[推荐学习]2018年秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程单元综合检测题 (新版)北师大版
2018秋湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程单元测试卷(有答案)-精选教学文档
第2章检测题考试时间：120分钟满分：120分第Ⅰ卷(选择题共36分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列方程中，表示关于x的一元二次方程的是(A)A．2(x＋3)2＝3(x－1) B.1x2－x＝1C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－1＝x(x＋2)2．用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，则配方正确的是(B)A．(x－4)2＝9 B．(x＋4)2＝9 C．(x－8)2＝16 D．(x＋8)2＝573．一元二次方程x(x－3)＝3－x的根是(D)A．－1 B．0 C．1和3 D．－1和34．边长为5米的正方形，要使它的面积扩大到原来的4倍，则正方形的边长要增加(C)A．2米B．4米C．5米D．6米5．(2019·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．无法判断D．有两个相等的实数根6．(2019·黔南州)“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1 000台清洁能源公交车，以2019客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3 000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为(C) A．1 000(1＋x%)2＝3 000 B．1 000(1－x%)2＝3 000C．1 000(1＋x)2＝3 000 D．1 000(1－x)2＝3 0007．不论a，b为任何实数，式子a2＋b2－4b＋2a＋8的值(D)A．可能为负数B．可以为任何实数C．总不大于8 D．总不小于38．★(2019·仙桃)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(B)A．－13 B．12 C．14 D．159．定义一种运算“※”，其规则为：a※b＝(a＋1)(b＋1)，根据这个规则，方程x※(x ＋1)＝0的解是(B)A．x＝0 B．x1＝－1，x2＝－2C．x1＝0，x2＝－1 D．x＝－110．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则▱ABCD 的周长为( A )A ．4＋2 2B ．12＋6 2C ．2＋2 2D ．2＋2或12＋6 211．(覃塘三中模拟)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第________象限( D )A ．四B ．三C ．二D ．一12．如图，过点A (2，4)分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是点M ，N .若点P 从点O 出发，沿OM 做匀速运动，1 min 可到达M 点．同时点Q 从M 点出发，沿MA 做匀速运动，1 min 可到达点A .若线段PQ 的长度为2，则经过的时间为( C )A ．0 minB ．0.4 minC ．0.4 min 或0 minD ．以上都不对第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．如果二次三项式x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则m ＝__±__10__．14．关于x 的方程kx 2＋4x ＋3＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__k ＜__43且k ≠0__．15．(北海实验中学模拟)如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为x m ，由题意列得方程__(30－2x )(20－x )＝78×6__．16．如图是一个正方体的展开图，标注字母A 的面是正方体的正面，标注字母G 的面为底面，如果正方体的左、右两面标注的代数式的值相等，则x ＝__1或2__.17．现定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x ＝__4或－1__．18．★观察下列方程的解并填空．①x 2－1＝0的解x 1＝1，x 2＝－1；②x 2＋x －2＝0的解x 1＝1，x 2＝－2；③x 2＋2x －3＝0的解x 1＝1，x 2＝－3；④x 2＋3x －4＝0的解x 1＝1，x 2＝－4……则第2 018个方程为__x 2＋2__017x －2__018＝0__，其解为__x 1＝1，x 2＝－2__018__．三、解答题(本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(8分)解下列方程：(1)x 2－x －5＝0；解：x ＝1±212， ∴x 1＝1＋212，x 2＝1－212； (2)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.解：4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8＝0，(x －2)(x －4)＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.20．(5分)已知关于x 的一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0的一个根为0，求k 的值．解：把x ＝0代入一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0，得k 2＋3k －4＝0，解得k ＝－4或1，又k ＋4≠0，即k ≠－4，所以k ＝1.21．(7分)(2019·鄂州)关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，存不存在这样的实数k ，使得||x 1－||x 2＝ 5？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由．解：(1)依题意有Δ＝[－(2k －1)]2－4(k 2－2k ＋3)>0.解得k >114； (2)存在．||x 1－||x 2＝ 5，两边同时平方，得x 21－2||x 1x 2＋x 22＝5.由一元二次方程根与系数的关系知：x 1＋x 2＝2k －1，x 1·x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2. ∵(k －1)2＋2>0，∴x 1·x 2>0，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5，即(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5，∴k ＝4，∵k ＞ 114，∴k ＝4满足题意． 22．(8分)如图，如果菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O ，且AO ，BO 的长分别是方程x 2－(2m －1)x ＋4(m －1)＝0的两个根，求m 的值．解：由题意知AO 2＋BO 2＝25.而AO ，BO 的长分别是方程x 2－(2m －1)x ＋4(m －1)＝0的两个根．故(2m －1)2－8(m －1)＝25，解得m ＝－1或m ＝4.由于AO ，BO 的长均大于0，则m 的值为4.23．