11.2实数与数轴
实数与数轴的关系
课题实数与数轴的关系 教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小 重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。
例题：如图，数轴上点A 表示的实数是 ．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。
例：3的相反数是3-。
0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。
（1） 任何实数的绝对值都是非负数。
即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是 ．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。
（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。
（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小 基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。
11.2 实数
2、什么是实数？实数可以怎样分类？
3、实数与数轴上的点有什么关系？
4、实数间比较大小的主要方法是什么？
自主
练习
【预习检测】相信你 ，一定能行！
1.计算： .（结果 保留两位小数）
2.比较下 列各组数中两个实数的大小：
（1） ;（2）
3、试估计 + 与π的大小关系．
，－3，0，3.1415 , , , , , ,
1.12122122212 2221…（两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{…}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{….
小结
反馈
1、无理数是怎样定义的？请举出几个无理数？
2、什么是实数？实数可以怎样分类？
3、实数与数轴上的点有什么关系？
11.2实数
课题
11.2实数
教学
目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
教学重点、难点
重点：数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数
难点：经历知识产生的过程，探索新知识
课前
预习
【导学提纲】根据下面的要求，用5分钟时间自学教材P8—10，请在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。
π， ， ，0，
课后
反思
4、实数间比较大小的主要 方法是什么？
知识
拓展
1.判断下列说法是否正确：
(1)两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽， 那么结果一定是一个无理数；
(2)任意一个无理数的绝对值是正数．
八年级数学上册第11章11.2实数第2课时实数与数轴导学课件
11.2 实数
第11章 数的开方
11.2 实数
第11章 数的开方
第2课时 实数与数轴
知识目标 目标突破 总结反思
11.2 实数
知识目标
1．通过拼图、观察、思考、讨论，发现无理数能表示在数轴上， 知道实数与数轴上的点一一对应． 2．通过自学阅读，理解实数的大小比较法则与有理数的大小比较 法则相同，会比较实数的大小． 3．类比有理数的运算法则，理解实数的运算法则，通过思考、练 习，能准确进行实数的运算．
11.2 实数
总结反思
小结
知识点一 实数与数轴
实数与数轴上的点___一_一__对__应____．
11.2 实数
知识点二 实数的大小比较
1．有理数的大小比较法则在实数范围内同样适用． 2．详见例2[归纳总结]． 除此之外，还有商值比较法、倒数比较法等．比较大小时，需灵 活运用．
11.2 实数
知识点三 实数的运算
11.2 实数
目标突破
目标一 了解实数与数轴的关系
例 1 [教材补充例题] 如图 11－2－1，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右 直爬 2 个单位到达点 B，再直爬向点 C 停止，已知点 A 表示－ 2，点 C 表示 2，则 BC＝____2____．
11.2 实数
【解析】 设点 B 表示的数是 m. 由题意，得 m－2＝－ 2， ∴m＝2－ 2，即点 B 所表示的数为 2－ 2. ∴BC＝2－(2－ 2)＝ 2.
实数与数轴知识点总结
实数与数轴知识点总结实数是数学中的一个重要概念，对于数学的学习有着非常重要的作用。
实数包括有理数和无理数两部分，是数学中最基本的数学概念之一。
数轴是表示实数的一种图形工具，用于在数学中对实数进行可视化表示，方便我们对实数进行研究和运算。
本文将对实数与数轴的相关知识点进行总结，希望能对大家有所帮助。
一、实数的定义实数是数学中的一种基本的数学概念，它包括有理数和无理数两部分。
有理数是可以表示为两个整数的商的数，而无理数则是不能表示为有理数的数。
实数可以用小数表示，例如，有理数可以表示为有限小数或者循环小数，而无理数则是不循环、无限不循环的小数。
二、有理数有理数是可以表示为两个整数的商的数，包括整数和分数两种形式。
整数是不带小数部分的有理数，分数是带有分母和分子的有理数。
1. 整数整数包括正整数、负整数和零三种类型。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零则是一个特殊的整数。
2. 分数分数是有理数的一种形式，它可以表示为一个整数与一个非零整数的比值。
分数可以化简为最简分数，也可以表示为带分数或者混合数。
三、无理数无理数是不能表示为有理数的数，它是无限不循环小数的形式。
无理数包括开方数和圆周率等，例如，√2、π等都是无理数。
四、数轴数轴是一种用于表示实数的有向直线，它是实数的图形表示方式。
数轴将实数表示为一维空间上的点，方便我们对实数进行可视化表示和研究。
数轴一般用于进行实数的比较、运算和研究。
1. 数轴的建立数轴的建立需要选择一个原点作为参照点，并沿着直线的一个方向标出正数，另一个方向标出负数。
数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。
2. 数轴上的实数数轴上的实数按照大小顺序排列，较大的实数在数轴上的位置较靠右，较小的实数在数轴上的位置较靠左。
数轴上相邻的两个整数之间的距离为1，而相邻的两个分数之间的距离根据它们在数轴上的位置来确定。
3. 数轴上的点数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。
11.2实数 课件 华东师大版数学八年级上册
相反数的概念:
绝对值相等，符号相反的两个数叫做互为相反数；
零的相反数是零.非零实数 a 的相反数是 －a ．
有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念
3 练 9习的：相反数是_3_9___；
在实数的范围内有着同样的意义．
绝对值Hale Waihona Puke _3__9__．11.2实数
一、复习引入
我们知道，每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
例如：在 数轴上分别标出有理数2和 - 1 所对应的点A和点B .
