专训1 求反比例函数解析式的六种方法
反比例函数解析式的求法精析
求反比例函数解析式的策略确定反比例函数的解析式是反比例函数这部分内容要考查的一个重要知识点﹒那么应该怎样确定反比例函数的解析式呢？因为反比例函数的解析式xk y =中，只有一个待定系数，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 值，从而确定反比例函数的解析式﹒但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析﹒下面以例说明求反比例函数解析式的策略.一、 根据反比例函数的图象上点的坐标确定例1 （广西桂林）已知反比例函数x k y =的图象经过点（-1，2）那么反比例函数xk y =可确定为___. 解：∵反比例函数xk y =的图象经过点（-1，2）， ∴12-=k ，∴2-=k ﹒故填x y 2-=﹒ 二、 根据反比例函数的性质确定例2 （江苏苏州）已知（x 1,y 1），(x 2,y 2)为反比例函数xk y =图象上的点，当x 1＜x 2＜0时,y 1＜y 2,则k 的一个值可为 （只需写出符号条件的一个．．k 的值）﹒解：由反比例函数的性质，可知k ＜0﹒因此只要符合k ＜0即可，如k= －1，或k=－2三、 根据面积确定例3 如图，∆Rt ABO 的顶点A 是双曲线xk y =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且23=∆ABO S ﹒ （1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积﹒解：（1）设点A 的坐标为（x ，y ），则 AB OB S ABO ⋅=∆21=y x ⋅21=xy 21 ∵点A 在双曲线xk y =上，∴k xy =﹒ ∴ABO S ∆=k 21=23﹒∴k =3，3±=k ﹒ 又∵双曲线在二、四象限，所以3-=k ﹒∴双曲线的函数解析式为xy 3-=，直线的函数解析式为2--=x y ﹒ （2）略﹒四、根据反比例函数与一次函数图象的交点确定O C BA y x例 4 （天津）已知一次函数m x y +=与反比例函数x m y 1+=（1-≠m ）的图象在第一象限内的交点为P （0x ，3）﹒（1）求0x 的值﹒（2）求一次函数和反比例函数的解析式﹒解：将P （0x ，3）代入m x y +=和xm y 1+=，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.13,300x m m x 解得⎩⎨⎧==.2,10m x 所以一次函数的解析式为1+=x y ，反比例函数的解析式为xy 3=﹒ 五、 先确定已知函数是反比例函数，然后再求解析式﹒例5 （山东济南）某蓄电池的电压为定值，如图表示的是该蓄电池电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系图象﹒请你写出它的函数解析式是___.解：由物理学中电压U 、电流I 与电阻R 的关系可知U=IR ﹒又由已知条件知电压U 为定值，所以电流I 与电阻R 成反比例函数关系﹒将A （9，4）代入U=IR ，得U=36﹒ ∴R I 36=﹒。
反比例函数如何快速解题技巧(一)
反比例函数如何快速解题技巧(一)反比例函数如何快速解题引言反比例函数是高中数学中的一个重要概念，它是指两个量之间的关系呈现出一种倒数的关系。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来快速解题。
技巧一：求解比例常数对于反比例函数y = k/x （k为常数），我们可以通过已知的点的坐标来求解比例常数k。
假设已知的点为(x1, y1)和(x2, y2)，则可以将这两个点的坐标代入反比例函数中，得到两个等式：y1 = k/x1和 y2 = k/x2。
我们可以通过将这两个等式相除，得到x1/x2 = y2/y1，进而可以求解比例常数k。
技巧二：绘制反比例函数的图像绘制反比例函数的图像有助于我们更直观地理解和解题。
对于反比例函数y = k/x，我们可以画出一个含有坐标轴的直角坐标系，然后选取一些x的取值并代入函数中，求得对应的y值，然后将这些点连成光滑的曲线。
通过观察图像的形态，我们可以判断出函数的特点，进而进行解题。
技巧三：反比例函数的性质反比例函数有一些特殊的性质，我们在解题过程中可以充分利用这些性质来快速解决问题。
一些常见的性质包括：1.极限：当x趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的取值趋近于0。
2.单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的，当x增大时，函数值减小。
3.对称性：反比例函数关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
4.渐近线：反比例函数的图像有两条直线，即x轴和y轴的渐近线。
技巧四：利用反比例函数解实际问题反比例函数在解决实际问题时有着广泛的应用，如工程学、物理学等领域。
在解题过程中，我们需要将实际问题转化为反比例函数的形式，然后通过计算和推理得出最终答案。
例如，在物理学中，我们可以利用反比例函数来计算电阻和电流之间的关系。
结论通过使用以上的技巧，我们可以更快速地解题和理解反比例函数的特性。
反比例函数是高中数学中的一个重要内容，掌握这些技巧将有助于我们更好地应用于实际问题的解决。
希望读者能够在学习和应用中取得进步！。
初中数学求反比例函数解析式的六种方法
求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求解析式6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的解析式为y ＝6x. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0. 解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x.3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x，可得m ＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x. ∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6， ∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a＝9， 解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k 2x(k 2≠0)． 由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x. 又∵y ＝k 1x ＋k 2x的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x. 5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x. (第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v(v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )， 150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。
