实数与数轴上的点.
数轴的认识与运算知识点总结
数轴的认识与运算知识点总结数轴是一种用于表示和比较数值大小的图形工具。
它可以帮助我们直观地理解和应用数学中的一些基本概念和运算规则。
本文将对数轴的认识与运算知识点进行总结，帮助读者全面了解和掌握数轴的使用方法。
一、数轴的基本概念数轴是一条直线上的点，每个点代表一个实数。
数轴上有一个原点，通常表示为0，它把数轴分成两部分，左边是负数，右边是正数。
任意一点的位置可以用它到原点的距离来表示，距离是非负实数。
二、数轴的表示和标记为了方便使用数轴，我们需要将它进行适当地表示和标记。
通常，我们用一条带有箭头的直线来表示数轴，箭头指向正方向。
数轴上的每个点都对应着一个实数，我们可以在数轴上标记出关键的实数，例如整数、分数和根号等。
三、数轴上的点与实数的关系数轴上的每个点都与一个实数相对应，它们之间存在一一对应的关系。
由于数轴上的点可以表示实数的大小关系，我们可以通过数轴来比较实数的大小，并判断实数之间的相对位置。
四、数轴上的运算1. 加法：在数轴上表示加法运算时，我们可以把两个实数在数轴上的位置相加，得到它们的和的位置。
例如，在数轴上表示2+3的运算时，我们可以从2出发向右移动3个单位，得到5的位置。
2. 减法：在数轴上表示减法运算时，我们可以把被减数在数轴上的位置减去减数在数轴上的位置，得到它们的差的位置。
例如，在数轴上表示5-2的运算时，我们可以从5的位置向左移动2个单位，得到3的位置。
3. 乘法：在数轴上表示乘法运算时，我们可以先在数轴上表示被乘数的位置，然后按照乘数的大小进行长度的改变，得到乘积的位置。
例如，在数轴上表示2×3的运算时，我们可以从2的位置出发，按照3的倍数进行长度的改变，得到6的位置。
4. 除法：在数轴上表示除法运算时，我们可以先在数轴上表示被除数的位置，然后按照除数的大小进行长度的改变，得到商的位置。
例如，在数轴上表示6÷2的运算时，我们可以从6的位置出发，按照2的倍数进行长度的改变，得到3的位置。
实数与数轴的关系
课题实数与数轴的关系 教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小 重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。
例题：如图，数轴上点A 表示的实数是 ．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。
例：3的相反数是3-。
0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。
（1） 任何实数的绝对值都是非负数。
即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是 ．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。
（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。
（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小 基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。
数轴的基本概念
数轴的基本概念一、引言数轴是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念和问题。
在本文中，我们将详细介绍数轴的基本概念，包括什么是数轴、数轴的构成、数轴上的点、实数和有理数在数轴上的表示等内容。
二、什么是数轴1.定义：数轴是一条直线，它用来表示实数集合。
2.构成：数轴由一个无限长的直线和一个原点组成。
原点通常被标记为0。
3.性质：数轴上任意两个点之间都有且只有一个距离，并且距离可以用正实数表示。
三、数轴上的点1.定义：在数轴上，每个点都对应着一个实数。
2.坐标系：我们可以使用坐标系来描述每个点在数轴上的位置。
坐标系通常由两个垂直于彼此的直线组成，其中一条被称为x-轴，另一条被称为y-轴。
x- 轴与y- 轴相交于原点(0, 0)。
3.坐标：在坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)来表示。
在一维数轴上，每个点只需要一个坐标，通常用x来表示。
4.范围：数轴上的点可以是任意实数，因此数轴是一个无限集合。
四、实数和有理数在数轴上的表示1.实数：实数是包括有理数和无理数的所有实数。
在一维数轴上，每个实数都可以用一个唯一的点来表示。
例如，π和√2都是无理数，在一维数轴上它们分别对应着两个不断无限不循环地延伸的线段。
2.有理数：有理数是可以表示为两个整数之比的实数。
在一维数轴上，每个有理数都可以用一个唯一的点来表示。
例如，1/2和-3/4分别对应着两个线段。
3.正负号：在一维坐标系中，正方向通常被定义为向右移动。
因此，在这种情况下，正实数位于原点右侧，而负实数位于原点左侧。
五、总结本文介绍了关于数字中心概念——数轴的基本概念。
我们讨论了什么是数字中心、数字中心的构成、数字中心上的点以及如何在数字中心上表示不同类型的数字(即实数和有理数)。
希望这篇文章能够帮助读者更好地理解数字中心的概念，从而更轻松地学习和掌握相关的数学知识。
初中数学实数与数最新轴上的点的一一对应关系沪科版分析
实数与数轴上的点的一一对应关系沪科版分析1、（重题，请删除）己知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e的绝对值为1，求的值。