3
Ｂ
Ａ
一个无理数可以用数轴上的一个点来表示吗？
尝试操作
二、问题探究
用数轴上的一个点表示无理数 2 .
如何用数轴上的一个点表示无理数－ 2？
二、问题探究
尝试操作 用数轴上的一个点表示无理数π.
五、归纳小结
1．每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示．
找到这个点的方法：①画图法 ②用计算器求近似值（常用） 全体实数所对应的点布满了整个数轴
2．实数的绝对值、相反数和大小的比较(类比）
（1）绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数 a 的绝
对值记作 a ．
（2）相反数：绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数 a ﹣ 的相反a数是 a ．
解: (2)面积为5的正方形 面积为6的正方形
不用计算器比较 3与 7的大小
解：3 _＞__ 7
5
5
6
＜
6
四、例题讲解
例题1 比较下列每组数的大小：
（1） 5与－ 6 ;
（2） 5与 6；
华师大版八年级数学上册教案：11.2 实数与数轴 第一课时 实数与数轴(一)
课 题：11.2 实数与数轴第一课时 实数与数轴（一）＆、教学目标：1、让学生借助计算器探索无理数是无限不循环小数，掌握这一特征，了解实数的意义，认识实数与数轴之间的关系。
2、经历计算器探索无理数的过程，体会无限逼近的思想方法，并弄清有理数与无理数之间的区别。
3、培养学生对数的感知，体会数域扩大的内涵，认识其实际价值。
＆、教学重点、难点、关键：重点：理解无理数的概念，认识实数与数轴之间的内涵。
难点：在数轴上表示一个无理数。
关键：明确无理数的特征以及实数在数轴上的表示法，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点表示无理数。
＆、教学过程：一、回顾与交流1、什么叫有理数？举例说明。
2、有理数是如何分类的？教学方法：回忆有理数的概念，弄清有理数的分类。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 有理数必定是有限小数或无限循环小数。
二、操作感知，探究新知问题的提出：请同学们使用计算器求2、3学生活动：拿出计算器求2、3，结果是 414213562.1，再用计算器计算414213562.1的平方，都是999999999.1，并不是2，只是接近2，由此可见，我们计算出2的值，只是近似值，求3时也同样出现上述情况。
教师活动：操作计算机，显示课本8P 中 4142.12≈ 寻求结果：2、3不是有限小数，也不是无限循环小数，可见2、3不是有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.三、动手做一做1、估计面积为5的正方形的边长b 的值（结果精确到十分位），用计算器检验。
2、b 的结果精确到百分位呢？精确到千分位呢？归纳：同样，对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到的棱长 25992105.1=c ，它也是一个无限不循环小数。
3、想一想：把下面各数表示成小数的形式，你发现了什么？54、95、458、112 学生活动：交流讨论，形成共识.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.。
2024年华东师大版八年级数学上册教案1122实数
2024年华东师大版八年级数学上册教案1122实数一、教学内容本节课选自2024年华东师大版八年级数学上册第十一章第二节数学广角，主题为“实数”。
具体内容包括实数的概念、分类和性质，以及实数在数轴上的表示。
教材涉及章节为11.2节。
二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。
2. 学会实数在数轴上的表示方法，并能运用其解决实际问题。
3. 培养学生的数感和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：实数的性质及其在数轴上的表示方法。
教学重点：实数的概念及其分类。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如气温、身高等，引导学生了解实数的概念。
2. 新课导入：讲解实数的定义、分类（有理数、无理数）及性质。
3. 例题讲解：讲解实数在数轴上的表示方法，并举例说明。
4. 随堂练习：让学生在数轴上表示给定的实数，并判断其大小关系。
6. 知识拓展：介绍实数在数学及其他学科中的应用。
六、板书设计1. 实数的定义、分类及性质。
2. 实数在数轴上的表示方法。
3. 例题及解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：实数填空题、选择题、解答题。
（1）填空题：填写实数的分类及性质。
（2）选择题：选择正确的实数表示方法。
（3）解答题：求解实数的大小关系，并在数轴上表示。
