贪心策略

2016/6/22 计算机算法设计与分析 8
贪心算法的一般框架


GreedyAlgorithm(parameters){ 初始化； 重复执行以下的操作： 选择当前可以选择的(相容)最优解； 将所选择的当前解加入到问题的解中； 直至满足问题求解的结束条件。 }
2016/6/22
应用实例
策略1不正确。 活动安排问题—直觉贪心策略分析 反例：S={1, 2, 3}，a1=<0, 20>， a2=<2, 5>， a3=<8, 15>。
策略2不正确。 反例： S={1, 2, 3}，a1=<0, 8>， a2=<7, 9>， a3=<8, 15>。
策略3正确？
活动安排问题
贪心法设计举例
例5.2 用贪心法求解货币兑付问题。设支付现金
A=25.9元，支付集合P= {10、5、1、 0.5,0.2、0.1元各10张} 解： 最少货币张数 — 贪心选择货币面值大者。
s s s s = = = = ф {10} {10,10} {10,10,5,0.5,0.2,0.2}
15.9 5.9 0
（3）假设算法前k步正确，令i1=1, i2, …, ik是前k步顺序选 择的活动，则原问题最优解可表示为A={i1=1, i2, …, ik}∪B， 令S’是S中剩余的与i1, i2, …, ik相容的活动，即S’={j | sj≥fk, j∈S}，则B是S’的一个最优解。
若不然，假设S’有最优解B’，且|B’| > |B|，那么用B’替 换B可以得到的解={i1=1, i2, …, ik} ∪ B’将比A的活动更多， 与A为最优解矛盾。
第四章
贪心策略
2016/6/22 计算机算法设计与分析 1
贪心法

在实际问题中，经常会遇到求一个问题的可行 解和最优解的问题，这就是所谓的最优化问题
。

每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优 化函数，符合条件的解决方案称为可行解，使 优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。
贪心法

贪心法是求解这类问题的一种常用算法，它从问题的 某一个初始解出发，采用逐步构造最优解的方法向给 定的目标前进。(问题：与分治法、递归、动态规划等 的关系、比较?) 在每个局部阶段，都做出一个看上去最优的决策(即某 种意义下的、或某个标准下的局部最优解)，并期望通 过每次所做的局部最优选择产生出一个全局最优解。


做出贪心决策的依据称为贪心准则(策略)
问题：

贪心法的特点/优点是什么？贪心法与穷举法、 回溯法、动态规划等方法的比较？

可以用贪心法解决的问题有什么特点？什么样
的问题适合于用贪心法来解决？ 用贪心法解题时，如何判断能否保证得到最优 解？若不能得到最优解，该如何处理？

找硬币

假设有四种硬币，面值分别为
贪心算法的设计要素
可以用贪心算法求解的问题一般具
有2个重要的性质：
– –
最优子结构性质。 贪心选择性质
贪心算法的设计要素
最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时 ，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优 子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心 算法求解的关键特征。
贪心算法的设计要素
应用实例

活动安排问题—实例计算过程
设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时 间的非减序排列如下：
i s[i] 1 1 2 3 3 0 4 5 5 3 6 5 7 6 8 8 9 8 10 2 11 12
f[i]
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
首先选定活动1，其结束时间f[1]=4。 然后因s[4] = 5≥4，选定活动4，这时f[4] = 7。 又因s[8] = 8≥7，选定活动8，这时f[8] = 11。 最后因s[11] = 12≥11，选定活动11。
贪心法的正确性问题
针对具体问题不同，贪心策略的选择可能有多种 ，如何选择合适的贪心策略并证明该策略的正确 性是贪心算法设计中的一个关键问题。 一般可以通过对算法步数的归纳或通过对问题规 模的归纳来证明贪心法的正确性。 证明贪心选择将导致整体的最优解： 首先证明存在问题的一个整体最优解必定包含 了第一个贪心选择。 然后证明在做了贪心选择后，原问题简化为规 模较小的类似子问题，即可继续使用贪心选择。 于是用数学归纳法可证明，经过一系列贪心选 择可以得到整体最优解。
背包问题
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问题描述

