高2021届高2018级江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题解析版

2021届江苏省南京市金陵中学高三第一学期8月学情调研测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =-->,{}ln 0B x x =>,则()RA B =（ ）A ．∅B ．(]0,4C ．(]1,4D ．()4,+∞【参考答案】C【试题解析】先解出集合A 、B ,再求解出集合A 的补集,根据集合交集的运算即可求解.由题意得{1A x x =<-或}4x > ,{}1B x x =>,所以{}14RA x x =-≤≤,()(]1,4R AB =.故选：C本题主要考查了集合补集、交集的运算,属于简单题,计算中可以借助数轴法求解集合的补集和集合间的交集.2．设,R a b ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B【试题解析】0ab =即,a b 中至少有一个是零；复数ba a bi i+=-为纯虚数,故0,0a b =≠为小范围,故为必要不充分条件.3．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >,则ac bc > B ．若a b >,c d >,则a c b d ->- C ．若0ab >,a b >,则11a b < D ．若a b >,c d >,则a b c d> 【参考答案】C【试题解析】分析：根据不等式性质逐一排除即可.A. 若a b >,则ac bc >,当c 取负值时就不成立,故错误；B. 若a b >,c d >,则a cb d ->-,例如a=3,b=1,c=2,d=-2显然此时ac bd -<-,故错误；D,若a b >,c d >,则a b c d >,例如a=3,c=-1,b=-1,d=-2,此时a bc d<,故错误,所以综合得选C.点睛：考查不等式的简单性质,此类题型举例子排除法比较适合,属于基础题. 4．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若43113,84a S a =-=,则S 5＝（ ） A ．3132B ．3116C ．318D ．314【参考答案】B【试题解析】利用正项等比数列{a n }的前n 项和公式,通项公式列出方程组,求出a 1＝1,q ＝12,由此能求出S 5的值．解：正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,43113,84a S a =-=, ∴()31311181314a q a q a q ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪-⎩,解得a 1＝1,q ＝12, ∴S 5＝()5111a q q --＝1132112--＝3116．故选：B ． 【点评】本题考查等比数列的前n 项和的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．5．()101(21)x x -+的展开式中10x 的系数为（ ）A ．512-B ．1024C ．4096D ．5120【参考答案】C【试题解析】先将二项式变形为1010(21)(21)x x x +-+,分别写出两个二项式展开式的通项,并分别令x 的指数为10,求出两个参数的值,代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．()1010101(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+,二项展开式10(21)x x +的通项为1010111010(2)2r rr r r xC x C x ---⋅=⋅⋅,二项展开式10(21)x +的通项为1010101010(2)2kkk k k C x C x ---⋅=⋅⋅,则111011010r r k -=⎧=⎨-=⎩，解得,0k =, 所以,展开式中10x 的系数为19010101022512010244096C C ⋅-⋅=-=．故选C ．本题考查了利用二项式定理求指定项的系数,考查二项式定理的应用,同时也考查了计算能力,属于中等题．6．某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>,试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【参考答案】C【试题解析】求出()39010510P X ≤≤=,即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．∵()()1901205P X P X ≤=≥=,()2390120155P X ≤≤=-=, 所以()39010510P X ≤≤=, 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ．本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想．属于基础题．7．如图,过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若2BC BF =,且6AF =,则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =【参考答案】B【试题解析】分别过A ,B 作准线的垂线,交准线于E ,D ,设|BF |=a ,运用抛物线的定义和直角三角形的性质,求得p ,可得所求抛物线的方程．如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设BF a =, 则由已知得2BC a =,由抛物线定义得BD a =,故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中,因为6AE AF ==,63AC a =+,2AE AC =, 所以6312a +=,得2a =,36FC a ==,所以132p FG FC ===, 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及直角三角形的性质,考查方程思想和数形结合思想,属于中档题．8．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ,短轴的一个端点为P ,直线l ：430x y -=与椭圆C 相交于A ,B 两点.若6AF BF +=,点P 到直线l 的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．50,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛ ⎝⎦C ．50,3⎛ ⎝⎦D ．13,32⎛⎤⎥ ⎝⎦【参考答案】C【试题解析】设椭圆的左焦点为F ',根据双曲线的定义,求得3a =,再由点P 到直线l 的距离不小于65,求得2b ≥,得到213b a≤<,进而求得离心率的范围,得到答案.设椭圆的左焦点为F',根据椭圆的对称性可得AF BF '=,BF AF '=, 所以62AF AF BF AF a '+=+==,解得3a =,因为点P 到直线l 的距离不小于65,所以()226543≥+-,解得2b ≥, 又由b a <,所以23b ≤<,故213ba≤<, 所以离心率22510,c b e a a ⎛⎤==-∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C.