2. 答案：课后提供标准答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：回顾本节课的教学过程，分析学生的掌握情况，针对问题进行改进。
2. 拓展延伸：引导学生了解实数与数的其他概念（如复数、虚数）的关系，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 实数的性质及其在数轴上的表示方法。
2. 实数的概念及其分类。
3. 教学过程中的例题讲解和随堂练习。
4. 作业设计中的解答题和答案。
一、实数的性质及其在数轴上的表示方法实数的有序性：任意两个实数可以比较大小，这是实数在数轴上表示的基础。
实数的封闭性：实数的加、减、乘、除（除数不为零）结果仍为实数。
新华师大版数学八年级上《11.2实数》同步练习含答案解析
新华师大版数学八年级上册第十一章第二节11.2实数同步练习一、选择题1、在实数0、π、、、中，无理数的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、估计的值在（）A、在1和2之间B、在2和3之间C、在3和4之间D、在4和5之间3、﹣64的立方根与的平方根之和是（）A、﹣7B、﹣1或﹣7C、﹣13或5D、54、如图，数轴上A ，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C ，则点C所表示的数为（）A、B、C、D、5、化简| ﹣π|﹣π得（）A、B、﹣C、2π﹣D、﹣2π6、有下列说法：①被开方数开方开不尽的数是无理数；②无理数是无限不循环小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A、1B、2C、3D、47、若0＜x＜1，则x ，x2，，中，最小的数是（）A、xB、C、D、x28、若的整数部分为a ，小数部分为b ，则a﹣b的值为（）A、B、2C、2﹣D、2+9、的值为（）A、5B、C、1D、10、如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数表示的点最接近的是（）A、点AB、点BC、点CD、点D11、已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有限个，其中正确的结论是（）A、①②B、②③C、③④D、②③④12、有一个数值转换器原理如图，当输入的x的值为256时，输出的y的值为（）A、16B、C、D、13、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A、B、C、D、2.514、任意实数a ，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72→[ ]=8→[ ]=2→[ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（）A、3B、4C、5D、615、将1、、、按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）A、B、6C、D、二、填空题16、写出一个到2之间的无理数________.17、下列各数：，，，1.414，，3.12122，，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有________个，有理数有________个，负数有________个，整数有________个．18、在数轴上表示的点离原点的距离是________；的相反数是________，绝对值是________．19、若a1=1，a2= ，a3= ，a4=2，…，按此规律在a1到a2014中，共有无理数________个．20、有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④是分数，它是有理数．⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305．其中正确的有________（填序号）．三、解答题21、计算：(1)．(2)（结果精确到0.01. ）.22、有一组实数：2，，0，π，，，，0.1010010001…（两个1之间依次多个0）；(1)将他们分类，填在相应括号内；有理数{________}无理数{________}(2)选出2个有理数和2个无理数，用+，﹣，x，÷中三个不同的运算符号列成一个算式，（可以添括号），使得运算结果为正整数．23、已知实数x和﹣1.41分别与数轴上的A、B两点对应．(1)直接写出A、B两点之间的距离________（用含x的代数式表示）．(2)求出当x= ﹣1.41时，A、B两点之间的距离（结果精确到0.01）．(3)若x= ，请你写出大于﹣1.41，且小于x的所有整数，以及2个无理数？24、如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．