(8分)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，则张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？解：设这种箱子底部宽为x 米，依题意，得x (x ＋2)×1＝15.解得x 1＝－5(舍去)，x 2＝3，x ＋2＝5.所以这种箱子底部长为5米，宽为3米，这张矩形铁皮面积为：(5＋2)×(3＋2)＝35(平方米)，所以要花35×20＝700(元)．24．(8分)[真题体验](2019·贵港)为了经济发展的需要，某市2019年投入科研经费500万元，2019年投入科研经费720万元．(1)求2019至2019年该市投入科研经费的年平均增长率；(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划2019年投入的科研经费比2019年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2019年投入的科研经费为a 万元，请求出a 的取值范围．解：(1)设2019至2019年该市投入科研经费的年平均增长率为x ，依据题意，得500(1＋x )2＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍)．答：2019至2019年该市投入科研经费的年平均增长率为20%；(2)根据题意，得a －720720×100%≤15%，解得a ≤828， 又∵该市计划2019年投入的科研经费比2019年有所增加，故a 的取值范围为720＜ a ≤ 828.25．(10分)(2019·重庆)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m %，但销售均价比去年减少了m %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．解：(1)设该果农今年收获樱桃x 千克．根据题意，得400－x ≤7x ，解得x ≥50.(2)由题意得100(1－m %)× 30＋200× (1＋2m %)× 20(1－m %)＝100× 30＋200× 20. 令m %＝y ，原方程可化为3 000(1－y )＋4 000(1＋2y )(1－y )＝7 000，整理可得8y 2－y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝0.125.∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12.5.答：m 的值为12.5.26．(12分)如图所示，已知A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动，一直到点D 为止．问：(1)P ，Q 两点出发多长时间，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2?(2)P ，Q 两点出发多长时间，点P 与点Q 的距离是10 cm?解：(1)设P ，Q 两点出发x s 时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2，则AP ＝3x ，PB ＝16－3x ，CQ ＝2x ，∴[2x ＋（16－3x ）]× 62＝33，解得x ＝5，即P 、Q 两点出发5 s 时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2.(2)设P ，Q 两点出发y s 时，点P 与点Q 的距离是10 cm ，过点Q 作QH ⊥AB ，交AB 于H ，如图，则AP ＝3y ，CQ ＝2y ，PH ＝16－3y －2y ，∴(16－3y －2y )2＝102－62，解得y 1＝1.6，y 2＝4.8，∴P ，Q 两点出发1.6 s 或4.8 s 时点P 与点Q 的距离是10 cm.。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
解得：k≤1．
∵k是二次项系数不能为0,k≠0,即k≤1且k≠0．
∵k为非负整数,
∴k=1．
故选B．
[点睛]考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
7.如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣B=0有两个相等的实数根x1=x2=k,则直线y=kx+B必定经过的象限是（ ）
A.m＜ B.m C.m= D.m=
6.已知关于x的一元二次方程 有实数根,若k为非负整数,则k等于（ ）
A.0B.1C.0,1D.2
7.如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣B=0有两个相等的实数根x1=x2=k,则直线y=kx+B必定经过的象限是（ ）
A.一、二、三B.一、二、四C.二、三、四D.一、三、四
当A=B时,△=（-6）2-4×（n-1）=0,解得n=10,
所以n为10．
点睛：一元二次方程Ax2+Bx+C=0（A≠0）的根与△=B2-4A C有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时,方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时,方程无实数根．
17.若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0,则k=_____．
C. D.
[答案]B
[解析]
设场地的长为x米,则宽为（x﹣12）米,根据面积可列方程,
x（x﹣12）=210,
故选B．
5.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合测试附答案
26.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
27.已知关于x 一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
（1）字母 的取值范围为_______________；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，那么 的值为________，此时方程的根为________．
17.关于x的一元二次方程Ax2+Bx+1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数A、B的值：A＝_____，B＝_____．
18.如图，在直角三角形A B C中，∠C＝90º，A C＝6厘米，B C＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿A C、C B方向匀速运动，它们 速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米．
[解析]
[分析]
本题我们可以将一元二次标准方程两边都除以A,令二次项x2项的系数为1.则一次项系数和常数项系数分别 和 ,即为-（ ）和 ，可得出原方程.
[详解]解:设符合条件的方程为:x2+Ax+B=0.
=2, =-3,
A=-( )=1,B= =-6,
符合条件的方程可以是:x2+x﹣6=0.
因此,本题正确答案是:x2+x﹣6=0.
考点：一元二次方程的应用．
11.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测题(附答案)
考点：一元二次方程的应用
二、填空题
15.若（m+1）x2+2mx-1=0是关于x 一元二次方程,则m的值是．
【答案】m≠-1
【解析】
试题解析：由题意得：m+1≠0,
解得：m≠-1,
且△=b2-4ac=4m2+4（m+1）=（2m+1）2+3＞0,
A. -4B. 4C. -14D. 14
【答案】D
【解析】
根据题意,
把一元二次方程x2-6x-5=0配方得,（x-3）2-14=0,
∴化成（x+a）2=b的形式为（x-3）2=14,故答案选D.