本题考查了椭圆的定义,以及椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法：①求出,a c ,代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程,即可得e 的值(范围)．二、多选题9．若函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间(),a b （0a b π<<<）上单调递减,则b a -的可能取值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．512π 【参考答案】AB【试题解析】先求()f x 在()0,π上的单调递减区间,再求()g x 在()0,π上的单调递减区间,再求交集即可得()f x 和()g x 两个函数的递减区间,可得b a -的最大值,进而可得b a -的可能取值.当()0,x π∈时,52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以当32,322x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时,即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 单调递减,即函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,当()0,x π∈时,,44x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,即30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()g x 单调递减, 因为30,451153,,1212124πππππ⎛⎫= ⎪⎝⎛⎭⎫⎛⎫⋂⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以,53124a b ππ≤<≤ 所以354123b a πππ-≤-=,所以b a -可能为6π或3π, 故选：AB本题主要考查了三角函数的单调性,属于中档题. 10．下列说法中正确的是（ ） A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=,则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==,()11P x ξ==-,若102x <<,则()E ξ随着x 的增大而减小,()D ξ随着x 的增大而增大 【参考答案】ABD【试题解析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质,即可判断选项C .对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ,所以正态曲线的对称轴是2x =,因为()40.9P X <=,所以(0)0.1P X <=, 所以(02)0.4P X <<=,所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+,()()234D X D X +=,故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知,()1E x ξ=-,()()21D x x x x ξ=-=-+,由一次函数和二次函数的性质知, 当102x <<时,()E ξ随着x 的增大而减小, ()D ξ随着x 的增大而增大,故选项D 正确.故选：ABD .本题主要考查二项分布和正态分布的应用,考查期望和方差的计算及其性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．下列四个命题中,是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ,且0x ≠,12x x+≥B ．若0x >,0y >,2xyx y≥+C ．函数()f x x =值域为⎡⎤⎣⎦D ．已知函数()9f x x a a x=++-在区间[]1,9上的最大值是10,则实数a 的取值范围为[)8,-+∞ 【参考答案】BCD【试题解析】结合基本不等式的条件及基本不等式可以判断A ,B ,结合三角换元及三角函数的性质可判断C ,结合含绝对值函数的图像变换可检验D ,即可判断．对于A ,x ∀∈R ,且0x ≠,12x x+≥对0x <时不成立； 对于B ,若0x >,0y >,则()()22222248x yx y xy xy x y ++≥⋅=,化为2xyx y≥+,当且仅当0x y =>时取等号,故B 正确；对于C ,令x θ=,[]0,θπ∈,则()2sin 4f x x πθθθ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭,由[]0,θπ∈,得5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()2sin 24f x πθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭；对于D ,当[]1,9x ∈,[]96,10x x +∈,令[]96,10x t x+=∈,转化为y t a a =+-在[]6,10t ∈有最大值是10.①10a -≥,当6t =时,max 62610y a a a =+-=--=,得8a =-（舍去）. ②6a -≤时,当10t =时,max 1010y a a =+-=恒成立.③610a <-<,{}max max 26,10y a =--,此时只需2610a --≤,得86a -≤<-. 综上,8a ≥-,故D 正确． 故选：BCD本题以判断命题真假为载体,主要考查了函数,不等式的综合应用,属于中档题． 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数：1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【参考答案】ABCD【试题解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案.对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确； 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确；对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-,可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =- 2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确；故选：ABCD.本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.三、填空题13．已知向量()2,6a =-,()3,b m =,若a b a b +=-,则m =______. 