五年级长方体等积变形练习
五年级数学思维专题训练《平面图形面积计算及等积变形》
五年级数学思维专题练习《平面图形面积计算及等积变形》姓名_________知识准备：平面图形面积计算：多边形及组合图形的面积计算，转化为求三角形、长方形、梯形、平行四边形的面积，利用相应的面积公式求解三角形面积=底×高÷2 梯形面积=（上底+下底）×高÷2长方形面积=长×宽平行四边形面积=底×高等积变形问题：两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积。
三角形等积变形技巧是各种等积变形的核心，要注意运用“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则一、平面图形面积如图，一个3×3的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是________如图，在长方形ABCD中，BC=12，AB=9，F为BC上一点，且CF=4，那么三角形CEF的面积是__________如图，正方形ABCD的面积是16，点F是BC上任意一点，点E是DF的中点，则阴影部分的面积是_______如图，M，N分别是平行四边形ABCD两边上的中点，三角形DMN的面积是9平方厘米，那么ABCD的面积是______平方厘米二、等积变形如图，大正六边形的内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米，那么大正六边形的面积是______平方厘米如图，正六边形ABCDEF的面积是2014平方厘米，在AB，BC，DE，EF上分别取中点G，H，I，J，四边形GHIJ的面积是______平方厘米如图，直角边长分别为20cm，12cm的直角三角形ABC和直角边长分别为14cm，4cm的直角三角形ADE如图摆放，M为AE的中点，则三角形ACM的面积为_____cm²5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为24厘米，求：单个长方形的面积。
等长、等积变换
20
12 解得
45 a 8
10
a
a
练习：你能根据下图说出小球的体积吗？ （长度单位cm）
V 82 6 384 (cm3 )
16
16
6 a a
例题2：为制造性能优良的坦克，一块长360cm,宽120cm,厚 5cm的长方体形钢板，经过锻压后，要求厚度达到15cm ,长 度为180cm，那么，新的钢板的宽度是多少？
xcm
，正方形
2( x 2 x) 4(2 x 1) 38
解，得 X=3
S 3 6 (2 3 1) 2 43(cm) 2
答：长方形与正方形的面积之和为43 cm。
2
练习：用一根长度为36cm的铁丝围成一个长与宽之比 为4：5的长方形，那么这个长方形的面积为多少？
解：设新钢板的长度为acm,根据等量关系，得 360×120×5=15×180a 解得 a=80 答：新钢板的宽度是80cm.
例题3：用一根长为38cm的铁丝围成一个长方形和一 个正方形，已知长方形的长与宽之比为2：1，正方形 的边长比长方形的长少1cm，求长方形与正方形的面积 之和。
解：设长方形的宽为 ，则长为 2 xcm 的边长为 (2 x 1)cm，根据等量关系，得
解：设长方形的长为4xcm,宽为5xcm，根据等量关系，得
2 (4 x 5x) 36
解得
x2
S 4 2 5 2 80
1等边三角形的周长2正方形的周长3长方形的周长6长方体的体积7正方体的体积8圆柱体的体积4圆的面积5长方形的面积3边长4边长底面积高1020例1
等积、等长变形问题
本节课涉及的等量关系有：
1、等边三角形的周长= 3×边长 2、正方形的周长= 4×边长
等积变形专项练习
等积变形专项练习
1.在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中，当从水中取出铝块时，容器的水面下降了0.2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2.用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米？
7.把一个长2米的圆柱截去4分米后，原先的外表积就削减了25.12平方分米，原先圆柱的体积是几何立方分米？
8.在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出。
（水槽厚度忽略不计）
1）求这块青铜的体积。
2）如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱，它的高是多少？（得数保留一位小数）。
数学北师大版五年级下册等积变形
例7、一个（从内部量）棱长5分米 的正方体玻璃缸， 里面装有水，水深1.5分米。 在这个玻璃缸中放进2.6分米， 底面积10平方分米的长方体铁块， 铁块底面与玻璃缸底面完全接触， 水没有淹没铁块， 此时水面高是、 高3.5分米的水缸中的水深3分米， 小明把西瓜放在水里， 西瓜完全被水淹没。 求出这个西瓜的体积是多少立方分米？
（1）此时水面高3.4分米。
例题4、有一个长6分米、宽4分米、 高3.5分米的水缸中的水深3分米， 小明把西瓜放在水里， 西瓜完全被水淹没。 求出这个西瓜的体积是多少立方分米？ （2）此时水溢出0.5升。
(2)有 甲、乙、丙三个无盖长方体水箱。 甲、乙水箱有水，丙水箱空着。 从里面测量，甲水箱长40厘米， 宽32厘米，高25厘米， 里面装着20厘米深的水； 乙水箱长30厘米，宽24厘米，高25厘米， 里面装着20厘米深的水； 丙水箱长20厘米，宽18厘米，高15厘米。 若将甲、乙水箱中的水倒一部分给丙水箱， 使三个水箱中的水面高度相同， 这时水深是多少厘米？
等积变形
例1、用160立方米的沙子铺一条长50米， 宽40米的路，可以铺多少厘米厚？