答案=1+2007-0=2008. 解析2、如图，已知□ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE＝x 答案B 解析3、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则A．答案B 解析4、︳－3︳的值等于答案A 解析考点：绝对值．分析：根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案．解：|-3|=3，故选：A．5、观察下列各式：……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=A．97×98×99B．98×99×1 答案C 解析6、下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是答案B 解析7、（2014?宜宾县模拟）图形分割是令人困惑有趣的．比如将一个正方形分割成若干锐角三角形，要求分割的锐角三角的个数答案A 解析试题分析：根据轴对称图形的性质直接得出全等三角形即可．解：∵图④是一个轴对称图形，∴图④中全等三角形有△AFC≌△EGC，△AFB≌△EGD，△BFN≌△DGN一个有3对．故选；A．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出是解题关键．8、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=0B 答案B 解析9、一个平行四边形绕着对角线的交点旋转90°能够与本身重合，则该平行四边形为（;答案C 解析考点：旋转的性质；正方形的判定．分析：根据题意，该四边形的对角线互相垂直平分且相等．解答：解：因为平行四边形对角线互相平分，绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，说明对角线互相垂直平分且相等，所以该四边形是正方形．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质及与特殊四边形的关系，属基础题．解题时要根据旋转的性质解答．10、下列说法正确的是答案D 解析11、下列各图中，是中心对称图形的是图答案D 解析12、下列各数中是整数的是(;).A．B．C．D．答案B 解析13、某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元，则商品的进价为：A．21元B．19.8元答案A 解析14、用化学方程式表示下列反应原理：(1)如图：甲、乙组成元素相同且常温下均为液体，甲常用于实验室制取氧气（反应产物为答案(1)?? 2H2O2=2H2O＋O2↑或2H2O2H2↑＋O2↑等(2)?CO2＋Ca(OH)2＝CaCO3↓＋H2O(3) Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑解析15、－(－2)＝A．－2B．2C．±2D．4 答案B 解析16、如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，设点P运动的路答案B 解析17、动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．设儿童票售出答案A 解析18、经过平移后得到，则的对应角和的对应边分别是（;）A．、答案C 解析19、下列分解因式正确的是答案B 解析20、下面四个数中比－2小的数是（）A 答案D 解析21、练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为元，那么下列所列方答案A 解析22、下列函数不属于二次函数的是（;）答案解析23、如图，是一个实物在某种状态下的三视图，与它对应的实物图应是（;）. 答案A 解析考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为圆台，从左视图和主视图可以看出是一个站立的圆台．只有A满足这两点，故选A．24、观察图a－图d,对应每个图形下面都有一个推理或判断.4个推理或判断中，你认为正确的个数有（）. 答案B 解析25、-2的相反数是A．2B．C．D．-2 答案A 解析26、若在实数范围内有意义，则的取值范围是（; 答案C 解析27、温度从-2℃上升3℃后是（m 答案A 解析28、的相反数是A．B．C．D．答案C 解析29、经过直线外一点，有几条直线和已知直线平行n 答案B 解析30、如图，点A在双曲线上，且OA＝4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( 答案C 解析31、函数的自变量x的取值范围是A．B．C．D．答案B 解析32、如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F, 设BE=，FC=，答案A 解析33、（2014?射阳县一模）为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某答案D 解析试题分析：首先根据降低率表示出2014年的产量，然后表示出2015年的产量，令其等5000即可列出方程．解：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，则2014年的产量为9700（1﹣x），2015年的产量为9700（1﹣x）2，故选D．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．计算：【小题1】（-3）0-+|1-|; 答案【小题1】（-3）0-+|1-|??????????? =1-3+-1???????? =-3+【小题2】(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b) =b2-2ab+4a2-b2………………………1分= -2ab+4a2……………………………1分当a＝2，b＝1时原式= -2×2×1+4×22………………1分=12 解析34、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（答案D 解析。
数字空间知识点总结归纳
数字空间知识点总结归纳数字空间是指数字在一个特定范围内的分布和变化规律。
数字空间知识点包括数轴、整数、有理数、无理数等内容，这些知识点是我们学习数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。
在本文中，我们将对数字空间的相关知识点进行总结归纳。
一、数轴数轴是用来表示实数的一种图形工具。
数轴上的每个点都对应着一个实数，并且实数和数轴上的点是一一对应的。
数轴的原点是零点，正方向是向右，负方向是向左。
数轴上的相邻两个整数之间的距离是1。
数轴的刻度表示了不同的整数或分数，使得我们可以方便地表示和比较不同的数值。
二、整数整数包括正整数、负整数和零。
在数轴上，整数可以表示为一些分布在数轴上的点。