【参考答案】1【试题解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值.向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()()16a b m -=-+--=因为a b a b +=-=化简可得12611237m m -+=+ 解得1m = 故答案为: 1本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14．某学校高一学生2人,高二学生2人,高三学生1人,参加A 、B 、C 三个志愿点的活动.每个活动点至少1人,最多2人参与,要求同年级学生不去同一活动点,高三学生不去A 活动点,则不同的安排方法有_____种.（用数字作答） 【参考答案】40【试题解析】以高三学生是否单独去志援点分为两类,每一类中先安排高三学生,再安排高一、高二学生,由乘法原理算出两类安排方法,相加即可.若高三学生单独去志愿点,则有1222228C A A =种,若高三学生与其它年级学生合去志愿点,按先分组再分到志愿点的思路,有11214222C A C C =32种,则共有83240+=种安排方法. 故答案为：40.本题考查分类计数原理的运用,以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法,再逐级安排,考查乘法原理,属于中档题.15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与各个面均相切的球.若AB BC ⊥,6AB =,8BC =,则1AA 的长度为______.【参考答案】4【试题解析】求出△ABC 内切圆的半径,根据球是三棱柱的内切球,求出其半径,从而求出AA 1的长度即可．由AB BC ⊥,6AB =,8BC =,得10AC =.设底面Rt ABC △的内切圆的半径为r ,则()1168681022r ⨯⨯=⨯++⋅,得2r .因为球与三个侧面相切,所以内切球的半径也为2.又该球也与直三棱柱的上、下底面相切,所以124AA r ==. 故答案为：4本题考查了三棱柱的内切球,考查三角形内切圆以及直三棱柱问题,是一道常规题．16．已知函数22(1),0()2,0k x f x xx k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩,若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是_______． 【参考答案】()27,+∞【试题解析】根据题意可求得222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,再分0,0,0k k k =<>三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.由题, ()22212,0()22,0221,0k x k x x g x k k x x k k x x ⎧⎛⎫++-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=--=⎨⎪⎛⎫⎪--+-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,当k ＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k ≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(),0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点, 当k ＜0,函数()g x 在(0,+∞)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；当k ＞0,322()(),0x k g x x x-'=>, 令()0g x '=有13x k =,故要使()g x在(0,+∞)有且仅有两个不同的零点, 则1233min 132()()0k g x g k k k k==+-<,因为0k >,故213333k k k <⇒<,解得k ＞27,综上所述,实数k 的取值范围是(27,+∞)． 故答案为：(27,+∞)本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.四、解答题17．现给出两个条件：①22cosc a B=,②()2cos cos bA C =,从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题. 在ABC 中,a ,b,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,______. （1）求A ；（2）若31a,求ABC 周长的最大值.【参考答案】（1）6π；（2）1. 【试题解析】若选条件①,（1）由余弦定理对2cb =2a cos B ,化简可得c 2+b 2﹣a2=,再利用余弦定理可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc化简再利用基本不等式可得b c +≤可求出△ABC 周长的最大值；若选条件②,（1）由(2b )cos A =cos C ,结合正弦定理化简可得2sin B cos A =B ,从而可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc 化简再利用基本不等式可得b c +≤可求出△ABC 周长的最大值；若选择条件①22cos c a B =.（1）由余弦定理可得22222cos 22a c b c a B a ac +-==⋅,整理得222c b a +-=,可得222cos 222b c A bc bc a +===-. 因为()0,A π∈,所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得)222122b c bc =+-⋅,即()(22242b c b c bc -=+=+-+,亦即(()(224bc b c =+--,因为()24b c bc +≤,当且仅当b c =时取等号,所以()((()22424b c b c ++--≤⨯,解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤,即ABC 周长的最大值为1若选择条件②()2cos cos b A C =.（1）由条件得2cos cos cos b A C A =+, 由正弦定理得)()2sin cos sin cos sin cos B A A C C A A C B =+=+=.因为sin 0B ≠,所以cos A =因为()0,A π∈,所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得)222122b c bc =+-⋅,即()(22242b c b c bc -=+=+-+,亦即(()(224bc b c =+--,因为()24b c bc +≤,当且仅当b c =时取等号,所以()((()22424b c b c ++--≤⨯,解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤,即ABC 周长的最大值为1此题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查基本不等式的应用,考查计算能力,属于基础题18．