(1)直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长；(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：(1)如果的小数部分为a ，的整数部分为b ，求a+b的值；(2)已知：10+ =x+y ，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．答案解析部分一、<h3 >选择题</h3>1、【答案】B【考点】无理数【解析】解答：π、是无理数了．分析：根据无理数的定义去判断：无限不循环小数叫做无理数．2、【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】解答：∵9＜11＜16，∴＜＜，从而有3＜＜4．分析：估算一个整数的算术平方根（无理数）的大小的一般方法是：找出与该无理数的平方相近的两个整数，其中这两个数的算术平方根是整数的，如此题中的9和16，从而可估算该无理数的大小．3、【答案】B【考点】实数的运算【解析】解答：﹣64的立方根为﹣4，的平方根±3，则﹣64的立方根与的平方根之和为﹣1或﹣7．分析：根据平方根和立方根的定义可分别求出相应的立方根和平方根；需要注意的是：=9的平方根，即求9的平方根．4、【答案】A【考点】实数与数轴【解析】解答：设点C表示的数是x ，∵A ，B两点表示的数分别为﹣1和，C ，B两点关于点A对称，∴，解得x= ．分析：本题考查了实数与数轴，根据点B、C关于点A对称列出等式是解题的关键.5、【答案】B【考点】实数的运算【解析】解答：∵﹣π＜0，∴| ﹣π|﹣π=π﹣﹣π=﹣.分析：在此运算中，应先化简绝对值，则要比较和π的大小．6、【答案】C【考点】无理数【解析】【解答】①被开方数开方开不尽的数是无理数，正确；②无理数是无限不循环小数，正确；③0是有理数，不是无理数，则命题错误；④无理数都可以用数轴上的点来表示，正确.【分析】此题主要考查了无理数的定义.7、【答案】B【考点】实数【解析】解答：可采用特殊值，令，0＜＜1，则x2= ，= ，=4，则x2＜x＜＜.分析：此题宜采用特殊法去做更简便．8、【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】解答：∵0＜＜1，，∴，，则.分析：此题的难点就在于如何去表示的小数部分：首先，应估算的大小，在1和2之间，则1是的整数部分，小数部分= 减去整数部分．9、【答案】C【考点】估算无理数的大小，实数的运算【解析】解答：原式=3﹣+ ﹣2=1．分析：先去绝对值，然后合并即可．10、【答案】B【考点】实数与数轴，估算无理数的大小【解析】解答∵≈1.732，∴≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数表示的点最接近的是点B.分析：先估算出≈1.732，所以≈﹣1.732，易得与﹣2最接近．11、【答案】B【考点】实数【解析】【解答】①数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，故①错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；③实数与数轴上的点一一对应，故③正确；④有理数有无限个，无理数无限个，故④错误．【分析】本题考查了实数，利用了实数与数轴的关系，有理数、无理数的定义，注意数轴上的点与实数一一对应．12、【答案】A【考点】算术平方根，无理数【解析】解答：x=256，第一次运算，=16，第二次运算，=4，第三次运算，=2，第四次运算，，输出．分析：此题求无理数的同时，要判断其结果是否是无理数．13、【答案】C【考点】实数与数轴【解析】解答：2＜＜2.5＜，2与离的最近，故选C．分析：由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．14、【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】解答：900→第一次[ ]=30→第二次[ ]=5→第三次[ ]=2→第四次[ ]=1，即对数字900进行了4次操作后变为1．分析：根据[a]表示不超过a的最大整数计算，即求出a的整数部分．15、【答案】B【考点】实数的运算【解析】解答：6，5）表示第6排从左向右第5个数是，（13，6）表示第13排从左向右第6个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第6个就是，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是6．分析：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m ﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个循环，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．二、<h3 >填空题</h3>16、【答案】【考点】无理数【解析】【解答】设此无理数为x ，∵此无理数在到2之间，∴＜x＜2，∴2＜x2＜4，∴符合条件的无理数可以为：，（答案不唯一）．