28知识讲解_《不等式》全章复习与巩固_基础
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
(完整版)不等式知识结构及知识点
o 不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）a b b a >⇔>,a b b c a c >>⇒>a b a c b c>⇔+>+（同向可加性） （异向可减性）d b c a d c b a +>+⇒>>,db c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性） bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则） ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且0,1)a b n N n >>⇒>∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：()222a b ab a b R +≥∈，a b =""=o 22.2a b ab +≤②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.2a b+≥()a b R +∈，a b =变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当3a b c ++()a b c R +∈、、时取到等号）.a b c ==④（当且仅当时取到等号）.()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，a b c ==⑤（当且仅当时取到等号）.3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>a b c ==⑥（当仅当a=b 时取等号）（当仅当a=b 0,2b aab a b>+≥若则0,2b aab a b<+-若则时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于ban b n a m a m b a b <++<<++<1(000)a b m n >>>>，，1同加则变小.⑧ 220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且1122a b a b --+≤≤+()a b R +∈，仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.a b =""=≤≤≤ 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥++++≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式当且仅当22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈时，等号成立.ad bc =⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++o r21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,αβ ,αβαβ⋅≤ βk 时，等号成立.k αβ=⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤12,,...,n c c c 12,,...,n b b b 则（反序和乱序和12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++≤顺序和）≤当且仅当或时，反序和等于顺序和.12...n a a a ===12...n b b b ===⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任()f x 意两点有则称f(x)为凸（或1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131((;242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<等.*,1)k N k >∈>5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（时同理）<≤“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>01a <<()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时, ⑵当时,1a >()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①②(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③④()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20ax bx c ++>准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.a ∆14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时20ax bx c ++>0a =②当时 ⑵不等式的解集是全0,0;b c ⇒=>0a ≠00.a >⎧⇒⎨∆<⎩20ax bx c ++<体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时0a =0,0;b c ⇒=<0a ≠00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶恒成立恒成立()f x a <max ();f x a ⇔<()f x a ≤max ();f x a ⇔≤⑷恒成立恒成立()f x a >min ();f x a ⇔>()f x a ≥min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入0Ax By C ++=后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取Ax By C ++一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>(表示直线哪一侧的平面区域.0)<即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(0)<B 或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同0Ax By C ++>(0)<号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：z Ax By =+(,A B 法一：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，z Ax By =+x y 、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值z z z 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直0:0l Ax By +=线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l 0l (,)x y 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .(,)x y z Ax By =+第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.z A z y x B B =-+zB①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B >z Ax By =+z 大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；z ②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B <z Ax By =+z 小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.z ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： ②“斜率”型：或;z Ax By =+yz x =;y b z x a-=-③“距离”型：或 或22z x y =+z =22()()z x a y b =-+-z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16. 利用均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注值？（一正、意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()二定、三相等）注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。