已知数列{}n a 中,11a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求n S 的表达式； （2）设21nn S b n =+,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【参考答案】（1）121n S n =-；（2）111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．【试题解析】（1）运用()12n n n a S S n -=-≥,代入化简整理,再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求； （2）求得21nn S b n =+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,运用数列的求和方法：裂项相消求和,即可得到所求和．解：（1）∵212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()12n n n a S S n -=-≥, ()2112n n n n S S S S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,112n n n nS S S S --=-①,由题意10n n S S -≠,将①式两边同除以1n n S S -得,()11122n n n S S --=≥ ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==,公差为2的等差数列． 可得()112121nn n S =+-=-, 得121n S n =-； （2）21nn S b n =+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,111111111++=123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦本题考查数列中()12n n n a S S n -=-≥的运用,考查数列的求和方法：裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题．19．如图,四棱锥P−ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN ∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【参考答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）85． 【试题解析】 （Ⅰ）由已知得. 取的中点T ,连接,由为中点知,.又,故=TN AM ∥,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN AT ∥.因为平面,平面,所以平面.（Ⅱ）取的中点,连结.由得,从而,且.以A为坐标原点,AE的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,,,,,(0,2,4) PM=-,5(,1,2) PN=-,5(,1,2)AN=.设(,,)x y z=n为平面PMN的一个法向量,则0,{0,n PMn PN⋅=⋅=即240,{520,y zx y z-=+-=可取(0,2,1)n=.于是85cos,n ANn ANn AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系,空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理．20．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市,机动车保有量已达450多万辆,成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况,某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了200名成年人,然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[]30,100范围内,规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”,所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200（1）补全上面的22⨯列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率,现从全市成年人中随机抽取4人,记“具有很强安全意识”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．P （20K k ≥） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【参考答案】（1）表格见解析,有超过95%的把握；（2）分布列见解析,数学期望为45． 【试题解析】（1）拥有驾驶证的有80人,具有很强安全意识的有40人,由此可得列联表,再计算得2K 后与3.841比较大小即可得出结论；（2）由题意可知X 可以取0,1,2,3,4,且14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭,由此可求出分布列及数学期望．解：（1）200人中拥有驾驶证的占40%,有80人,没有驾驶证的有120人, 具有很强安全意识的占20%,有40人,不具有很强安全意识的有160人, 补全的22⨯列联表如表所示：计算得()2220022102185875 4.6875 3.841408016012016K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯,∴有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关；（2）由频率分布直方图中数据可知,抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15, ∴X 可能取0,1,2,3,4,且14,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 于是()4241455kkP X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0k =,1,2,3,4）,X 的分布列为∴()14455E X =⨯=．本题主要考查独立性检验与二项分布的应用,属于基础题．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c ,点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上,点()3,0A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点,在x 轴上是否存在点(),0P t 使得PM PN ⋅为定值？如果存在,求出点P 的坐标；如果不存在,说明理由.