3.方程x2=x的解是（ ）
A.x=1B.x1=﹣1,x2=1C.x1=0,x2=1D.x=0
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程各项系数结合根的判别式即可得出△＝8＞0,由此即可得出结论．
【详解】∵在方程x2+2x﹣1＝0中,△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0,∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式,熟练掌握“当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根．”是解题的关键．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意,找准数量关系,列出方程．
13.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了 个人,列出 方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：平均一人传染了x人,根据有一人患了流感,第一轮有（x+1）人患流感,第二轮共有x+1+（x+1）x人,即64人患了流感,由此列方程x+1+（x+1）x=64
2018-2019学年度第一学期湘教版九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试题(有答案)
2018-2019学年度第一学期湘教版九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试题（有答案）2018-2019学年度第一学期湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.C.且D.且2.已知是方程的一个根，则的值为（）A. B. C. D.3.方程的一次项系数是（）A. B. C. D.4.某件商品经过两次降价，每件售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同并设为，则列出方程为（）A. B.C. D.5.一元二次方程的一根为，则的值为（）A. B. C. D.6.方程的根是（）A. B.C.，D.7.某市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，即若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局…并且规定：每局赢者得分，输者得分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（）A.无可能B.有可能C.不能确定D.一定能8.用配方法解一元二次方程，下一步骤配方正确的是（）A. B.C. D.9.某校组织初中一年级各班同学进行足球赛，实行单循环赛制，结果总共进行了场比赛，则初中一年级班级数为（）A. B. C. D.1 / 510.用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（）A.，，B.，，C.，，D.，，二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.把方程化成的形式，则________，________．12.方程的解是：________．13.已知关于的方程是一元二次方程，则________．14.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．15.已知：关于的方程的两根为、，则代数式可因式分解为________．16.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则________．17.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价________元．18.若一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________．19.已知，那么________，________．20.关于的方程是一元二次方程，则的值是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程：．（用配方法）2018-2019学年度第一学期湘教版九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试题（有答案）22.已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根；当时，判断方程两根是否都在与之间．23.已知，方程．求证：不论取何值时，方程总有两个不相等实数根；若方程有一根为，求方程的另一根及的值．24.如图，等腰直角三角形中，，，动点从出发沿向移动，通过点引，，问当等于多少时，平行四边形的面积等于？设的长为，列出关于的方程．25.己知关于的一元二次方程有两个实数根和．求实数的取值范围：当时，求的值．26.某人将元人民币按一年定期存入银行，到期后支取元用作购物，剩下的元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共元，求这种存款方式的年利率．3 / 5答案1.D2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.B10.A11.12.，13.或14.且15.16.17.18.且19.20.21.解：分解因式得：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，，，，．22.证明：∵ ，，，2018-2019学年度第一学期湘教版九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试题（有答案）∴ ，∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．解：，，，，∵ ，∴ ，∴ ，∴当时，方程的两根不都在与之间．23.证明：，所以，不论取何值时，方程总有两个不相等实数根；解：把代入方程得，解得；所以方程为，解得方程的另一根为．24.解：设的长为时，的面积等于，依题意有．25.解：原方程可化为：，，∴． ∵ ，∴ 或，① 时，，∴；② 时，，∴；∵，∴（舍去），综上所述，．26.解：设这种存款方式的年利率为，由题意，得，解得：（不符合题意，舍去），，∴这种存款方式的年利率为：．5 / 5。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程3x2−5=4x中，关于a、b、c的说法正确的是（）A．a=3,b=4,c=−5B．a=3,b=−5,c=4C．a=−3,b=−4,c=−5D．a=3,b=−4,c=−52．已知关于x的方程x2+bx−a=0有且只有一个根x=a(a≠0)，则b的值为（）A．2B．−2C．±2D．以上都不是3．用配方法解方程x2+4x+3=0，变形后的结果正确的是（）A．(x+2)2=−1B．(x+2)2=1C．(x+2)2=3D．(x+2)2=74．若α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，则3α2+4α+3β+1的值是（）A．−1B．1C．2D．−25．方程(m−2)x2−√3−mx+14=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m≤52B．m≤52且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠26．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1（a，m，b均为常数a≠0），则方程a(x+3+m)2+ b=0的解是（）A．−1或−4B．−2或1C．1或3D．−5或−27．已知关于x的一元二次方程x2−kx+2k−1=0的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=7，那么(x1−x2)2的值为（）A．13或−11B．13C．−11D．118．如果△ABC有两边的长是方程x2−7x+12=0的根，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，那么△ABC的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对二、填空题9．已知关于x的一元二次方程2x2−4x+3=0的两个实数根分别是α，β；则(α+1)(β+1)=．10．某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于x的方程x2−12x+k=0的两根，则k=；11．若a是一元二次方程x2−2023x+1=0的一个根，则代数式a2−2022a+2023a2+1的值为。
九年级数学上册_第二章_ 一元二次方程练习题 单元检测试卷【有答案】
九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试卷_考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.关于x的一元二次方程(m+1)x m2+1+4x+2=0中m的值是（）A.m=−12B.m=−1 C.m=1 D.m=122.一元二次方程x2−2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根3.方程2x(x−1)=4(x−1)的一次项是（）A.2xB.4xC.−6D.−6x4.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0有一根为0，则k=( )A.±1B.1C.−1D.05.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，则方程必有一根是（）A.0B.1C.−1D.±16.已知关于x的方程x2+mx+n=0有一个根是−n(n≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（）A.n+mB.nm C.n−m D.nm7.关于x的一元二次方程a(x+3)2+3=0的解的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定8.在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA，cosB是方程4x2−4x+1=0的实数根，则这个三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形9.用配方法解方程x2−8x+3=0，下列变形正确的是（）A.(x+4)2=13B.(x−4)2=19C.(x−4)2=13D.(x+4)2=1910.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC面积的比值是（）A.√5−22B.