例2、 将棱长分别为6厘米和8厘米的 两个正方体铁块熔铸成一个长方体， 已知这个长方体的长是13厘米， 宽是7厘米，它的高是多少厘米？
例3、一个封闭的长方体容器, 长30cm,宽20cm,高10cm, 里面装有6cm深的水, 小强不小心将这个长方体容器 朝后推倒了, 这时容器中的水深是多少厘米？
(1)有 甲、乙、丙三个无盖长方体水箱。 甲水箱有水，乙、丙水箱空着。 从里面测量，甲水箱长40厘米， 宽32厘米，高25厘米， 里面装着20厘米深的水； 乙水箱长30厘米，宽24厘米，高25厘米。 丙水箱长20厘米，宽18厘米，高15厘米。 若将甲水箱中的水倒一部分给乙、丙水箱， 使三个水箱中的水面高度相同， 这时水深是多少厘米？
五年级《等积变换专项练》
五年级《等积变换专项练》等积变形专项练姓名学号1.有一个边长4厘米的立方体铜块。
熔化后，铸造一个长2厘米、宽4厘米的长方体。
长方体铜块铸造后的高度是多少厘米？（不包括损失）2、1立方米水重1吨，一个长方体水池能蓄水960吨，已知水池长20米，宽12米，深多少米？3.有一块边长为80厘米的立方体铁块。
现在我们需要将其熔化并铸造成横截面积为20平方厘米的长方体。
这个长方体的长度是多少厘米？4、一个长方体的药水箱里装了60升的药水，已知药水箱里面长5分米，宽3分米，它的深是多少分米？5.一块钢长2米，横截面为正方形，边长4厘米。
如果它被锻造成横截面为25平方厘米的长方体钢，它有多长？6、有两个棱长是6厘米的正方体铁块，要把它们熔铸成一个长方体铁块（假设没有损耗），这个长方体铁块的长是8厘米，高是9厘米，宽是多少厘米？7.在一个长40厘米、宽20厘米的玻璃罐中，放入一个边长10厘米的立方体铁块。
这是12厘米的水深（铁块浸入水中，水溢出）。
如果把这个铁块从罐子里拿出来，罐子里的水深会变成多少厘米？8、有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水。
如果将这个容器竖放，水面的高度是多少厘米？9.立方体玻璃容器的边缘长度为2米。
将5L水放入容器中，然后将一块石头放入水中。
此时，容器中测得的水深为15厘米。
石头的体积是多少立方厘米？10、用一个底面是边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。
当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积。
11.在一个120厘米长、60厘米宽的玻璃罐中加入一些水，放入一个矩形铁块（完全浸没）。
水面比原来上升了2厘米，没有水溢出。
已知铁块的长度和宽度为20厘米，因此请确定铁块的高度。
11、用一个长16分米、宽是8分米的长方形铁皮，做一个无盖的长方体形容器。
专项练习—等积变形
专项练习—等积变形1. 已知直角三角形的两条直角边长分别是21和28，求这个三角形内的最大正方形的边长？2. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，ADBE 是平行四边形，面积等于8，还知道三角形BCE 的面积是2，那么三角形CDE 的面积是多少？3. 开发商准备在一块地面上盖商品房，这块长方形地形情况如图，甲处比乙处高50厘米．现在要把这块地推平整，要从甲处取下多少厘米厚的土填在乙处上？ED CBA50厘米100米60米30米乙甲4. 如图，折线A ﹣B ﹣C ﹣D 的每一条线段都平行于矩形的边，它把矩形分成面积相等的两部分．点E 在矩形的边上，使得线段AE 也平分矩形的面积．已知线段AB ＝30，BC ＝24，CD ＝10，求DE 的长．5. 如图是直角三角形中有一个内接正方形，求图中阴影部分的面积．单位：厘米．提示：分拆图形时常用“分割、填补、组合、旋转”等方法．6. 雨哗哗地不停地下着．如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时．雨水灌满图2容器各需多长时间？E D CBA图2图1107. 把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？8. 如图，O 是半圆的圆心，AC ＝BC ，CD ＝DB ，AB ＝12厘米，求阴影部分的面积．9. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝8，CD ＝9，且三角形AED 、三角形FCD 和四边形EBFD 的面积相等，求三角形DEF 的面积．BAFEDCBA10.边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？11.有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米．把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数）12.有两个高度相等的容器A和B，已知A容器半径是6厘米，B容器的半径是8厘米，现在把A容器装满水，然后全部倒入B容器中，测得B容器中的水深比A容器高的3 4低了3厘米．求A、B两个容器的高是多少厘米？E13. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？14. 如图，有边长分别是15分米和20分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成甲、乙、丙、丁四部分．甲三角形的面积比丙三角形的面积大多少平方分米？15. 如图，ABCD 是等腰梯形，上底和下底分别是16厘米和24厘米，高是12厘米．阴影部分的面积是多少？丁丙乙甲CD。
五下三长正练习五——等积变形
16.王村要挖一个长50米，宽20米，深1.5米的水 塘， （1）这个水塘占地多少平方米？ （2）在水塘周围围上一圈栏杆，栏杆有多长？ （3）挖出的土要铺成一条宽5米，厚10厘米的小 路，能铺多长？ （4）现往水塘注水，每分钟注水50立方米，注水 2小时，水深多少？要注满水塘需要多长时间？
