高阶线性微分方程59128
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解高阶线性微分方程
如何解高阶线性微分方程呢？（个人思路整理，部分） 这里，首先给出高阶线性微分方程的一般形式：1111()()()()nn n n nn x xx a t a t a t x f t ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.1）而这里还有一条思路：先研究方程（4.1）对应的高阶齐次线性方程：1111()()()0nn n n nn x xx a t a t a t x ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.2）的解，再通过（4.2）的解与（4.1）的解之间的关系，得出（4.1）的解。
而根据上面这条思路，首先得得到（4.2）的解，我们才能得到（4.1）的解。
——————————————————————————————————————— 在我们作任何研究分析之前，先不加证明的给出下面这个定理，请牢记。
定理1： 如果()i a t (1,2,,)i n = 及()f t 都在区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一0[,]t a b ∈及任意的(1)(1)00,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初值条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t dt t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3）———————————————————————————————————————一．下面，我们先来分析（4.2）的解的自身的性质。
性质1（叠加定理）：即（4.2）的某些解的线性组合仍是（4.2）的解。
这样，如果（4.2）存在非零解，则（4.2）就有无数个解。
因为，实数有无数个。
——————————————————————————————————————— 在给出性质2之前，先引入几个新概念： a. 函数的线性相关和线性无关：考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数12(),(),,()k x t x t x t ，如果存在不全为零的数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡[,]a b ∈都成立，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关。
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
高阶线性微分方程
3x
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
高阶线性微分方程
令 y = ue x 是非齐次方程的解， y ′′ = u ′′e x + 2 u ′e x + ue
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程
u 21 a1 u 12 a11 a2 u 0,
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程是一类数学方程，可以用来描述物理系统的运动规律。
它的形式为：y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + an-1y(1) + any(0) = f(t)，其中，y(n)是未知函数，a1、
a2、...、an-1、an是系数，f(t)是非齐次项。
高阶线性微分方程可以用来描述振动系统、声学系统、电磁系统等多种物理系统的运动，是工程学、物理学、数学等学科的重要研究内容。
解决高阶线性微分方程的方法有多种，如拉普拉斯变换、积分变换、Laplace变换等。
高阶线性微分方程在工程应用中有着重要的作用，它可以用来描述工程系统的运行规律，为工程设计提供重要的理论支持。
因此，研究高阶线性微分方程具有重大的意义。
高阶线性、常系数齐次微分方程
小结 : 求解
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( 2)
先求 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c 2 y 2 ,
再求 y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) 的一个特解 y*,
(2)
当 f ( x )恒不为零时 , ( 2 ) 叫做非齐次二阶线性方 程 , 而与 ( 2)
对应的齐次二阶线性方 程为 :
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(3)
定义 如果存在 n 个不全为零的常数 k1 , k 2 , , k n , 使
k1 y1 ( x ) k 2 y 2 ( x ) k n y n ( x ) 0
则 y1 y 是 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 的一个特解 . 2
( 证明略 )
定理 2 ~ 4 都可以推广到 n 阶线性方程上去 .
例. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 ,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
的通解 , 则 y Y y * 是 ( 2) 的通解 .
(2)
的一个特解 , 而 Y c1 y1 c 2 y 2 是对应齐次方程
(3)
证
y P ( x ) y Q ( x ) y
y P ( x ) y Q( x ) y
Y y * P ( x )Y y * Q ( x )Y y *
可以求出 (1) 的另一解
高阶线性微分方程.
k 1
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例如, 方程 y y e x 有特解
方程 y y cos x 有特解
y y e x cos x 的特解.
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定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
由此得原方程③的通解:
y C1 y1 ( x) C2U ( x) y1 ( x) u ( x) y1 ( x)
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例5. 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
2 Y C1 x C2 e , 求 ( x 1) y x y y ( x 1) 的通解. x 1 y y x 1 解: 将所给方程化为: y x 1 x 1 x 令 y xv1 ( x) e v2 ( x), 利用⑤,⑥建立方程组: e x v2 0 xv1
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
左= ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * )
( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x) =右
故（3）是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立的任意 证毕 常数, 因而 （3） 也是通解 .
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例如, 方程 y y e x 有特解
方程 y y cos x 有特解
y y e x cos x 的特解.
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定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
由此得原方程③的通解:
y C1 y1 ( x) C2U ( x) y1 ( x) u ( x) y1 ( x)
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例5. 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
2 Y C1 x C2 e , 求 ( x 1) y x y y ( x 1) 的通解. x 1 y y x 1 解: 将所给方程化为: y x 1 x 1 x 令 y xv1 ( x) e v2 ( x), 利用⑤,⑥建立方程组: e x v2 0 xv1
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
左= ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * )
( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x) =右
故（3）是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立的任意 证毕 常数, 因而 （3） 也是通解 .
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4
y P( x) y Q( x) y 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x) 常数,
y2( x) 则函数y1( x)与y2( x)在I上 线性无关.
定理2 如果函数y1(x)与 y2(x)是方程(1)的两个
线性无关的特解,那末 y C1 y1( x) C2 y2( x)
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
9
例 求解 y y x e x
解 y y 0 的通解是Y C1 cos x C2 sin x
再考虑两个方程 y y x, y y e x
y1
x,
y2
1 2
e x 分别是原方程的特解.