【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．本题属开放性题目，答案不唯一．17、【答案】3；5；4；2【考点】实数【解析】【解答】无理数有：，，3.161661666…；有理数有：，，1.414，3.12122，；负数有：，，，；整数有：，.【分析】根据无理数、有理数、负数和整数的定义判断．18、【答案】；；【考点】实数与数轴【解析】【解答】在数轴上表示的点离原点的距离是，的相反数是= ，∵＞2，∴．【分析】根据相反数的概念求出相反数，比较和2的大小，确定的符号，根据绝对值的性质求出的绝对值．19、【答案】1970【考点】无理数【解析】【解答】∵12=1，22=4，32=9，42=16，…，442=1936，452=2025，∴a1到a2014中，共有44个有理数，则无理数有2014﹣44=1970．【分析】12=1，22=4，32=9，42=16，…，442=1936，452=2025，可知a1到a2014中，共有44个有理数，继而可求出无理数的个数．20、【答案】①⑤【考点】实数与数轴，近似数，无理数【解析】【解答】①任何无理数都是无限小数，正确；②实数与数轴上的点一一对应，错误；③在1和3之间的无理数有无数个，错误；④是分数，它是无理数，错误．⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305，正确．【分析】此题主要考查了数轴、有理数近似数与有效数字、无理数等定义，解答本题要熟记有理数、无理数的定义以及实数与数轴的一一对应关系．三、<h3 >解答题</h3>21、【答案】（1）解答：原式；（2）解答：原式.【考点】实数的运算【解析】【分析】根据实数的运算法则运算即可．22、【答案】（1）2，0，，；，π，，0.1010010001…（两个1之间依次多个0）（2）解：选出2个有理数为：2，0；选出2个无理数为：π，；则π× ﹣0+2=4．（本题答案不唯一）．【考点】有理数，实数的运算，无理数【解析】【解答】（1）将他们分类，填在相应括号内，如下：有理数{2，0，，}无理数{ ，π，，0.1010010001…（两个1之间依次多个0）}【分析】本题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数．有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．23、【答案】（1）|x+1.41|（2）解：当x= ﹣1.41时，A、B两点之间的距离为：|x+1.41|=| ﹣1.41+1.41|= ≈1.73．（3）±4解：∵x= ≈1.73，∴大于﹣1.41且小于的整数有﹣1，0，1．无理数：，1﹣等．【考点】实数与数轴【解析】【解答】（1）∵实数x和﹣1.41分别与数轴上的A、B两点对应，∴A、B两点之间的距离为：|x+1.41|.【分析】此题主要考查了实数与数轴，利用数形结合得出是解题关键．24、【答案】（1）解：四边形ABCD的面积是5 ，其边长为．（2）解：如图：在数轴上表示实数，【考点】算术平方根，实数与数轴【解析】【分析】在求正方形的面积时，可用大的正方形的面积减去三角形的面积可得正方形ABCD的面积；按照（1）的方法，同样可解得该图的面积为8，则其边长为．word版数学25、【答案】（1）解：根据题意得：a=2，b=3，则a+b=2+3=5．（2）解：∵x为整数，10+ =x+y ，且0＜y＜1，∴x=11，y= ﹣1，则x﹣y的相反数为﹣（x﹣y）=﹣x+y= ﹣12．【考点】估算无理数的大小【解析】【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．11 / 11。
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解: 原式=
5
3
5 5
32
5
3
5 5
32
= 3
注意:
此题计算不能取近似值。
11.2实数与数轴⑴
1.无理数与实数 ⑴对 2 的的研究 ⑵无理数的定义: ⑶实数的定义: 2.实数的运算
2013.9.10
整数 有理数 实数
正整数 零 负整数
分数 (可化为有限小数或无限循环小数) 无理数 (无限不循环小数)
例1 把下列各数填入有理数、无理数和实数集合。
1 3 117 0， ， 5， ， 27， 3 14， ， 0 2 3， 0 1010010001 2 2 311
（每两个1之间依次多一个0）
只有题上允许取近似值时，才能进行近似计算.
11.2实数与数轴⑴
1.无理数与实数 ⑴对 2 的的研究 ⑵无理数的定义: ⑶实数的定义: ⑷实数的运算
2013.9.09
华东师大版八年级上册《数学》
（第2课时）
制作：遂宁一中HDL
知识回顾
11.2实数与数轴⑴
1.无理数与实数 ⑴对 2 的的研究 无理数的定义: ⑶实数的定义: ⑷实数的运算
华东师大版八年级上册《数学》
（第1课时）
制作：遂宁一中HDL
知识回顾
1.数的扩充 为了表示具有相反意义的量，我们引入了负数， 把数扩充到了有理数的范围。本章前面所出现的如：
3 2、 5 是有理数吗?