求反比例函数解析式的类型与方法
求反比例函数解析式的类型与方法反比例函数是一次函数之后一个重要的曲线函数，求其解析式是该章的重要内容．本文介绍几种求反比例函数鹪析式的类型与方法．一、已知待定解析式是反比例函数，求此解析式例1 已知y ＝(m 2－4)x 23m m x --是反比例函数，求这个反比例函数．点拨 此函数解析式是待定系数与指数的解析式，因是反比例函数．可对照y ＝kx －1，用恒等式的意义建立方程，求出待定系数m ．解析∵y ＝(m 2－4)x 23m m x --是反比例函数，∴ 223140m m m ⎧--=-⎪⎨-≠⎪⎩由①，得m ＝2，m ＝－1，由②，得m ≠±2，∴m ＝－1．∴这个反比例函数是y ＝－3x． 注 反比例函数的定义式有三种形式：y ＝k x，xy ＝k ，y ＝kx －1．用y ＝kx －1类比，建立关于指数的方程，求出待定系数，是解决此类型解析式的方法．二、已知双曲线经过某几个点．求其解析式例2 如图1，在平面直角坐标系的第一象限中有一个5×5的方形网格，每个小正方形的边长皆为1个单位长，反比例函数y ＝k x的图象的一个分支刚好经过四个格点（小正方形的顶点），求k 的值．点拨 由图可知双曲线经过四个格点之间的关系；又因每个格点的坐标之积相等，因此，可用方程组求出格点的坐标．解析 设从左到右的格点坐标分别为(m ，n)，（m ＋1，n －3），（m ＋2，n －4），(m ＋5，n －5)．①②于是，得()()()()1355mn m n mn m n ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩解得16m n =⎧⎨=⎩∴k ＝mn ＝6．注 当已知双曲线所经过点的坐标时，可用xy ＝k 建立关于的坐标方程（组），先求出点的坐标，再求其解析式．三、已知图形的面积，求反比例函数的解析式此类型试题要充分利用反比例函数的比例系数k 的几何意义来建立数量关系，反比例系数k 的几何意义，如图2．过反比例函数图象上一点，向x 、y 轴作垂线，垂线段与坐标轴围成的矩形的面积等于k ；过反比例函数图象上一点，向x 或y 轴作垂线，连结这一点与原点所成的线段与垂线段、坐标轴围成的三角形的面积为12k ． 例3 如图3，A 是反比例函数y ＝k x图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点b ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，求这个反比例函数的解析式．点拨 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，△ABP 与矩形ABOC 同底等高，注 已知与双曲线相关图形的面积时，可用反比例系数后的几何意义建立k 的方程，直接求出k．四、已知线段的数量关系，求反比例函数的解析式例4 如图4，向上平移x轴交反比例函数y＝kx（x<0）的图象予点A，交直线y＝x于点B，若AB2－AO2＝4，求k．点拨将AB2－AO2用勾股定理作变形，转化为与点A的坐标有关的线段的关系．解析AB2－AO2＝(AC＋BC)2－AO2＝AC2＋2AC．BC＋BC－AO2＝AC2＋CO2＋2AC．BC－AO2＝AO2＋2AC．BC－AO2＝2AC²BC＝2AC²OC＝4．∴k＝2．又∵k<0，∴k＝－2．注已知线段的关系时，应根据其关系的特点，将线段的关系转化为双曲线上点的坐标的关系，或与k的几何意义相关的线段关系，从而求k的值．五、已知直线与双曲线的关系，求反比例函数的解析式例5 如图5，将直线AB：y＝－32x－3沿x轴正方向平移6个单位后恰好与双曲线y＝kx（x>0）有唯一公共点，求k的值．点拨直线与双曲线有唯一公共点，可转化为方程组有唯一解，进而转化成一元二次方程有两个相等的解，用△＝0建立方程．解析直线ABy＝－32x－3沿x轴正方向平移6个单位后的解析式为y＝－32x＋6．由362y xkyx⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得3x2－12x＋2k＝0．∵直线与双曲线有唯一公共点，∴△＝144－24k＝0，∴k＝6.例6（2010武汉²中考）如图6，直线yb与y轴交于点A，与双曲线y＝kx在第一象限交于B、C两点，且AB．AC＝4，则k＝_______．点拨 CAO ＝60°，AB ²AC 转化为点B 、C 横坐标之积，由此联想一元二次方程根与系数的关系，可得点B 、C 横坐标之积．注 当已知直线与双曲线有唯一公共点时，可与一元二次方程的判别式建立联系；当已知直线被双曲线、坐标轴截得的线段之积时，可运用一元二次方程根与系数的关系．所以，借助数形结合思想，直线与双曲线的问题，可转化为一元二次方程问题，进而用一元二次方程的知识来解决．六、已知几何图形与双曲线的关系，求反比例函数的解析式例7 如图7，直线y ＝15x －1与x 轴、y 轴分别相交于点B 、A ，点M 为双曲线y ＝k x(x>0)上一点，若△AMB 是以AB 为底的等腰直角三角形，求k 的值． 点拨 利用等腰直角三角形的性质构造与点M 坐标相关的线段的全等三角形，利用相等线段列方程．解析 过点M 作MC ⊥y 轴于点C ，MD ⊥x 轴于点D ，则∠ACM ＝∠BDM ＝90°.∵△AMB 为等腰直角三角形，∴AM ＝BM ，∠AMC ＋∠AMD＝∠BMD ＋∠AMD ＝90°，∴∠AMC ＝∠BMD∴△AMC ≌△BMD ，∴MC ＝MD ，AC ＝BD ．又∵四边形OCMD 为矩形，∴MC ＝MD ＝OD ＝OC ．设M （a ，a ），由直线y ＝15x －1，可得 OA ＝1，OB ＝5，∴a ＋1=5－a ，解得a＝2．∴M（2，2），∴k＝4．根据几何图形的性质寻找等量关系，建立关于点的坐标的方程，是解决此类问题的关键．求反比例函数的解析式，其类型多，方法灵活，同学们要在学习中多加总结归纳，提高分析问题、解决问题的能力．。
反比例函数解题技巧
反比例函数解题技巧
反比例函数是一种特殊的函数形式，也是解题中常见的一种形式。
掌握好反比例函数的解题技巧，可以帮助我们更加高效地解题。
1. 确定函数表达式
首先，我们需要确定反比例函数的函数表达式。
反比例函数通常具有以下形式：
y = k / x
其中，k 是一个常数，x 和 y 分别表示函数的自变量和因变量。
2. 确定变量之间的关系
反比例函数中，自变量 x 和因变量 y 是互相影响的。
我们通常通过分析题目中给定的条件来确定它们之间的关系。
例如，如果题目中给定了 x 和 y 的比例关系，那么反比例函数就可以表示为：
