718.整数的整除性-奥数精讲和测试7年级1118
例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同
时能被2、3、5整除的正整数的个数。
例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x−4y+z)，求证：7︱(x−2y+4z)。
例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。
例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。
例5．已知a是整数，2∤a，3∤a，求a2＋16被24除的余数。
例6．设N=abcdefg，N l=abcd−efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。
例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？
例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。
A卷
一、填空题
01．99︱141283
x y，(x，y)＝____________。
02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。
03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。
04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。
05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。
06．360能被_________个不同的正整数整除。
07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。
08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。
09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。
10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。
而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。
二、解答题
11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。
12．已知a、b为整数，3∤a，3∤b，3∤(a−b)，求证：9︱(a3+b3)。
B卷
一、填空题
02．被6除余3，被7除余2，被8除余1的三位数有_____________个。
03．数字4513333个
□451444
4个
是一个903位数，中间漏写了一个数字。
若这
个数能被7整除，那么漏写的数字是____________。
04．有0、2、3、7、9五个数字，从中选出四个不同数字组成不同的能被3整除的四位数，这些四位数从小到大，第四个数是____________。
05．在1992后面补上三个数字，组成升七位数，使它分别都能被2、3、5、11整除，这个七位数的最小值是____________。
06．如果上题中后面补两位数，使这个新的六位数能被105整除，那么它需补上的两位数是____________。
07．一个两位数分别乘以2、3、4、5、6、7、8、9时，它的数字和不变，所有这样的两位数之和为____________。
08．三位数中，它是它数字和的整数倍，这个倍数最大为____________。
09．已知a 、b 为正整数，且126a +882b 为完全平方数，a +b 最小值为____________。
10．19991999
19991999
1999个被11除，余数为____________。
二、解答题
11．n 为正整数，求证：30︱(n5−n)。
12．已知a ，b ，c 是正整数，6︱(a +b +c)，求证：6︱(a 3+b 3+c 3）。
C
卷
一、填空题
01．若素数p 既能表示成某两个素数之和，又能表示成两个素数之差，则
这样的素数p=__________。
02．能同时表示成连续8个整数之和、连续9个整数之和、连续11个整数之和的最小正整数为____________。
03．一个正整数由0或7组成，且它能被15整除，这样的数最小为____________。
04．从1开始的正整数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列，这个数列中第2003项是____________。
05．n的所有正约数之积为____________，其中n=aα·bβ，a、b是素数，α、β是正整数。
06．一个四位数，前两位数字及后两位数字分别相同，而且它是一个整数的平方，这个四位数是____________。
07．如果各位数字都是1的某个整数能被9999整除，那么这个整数中的1的个数最少有___________个。
08．将三位数5ab接连重复地写下去，共写2003个5ab，所得的数20035
555
ab
ab ab ab
个
正好是91的倍数，5ab=__________。
09．若任意三个大于3的质数a、b、c满足关系式2a+56=c，则a+b+c一定是某个整数(常数)n的倍数，n的最大值为__________。
10．五位数533xy能被3、7和11整除，y x=__________。
二、解答题
11．已知a、b、c为整数，且a2+b2=c2，求证：a、b、c中必有一个是5的倍数。
12．有一个6位数，它的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍都由原数的6个数字组成，只是顺序不同，求这个6位数。
竞赛讲义——整数的整除性
整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，c b，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以,12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2. 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例3．若2121,,,p qp qq p--都是整数，并且p＞1，q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4. 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5. 设n是奇数，求证： 60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6. 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7. 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8x ＋1，于是3n＋1=8x＋2=2(4x＋1)．4x＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8x＋1)＋1=4(6x＋1)．由于6x＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8. 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9. 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．练习三1.求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证： 7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
初中奥数数论整除性质知识点归纳
初中奥数数论整除性质知识点归纳
初中奥数数论整除性质知识点归纳
性质1：(整除的加减性)如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。
例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，并且2|(10—6)。
也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2：如果b与c的`积能整除a，那么b与c都能整除a.