√5−23C.3−√52D.3−√53二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一元二次方程12x2+x=3中，a=________，b=________，c=________，则方程的根是________．12.已知y=x2−4x+3，当x=________时，y=0；x=________时，y=2．13.对于实数a，b，我们定义一种运算“”为：ab=a2−ab，例如13=12−1×3．若x4=0，则x=________．14.若一元二次方程x2−6x=−m有实数根，则m的取值范围是________．15.已知(x2+y2+1)(x2+y2−3)=5，则x2+y2的值等于________．16.设x1，x2是方程x2−x−2013=0的两实数根，则x13+2014x2−2013=________．17.若关于x的方程x2+mx+16=0有两个不相等的整数根，则m的值为________（只要写出一个符合要求的m的值）．18.已知3−√2是方程x2+mx+7=0的一个根，则m=________，另一根为________．19.某校初三年级组织一次班级篮球赛，赛制为单循环（每两班之间都赛一场），需安排45场比赛，则共有________个班级参加比赛．20.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：设每盆花苗增加x株，可列一元二次方程为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程：(1)(x+1)2−9=0．（2）x2+2x−5=0．（3）x(x−1)=2(x−1)． (4)(x−1)(x+3)=12．22.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m−3=0．(1)求证：无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数根．(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．23.已知关于x的方程4x2−8nx−3n=2和x2−(n+3)x−2n2+2=0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．24.如图，用一块正方形纸板，在四个角上截去四个相同的边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32cm3．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是xcm，请列出方程，并把它化成一般形式．25.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？26.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．已知点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．答案1.C2.D3.D4.C5.C6.A7.D8.B9.C10.C11.121−3x1=−1+√7，x2=−1−√712.3或12+√3或2−√313.0或414.m≤915.416.201417.1018.−63+√219.1020.(x+3)(3−0.5x)=1021.解：(1)移项得，(x+1)2=9，开方得，x+1=±3，解得x1=2，x2=−4．(2)由原方程，得x2+2x=5，配方，得x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，则x+1=±√6，解得：x=−1±√6．(3)由原方程，得(x−2)(x−1)=0．则x−2=0或x−1=0，解得x1=2，x2=1．(4)(x−1)(x+3)=12，整理得：x2+2x−15=0，分解因式得：(x+5)(x−3)=0，即x+5=0，x−3=0，解方程得：x1=−5，x2=3，∴方程的解是x1=−5，x2=3．22.(1)证明：△=4(m+1)2−4(m−3)=4m2+4m+16=4(m+12)2+15，∵4(m+12)2≥0，∴4(m+12)2+15>0，即△>0，∴无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数根；(2)解：根据题意得2(m+1)= 0，解得m=−1，则方程化为x2−4=0，解得x1=2，x2=−2，即m为−1时，方程的两根互为相反数，此时方程的解为x1=2，x2=−2，23.解：由△1=(−8n)2−4×4×(−3n−2)=(8n+3)2+23>0，知n为任意实数时，方程(1)都有实数根．设第一个方程的两根为α、β．则α+β=2n，αβ=−3n−24．于是，(α−β)2=(α+β)2−4αβ，=4n2+3n+2；由第二个方程得[x−(2n+2)][x+(n−1)]=0，解得两根为x1=2n+2，x2=−n+1；若x1为整数，则4n2+3n+2=2n+2．于是n1=0，n2=−14．当n=0时，x1=2是整数；n=−14时，x=32不是整数，舍去．若x2为整数，则4n2+3n+2=1−n．有n3=n4=−12．此时x2=32不是整数，舍去．综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．24.解：正方形纸板的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x−2×2)厘米，高为2厘米，根据题意列方程得，(x−2×2)(x−2×2)×2=32，化为一般形式为：x2−8x=0．25.商场经营该商品原来一天可获利润2000元；(2)依题意得：(100−80−x)(100+10x)=2160，即x2−10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元．26.解：∵∠B=90∘，AC=10，BC=6，∴AB=8．∴BQ=x，PB=8−2x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2，则12×6×8−12x(8−2x)=16，整理得：x2−4x+8=0，∵△=16−32=−16<0，∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试（满分120分，考试用时120分钟）一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为( )A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝22.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=3005.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=196.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=08.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=09.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 202110.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=422.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.参考答案一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为()A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝2【答案】A【解析】分析：利用因式分解法解方程即可．详解：x（x-2）=0，x=0或x-2=0，所以x1=0，x2=2．故选A．点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．2.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣【答案】A【解析】试题解析：∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得：+=2故选A.3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=300【答案】B【解析】试题解析：当商品第一次提价x%时,其售价为180+180x%=180(1+x%),当商品第二次提价x%后,其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.∴180(1+x%)2=300.故选B.5.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=19【答案】C【解析】解：x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13．故选C．6.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根【答案】C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(k-4)≥0,由此即可得出该方程有实数根,此题得解.【详解】解:在方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）中,A=k-42(k-2)=k-8k+16=(k-4)≥0，.该方程有实数根.所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程由根的判别式判别根的情况.7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=0【答案】B【解析】【分析】先设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,根据根与系数的关系可求α+β、αβ,再根据根与系数的关系易求与的值,进而可求二次项系数为1的方程.【详解】解:设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,那么α+β=-2,αβ=-3,=-2-3=-5, =-2x(-3)=6,若a=1,则b=5,c=6,所求方程是y2+5y+6=0.所以B选项是正确的.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.8.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=0【答案】C【解析】【分析】将已知数据从小到大顺序排列:2,3,4,4,5,5,5;根据众数和中位数的定义求出众数和中位数,再根据根与系数的关系造出方程即可.