(学生~基础)《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固 知识讲解
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系.。
不等式知识结构及知识点
不等式知识结构及知识点不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。
它描述了数值的大小关系，其中包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）四种基本形式。
不等式有着广泛的应用，在代数、几何、数论、概率论等数学分支中都有重要的应用。
不等式的知识结构主要包括以下几个方面：1. 不等式的基本性质：不等式的基本性质是不等式研究的基础。
其中包括传递性、对称性、可乘性、可加性等性质。
例如，如果a>b，b>c，则必有a>c；如果a>b，则必有ca>cb（c为正数或负数）等。
2.不等式的解集表示：解集表示是研究不等式的关键，通过确定不等式的解集，可以得到不等式的解集的性质和特点。
解集表示一般包括用区间表示、用集合表示、用图形表示等方法。
3.不等式的化简与等价变形：不等式的化简与等价变形是研究不等式的重要方法，可以通过这些方法将复杂的不等式化简为简单的形式，或将不等式转化为等价的形式从而得到解的性质。
4.不等式的求解：不等式的求解是研究不等式的一个重要问题，可以通过代数法、函数法、图形法、符号法等方法来求解不等式。
求解不等式的过程包括确定不等式类型、化简不等式、确定解集等步骤。
5.不等式的应用：不等式在实际问题中有广泛的应用，例如在优化问题中的最大值、最小值的求解，约束条件下的最优化问题等都可以通过不等式的方法进行求解。
不等式的常见知识点包括：1. 一元线性不等式：一元线性不等式是最基本的一类不等式，其形式为ax+b>0或ax+b<0，其中a、b为实数，x为未知数。
求解一元线性不等式可以通过移项、合并同类项、分析系数的正负等方法进行。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式是一种含有一元二次函数的不等式，其形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，x 为未知数。
求解一元二次不等式可以利用一元二次函数的凹凸性质、判别式等方法进行。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。
如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。
例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。
三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
例如：2x 5 ＞ 0 。
2、解法：去分母（若有分母）。
去括号。
移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
合并同类项。
系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念，经常在解决实际问题和证明不等式性质时使用。
下面我将对不等式的定义、性质以及解不等式的方法进行总结。
1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号表示的关系式。
不等式包括大于等于、小于等于、大于、小于四种形式。
例如：a≥b表示a大于等于b；c<b表示c小于b。
2. 不等式的性质（1）传递性：如果a≥b，b≥c，那么a≥c。
如果a<b，b<c，那么a<c。
（2）对称性：如果a≥b，那么b≤a；如果a<b，那么b>a。
（3）加法性：如果a≥b，那么a+c≥b+c；如果a<b，那么a+c<b+c。
（4）乘法性：如果a≥b，且c>0，那么ac≥bc；如果a≥b，且c<0，那么ac≤bc。
3. 不等式的解法（1）加减法解法：对于形如ax+b≥0或ax+b<0的一元一次不等式，可以通过加减法解法进行求解。
例如：5x+3>2x+7，首先将等式化简得到3x>-4，然后除以系数3得到x>-4/3。
（2）乘法解法：对于形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式，可以通过乘法解法进行求解。
例如：x²+2x-4>0，首先求出二次方程x²+2x-4=0的根，然后根据二次曲线的凹凸性判断不等式的解集。
（3）分段解法：对于形如|x-a|<b的不等式，可以通过分段解法求解。
例如：|x-3|<5，可以将不等式分为两个部分，x-3<5和x-3>-5，然后求解这两个部分的解集，并取其交集作为原不等式的解集。
4. 不等式的应用（1）代数不等式的应用：代数不等式常常应用于经济学、物理学、生物学等实际问题分析中。
例如：求最大值、最小值、稳定性等。
（2）几何不等式的应用：几何不等式常常应用于解决关于图形的问题，如边长关系、面积关系等。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一种重要关系。
它通常用来表示两个数量的大小关系。
在求解不等式时，我们需要运用一些基本的不等式性质与方法。
不等式的符号有三种：大于号(>)、小于号(<)和不等号(≠)。
大于号表示前面的数大于后面的数，小于号表示前面的数小于后面的数，不等号表示前面的数不等于后面的数。
不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
对于不等式来说，我们通常要找到它所有的解集。
在求解不等式时，常用到的性质有：1. 两边加减相同的数或相同的式子，不等号方向不变。
2. 两边乘除同一个正数，不等号方向不变；两边乘除同一个负数，不等号方向反转。
3. 两边乘除同一个变量，需要考虑变量的正负情况。
4. 在不等号两边开平方时，需要考虑平方根的正负情况。
在求解不等式时，我们可以运用以下基本方法：1. 图像法：将不等式对应的两个函数图像画出来，通过比较图像的位置来判断不等式的解集。
2. 列表法：将不等式的解集列出来，逐个判断每个解点是否满足不等式，以确定解集。
3. 化简法：将不等式进行一系列的等价变形，将复杂的不等式化简成简单的形式，以求解不等式。
4. 区间法：根据不等式中的某些条件，将解集缩小到某个区间内，以得到更精确的解。
除了基本的不等式性质与方法外，我们还需要掌握一些常见的不等式类型与求解方法。
常见的不等式类型包括：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式。
其中，a、b为已知数，x为待求解的变量。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
4. 分式不等式：形如f(x)/g(x)>0的不等式。
其中，f(x)、g(x)为多项式函数，x为待求解的变量。
对于以上不等式类型，我们可以运用不等式的基本性质与方法进行求解。
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③ a b 2 a b 0 ；特别地： a 1 2 a 0；
ba
a
④ a 2 b2 a b ab 2ab a,b R .
2
2
ab
【典型例题】
类型一：不等式性质的应用
例 1．若 a b 0 ，则下列不等关系中不能成立的是（ ）
②
0 时，求根
x1
x2
b 2a
；
③ 0 时，方程无解.
（3）写出解集.
要点诠释：若 a 0 ，可以转化为 a 0 的情形解决.
要点三：线性规划
1. 用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式 Ax By C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某一侧所有点组成的平
面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线 Ax By C 0 同一侧的所有点( x, y )，把它的坐标（ x, y )代入 Ax By C ，所得到实
数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0，y0 ，从 Ax0 By0 C 的正负即可判断
不等式
不等关系与 不等式
一元二次不等 式及其解法
二元一次不等式 （组）与平面区
域
基本不等式
简单的线性规划
最大（小）值问题
【要点梳理】 要点一：不等式的主要性质
(1)对称性： a b b a . (2)传递性： a b,b c a c .
(3)加法法则： a b a c b c ； a b, c d a c b d .
4
3
要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函，含变数的各项均相等，取得最值. 4. 几个常用变形不等式
① a2 b2 (a b)2 （当且仅当 a b 时等号成立）； 2
-4 -1
f (1) -1 f (2) 5
-4 -1
a - c -1 4a - c 5
所确定区域如图：
设 z 9a - c ，将边界点(0，1)(3，7)代入即求出.