整数的运算包括加法、减法、乘法和除法，可以通过数轴上的移动和取点来进行统一的表示和理解。
在整数运算中，我们需要注意正数和负数的运算规律，以及零的特殊性。
三、有理数有理数是可以表示为一个整数分数的数，包括正有理数、负有理数和零。
有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法，我们可以通过数轴上的分布和比较来理解有理数的加减乘除规律，以及有理数的大小比较。
有理数的运算规律是有整数运算规律的推广，我们需要注意整数运算规律在有理数中的适用。
四、无理数无理数是不能表示为一个整数分数的数，包括无限不循环小数和无限不循环十进制小数。
无理数在数轴上的分布是与有理数交叉混合的，无理数的大小关系和运算规律需要通过数线上的点表示和比较来理解和推导。
无理数的运算涉及到实数运算，我们需要了解有理数和无理数的运算规律，以及实数的特点和性质。
五、小数小数是有限或无限、循环或不循环的十进制小数。
小数可以转化为分数表示，也可以通过小数加法、减法、乘法和除法来进行运算。
小数的运算涉及到有理数和实数的运算，我们需要了解小数的表示方式、运算规律和四舍五入等知识。
六、分数分数是以分子和分母的形式表示的有理数，分数可以用来表示整数、小数和比率。
分数的运算包括加法、减法、乘法和除法，分数的大小关系和比较可以通过数轴上的分布和比较来理解。
实数和数轴上的点一一对应
动脑思考
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
巩固知识 典型例题
需要判断它们差的符号．通常需要利用
实数和数轴上的点一一对应．
“正数之和为正数”，“负数之和为负数”，
巩固知识 典型例题
如何利用数们的差即可.
动脑思考 探索新知
比巩左固边 知的识点典对型应例的题实不数等大式.的基本性质
“正数之和为“正数”正，“数负数之之和为和负数为”，正数”，“负数之和为负数”，
“同号相乘为正”，“异号相乘为负”等结论.
运用知识 强化练习
教材练习
（1）比较 4 与 5 的大小； 79
（2）比较13 与1.63 的大小； 5
（3）当a b 1时，比较a b与a b 2 的大小．
运用知识 强化练习
第2章 不等式
2.1不等式的性质
知识回顾 揭示课题
问题1 实数与数轴上的点是如何对应的？ 问题2 在数轴上表示出与实数－2、－1、0、2、4对应的点. 问题3 如何利用数轴上的点比较这五个数的大小？
知识回顾 揭示课题
ABC D
E
x
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
实数和数轴上的点一一对应． 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数 比左边的点对应的实数大.
动脑思考 探索新知
对于两个任意的实数 a 和 b，有： ab0ab； ab0ab； ab0ab．
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
巩固知识 典型例题
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
例 1 比较 2 与 5 的大小． 38
例 2 当 a b 0 时，比较 a 2 和b 1的大小．
归纳小结 自我反思
采用了怎样的学习方法 ？
初中数学实数与数轴上的点的一一对应关系部审湘教版20最新19
实数与数轴上的点的一一对应关系部审湘教版20191、已知，化简二次根式的正确结果是答案A 解析2、如果,那么这两个数( 答案B 解析3、下列运算中错误的有（答案B 解析4、如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是A 答案C 解析5、2011年，某地区有54310人参加中考，将54310用科学记数法（保留2个有效数字）表示为（答案C 解析6、已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3）,那么该抛物线有（; ▲;）A 答案B解析7、下面图形中不是中心对称图形的是答案C 解析8、如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具找到圆形工件圆心的最少使用次数是（;）A．答案B 解析考点：垂径定理的应用．分析：根据垂径定理的推论可得，CD 所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故选B。
9、如图，已知□ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE＝x 答案B 解析10、下列图形中，中心对称图形有（;）．; 答案C 解析11、下列图形中，对称轴有且只有3条的是（;）A．菱形B．等答案B 解析12、如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B 答案C 解析13、下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（;答案C 解析14、如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数答案B 解析15、某件商品连续两次9折降价销售,降价后每件商品售价为a元,则该商品每件原价为(;答案D 解析16、如图，正方形ABCD的边长为5，P为DC上一点，设DP=x，△APD的面积为y,关于y 与x的函数关系式为：y=, 答案B 解析17、计算：【小题1】(1 + )－()0【小题2】+ ――答案【小题1】原式?????【小题2】原式== 解析18、下面是空心圆柱的两种视图，正确的是（; 答案B 解析19、在如图所示的4×4的正方形网格中，△ＭＮＰ绕某点旋转一定的角度，得到△Ｍ1Ｎ1Ｐ1 ，则其旋转中心可能是（）答案B 解析考点：旋转的性质．分析：连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解答：解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．点评：本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．