【详解】解:将已知数据从小到大顺序排列,得:2,3,4,4,5,5,5;共7个数据,处于中间的数据是第4个数据4,出现最多的数据是5,因此,这组数据的中位数是4,众数是5,以4,5为根的一元二次方程是x2-9x+20=0,所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查了众数,中位数的概念,根与系数的关系,掌握众数和中位数的求法是解题的关键.9.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】首先由已知可得a2+2a-2=0,即a2+2a=2.然后化简代数式,注意整体代入,从而求得代数式的值.【详解】解:把x=a代入得到a2+2a-2=0,则a2+2a=2.又2a2+4a=2(a2+2a),把a2+2a=2代入2a2+4a+2016=2(a2+2a)+2016=22+2016=2020所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及整体代入计算整式的值.10.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2【答案】B【解析】【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，∵矩形的对边DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．故选：B．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．【答案】【解析】由较小的数为x可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，故答案为：x2+(x+3)2=65.12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．【答案】x1=x2=2【解析】【分析】根据配方法即可解方程.【详解】解：x2﹣4x+4=0（x-2）2=0∴x1=x2=2【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．【答案】-2【解析】试题分析：把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，∴6m+2n=2（3m+n）=2×(－1)=﹣2考点：整体思想求代数式的值.14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．【答案】8【解析】【分析】易得到两根之和与两根之积的具体数值，利用(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2代入相应的数值进行计算即可得.【详解】∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，∴x1+x2=4，x1x2=2，∴(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2=42-4×2=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．【答案】-5【解析】试题分析：设x1、x2为一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根，则由根与系数的关系得：x1+x2=-=﹣5．考点：根与系数的关系16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）【答案】答案不唯一，如【解析】分析：根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．详解：∵x1+x2=3，x1x2=2，∴以x1，x2为根的一元二次方程x2-3x+2=0．故选答案不唯一，如．点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．【答案】1【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．故k的最小整数值为1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．【答案】a≤1．【解析】试题分析：∵方程有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1．考点：根的判别式．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.【答案】5【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5考点：根与系数的关系20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．【答案】-1【解析】分析：欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴ab=-1，a+b=2，∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab，=0+ab，=-1，故答案为：-1．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=4【答案】（1）x1=0，x2=；（2）x1=2+2，x2=2-2.【解析】【分析】（1）结合提取公因式法分解因式解方程；（2）利用配方法求出方程的根即可．【详解】（1）解：2x2-x=0，x(2x-1)=0，x=0或2x-1=0，则x1=0,x2=.（2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4，（x-2）2=8,x-2=±2 ，则x1=2+2,x2=2-2.【点睛】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．22.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=-1，∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长是12．【解析】试题分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．试题解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=，即；解得，（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；故△ABC的周长是12．考点：1．根与系数的关系；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.【答案】甲错误，乙正确【解析】试题分析：甲的观点是错误的，乙的观点是正确的．分别求出抛物线y=2x2+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时m的值以及抛物线在x轴上方时该抛物线的最低点的位置即可．试题解析：甲的观点是错误的.理由如下：当抛物线与轴只有一个交点时即：解得或即或时抛物线与轴只有一个交点乙的观点是正确的理由如下：当抛物线在轴上方时，由上可得即：∴而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点顶点的横坐标为，且抛物线在轴上方，即抛物线的最低点在第二象限【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点问题以及和二次函数有关的性质，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【答案】（1）2，；（2）不存在，理由见解析；（3）（m+n）2-8mn≥0，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．试题解析：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，∴x1=2，x2=.（2）不存在，理由如下：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-3x+2=0.∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B.（3）（m+n）2-8mn≥0，理由如下设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．考点：一元二次方程的应用．26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【答案】人行道的宽度为2米【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60 平方米，列方程求解.解：根据题意，得．整理得．解得，．∵不符合题意，舍去，．答：人行通道的宽度是2米．“点睛”本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？【答案】（1）新投放的共享单车1250辆；（2）为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车. 【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出y的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：640=1000;解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；答：新投放的共享单车1250辆.（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000;解得：y≥60;∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)=200y+300(100-y)=-100y+30000∵-100＜0,∴W随着x的增大而减小；∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解题关键是读懂题意，根据题意列出方程或不等式．28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.【答案】(1) y=－x2＋9x（0<x≤4）(2)20【解析】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0<x≤4）.（2）由（1）知：y=－x2＋9x=.∵当0<x≤时，y随x的增大而增大，而0<x≤4，∴当x=4时，.∴△PBQ的最大面积是20cm2.（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解. （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答.。
(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》检测(答案解析)