即：如果bc|a，那么b|a，c|a。
性质3：(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。
例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4：(整除的传递性)如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c|b，b|a，那么c|a。
例如：如果3|9，9|27，那么3|27。
奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)
数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。
2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数a 必能被数c 整除。
3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3或9）整除。
4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。
5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？例5如杲41位数5亍-5口99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】PT'【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是: 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数?【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371 能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
初有奥数的常考点：数的整除
初有奥数的常考点：数的整除初有奥数的常考点：数的整除导语：初中是学习奥数的黄金时机，那么奥数的经典考点有哪些呢，数的整除就是其中一个热门考点，今天小编为大家总结了经典的初中奥数题目，希望对大家有所帮助，希望对大家有所帮助!欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的栏目!初中奥数的考试题：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)又如7007 700-14=686， 68-12=56(能被7整除)能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如 1001 100-1=99(能11整除)又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)二、例题例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。
求x,y例2己知五位数1234x能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的'最小五位数三、练习1 分解质因数：(写成质因数为底的幂的連乘积)①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥102962 若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________3 若五位数12X34能被11整除，那么 X=__________-4 当 m=_________时，35m5能被25整除5 当 n=__________时，9610n能被7整除6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有(填上编号)：6________,8__________,9_________,11__________9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初中数学竞赛：数的整除性
一，知能概述
对于整数a和不为零的整数b,总存 在整数m,n使得a-bm+n(0≤n<b),其中 m称为商,n称为余数,特别地,当n=0 时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b 的倍数或b是a的约数),记为b/a整除 有以下基本性质
1.若a|b,alc,则a|(b±c)2.若ab,b1c,则a|c;3.若ab,且 (aC)=1,则ab,特别地,若质数pb,则必有pb或pl;4.若 ba,ca,且(b,c)=1,则bea解整除有关间题常用到数的 整除性常见特征被2整除的数:个位数字是偶数
三，练习
1.(第14届五羊杯竞赛题)2002的不大于100的
正约数有( )
A.8个 B.9个
C.10个
D.11个
20 02=2×7×11×13.易见它的不大于 100的约数是 1,2,7,11,137,2×11,2×13,7×11,7×13,共 10个
2.(2005年河北初中数学竞赛题)在小于 1000的正整数中,能被5整除或能被7整除, 但是不能被35整除的数的个数为( )
6.(首届华杯赛试题)一个六位数3434ab能同时 被8和9整除,已知a+b=c,求c的最小值
由n=3434ab是9的倍数,知 3+4+3+4+a+b=14+a+b是9的倍数故a+b=4或13 由n是8的倍数,知4ab是8的倍数,从而ab是8的 倍数,易见a==0符合条件,且使a+b=c取最小值 4.
如果用[x]表示正数x的整数部分,那么,在小 于1000的999个正整数中,有[999/5]个数能被 5整除, [999/7]个数能被7整除.而既能被5整 除,又能被7整除的数有[999/35]个故所求数 的个数为[999/5]+ [999/7]-2 [999/35]=285
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案
（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6 (江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个 (“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题) 8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n 的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B—————＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得—acb ＋—bac ＋—bca ＋—cab ＋—cba ＝3 194，两边加上—abc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋—abc∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝ ——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含。
718.整数的整除性-奥数精讲与测试7年级1118
例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同时能被2、3、5整除的正整数的个数。
例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x−4y+z)，求证：7︱(x−2y+4z)。
例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。
例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。
例5．已知a是整数，2∤a，3∤a，求a2＋16被24除的余数。
例6．设N=abcdefg，N l=abcd−efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。
例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。
A卷一、填空题01．99︱141283x y，(x，y)＝____________。
02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。
03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。
04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。
05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。
06．360能被_________个不同的正整数整除。
07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。
08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。
09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。
10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。
而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。
二、解答题11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。
12．已知a、b为整数，3∤a，3∤b，3∤(a−b)，求证：9︱(a3+b3)。
七年级数学培优第八讲《整除的基本知识》
第八讲整除的基本知识在整除论中，数的整除性问题占有重要的地位，也是近些年来国外数学竞赛中常出现的内容之一。
本讲不可能全面论述解决整除性问题的方法，只介绍初中数学竞赛中需要掌握的整除的基本性质及其解题方法。
本讲将从整除的基本性质，整数的整除特性以及一次不定方程三个方面进行阐述。
这些内容对培养逻辑思维能力和推理能力十分有益。
8.1整除的性质赛点归纳；对于整数a和不为零的整数b，总存在q，r使得a＝bq＋r(0≤r﹤b)，其中q称为商，r称为余数，特别地，当r＝0时，即a＝bq，称a被b整除（也称a是b的倍数或b是a约数），记b︱a.若b不整除a，用b!a表示。
关于整除，介绍以下性质（本讲中的字母均表示整数）：（1）若b︱a，c︱b，则c︱a；（2）若c︱a,c︱b,则c︱(a±b)；（3）若c︱a,c!b,则c︱ab；（4）若b︱a，则b︱ac；（5）若b︱a，c≠0,则bc︱ac.若bc︱ac.则b︱a.（6）若b︱a，c︱d，则bc︱ad.（7）若a＝b＋c,且m︱a, m︱b，则m︱c.（8）若b︱a，c︱a.则[b,c] ︱a.（9）若b︱a，c︱a.且（b,c）＝1,则bc︱a.（10）若c︱ab,且（a,c）＝1,则c︱b；特别地，若质数p︱ab,则必有p︱a或b︱b.a b-；（11）若a≠b,n为自然数，则（a－b）︱n na b-；（12）若a≠-b,n为正偶数，则（a＋b）︱n na b+；（13）若a≠-b,n为正奇数，则（a＋b）︱n n（14） n个连续自然数之积必能被1×2×3×…×n所整除。
以上整除的基本性质的证明，这里不介绍了，下面举例讲它们的应用。
解题指导：n＋100能被n＋10整除，那么，满足例1（2006，武汉CASIO杯选拔赛）如果2条件的最大正整数n的值为＿＿。
n＋100和2n－100均能被n＋10整除，所以200能被n＋10【思路探究】因为2整除。
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。
一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。