分析的概念
z 霍尔三维结构中的逻辑维 z 广义：作为系统工程的同义语 z 狭义：系统工程的一个逻辑步骤
z 令R＝(I+A)n－1 R称为邻接矩阵A的可达矩阵。它表示各点间长度不大 于n-1的通路的可达情况。对于点数为m的网络图，其 最长通路不会超过m-1。
可达矩阵的性质
z 如果可达矩阵R的所有元素都为1，则表示从图中任一节点出发，都可以 到达图中任一其它节点。这意味着该有向图为强连接图。
z 如R阵不是所有元素都为1，表示该图不是强连接图。
A
e5
v3 0 0 0 1
v4 1 0 0 0 v4
邻接矩阵A的自乘运算服从布尔代数法则。
A2
v2
v1 v2 v3 v4
e1
e2
v1 0 0 1 1
v1
e3
v3 v2 1 0 0 1
A2
e4
e5
v3 1 0 0 0
v4 0 1 0 0 v4 A2中的元素为一表示对应邻接两点间的长度为2。
A3
v2
可达矩阵的性质
7 1
74163285
2
4
7 11
3
4
11
1
4
1
1
11
1
5
6
A’＝63
111
1
1
6
3
2
111
8
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现姚道洪【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2015(34)28【摘要】Interpretative Structural Modeling (ISM) is an analytic method and it is widely used in system engineering, and the calculation of reachability matrix is also the most important step of ISM. Starting from the definition of adjacency matrix and reachability matrix, this paper introduces a simple algorithm of reachalility matrix, and attached to program code.%系统解释结构模型（ISM）是系统工程中广泛运用的一种分析方法，根据邻接矩阵求可达矩阵是建立多级递阶结构模型的一个重要步骤援本文从邻接矩阵和可达矩阵的定义出发，介绍了一种求可达矩阵的简易方法，并通过MATLAB编程实现。
【总页数】3页(P212-213,214)【作者】姚道洪【作者单位】青岛理工大学基础课教学部，临沂273400【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.一种基于拟合算法的热电偶线性化处理简易实现方法 [J], 何浪涛2.一种基于KL坐标系下SVPWM的简易算法与实现 [J], 王淑静3.基于ISM的可达矩阵的简便算法 [J], 白冰;李平4.基于Warshall算法的可达矩阵的算法改进及Python程序实现 [J], 冯海亮;亓洪胜5.基于Lingo的求解一维下料问题简易算法设计与实现 [J], 田双;吕林;蔡亚庆;姚冰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。