所以原方程的通解为
y Y y
C1
cos
x
C2
sin
x
x
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
的特解. 证 设y1, y2是非齐次线性方程的两个特解, 则
y1 P( x) y1 Q( x) y1 f ( x) (1) y2 P( x) y2 Q( x) y2 f ( x) (2)
叠 加
Q( x)[C1 y1 C2 y2 ]
原 理
C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2[ y2 P( x) y2 Q( x) y2 ]
0
y C1 y1( x) C2 y2( x) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,, yn为定义在区间I内的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 恒等式成立
(1) (2)得
( y1 y2 ) P( x)( y1 y2 ) Q( x)( y1 y2 ) 0
所以 y1 y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题12.4(337页） 1. 2. 3.
12
思考题
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
7
如 方程 y y x2 是二阶非齐次线性方程
已知Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程 y y 0 的通解. 又容易验证 y x2 2 是所给方程的一个特解. y Y y
C1 cos x C2 sin x x2 2
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x Байду номын сангаас 2) y 6x 6
的解, 求此方程的通解.
结论 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应
齐次方程的特解.
13
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程: ( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解.
为了求非齐次线性方程的通解, 只要求得: 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解.
k1 y1 k2 y2 kn yn 0,
则称这n个函数在区间I内 线性相关, 否则称 线性无关.
如 1，cos2 x, sin2 x ( x (,)) 线性相关
e x，ex , e2x ( x (,)) 线性无关
取k1 1, k2 k3 1,有恒等式 1 cos2 x sin2 x 0
也是(1)的 通解.
为了求 齐次 线性方程的通解,
只要求它的两个线性无关的特解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且
y2 y1
tan x
常数,
通解 y C1 cos x C2 sin x.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程. 推论 如果函数 y1( x), y2( x), yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y 0
的n 个线性无关的解, 则此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,Cn 为任意常数.
6
y P( x) y Q( x) y 0 (1)
是非齐次方程的通解.
8
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x)是几个函数 之和, 如y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x) 而y1与y2分别是
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 则 y1 y2 就是原方程的特解.
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2 y dx 2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
y(n) P1 ( x) y(n1) Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) n阶 线性 微分方程
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理1 如果函数数y1( x)与y2( x)是方程程(1)的两两个个解解,
那末y C1 y1( x) C2 y2( x)也是(1)的解,(C1,C2是常数).
证 [C1 y1 C2 y2]P( x)[C1 y1 C2 y2 ]
y P( x) y Q( x) y 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x) 常数,
y2( x) 则函数y1( x)与y2( x)在I上 线性无关.
定理2 如果函数y1(x)与 y2(x)是方程(1)的两个
线性无关的特解,那末 y C1 y1( x) C2 y2( x)
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
9
例 求解 y y x e x
解 y y 0 的通解是Y C1 cos x C2 sin x
再考虑两个方程 y y x, y y e x
y1
x,
y2
1 2
e x 分别是原方程的特解.
所以原方程的通解为
y Y y
C1
cos
x
C2
sin
x
x
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
的特解. 证 设y1, y2是非齐次线性方程的两个特解, 则
y1 P( x) y1 Q( x) y1 f ( x) (1) y2 P( x) y2 Q( x) y2 f ( x) (2)
叠 加
Q( x)[C1 y1 C2 y2 ]
原 理
C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2[ y2 P( x) y2 Q( x) y2 ]
0
y C1 y1( x) C2 y2( x) 一定是通解
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定义 设y1, y2 ,, yn为定义在区间I内的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 恒等式成立
(1) (2)得
( y1 y2 ) P( x)( y1 y2 ) Q( x)( y1 y2 ) 0
所以 y1 y2 是齐次方程的解.
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作业
习题12.4(337页） 1. 2. 3.
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思考题
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
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如 方程 y y x2 是二阶非齐次线性方程
已知Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程 y y 0 的通解. 又容易验证 y x2 2 是所给方程的一个特解. y Y y
C1 cos x C2 sin x x2 2
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x Байду номын сангаас 2) y 6x 6
的解, 求此方程的通解.
结论 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应
齐次方程的特解.
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已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程: ( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解.
为了求非齐次线性方程的通解, 只要求得: 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解.
k1 y1 k2 y2 kn yn 0,
则称这n个函数在区间I内 线性相关, 否则称 线性无关.
如 1，cos2 x, sin2 x ( x (,)) 线性相关
e x，ex , e2x ( x (,)) 线性无关
取k1 1, k2 k3 1,有恒等式 1 cos2 x sin2 x 0
也是(1)的 通解.
为了求 齐次 线性方程的通解,
只要求它的两个线性无关的特解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且
y2 y1
tan x
常数,
通解 y C1 cos x C2 sin x.
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定理2 可推广到n 阶齐次线性方程. 推论 如果函数 y1( x), y2( x), yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y 0
的n 个线性无关的解, 则此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,Cn 为任意常数.
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y P( x) y Q( x) y 0 (1)
是非齐次方程的通解.
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y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x)是几个函数 之和, 如y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x) 而y1与y2分别是
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 则 y1 y2 就是原方程的特解.
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
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一、二阶线性微分方程
形如
d2 y dx 2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
y(n) P1 ( x) y(n1) Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) n阶 线性 微分方程
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二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理1 如果函数数y1( x)与y2( x)是方程程(1)的两两个个解解,
那末y C1 y1( x) C2 y2( x)也是(1)的解,(C1,C2是常数).
证 [C1 y1 C2 y2]P( x)[C1 y1 C2 y2 ]