y = k / x = (k / a) * (a / x)
其中，k / a 表示比例系数，a / x 表示比例关系。
3. 利用已知条件求解未知数
通过确定函数表达式和变量之间的关系，我们就可以利用已知条件求解未知数。
例如，如果已知函数关系式为 y = 2 / x，同时知道x = 4，则可以通过代入求解得到 y = 0.5。
另外，如果已知两个点的坐标，我们也可以通过反比例函数求解其中的未知数。
例如，如果已知反比例函数 y = 3 / x，同时知道其中两个点的坐标为 (2, 1) 和 (x, 2)，则可以通过代入求解得到 x =
6。
以上就是反比例函数解题的基本技巧，希望对大家有所帮助。
浙教版数学八年级下册解码专训一：求反比例函数表达式的六种方法.docx
解码专训一：求反比例函数表达式的六种方法名师点金：确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值时，可以根据反比例函数的定义及其性质列方程、不等式求解，也可以根据图象中点的坐标求解，也可以直接根据数量关系列表达式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求表达式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求m的值．利用反比例函数的性质求表达式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，求其函数表达式．利用反比例函数的图象求表达式3．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．求点A的坐标及反比例函数的表达式．(第3题)利用待定系数法求表达式4．已知函数y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x＝－1时，y＝－5；当x＝1时，y＝1.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当x＝2时，y的值．利用图形的面积求表达式5．如图，点A 是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B.若Rt △AOB 的面积为3，求该反比例函数的表达式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求表达式6．某运输队要运300 t 物资到江边防洪．(1)运输时间t(单位：h )与运输速度v(单位：t /h )之间有怎样的函数关系？ (2)运了一半时，接防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h 之内运到江边，则运输速度至少为多少？解码专训二：用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k 的几何意义求解．反比例函数的比例系数k 与面积的关系1．如图，点P 在反比例函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，横坐标为3，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，则矩形OMPN 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(第1题)(第2题)2．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6x C ．y ＝－3x D ．y ＝3x3．如图，A ，C 是函数y ＝1x 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1和S 2的大小关系不能确定(第3题)(第4题)4．(中考·黔东南州)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(中考·孝感)如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(第5题)(第6题)6．如图，P(x ，y)是反比例函数y ＝3x 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点P ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积( )A ．不变B ．增大C ．减小D ．无法确定已知面积求反比例函数表达式7．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝kx 与函数y ＝－x －(k ＋1)的图象在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．(第7题)已知反比例函数表达式求图形的面积8．如图，反比例函数y ＝－8x 与一次函数y ＝－x ＋2的图象相交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标； (2)求△AOB 的面积．(第8题)利用点的坐标及面积公式求面积9．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．(第9题)利用对称性解决反比例函数图象中的面积问题10．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每平方米25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？(第10题)解码专训三：巧用一元二次方程根的判别式解有关反比例函数图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算．若有两个公共点，则判别式大于0；若有一个公共点，则判别式等于0；若没有公共点，则判别式小于0.无公共点(b 2－4ac ＜0)(第1题)1．(中考·淄博)关于x 的反比例函数y ＝a ＋4x 的图象如图，A ，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B.若△PAB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋14＝0的根的情况是________________．2．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点P(a ，b)，且a ，b 为一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两根，那么点P 的坐标是________，到原点的距离为________．3．若反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有公共点，则k 的取值范围是________．有唯一公共点(b 2－4ac ＝0)4．