十、解非线性方程(组)的迭代法和加速法
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。
它的基本思想是通过不断逼近
方程的解，使得逼近值与真实解的差距越来越小，最终得到方程的解。
下面介绍三种新的迭代法：牛顿迭代法，弦截法和切线法。
一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。
它的迭代公式为：
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解，f(x_n)表示在x_n处的函数值，f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二阶收敛，但其缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算困难或者导数为零的情况下，该方法可能不适用。
二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似，但其缺点是需要计算函数的导数，且对于初始逼近
解的选择比较敏感。
牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。
它们各自有着优点
和缺点，适用的领域和条件也不尽相同。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
第十章非线性方程及非线性方程组解法
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
第十章 方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x a f (x) n
n1 L
0, n 1。
n
n1
1
0
例: 超越方程
f (x) ex sin x 0
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
xn1 (xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
收敛充分性定理(一、2)
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a,b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a,b]内有根。
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求 解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函 数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难 时， Newton法无法进行。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法随着科技的发展，求解非线性方程逐渐成为了计算数学领域中的热门问题之一。
在日常生活中，我们可能经常会遇到许多非线性方程，例如：x^2 - 3x + 1 = 0、e^x - x - 1 = 0等。
那么，在解决这些方程时，我们通常会采用哪些迭代法呢？下面，我将介绍三种新的迭代法，它们分别是：Halley法、Chebyshev法和Brouncker法。
一、Halley法Halley法是一种高阶迭代法，它能够同时逼近函数的根和导数的值，因此在求解非线性方程时非常有效。
该方法的基本思想是利用牛顿法的基础上，通过引入更高阶的泰勒级数，以加快收敛的速度。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么可以先利用泰勒级数表示出f(x)的近似：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)/2(x - x0)^2然后，在此式的基础上，我们可以用以下公式来计算出下一个近似解x1：在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程只有单个根，那么该法一般很快就能收敛到准确解。
二、Chebyshev法Chebyshev法（切比雪夫法）是一种基于最小化误差的迭代法，它不需要计算导数，且具有高阶迭代、迭代次数少的优点。
该方法的基本思想是：我们可以将待求解方程转化为一个无穷大的级数，然后利用级数的递推公式来迭代求解。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么我们可以将其转化为如下形式：x = g(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ⋯其中，系数a0、a1、a2等可以通过传统的求根方法（如牛顿法、二分法等）来确定。
然后，我们可以利用以下递推公式来迭代求解：xn+1 = (g(xn)+xn)/2在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程满足某些条件（如单峰性、单调性等），那么该法的效果将更加显著。
三、Brouncker法Brouncker法是一种较为简单的迭代法，它基于有理分式逼近的思想，能够高效地求解非线性方程的单根。
第三组：非线性方程迭代解法
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
非线性方程迭代法的一般理论
提出了一系列加速迭代法收敛的 技术，如松弛法、外推法等，有 效提高了计算效率。
未来发展趋势预测
1 2
高性能计算的应用
随着计算机性能的不断提高，未来迭代法将更加 注重并行化和优化，以适应大规模计算的需求。
智能化算法的发展
结合人工智能和机器学习技术，未来迭代法有望 实现自适应参数调整和智能化求解。
3
跨学科交叉融合
04
针对某些特殊类型的非线性方程，可能需要设计专门的迭代法以提高 求解效率。
05
迭代法在实际问题中应用
工程领域应用举例
结构优化
在结构工程中，迭代法被用于求解复杂的结构优化问题，通过不断迭代计算，找到满足设 计要求的最优结构形状和材料分布。
流体动力学
迭代法在流体动力学中用于求解非线性偏微分方程，如Navier-Stokes方程，以描述流体 的运动状态。
不同类型非线性方程求解示例
多项式型非线性方程
如$x^3 - x - 1 = 0$，可以采用牛顿迭代法 等进行求解。
指数型非线性方程
如$e^x - x - 2 = 0$，可以尝试使用割线法 或二分法进行求解。
对数型非线性方程
如$log(x) + x - 3 = 0$，可以考虑使用牛顿 迭代法或幂级数法进行求解。
参数调整方法
固定参数法
在迭代过程中保持参数不变。这种方法简单易行，但可能 不适用于所有问题。
自适应参数法
根据迭代过程中的信息（如残差、梯度等）动态调整参数。这种 方法可以适应不同问题的特性，但需要设计合适的自适应策略。
参数优化法
将参数作为优化变量，通过求解一个优化问题来确定最佳参数。 这种方法可以得到较好的参数选择，但计算成本可能较高。
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一、一般迭代法求解非线性方程组。