一、选择题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．32．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A ．221x x +B ．20ax x +=C ．()()121x x -+=D ．223250x xy y --= 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4 4．定义运算：x *y ＝x 2y ﹣2xy ﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x *1＝0的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 5．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）A ．22x x =B ．(1)(3)0x x ++=C ．2(2)5x -=D ．210x x -+=6．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定7．某市2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费比2019年增加480万元，若2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长奉为x 则可列方程为（ ） A ．22000(1)2000(1)480x x +=++B ．22000(1)2000(1)x x +=+ C ．22000(1)2000480x +=+ D ．2000(1)2000480x +=+ 8．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）A ．1000（1＋x ）2＝3390B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390C ．1000（1＋2x ）＝3390D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝33909．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A ．10x -= B ．20x x += C ．210x -= D ．210x +=11．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（ ）A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3 12．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣k ＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜﹣4B ．k ＜4 且k ≠0C ．k ＞﹣4D ．k ＞﹣4且k ≠0 二、填空题13．已知m ，n 是方程2210x x --=的两实数根，则11m n+=_______． 14．若关于x 的一元二次方程22(2)40m x x m ++-+=有一个根是0，则m =____． 15．所示，某小区规划在一个长为40m 、宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m 2，求甬路的宽度．16．关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________． 17．若12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则1211+x x ＝___________． 18．定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-．若(21)(2)0x x -⊕+=，则x =______________．19．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________．20．关于x 的方程21090x x ++=的实数根为______．三、解答题21．关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，求出该方程两根．22．龙岩市某村2017年的人均收入为7500元，落实精准扶贫工作后，2019年人均收入为14700元．求人均收入的年平均增长率．23．解方程：2(2)3(2)x x +=+24．关于x 的方程()22210x x m ---=有实数根，且m 为非正整数．求m 的值及此时方程的根．25．用适当的方法解下列方程：（1）22210x x +-= （2）225(3)9x x +=-26．解答下列各题：（1）用配方法解方程：2840x x --=；（2）已知2x =关于x 的一元二次方程()22130x m x m +--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接根据根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1x 2=-3．故选B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 2．C解析：C【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】A.含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C.由已知方程得到：x²+x-3=0，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．3．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．4．A解析：A【分析】先转换成一元二次方程，再用根的判别式判断即可．【详解】解：根据题意，方程x *1＝0为：2210x x --=，∵2(2)4(1)8∆=--⨯-=＞0，∴方程有两个不相等的实数根；故选：A ．【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程的根的判别式，解题关键是理解题意，把方程转化为一元二次方程，再用根的判别式判断．5．D解析：D【分析】由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；【详解】解：A.由22x x =可得(2)0x x -=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；B.(1)(3)0x x ++=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；C. 2(2)5x -=，50>，有两个实数根，故不符合题意；D. 224(1)41130b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，没有实数根，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式Δ=b 2−4ac 以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．6．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．7．A解析：A【分析】2018年投入教育经费⨯（1+增长率）2=2020年投入教育经费，据此列方程即可．【详解】解：2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长率为x ，2018年投入教育经费2000万元，∴2019年投入教育经费为2000(1)x +，2020年投入教育经费为2000(1)480x ++， 由题意得，22000(1)2000(1)480x x +=++，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键时读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程． 8．B解析：B月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430x x-+=的根的判别式为：b2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．10．C解析：C【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可．【详解】解：A、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的根的判别式．11．C 解析：C移项，利用因式分解求解即可.【详解】解：∵2x ＝﹣3x ，移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0，解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键. 12．C解析：C【分析】根据根的判别式解答.【详解】根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣k ）＞0，解得k ＞﹣4．故选：C .【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系：∆>0时方程有两个不相等的实数根，∆=0时方程有两个相等的实数根，∆<0时方程没有实数根.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．-2【分析】由根与系数的关系可得出m ＋n ＝2mn ＝−1将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 是方程x2−2x−1＝0的两实数根∴m ＋n ＝2mn ＝−1∴＝＝−2故答案为：-2【点睛】本题考查了根与系解析：-2【分析】由根与系数的关系可得出m ＋n ＝2、mn ＝−1，将其代入11m n +=m nn m +中，即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 是方程x 2−2x−1＝0的两实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝−1， ∴11m n +=m n n m +＝21-＝−2． 故答案为：-2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 14．2【分析】先把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值【详解】解：把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0解得m1＝2m2＝﹣2因为m+2≠0所以m≠-2所以解析：2【分析】先把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，解得m 1＝2，m 2＝﹣2，因为m +2≠0，所以m≠-2所以m 的值为2．