718.整数的整除性-奥数精讲和测试7年级1118

例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同

时能被2、3、5整除的正整数的个数。

例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x−4y+z)，求证：7︱(x−2y+4z)。例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。

例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。例5．已知a是整数，2∤a，3∤a，求a2＋16被24除的余数。

例6．设N=abcdefg，N l=abcd−efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。

例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？

例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。

A卷

一、填空题

01．99︱141283

x y，(x，y)＝____________。

02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。

03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。

04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。

05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。

06．360能被_________个不同的正整数整除。

07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。

08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。

09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。

10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。

二、解答题

11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。

12．已知a、b为整数，3∤a，3∤b，3∤(a−b)，求证：9︱(a3+b3)。

B卷

一、填空题

02．被6除余3，被7除余2，被8除余1的三位数有_____________个。

03．数字4513333个

□451444

4个

是一个903位数，中间漏写了一个数字。若这

个数能被7整除，那么漏写的数字是____________。

04．有0、2、3、7、9五个数字，从中选出四个不同数字组成不同的能被3整除的四位数，这些四位数从小到大，第四个数是____________。

05．在1992后面补上三个数字，组成升七位数，使它分别都能被2、3、5、11整除，这个七位数的最小值是____________。

06．如果上题中后面补两位数，使这个新的六位数能被105整除，那么它需补上的两位数是____________。

07．一个两位数分别乘以2、3、4、5、6、7、8、9时，它的数字和不变，所有这样的两位数之和为____________。

08．三位数中，它是它数字和的整数倍，这个倍数最大为____________。

09．已知a 、b 为正整数，且126a +882b 为完全平方数，a +b 最小值为____________。

10．19991999

19991999

1999个被11除，余数为____________。

二、解答题

11．n 为正整数，求证：30︱(n5−n)。

12．已知a ，b ，c 是正整数，6︱(a +b +c)，求证：6︱(a 3+b 3+c 3）。

C

卷

一、填空题

01．若素数p 既能表示成某两个素数之和，又能表示成两个素数之差，则

这样的素数p=__________。

02．能同时表示成连续8个整数之和、连续9个整数之和、连续11个整数之和的最小正整数为____________。

03．一个正整数由0或7组成，且它能被15整除，这样的数最小为____________。

04．从1开始的正整数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列，这个数列中第2003项是____________。

05．n的所有正约数之积为____________，其中n=aα·bβ，a、b是素数，α、β是正整数。

06．一个四位数，前两位数字及后两位数字分别相同，而且它是一个整数的平方，这个四位数是____________。

07．如果各位数字都是1的某个整数能被9999整除，那么这个整数中的1的个数最少有___________个。08．将三位数5ab接连重复地写下去，共写2003个5ab，所得的数20035

555

ab

ab ab ab

个

正好是91的倍数，5ab=__________。

09．若任意三个大于3的质数a、b、c满足关系式2a+56=c，则a+b+c一定是某个整数(常数)n的倍数，n的最大值为__________。

10．五位数533xy能被3、7和11整除，y x=__________。

二、解答题

11．已知a、b、c为整数，且a2+b2=c2，求证：a、b、c中必有一个是5的倍数。

12．有一个6位数，它的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍都由原数的6个数字组成，只是顺序不同，求这个6位数。