function [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(x0,k)
x(1)=x0;
for i=1:k
x(i+1)=fun1(x(i));
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);
i=i+1;xk=x(i);
[(i-1) piancha xdpiancha xk]
end
if (piancha>1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3)
disp('此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式') return;
end
if (piancha<0.001)&(xdpiancha<0.0000005)&(k>3) disp('此迭代序列收敛，且收敛速度较快')
return;
end
p=[(i-1) piancha xdpiancha xk]';
1、function y=fun1(x)
y=(10-x.^2)./2
>> [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(5,10)
此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式
k =
10
piancha =
2.4484e+271
xdpiancha =
1
xk =
-2.4484e+271
2、function y=fun1(x)
y=10./(x+2)
>> [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(5,25)
此迭代序列收敛，且收敛速度较快
k =
25
piancha =
9.5676e-007
xdpiancha =
4.1300e-007
xk =
2.3166
二、第二种迭代法。
function [k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedai2(x0,tol,ddmax)
x(1)=x0;
for i=1:ddmax
x(i+1)=fun(x(i));
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);
i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i));
[(i-1) piancha xdpiancha xk yk]
if (piancha<tol)|(xdpiancha<tol)
k=i-1;xk=x(i);
return;
end
end
if i>ddmax
disp('迭代次数超过给定的最大值')
k=i-1;xk=x(i);yk=fun(x(i));
[(i-1) piancha xdpiancha xk yk];
return;
end
p=[(i-1),piancha,xdpiancha,xk,yk]';
function y=fun(x)
y=(x.^5+1)./3
>> [k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedai2(0.3,0.0001,10)
k =
3
piancha =
1.2061e-005
xdpiancha =
3.6031e-005
xk =
0.3347
yk =
0.3347
三、Aitken加速方法。
function [k,xk,yk,p]=Aitken(x0,tol,ddmax)
x(1)=x0;
for i=1:ddmax
x1(i+1)=fun(x(i));
x2(i+1)=fun(x1(i+1));
x(i+1)=x2(i+1)-(x2(i+1)-x1(i+1))^2/(x2(i+1)-2*x1(i+1)+x(i));
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);
i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i));
if (piancha<tol)|(xdpiancha<tol)
k=i-1;xk=x(i);yk=fun(x(i));
m=[0,1:i-1];p=[m',x1',x2',x'];
return;
end
end
if i>ddmax
disp('迭代次数超过给定的最大值')
k=i-1;xk=x(i);yk=fun(x(i));
m=[0,1:i-1];p=[m',x1',x2',x'];
return;
end
m=[0,1:i-1];p=[m',x1',x2',x'];
function y=fun(x)
y=-log(x./2);
>> [k,xk,yk,p]=Aitken(0.85,0.000001,10)
k =
3
xk =
0.8526
yk =
0.8526
p =
0 0 0 0.8500
1.0000 0.8557 0.8490 0.8526
2.0000 0.8526 0.8526 0.8526
3.0000 0.8526 0.8526 0.8526
四、切线法的收敛性
1、function [y,f]=newjushou(x)
f=fnq(x);fz=fnq(x)*diff(diff(fnq(x)))/((diff(fnq(x)))^2+eps);y=abs(fz); if (y<1)
disp('11111')
else
disp('22222')
end
p=[y,f]';
>> [y,f]=newjushou(-0.4)
>> [y,f]=newjushou(0.9)
2、function [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax) x(1)=x0;
for i=1:gxmax
x(i+1)=x(i)-fnq(x(i))./(diff(fnq(x(i)))+eps);
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);
i=i+1;xk=x(i);
[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]
if (abs(yk)<ftol)&(piancha<tol)|(xdpiancha<tol)
k=i-1;xk=x(i);
[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]
return;
end
end
if i>ddmax
disp('迭代次数超过给定的最大值')
k=i-1;xk=x(i);
[(i-1) xk yk piancha xdpiancha];
return;
end
p=[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';
function f=fnq(x)
f=3/2-1/(2*x^2);
>> [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.01,10)。