【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题 要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多 次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知 范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系
1. 一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0 (a 0) 的解集： 设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两根为 x1、x2 且 x1 x2 ， b2 4ac ，则不等
错误.
举一反三：
【变式】已知 m, n R
，则
1
1
成立的一个等价条件是（
）
mn
4
A. m 0 n
B. n m 0
C. mn(m n) 0
【答案】C
例 2．如果 30 x 42 ，16 y 24 ，则
D. m n 0
(1) x y 的取值范围是
； (2) xy 的取值范围是
《不等式》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 了解不等式（组）的实际背景； 2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次 不等式，会设计求解的程序框图； 3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能 加以解决； 4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】
Ax By C＞0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C 0 时，常把原点作为此特殊点） 2
3. 线性规划的有关概念 （1） 线性约束条件：
如果两个变量 x 、 y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量 x 、 y 的约束条件，这组约束条件
都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
【答案】 (1,1) (1, 5) 3
例 5．若关于 x 的不等式 (m 1)x2 (2m 1)x m 2 0 的解集为一切实数 R，求 m 的取值范围.
【思路点拨】观察不等式 (m 1)x2 (2m 1)x m 2 0 ，可知其首项系数含参数，需分类讨论.
【解析】当 m 1时，原不等式为： 3x 1 0 ，不符合题意. 当 m 1时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意. 当 m 1时，只需 0 ，
【变式】如果 30 x 42 ，16 y 24 ，则
(1) x 2 y 的取值范围是
x
； (2) 的取值范围是
.
y
【答案】(1)（-18，-10）； （2） ( 5 , 21) . 48
例 3．已知函数 f (x) ax2 c ，满足 4 f (1) 1， 1 f (2) 5 ，那么 f (3) 的取值范围是
R
ax2 bx c 0(a 0)
x x1 x x2
的解集
2. 解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： A ax2 bx c (a 0) .
（2）计算判别式 ，分析不等式的解的情况：
① 0 时，求根 x1 , x2 （注意灵活运用因式分解和配方法）；
程 ax2 bx 12=0 的两个根，利用根与系数的关系（韦达定理）列方程组，即可求出 a ， b 的值. 【解析】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知 a<0，且方程 ax2+bx+12=0 的两根为-1，2.
由根与系数关系得
b a
1
2
1
12 a
(1)
2
2
解得 a=-6， b=6.
6
【总结升华】利用一元二次不等式 ax2 bx c 0 的解集与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根之间的 关系，可使问题简单化.
（2）线性目标函数：
关于 x 、 y 的一次式 z ax by(a，b R) 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、 y 的解析式，叫
线性目标函数． ③ 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． （3）可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（ x ， y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行
33
3 33
3
∴ 1 5 f (1) 8 f (2) 20 ，
3
3
即 1 f (3) 20 .
解法二：待定系数法 设 f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)
5
m -m -
4n 9 n -1
m n
-
8 3
5 3
(下略)
解法三：数形结合(线性规划)
由 a b 0 ， (a)2 (b)2 ， a 2 b2 ，∴（D）成立.
∵a b 0，a b 0，a a b 0，a ba 0，
1 1 ， 1 1 ，∴（B）不成立. a (a b) a a b
故应选 B
【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些
式的解的各种情况如下表：
1
0
0
0
函数
y ax2 bx c （ a 0 ）的图象
方程
ax2 bx c 0a 0
的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
有两相等实根
x1
x2
b 2a
无实根
ax2 bx c 0(a 0) x x x1或x x2
的解集
x
x
b 2a
(4)乘法法则： a b, c 0 ac bc ； a b, c 0 ac bc ； a b 0, c d 0 ac bd .
(5) 乘方法则： a b 0 an bn (n N *，且n 1) .
(6) 开方法则： a b 0 n a n b (n N *，且n 1) .
要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3. 基本不等式的应用
① x, y (0, ) ，且 xy P （定值），那么当 x y 时， x y 有最小值 2 P ； ② x, y (0, ) ，且 x y S （定值），那么当 x y 时， xy 有最大值 1 S2 .
.
【解析】 解法一：方程思想(换元)：
a c f (1) 由 4a c f (2)
，求得
a c
1 3
f (2)
4 f (1) 3
f (1)
1 f (2) 3
∴ f (3) 9a c 5 f (1) 8 f (2)
3
3
又 5 5 f (1) 20 , 8 8 f (2) 40
A． 1 1 ab
B． 1 1 ab a
C．| a || b |
D． a 2 b 2
【思路点拨】利用作差法或作商法比较两数大小；或利用赋值法排除选项.
【答案】B
【解析】∵ a b 0 ，∴ a b 0 . 由 1 1 ， 1 1 ，∴（A）成立. a b a b
由 a b 0 ，| a || b | ，∴（C）成立.
① a, b R ，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时取等号“=”）
② 基本不等式：如果 a, b 是正数，那么 a b ab （当且仅当 a b 时取等号“=”）. 2