故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．2米【分析】设甬路的宽为xm 六块草坪的面积为根据面积之间的关系列方程解方程求解并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽【详解】解：设甬路的宽为xm 根据题意得整理得解得当x=44时不符合题意故舍去所 解析：2米．【分析】设甬路的宽为xm ，六块草坪的面积为()()40226x x --，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为xm ,根据题意得()()402261446x x --=⨯，整理得246880x x ，-+= 解得1244,2x x ==，当x =44时不符合题意，故舍去，所以x =2.答：甬路的宽为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．16．【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根∴a-1≥0解得a≥1故答案为a≥1【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件直接开平方法解一解析：1a ≥【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．17．3【分析】根据韦达定理可得将整理得到代入即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个根∴∴故答案为：3【点睛】本题考查韦达定理掌握是解题的关键 解析：3【分析】根据韦达定理可得123x x +=，121=x x ，将1211+x x 整理得到1212x x x x +，代入即可． 【详解】解：∵12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，∴123x x +=，121=x x ， ∴121212113x x x x x x ++==， 故答案为：3．【点睛】 本题考查韦达定理，掌握12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键． 18．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故解析：12或1-． 【分析】分类讨论当212x x -≥+和当212x x -<+两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨论①当212x x -≥+时，即3x ≥．此时2212(21)(2)(2)240x x x x x x x -⊕+=-+++=+=，解得：1202x x ==-，．由于3x ≥，所以两个根都舍去．②当212x x -<+时，即3x <．此时2212(21)(2)(21)210x x x x x x x -⊕+=-+--=+-=， 解得：34112x x ==-，． 由于3x <，所以两个根都符合题意． 故答案为：12或1-． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．19．-2【分析】把-1代入方程求m 再把m 代回方程解方程即可；或用根与系数关系可求【详解】解：方法一把-1代入方程得解得m=2代入原方程得解得故答案为：-2；方法二设另一个根是a 根据根与系数关系a×（-1解析：-2【分析】把-1代入方程求m ，再把m 代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求．【详解】解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得，1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=，解得，121,2x x =-=-，故答案为：-2；方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2，故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．20．【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：（x+1）（x+9）=0∴x+1=0x+9=0∴故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方解析：11x =-，29x =-【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：21090x x ++=（x+1）（x+9）=0∴x+1=0，x+9=0，∴11x =-，29x =-．故答案为: 11x =-，29x =-．【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．三、解答题21．（1）7；（2）1244x x ==【分析】（1）由关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根，则a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值；（2）将a 的最大整数值代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，即可求出该方程两根．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9＝0有实数根，∴a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a≥0， 解得：779a ≤； ∴a 的取值范围为779a ≤且a≠6， 所以a 的最大整数值为7； （2）将a ＝7代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，得x 2﹣8x +9＝0，∵△＝64﹣36＝28，∴x ＝82±＝．∴1244x x ==【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．22．40%【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x根据题意得：()275001+14700x =解得：0.4x =或 2.4x =-（舍去）∴人均收入的年平均增长率为40% ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．23．122,1x x =-=．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】∵2(2)3(2)x x +=+，∴()()22320x x +-+= ∴()()2230x x ++=⎡⎤⎣⎦-∴()()210x x +-=解得：122,1x x =-=．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键．24．0m =，121x x ==．【分析】根据一元二次方程有实数根可以判断△≥0，又根据m 为非正整数，可以判断0m =，进而求解即可；【详解】解：∵方程有实数根，∴()()224210m =-+-≥△． 解得：0m ≥．又∵ m 为非正整数，∴ 0m =．当0m =时，方程为2210x x -+=．此时方程的解为121x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程有实数根的情况，正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；25．（1）1211,22x x -+-==；（2）1293,2x x =-=- 【分析】（1）根据公式法计算即可；（2）根据因式分解法计算即可；【详解】解：（1）22210x x +-=， 2242(1)12∆=-⨯⨯-=，222x -±=⨯，12x x ∴==； （2）25(3)(3)(3)x x x +=+-，25(3)(3)(3)0x x x +-+-=，(3)[5(3)(3)]0x x x ++--=，即(3)(418)0x x ++=，1293,2x x ∴=-=-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．26．（1）14x =+24x =-；（2）2m =-，方程的另一个根3【分析】（1）先把常数项移到右边284x x -=，再添加一次项系数一半的平方配方求解；（2）将2x =代入一元二次方程()22130x m x m +--=求得m ，再将m 代入原方程求另一个根，也可设另一根为α,利用根与系数关系21223m mαα+=-⎧⎨=-⎩解方程组即可．【详解】解：（1）284x x -=，281620x x -+=，()2420x -=，4x -=±，∴14x =+24x =-；（2）方法1：设方程的另一个根为α，利用根与系数关系则，21223m mαα+=-⎧⎨=-⎩， 解得：32m α=⎧⎨=-⎩， 即2m =-，方程的另一个根3． 方法2：将2x =代入方程，得：()2222130m m +--=，解得：2m =-，∴2560x x -+=，解得：122,3x x ==，即2m =-，方程的另一个根3．【点睛】本题考查了根的定义、一元二次方程的解法，要熟练掌握配方法、因式分解法、公式法、直接开平方法，并能按照题目要求选择最佳解法.，也可用根与系数关系来求另一根问题．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测(含答案)
C.300(1+2x)=363D.300(1﹣x)2=363
【答案】B
【解析】
【分析】
本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设绿化面积平均每年的增长率为x,根据题意即可列出方程．
【详解】设绿化面积平均每年的增长率为x,根据题意得：
3.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为()
A.4,﹣2B.﹣4,﹣2C.4,2D.﹣4,2
【答案】D
【解析】
试题分析：由根与系数的关系式得： , =﹣2,解得： =﹣4,m=2,则另一实数根及m的值分别为﹣4,2,故选D．
考点：根与系数 关系．
4.已知x为实数,且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0,那么x2＋3x的值为()
17.三角形的每条边的长都是方程 的根,则三角形的周长是．
18.已知a,b,c是△ABC的三边长,若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根,则△ABC是__________三角形
三、解答题(共66分)
19.用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)(x－2)=x＋1; (2) x2－4x=4 .