如图，将直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后，恰好与双曲线y ＝m x (x ＜0)有唯一公共点A ，并交双曲线y ＝nx (x ＞0)于B 点，若y 轴平分△AOB 的面积，求n 的值．(第4题)有两个公共点(b 2－4ac ＞0)5．如图，已知一次函数y ＝－x ＋8和反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数k 的取值范围；(2)若△AOB 的面积为24，求k 的值．(第5题)有公共点(b 2－4ac ≥0)6．如图，过点C(1，2)分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于点A ，B ，若反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象与△ABC 有公共点，求k 的取值范围．(第6题)解码专训四：反比例函数与几何图形的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．(中考·宁波)如图，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象过CD 的中点E.(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第1题)反比例函数与四边形的综合类型1.反比例函数与平行四边形的综合2．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连结AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．(第2题)类型2.反比例函数与矩形的综合3．如图，直线y ＝－12x ＋2交x 轴于B 点，交y 轴于A 点，四边形ABCD 为矩形，点D 在x 轴上，双曲线y ＝kx (k ＜0)经过点C ，求k 的值．(第3题)类型3.反比例函数与正方形的综合4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D.(1)求k 的值；(2)若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的表达式，并写出x 的取值范围．(第4题)解码专训五：反比例函数与一次函数的综合应用名师点金：一次函数与反比例函数是两种重要的函数，也是中考的热点，主要涉及两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数图象的交点情况、交点坐标等问题及用待定系数法求函数表达式并建立合适的函数模型解决实际问题等．反比例函数图象与一次函数图象的位置判断1．如图，如果函数y ＝k(x －10)和函数y ＝kx (其中k 是不等于0的常数)的图象在同一平面直角坐标系中，则其图象可能为( )(第1题)A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2．若ab ＜0，则函数y ＝bx 与y ＝ax 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )反比例函数与一次函数的综合应用类型1.涉及两交点间距离问题3．如图，将直线y ＝－x 沿x 轴正方向平移5个单位长度后与y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，且AB ＝32，求k 的值．(第3题)4．已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)和一次函数y ＝mx ＋n(m ≠0)的图象的一个交点A 的坐标为(－3，4)，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的表达式．类型2.涉及交点个数问题5．一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，连结OA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．(第5题)解码专训六：思想方法荟方程思想名师点金： 方程思想，就是从问题情境的数量关系入手，运用数学语言将题目中的条件转化为方程(或方程组)，然后通过解方程或方程组使问题获解．反比例函数中的方程思想主要体现在运用方程组求函数图象的交点坐标及待定系数法的运用．1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x ＋12m 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限内交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1.(1)求m 的值； (2)求△ABC 的面积．(第1题)分类讨论思想名师点金：当所研究的问题的情况不唯一时，往往需要按照数学对象的相同点和不同点分类讨论，注意要按一定的标准分类．正确的分类必须是周全的，做到不重不漏．2．已知反比例函数y ＝k2x和一次函数y ＝2x －1的图象如图，其中一次函数的图象经过点(a ，b)，(a ＋1，b ＋k)．(1)求k 的值．(2)已知点A 在第一象限，且同时在上述函数的图象上，求点A 的坐标． (3)利用第(2)题的结果，问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 都求出来；若不存在，请说明理由．(第2题)数形结合思想名师点金：函数图象和函数表达式是相关联的．看式想图象，看图象想式，会为解题带来事半功倍的效果．需要注意的是，在由形求数时，要根据“形”的位置准确确定“数”的符号．3．(中考·鞍山)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D.若OA ＝OB ＝OD ＝1.(1)求点A ，B ，D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的表达式．(第3题)建模思想名师点金：建模思想是解决各种实际问题的一种方法，它从量和形的方面去考查实际问题，要注意其中所隐含的自变量取值范围为正数这一条件．本章函数建模就是通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出函数模型，并运用函数的知识解决实际问题的过程．4．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa )是气球体积V(m 3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这个函数表达式；(2)当气球的体积为1.5 m 3时，气球内的气压是多少？(3)当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应不小于多少？