20、不等式组的正整数解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C 解析21、如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（; ▲;）A．2 答案D 解析22、-5的倒数是A．5B．C．-5 D．答案D 解析23、若,则下列结论不正确的是（）A．答案B 解析24、（2012?潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋答案C 解析试题分析：分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案．解：A、若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，故本选项正确；D、若放入黑（3，7）；白（2，6），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．点评：此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称图形，有一定难度，注意细心判断．25、小明拿一张50元的人民币到银行等额换取5元或10元的人民币，请问小明换钱方式有（n 答案C 解析26、某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是A．众数是80B．中答案B 解析27、（重题，请删除）下面是在博物馆里的一段对话.管理员：先生，这个化石有800002年了. 参观者：你怎么知道得这么答案解法一是错误的。
八年级上册实数知识点及练习
第四章实数一、实数1、实数的定义：有理数和无理数统称实数。
2、分类：正有理数有理数0 有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数二、无理数1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：（1）所有开方开不尽的方根。
（2）化简后含有π的数。
（3）无限不循环小数。
3、无理数的小数部分的表示一个无理数减去整数部分，差就是小数部分。
如：√2的整数部分是1，因此√2的小数部分就是√2−1；π的小数部分就是π−3.三、实数与数轴上的点的对应关系1、实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数。
【提醒：任意两个实数之间都有无数个有理数和无数个无理数。
】2、利用实数与数轴的对应关系解题例、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则√(a+b)2+a的化简结果为。
四、实数大小的比较方法1、一般方法（1）性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数；两个负数相比，绝对值大的反而小。
（2）数轴比较法：右边点表示的数总比左边点表示的数大。
（3）差值比较法（4）商值比较法2、特殊比较法（1）平方法（2）倒数比较法3的大小：。
例、比较2，√5，√7五、平方根、算术平方根1、平方根的概念：如果x2=a，那么x 叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0.（3）负数没有平方根。
3、平方根的表示方法正数a的算数平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根，可以用“−√a”表示，故正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根号a”.4、平方根与算术平方根的联系（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是该数的算术平方根。
（2）相同点：只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.5、开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫作被开方数。
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实数
一、实数与数轴上的点
二、实数的绝对值
三、常用的实数集
一、实数与数轴上的点 有理数包含零、正负整数与正负分表示无理点的点称为无理点.
二、实数的绝对值
定义1.1 设a为一个实数,定义a的绝对值(记为|a|)
为
a, a 0 | a | a, a 0
[a ,b)={x |a≤x<b}
(4)无穷区间
(, b] {x | x b} {x | x b} (, b) {x | x b} {x | x b} [a, ) {x | a x } {x | a x} (a, ) {x | a x } {x | a x} R (, ) {x | x }
a a (7) , b 0. b b
三、常用的实数集 全体实数的集合记为R,
全体自然数的集合记为N.
定义1.2 设 a, b ∈R,且a<b,定义: (1)闭区间 [a ,b]={x |a≤x≤b}
(2)开区间 (a ,b)={x |a<x<b}
(3)半开区间 (a ,b]={x|a< x≤b}
若a, b为两个实数,则由定义1.1可知
a b, a b 时 | a b | b a, a b 时
绝对值有下列基本性质：
(1) | a | 0,| a || a |,| a | a ;
2
(2) | a | a | a |;
(3)不等式|a |≤k（k≥0)与不等式－k≤ a ≤k等价； (4)a+ b|≤ |a| +|b|，一般地，有 |a1+a2+…+an| ≤|a1|+|a2|+…+|an|; (5)||a|－|b|| ≤|a－b|; (6)|ab|=|a||b|,一般地,有|a1a2…an|=|a1||a2|…|an|;
定义1.3 设ε为某个正数,称开区间(x0－ε,x0+ε)为
点ε0的ε邻域,简称为点x0的邻域;称x0为邻域的中
心,ε为邻域的半径. 点 x0的邻域去掉中心x0后的集 合 ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )
称为点x0的空心邻域或去心邻域;称开区(x0－ε,x0)
为点x0的左邻域,(x0,x0+ε)为点x0的右邻域.