26.要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案ຫໍສະໝຸດ 甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.一元二次方程x2－8x－1=0配方后为()
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章单元测试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程是(A )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B .1x 2＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－12. 把方程x 2－10x ＝－3左边化成含有x 的完全平方式，下列做法正确的是(B ) A ．x 2－10x ＋(－5)2＝28 B ．x 2－10x ＋(－5)2＝22 C ．x 2＋10x ＋52＝22 D ．x 2－10x ＋5＝23. 关于x 的一元二次方程x 2＋bx －10＝0的一个根为2，则b 的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．74. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是(D ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－35. 解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是(C ) A ．直接开平方法 B ．配方法C ．公式法或配方法D ．因式分解法6. 关于x 的一元二次方程kx 2＋4x －2＝0有实数根，则k 的取值范围是(C ) A ．k ≥－2 B ．k ＞－2且k≠0 C ．k ≥－2且k≠0 D ．k ≤－27. 已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 21x 2＋x 1x 22的值为(A ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．68. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得(B )A ．168(1＋x)2＝108B ．168(1－x)2＝108C ．168(1－2x)＝108D ．168(1－x 2)＝1089. 有一块长32 cm ，宽24 cm 的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是(C )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm10. 定义运算：a*b ＝a(1－b)．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b*b －a*a 的值为(A )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 方程(x ＋2)2＝x ＋2的解是x 1＝－2，x 2＝－1.12. 当k ＝0时，方程x 2＋(k ＋1)x ＋k ＝0有一根是0.13. 写出以4，－5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是x 2＋x －20＝0.14. 若关于x 的方程x 2－mx ＋m ＝0有两个相等实数根，则代数式2m 2－8m ＋1的值为1.15. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为(2x＋6)(2x＋8)＝80.16. 毕业晚会上，某班同学每人向本班其他同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有18名同学．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 用指定方法解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0(配方法); (2)x2＋3x＋2＝0(公式法)．解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2 解：x1＝－1，x2＝－218. 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．解：根据题意得，62－6a－3a＝0，∴a＝4，∴方程为x2－4x－12＝0，设另一个根为x1，则x1＋6＝4，得x1＝－2，故a的值是4，方程的另一个根为－219. 试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．证明：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，∴无论a取何值，a2－8a＋20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 某地地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)10% (2)12100×(1＋0.1)＝13 310(元)21. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值．解：(1)∵Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋1)＝m 2＋2m ＋5＝(m ＋1)2＋4>0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝－(m ＋3)，x 1x 2＝m ＋1.∵|x 1－x 2|＝22，∴(x 1－x 2)2＝8，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8，∴(－m －3)2－4(m ＋1)＝8，∴m 1＝1，m 2＝－3，∴m 的值为1或－322. 已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．解：(1)∵Δ＝(－4m)2－4(4m 2－1)＝4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根 (2)∵Δ＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2－4mx＋4m 2－1＝0的根．将x ＝5代入原方程，得：25－20m ＋4m 2－1＝0，解得：m 1＝2，m 2＝3.当m ＝2时，原方程为x 2－8x ＋15＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5，∵3，5，5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3＋5＋5＝13；当m ＝3时，原方程为x 2－12x ＋35＝0，解得：x 1＝5，x 2＝7，∵5，5，7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5＋5＋7＝17.综上所述：此三角形的周长为13或17五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 已知一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0的一个根为2. (1)求q 关于p 的关系式；(2)求证：方程x 2＋px ＋q ＝0有两个不等的实数根；(3)若方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x 2＋px ＋q ＝0两根．解：(1)∵一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0的一根为2，∴4＋2p ＋q ＋1＝0，∴q ＝－2p－5 (2)∵x 2＋px ＋q ＝0，∴Δ＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝(p ＋4)2＋4＞0，∴方程x 2＋px＋q ＝0有两个不等的实数根 (3)∵x 2＋px ＋q ＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝p 2－4(q＋1)＝0，由(1)可知q ＝－2p －5，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q －4＝0①，q ＝－2p －5②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝3，把⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝3代入x 2＋px ＋q ＝0，得x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝324. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60 cm ，宽40 cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．(1)若丝绸花边的面积为650 cm 2，求丝绸花边的宽度；(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．解：(1)设花边的宽度为x cm ，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，整理得x 2－70x ＋325＝0，解得：x ＝5或x ＝65(舍去)．答：丝绸花边的宽度为5 cm (2)设每件工艺品降价x 元出售，则根据题意可得：(100－x －40)(200＋20x)－2000＝22500，整理得：x 2－50x ＋625＝0，解得：x ＝25.∴售价为100－25＝75(元)，答：当售价定为75元时能达到利润22500元25. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝24 cm ，BC ＝7 cm ，点P 在BC 上，从点B 到点C 运动(不包括点C)，点P 运动的速度为2 cm /s ；点Q 在AC 上从点C 运动到点A(不包括点A)，速度为5 cm /s .若点P ，Q 分别从B ，C 同时运动，且运动时间记为t 秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．(1)当t 为何值时，P ，Q 两点的距离为5 2 cm?(2)当t 为何值时，△PCQ 的面积为15 cm 2?(3)请用配方法说明，点P 运动多少时间时，四边形BPQA 的面积最小？最小面积是多少？解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝24 cm ，BC ＝7 cm ，∴AB ＝25 cm ，设经过t s 后，P ，Q 两点的距离为5 2 cm ，t s 后，PC ＝(7－2t) cm ，CQ ＝5t cm ，根据勾股定理可知PC 2＋CQ2＝PQ 2，代入数据(7－2t)2＋(5t)2＝(52)2；解得t ＝1或t ＝－129(不合题意舍去) (2)设经过t s 后，S △PCQ 的面积为15 cm 2.t s 后，PC ＝(7－2t) cm ，CQ ＝5t cm ，S △PCQ ＝12×(7－2t)×5t＝15，解得t 1＝2，t 2＝1.5，经过2 s 或1.5 s 后，S △PCQ 的面积为15 cm 2(3)设经过t s 后，△PCQ 的面积最大，则此时四边形BPQA 的面积最小，t s 后，PC ＝(7－2t) cm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝12×PC×CQ＝12×(7－2t)×5t＝52×(－2t 2＋7t)，配方得S △PCQ ＝－5(t －74)2＋24516≤24516，即t ＝74 s 时，△PCQ 的最大面积为24516，∴四边形BPQA 的面积最小值为：S △ABC －S △PCQ 最大＝12×7×24－24516＝109916(cm 2)，当点P 运动74秒时，四边形BPQA 的面积最小为109916cm 2。