(第4题)答案解码专训一1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎨⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，出现m ＝±3的错误结论．2．解：由题意，得⎩⎨⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0.解得n ＝2.∴函数表达式是y ＝5x .3．解：∵一次函数y 1＝x ＋1的图象经过点A(m ，2)， ∴2＝m ＋1，∴m ＝1，∴A(1，2)． ∵反比例函数y 2＝kx 的图象经过点A(1，2)， ∴2＝k 1，∴k ＝2，即反比例函数的表达式为y 2＝2x .4．解：(1)由y 1与x 成反比例，可设y 1＝k 1x (k 1≠0)，由y 2与x 2成正比例，可设y 2＝k 2x 2(k 2≠0)．又∵y ＝y 1－y 2，∴y ＝k 1x －k 2x 2.∵当x ＝－1时，y ＝－5，当x ＝1时，y ＝1， ∴⎩⎨⎧－5＝－k 1－k 2，1＝k 1－k 2.解得⎩⎨⎧k 1＝3，k 2＝2. ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝3x －2x 2. (2)当x ＝2时，y ＝32－8＝－132.点拨：遇到这种组合型函数的问题时可以分而解之．要特别注意在设待定系数时，不能设成同一个字母k ，而要分别设为k 1，k 2.一般来说它们是不相等的．5．解：设A(a ，b)．∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴ab ＝k. 又S △AOB ＝3，∴S △AOB ＝12|AB|·|OB|＝12|ab|＝12|k|＝3，解得k ＝±6. 又∵该函数的图象在第二、四象限， ∴根据反比例函数的性质可得k ＝－6. ∴该反比例函数的表达式为y ＝－6x .点拨：若点P(a ，b)是反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上的任意一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，则S 矩形OMPN ＝|k|.6．解：(1)由已知，得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数表达式为t ＝300v (v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝150(t )，故t 与v 之间的函数表达式变为t ＝150v (v ＞0)．将t ＝2代入t ＝150v ，得2＝150v .解得v ＝75.因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .点拨：运用实际问题中的数量关系求反比例函数的表达式，必须是a ×b ＝c 型的数量关系．如：路程一定时，速度与时间的关系；总利润一定时，每件商品的利润与商品数量的关系等．解码专训二1．C 2.A 3.C 4.A 5．D 点拨：由题意，得 S △ODB ＝S △OAC ＝12×|－4|＝2. 因为OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2， 所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝2×4＝8. 6．A7．解：(1)由图象知k ＜0，由结论及已知条件得|k|＝3， ∴k ＝－3.∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点坐标为M(0，2)． ∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12|PM|(|x 1|＋|x 2|)＝5， ∴|PM|＝52，即|m －2|＝52，∴m ＝92或m ＝－12. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.点拨：依据图象及结论求k 的值是解本题的关键，只有求出k 的值，才能通过解方程组求A ，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问．8．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8x ，y ＝－x ＋2，得⎩⎨⎧x 1＝4，y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝4，所以A ，B 两点的坐标分别为A(－2，4)，B(4，－2)．(2)设函数y ＝－x ＋2的图象与y 轴交于点D ，则点D 的坐标是(0，2)， 所以S △AOD ＝12×2×2＝2，S △BOD ＝12×2×4＝4. 所以S △AOB ＝2＋4＝6.9．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数图象上， ∴k 2＝－8.∴反比例函数表达式为y ＝－8x . (2)易得B(－4，2)．∵点A(－2，4)，点B(－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上， ∴⎩⎨⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎨⎧k 1＝1，b ＝6.∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋6，与x 轴的交点坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.10．解：由反比例函数的对称性可知，坐标系将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的任意一点，所以S 矩形AEOH ＝6(平方米)．所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24(平方米)．所以总费用为25×24＝600(元)．答：所需钢条一共花600元钱．解码专训三 1．没有实数根 2．(－2，－2)；2 23．k ＜－1 点拨：∵反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有公共点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ，y ＝x ＋2无解，即k x ＝x ＋2无解．整理得x 2＋2x －k ＝0， ∴b 2－4ac ＝4＋4k ＜0.解得k ＜－1.4．解：直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后可得直线y ＝x ＋4，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，y ＝m x ，整理得：x 2＋4x －m ＝0. ∵b 2－4ac ＝0，∴42－4·(－m)＝0，即m ＝－4. ∴反比例函数y ＝m x 的表达式是y ＝－4x .