【参考答案】（1）22143x y +=；（2）存在,11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【试题解析】（1）由点在椭圆上代入可得a ,b 的关系,再由点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF =可得b ,c 的关系,再由a ,b ,c 的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标,分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论,假设存在P 满足条件,设直线MN 的方程,与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出数量积PM PN 的表达式,要使数量积为定值,则分子分母对应项的系数成比例,可得t 的值,且可求出定值．解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ,2AB BF ⊥,所以：221914a b +=,20AB BF =,即(3c ,)(b c ,)0b -=即223b c =,222a b c =+,解得：24a =,23b =,所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0),假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时,设直线MN 的方程为：1x my =+,设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩,整理可得：22(43)690m y my ++-=,122643my y m -∴+=+,122943y y m-=+, 121228()243x x m y y m ∴+=++=+,222212121222296412()11434343m m m x x m y y m y y m m m ---=+++=++=+++,因为()()1122,,PM PN x t y x t y =--2222222221212122222241289(43)12853(4)(48()4343434343m t t m m t m t t x x t x x t y y t m m m m m -+----+-=-+++=-+-==+++++,要使PM PN 为定值,则22448514t t t ---=,解得：118t =,这时13564PM PN =为定值,)ii 当直线MN 的斜率为0时,则(2,0)M -,(2,0)N ,P 为11(8,0),则11(28PM PN =--,110)(28-,2111350)()4864=-=,综上所述：所以存在11(8P ,0),使PM PN 为定值．考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合,属于中档题． 22．已知()3231f x ax x =-+（0a >）,定义()()(){}()()()()()(),,max ,,.f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩（1）求函数()f x 的极小值；（2）若()()g x xf x '=,且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =,求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =,试讨论函数()h x （0x >）的零点个数. 【参考答案】（1）241a-；（2）(],2-∞；（3）答案见解析. 【试题解析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式3132a x x≤+在x ∈[1,2]上有解,根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．（1）求导得()()23632'=-=-f x ax x x ax ,令()0f x '=,得10x =或22x a=. 因为0a >,所以12x x <,列表如下：所以()f x 的极小值为2222812411f a a aa ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭. （2）()()3236g x xf x ax x '==-.因为存在[]1,2x ∈使()()h x f x =,所以()()f x g x ≥在[]1,2x ∈上有解,即32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2x ∈上有解,即不等式3132a x x≤+在[]1,2x ∈上有解 设2331331x y x x x+=+=,[]1,2x ∈. 因为24330x y x--'=<对[]1,2x ∈恒成立,所以313y x x =+在[]1,2上递减,故当1x =时,max 4y =.所以24a ≤,即2a ≤,故a 的取值范围为(],2-∞.（3）由（1）知,()f x 在()0,∞+上的最小值为2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ①当2410a ->,即2a >时,()0f x >在()0,∞+上恒成立,所以()()(){}()max ,0h x f x g x f x =≥>,因此()h x 在()0,∞+上无零点.②当2410a-=,即2a =时,()()min 10f x f ==,又()10g =,所以()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有且仅有一个零点.③当2410a-<,即02a <<时,设()()()3231ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-,01x <<.因为()()21136610x ax x x x x xϕ'=--<--<,所以()x ϕ在()0,1上单调递减.又()120a ϕ=-<,2321230a e e ee ϕ-⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00x ϕ=.（i ）当00x x <≤时,因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-≥=,所以()()h x f x =且()h x 为减函数.又()()()0000ln ln10h x f x g x x ===<=,()010f =>,所以()h x 在()00,x 上有一个零点.（ii ）当01x x <<时,因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-<=,所以()()h x g x =且()h x 为增函数.因为()10g =,又()()(){}()max ,ln 0h x f x g x g x x =≥=>在1x >上恒成立,所以()h x 在()0,x +∞上有且仅有一个零点.从而()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有两个零点.综上,当02a <<时,()h x 有两个零点；当2a =时,()h x 有一个零点；当2a >时,()h x 无零点.本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题．。