2.有理数的分类和特点 ①有理数包括 数和 数;
②将 么小数? 2 0 .4 5
2 1 428 、 、 化成小数形式看一看,它们是些什 5 3 999
3.实数与数轴上的点的关系 ⑴在数轴上画表示 2 的点
2
2
思考：
每一个小正方形面积是多少? 大正方形面积是多少?边长呢? 大正方形的边长是小正方形的 什么?
1
1
1
边长是1的正方形的对角线长为 2
-1
0
1
2
上图数轴中, 正方形的边长是1，对角线长是 2 ， 以原点为圆心, 对角线长为半径画弧交数轴于一点， 该点与原点的距离是 2 。因此，该点表示的数应 2 。 是 这说明数轴上的点不是全都表示有理数，还表示 无理数。
） B.2个 C.3个 D.4个
3.24.3+
3 的相反数是
,绝对值是
. (不取近似值)
.
5 小数部分表示成
6.如图所示,数轴上表示 15 的点可能是(
) 4 D.点N
P
A.点P -1 0 B.点Q 1
Q 2 3 C.点M
M N
7.化简计算: | 5 3 | | 5 5 | | 3 2 |
) ) ) ) )
⑷实数的运算 在实数运算中，有关实数的相反数、绝对值、倒数 等概念、实数的大小比较、运算法则以及运算律，去 括号与添括号法则等与有理数类似。 在进行无理数的计算时，由于无理数是无限不循 环的小数。因此，有时需要取近似值，但应注意，只 有当题目中有要求时才能进行近似计算，而且中间所 取的近似值必须比结果要求保留的数字至少多取一位。
用大型计算机验证，这个小数的平方仍然不等 于2。实际上,数学家早已证明：不存在这样的有理 数 ，使它的平方等于2.也就是说 2 不是有理数.
2
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379 907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558 507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605 714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304 843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206 152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084 988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215 认真观察这个结果， 805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218 你能发现它与有理数 334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447015 化成的小数有什么本 858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311 质的不同？ 388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072636 881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967 504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326 80247442062９26912…
注意:同学们用计算器计算1.414213562 时,显示
2
结果是 2 ，这是由于同学们的计算器最多只能显示 11 位数字，结果显示的是一个近似值，其实操作显 示的结果还没有结束.课本P8是用大型计算机计算 2 取到小数点后873位的结果。
2
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379 907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558 507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605 714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304 843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206 152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084 988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215 805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218 334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447015 858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311 388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072636 881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967 504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326 80247442062９26912…
⑵无理数的定义:
无限不循环的小数叫做无理数.
注意：
①有理数与无理数的本质区别在于：化成小数 后有理数一定是有限或无限循，而无理数一定是无限 3 且不循环。并非以含有根号为标准：如 2 、 5 、8 … 是无理数，但 16 、π…确是有理数。 ②无理数分正无理数与负无理数。
⑶实数的定义: 有理数与无理数统称为实数。
注意： 无理数常有的表现形式:
①开方开不尽的根号式； ②π与含π的某些式子；
③特殊数：如0.1010010001…(每两个1之间依次多 一个0)
练一练
下列说法正确与否, 若错则举例说明: 1. 无限小数是无理数. ( × ) 2. 无理数是无限小数. ( √ ) 3. 无理数就是开不尽根的数. ( × ) 4. 带根号的数都是无理数. ( × ) 5. 无理数与无理数的和是无理数. ( × 6. 无理数与有理数的和是无理数. ( √ 7. 无理数与无理数的积是无理数. ( × 8. 无理数与有理数的积是无理数. ( × 9. 任何无理数的绝对值总是正数. ( √
⑵实数与数轴上的点的关系
实数与数轴上的点成一一对应关系.
1.下列说法中,正确的是( A.带根号的数是无理数
) B.无限小数是无理数 D.无理数是无限小数
C.无理数就开方开不尽的数
2.下列说法:①0是最小的实数；②无理数与无理数的差也是无 理数；③两个有理数之间有无限个无理数；④ 是分数。
3
正确的有（ A.1个
1 0. 3 3
428 0. 4 2 8 999
……
另换几个试一试，你发现了什么?
结论：有理数化成小数后必是有限小数
或无限循环小数。
1.无理数与实数 ⑴对 2 的的研究 利用计算器求 2 的值, 显示： 2 ≈1.414213562 用平方验算得:1.4142135622=1.99999999
课本例题自学：
例1 试估计 3 2与π的大小关系．
注意:
比较两个实数的大小并非都要取近似值，如比较