将m ＝－4代入x 2＋4x －m ＝0，解得x 1＝x 2＝－2， ∴A 点坐标为(－2，2)．∵直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后与函数y ＝nx 的图象交于B 点且y 轴平分△AOB 的面积，∴B 点坐标为(2，6)．∴6＝n2. ∴n ＝12.5．解：(1)∵一次函数与反比例函数的图象有两个公共点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋8，y ＝k x ，整理得x 2－8x ＋k ＝0. ∵b 2－4ac ＞0，∴82－4k ＞0，解得k ＜16.∵一次函数与反比例函数图象的公共点在第一象限， ∴k ＞0， ∴0＜k ＜16.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，令一次函数y ＝－x ＋8中x ＝0，解得y ＝8，故OC ＝8. ∴S △COB ＝12OC·x 2，S △COA ＝12OC·x 1. ∴S △AOB ＝S △COB －S △COA ＝12OC·(x 2－x 1)＝24. ∴24＝4(x 2－x 1)．∴(x 2－x 1)2＝36. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.由(1)中x 2－8x ＋k ＝0得，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝k ， ∴64－4k ＝36. ∴k ＝7.6．解：当点C(1，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上时，k ＝2.由kx ＝－x ＋6，得x 2－6x ＋k ＝0，当(－6)2－4k ＝0，即k ＝9时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB 上 .因此反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象与△ABC 有公共点时，k 的取值范围是2≤k ≤9.解码专训四1．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°. 在Rt △AOB 和Rt △DCA 中， ∵⎩⎨⎧AO ＝DC ，AB ＝DA ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. (2)解：在Rt △ACD 中， ∵CD ＝2，DA ＝5， ∴AC ＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k ＝3×1＝3.(3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称， ∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°. ∵OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3. ∴G 点坐标为(1，3)． ∵1×3＝3，∴点G(1，3)在函数y ＝3x 的图象上． 2．解：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，6a ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3，6a ，∴(a －3)·6a ＝－3. ∴a ＝2.∴A(2，3)，B(－1，3)． ∵C(－3，0)，∴直线BC 的表达式为y ＝32x ＋92. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32.∴直线AD 的表达式为y ＝38x ＋94. ∴OE ＝94.3．解：如图，过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，则△AOB ≌△CED ，∴CE ＝OA ＝2.(第3题)设D(m ，0)，∵OB ＝4，由AD 2＋AB 2＝BD 2，得4＋m 2＋4＋16＝(4－m)2，解得m ＝－1. ∴OE ＝3.∴C 点坐标是(3，－2)． ∴k ＝－6.4．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝k x (x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时，∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y ＝2x .∴S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x ＝2x －2， 综上，S ＝⎩⎨⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.解码专训五1．C 2.B3．解：易知直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5，作AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，AC ，BC 交于点C ，则BC ＝3，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴x 2－x 1＝3，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝k x整理得，x 2－5x ＋k ＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝k ，∴25－4k ＝9，∴k ＝4.4．解：∵函数y ＝k x 的图象经过点A(－3，4)，∴4＝k －3，∴k ＝－12. ∴反比例函数的表达式为y ＝－12x .又由题意知，一次函数y ＝mx ＋n 的图象与x 轴的交点为(5，0)或(－5，0)． 当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(5，0)时，有⎩⎨⎧4＝－3m ＋n ，0＝5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴y ＝－12x ＋52.当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(－5，0)时，有⎩⎨⎧4＝－3m ＋n ，0＝－5m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝10.∴y ＝2x ＋10.∴一次函数的表达式为y ＝－12x ＋52或y ＝2x ＋10.