给定n个物品和一个背包。物品i的重量为wi， 价值为vi，背包容量为C。问如何选择装入背包 中的物品，使得装入背包的物品的价值最大？ 在装入背包时，每种物品i只有两种选择，装入 或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入 一部分。因此，此问题称为0-1背包问题。 如果在装入背包时，物品可以切割，即可以只 装入一部分，这种情况下的问题称为背包问题。
贪心算法
一般地，有这样一类问题：它有n个输入，而它的解就由 这n个输入的某个子集组成，只是这个子集必须满足某些事 先给定的条件。把那些必须满足的条件称为约束条件；而 把满足约束条件的子集称为该问题的可行解。为了衡量可 行解的优劣，事先给出了一定的标准。一般以函数形式给 出，称为目标函数。那些使目标函数取极值（极大或极小） 的可行解，称为最优解。 贪心法也是一个多步决策法。每一步选择都使得能构成问 题的一个可行解，同时使目标函数的值增加最快（求max） 或增加最小（如求min），这种选择过程是以某些最优量度 为根据，而最优化量度有时可以是目标函数本身，也可以是 别的量度。最优化度量的选择是贪心算法的关键。

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贪心算法的特点
贪心算法中，较大子问题的解恰好包含 了较小子问题的解作为子集，这与动态 规划算法设计中的优化原则本质上是一 致的。 贪心算法在某一步决定优化函数的最大 或最小值时，不考虑子问题的计算结果 ，而是根据当时情况采取“只顾眼前” 的贪心策略决定取舍。
活动实例
应用实例
策略1：尽早占用。 策略2：时间占用少 活动安排问题 —直觉贪心策略 的活动先安排。 把活动按照开始时间 从小到大排序，使得 计算每个活动占用时 间fi-si，按照占用时 s1 ≤ s2 ≤… ≤sn，然 后从前向后挑选，只 间从小到大对活动排 要与前面选择的活动 序，使得f1-s1 ≤ f2-s2 相容，便将这项活动 ≤… ≤fn-sn，然后从 选入最大相容集合A。 前向后挑选，只要与 前面活动相容，便将 这项活动选入最大相 容集合A。 策略3：早完成的活 动先安排。 把活动按照截止时间 从小到大排序，使得 f1 ≤ f2 ≤… ≤fn ，然后 从前向后挑选，只要 与前面选择的活动相 容，便将这项活动选 入最大相容集合A。
贪心算法的基本思路
基本思路
1.建立数学模型来描述问题。 2.把求解的问题分成若干个子问题。 3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。 4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解 。 从问题的某一初始解出发； while 能朝给定总目标前进一步 do 求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解；
由于输入的活动以其完成时间的非减序排
列，所以算法greedySelector每次总是选 择具有最早完成时间的相容活动加入集合A 中。直观上，按这种方法选择相容活动为 未安排活动留下尽可能多的时间。也就是 说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的 可安排时间段极大化，以便安排尽可能多 的相容活动。
应用实例
template<class Type> 各活动起始时间 void GreedySelector(int n, Type s[], 与结束时间分别 Type f[], bool A[]) { 存储于数组s和f A[1] = true; 活动安排问题 —算法设计与分析中，且f中活动 int j= 1; 按结束时间非递 for (int i=2;i<=n;i++) { 减排序，即f1 ≤f2 if (s[i]>=f[j]) { A[i]=true; ≤… ≤fn。 j=i; } else A[i]=false; 时间复杂度O(n) } 预排序O(nlogn) } 该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以 便安排尽可能多的相容活动。
有n个活动申请使用同一个礼堂，每项活动有一个开始 活动安排问题 时间和一个截止时间，如果任何两个活动不能同时举 行，问如何选择这些活动，从而使得被安排的活动数 量达到最多？ 设S={1, 2, …, n}为活动的集合，si和fi分别为活动i的开 始和截止时间，i=1, 2, …, n。定义 活动i与j相容：si ≥ fj或sj ≥fi, i≠j 求S最大的两两相容的活动子集。
二角五分 一角 五分 一分
现在要找给某顾客六角三分钱，哪种找钱方法拿出 的硬币个数最少呢？ 首先选出一个面值不超过六角三分的最大硬 币，即二角五分；然后从六角三分中减去二角五 二角五分 二角五分 一角 一分 一分 一分 分，剩下三角八分；再选出一个面值不超过三角 八分的最大硬币，即又一个二角五分，如此一直 做下去。这种方法实际上就是贪心算法。
（2）算法第一步选择S中的活动1，设算法最终得到问题 最优解为A={i1, i2, …, ij}，则i1=1;（算法第一步正确） 活动安排问题—贪心策略正确性证明 若i1≠1，用1替换i1，可得到A’=(A-{i1})∪{1}，集合A’与A 中活动个数相同，且1比i1结束的更早，因此与i2, i3, …, ij 相容，于是A’也是问题的一个最优解。
计算机算法设计与分析
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其设计方法描述如下：