技巧点拨：此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题，要特别注意距离与坐标的关系，考虑问题要全面．5．解：(1)将B(4，1)的坐标代入y ＝k x ，得1＝k 4，∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)的坐标代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5.(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2.(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连结BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的表达式为y ＝k′x ＋b ，由⎩⎨⎧4k′＋b ＝1，－k′＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝－35，b ＝175，∴y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.解码专训六1．解：(1)由题意知|m|2＝1，即|m|＝2.∵点A 在第一象限，∴m ＝2.(2)当m ＝2时，反比例函数的表达式为y ＝2x ，一次函数的表达式为y ＝x ＋1，∴点C 的坐标为(－1，0)，∴OC ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝－1. ∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为(1，2)．∴OC ＝OB ＝1.∴S △ABC ＝2S △AOB ＝2.2．解：(1)由已知条件，得⎩⎨⎧b ＝2a －1，b ＋k ＝2（a ＋1）－1.解得k ＝2. (2)∵k ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝1x .联立两函数的表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝1x ，解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－12，y 2＝－2.∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为(1，1)．(3)过A 作AB ⊥x 轴于点B ，则OA 2＝AB 2＋OB 2，∴OA ＝12＋12＝2，且OA 与x 轴正半轴的夹角为45°.若OA 为腰，当OA ＝OP 时，得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；当OA ＝AP 时，得P 3(2，0)；若OA 为底，得P 4(1，0)．综上所述，满足条件的点P 有四个，即P 1(2，0)，P 2(－2，0)，P 3(2，0)，P 4(1，0)．点拨：在解第(1)题时，利用联立两函数的表达式，可求出k 的值，但不能求出a ，b 的值．3．解：(1)∵OA ＝OB ＝OD ＝1，∴点A ，B ，D 的坐标分别为A(－1，0)，B(0，1)，D(1，0)．(2)∵点A ，B 在一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象上，∴⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1. ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋1.∵点C 在一次函数y ＝x ＋1的图象上，且CD ⊥x 轴， ∴点C 的坐标为(1，2)．又∵点C 在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝2.∴反比例函数的表达式为y ＝2x .4．解：(1)设所求函数表达式为p ＝k V .把点A(1.2，80)的坐标代入，得80＝k 1.2.解得k ＝96.∴这个函数表达式为p ＝96V (V ＞0)．(2)把V ＝1.5 m 3代入p ＝96V ，得p ＝961.5＝64(kPa )．∴当气球的体积为1.5 m 3时，气球内的气压是64 kPa .(3)当p ＝120 kPa 时，96V ＝120.解得V ＝0.8(m 3)．对于反比例函数p ＝96V， 当V ＞0时，p 随V 的增大而减小．∴当p ≤120 kPa 时，V ≥0.8 m 3.故为了安全起见，气球的体积应不小于0.8 m 3.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
反比例函数问题的求解方法
反比例函数问题的求解方法摘要：反比例函数的相关问题不但题型特别且较为新颖，并且解决问题的方法众多。
本文对反比例函数相关问题的求解方法进行了归纳，希望为更多的业内人员提供有价值的借鉴与参考。
关键词：反比例函数；求解；方法前言：所有问题的解决都不止一种有效的方式，唯有依照这类思路或是方法进行解题，所有复杂的问题都会变得较为简单。
下列是作者充分结合自身多年的工作经验，对一个设点坐标的方法进行反比例函数问题的相关处理，旨在为相关人士提供参考。
1坐标元法举例：图1所示，在平面直角的坐标体系中，反比例函数的图像和边长为6的正方形OABC的AB、BC两个边分别交汇于M，N两个点上，△OMN的面积是10，如果动点P处于x轴中，则PM+PN的最小值为（）题型分析：依照图形存在的特点，预设点为M，点N的坐标，通过△OMN的面积能够明确为k值，此问题主要通过轴对称的性质，寻找最短的线段，并求解。
解题：例如图1所示，过点N就是ND⊥x轴，垂足就是D，和OM相交于G。
由于正方形OABC的边长为6，因此，点M的横坐标与点N的纵坐标都是6。
如果设点M（6，a），点N（b，6）。
因为，点M，N都处于反比例函数的图像中，所如图2所示，M关于x轴的对称点为Mˊ。
和NMˊ相交x轴与P，而NMˊ的长就是的最小值。
本题解题的重要点主要有：第一，通过性质，利用三角形的面积明确k；第二，通过轴对称，明确最小的距离，并准确确定图形。
2线段长度元法对此图展开分析：首先通过一次函数的解析式，明确A，B的坐标，进而明确线段AO，BO，的长度，从而明确∠BAO的大小，进而为之后的解题提供已知条件；之后将等腰三角形相等的腰当做等量传递的中心，分别对点D，C的坐标进行表示，最后在依照反比例函数的性质进行求解就可以了。
在对本题进行解题时应该重视下列关键点：第一，加强明确直线和坐标轴的交点坐标；第二，对坐标和线段长度之间的转换关系进行准确的处理；第三，科学有效的引入未知数也属于解题的重要技能；第四，需要对勾股定理以及30°角的性质进行熟练的利用。
专训1 求反比例函数解析式的六种方法
专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.(第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3.∴此反比例函数的解析式为y ＝6x . 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0.解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x .3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x ，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x .∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6.4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k2x (k 2≠0)．由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k2x .又∵y ＝k 1x ＋k2x 的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x .5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形AB CD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x .(第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v (v ＞0)．(2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )，150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。
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专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金：
求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．
利用反比例函数的定义求解析式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．
利用反比例函数的性质求解析式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．
利用反比例函数的图象求解析式
3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m
x的图象在第一象
限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.
(1)求函数y＝m
x和y＝kx＋b的解析式．
(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x
的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.
(第3题)
利用待定系数法求解析式
4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭
⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．
利用图形的面积求解析式
5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x
上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．
(第5题)
利用实际问题中的数量关系求解析式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
答案
1．解：由反比例函数的定义可知⎩
⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的解析式为y ＝6x
. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．
2．解：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0. 解得n ＝2(n ＝－4舍去)．
∴此函数的解析式是y ＝5x
.
3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x
，可得m ＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x
. ∵OB ＝6，∴B(0，－6)．
把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得
⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6， ∴一次函数解析式为y ＝2x －6.
(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，
即C(3，0)，∴CO ＝3，
设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a
＝9， 解得a ＝43
，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．
∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k 2x
(k 2≠0)． 由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x
. 又∵y ＝k 1x ＋k 2x
的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩
⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.
∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x
. 5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6，
∴k －1＝6.∴k ＝7.
∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x
. (第5题)
6．解：(1)由已知得vt ＝300.
∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v
(v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭
⎫1－12＝150(t )， 150÷2＝75(t /h )．
因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。