10.一个封闭的长方体容器，长、 宽、高分别是2分米、2分米、5分米， 里面装着水，水高4分米，丽丽不小心 把容器碰到了，现在水的高度是多少？
11.一个棱长10厘米的正方体鱼缸， 里面装满水，把水倒入一个长25厘米， 宽8厘米的长方体鱼缸，水有多深？
12.用水管向一个长10米，宽5米， 深2米的水池注水，如果水管每分钟注 水500升，需要多少分钟才能把空池注 满？
13.在一块长50米，宽30米的长方 形地上铺一层5厘米厚的沙土，如果一 辆汽车每次运送1.5立方米的沙土，至 少需要运多少次？
14.汽车的油箱长50厘米，宽30厘 米，高20厘米，如果每升汽油可以行 驶10千米，油箱装满油后最多可以行 驶多少千米？（油箱厚度忽略不计）
15.一个底面为正方形的长方体纸 盒，如果把它的侧面展开，正好可以 得到一个边长20厘米的正方形，这个 长方体的体积是多少？
7.把一个棱长6分米的铁块熔 铸成一个长8分米，宽9分米的长方 体，这个长方体的高是多少分米？
8.一个长方体纸盒，从里面量长15 厘米，宽12厘米，高10厘米，如果要 把棱长为3厘米的正方体积木装进盒内 （不外露），最多能装多少块？
9.把一个长5分米，宽4分米，高3 分米的长方体石料尽量加工为体积最 大的正方体，那么凿去的石料的体积 是多少立方分米？
长方体和正方体练习（五）
——等积变形练习题
ห้องสมุดไป่ตู้
等积变形应用题
等积变形应用题等积变形应用题一“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.等积变形类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积)＝变形后的体积(容积）.二练习题1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢?2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯,需要截取地面积为130 mm2的方钢多长？3、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱,下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长?4、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？5、一个直径为1。
2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。
6、有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗）？7 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.8 有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米,把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
9 用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠,若从中捞出546π克钢珠，问液面下降了多少厘米?(1立方厘米钢珠7.8克）10 小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2。
5倍，则大圆柱的高是多少厘米？11 一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体,其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高(π取3。
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1.有一个正方体水箱，棱长是0.4米，把这个水箱装满水，再倒入一个长0.8米，宽0.25米的长方体水箱中。
这时它的水深是多少？
2.鱼缸长30cm，宽15cm，高24cm，左图水面高14cm，右图水面高18cm，乌龟的体积是多少立方厘米？
3.一个长6dm,宽5dm的长方体水箱。
先倒入82升水，再浸入一个土豆，这时水面上升了2cm这个土豆的体积是多少?
4.水在乙中高3米，在甲中高几米？
5. 有一个长60cm、宽40cm、高35cm的水缸，小明把西瓜放在里面后水面上升4cm。
这个西瓜的体积是多少立方分米？
6.用一个棱长是10cm的正方体钢坯锻造成底面积是25平方厘米的长方体钢材。
这个长方体钢材的长是多少厘米？
7.有一棱长是12厘米的正方体钢坯锻造成横截面是正方形的长方体的钢材，已知横截面的边长是3厘米。
求长方体钢材的长是多少厘米？
8.在一个长12.5分米,宽6分米,深7分米的长方体澡盆里放入温水。
高健进入澡盆后，水刚好没到高健的颈部，水面上升了2分米。
他颈部以下的体积是多少立方米？
9.一个棱长是3分米的正方体鱼缸里放满了水,然后把水全部倒进一个长40厘米,宽15厘米的长方体鱼缸内,这个长方体鱼缸中的水深多少厘米?
10.一个长是0.6分米,宽0.2分米的长方体水箱,里面盛着水,水面距上口8厘米,如果放入12个同样的螺丝钉后,水面距上口6厘米,每个螺丝钉的体积是多少?
11.一个长方体水箱，从里面量长1.6米，宽0.8米，高1.5米，这个水箱可盛水多少升？
12.一水池，长8米、宽6.5米、池深5米，池里的水面距上沿4.2米，水池里有多少立方米的水？
13.一水池长30米，宽20米，池深3米，池里的水面距上沿1.2米，水池里有多少立方米的水？
14.一水池长30米，宽20米，池深3米，池里的水面距上沿1.2米，水池里最多还能存多少立方米的水？
15.一水池，长8米、宽6.5米、池深5米，池里的水面距池底4.2米，水池里有多少立方米的水？
16.一水池长30米，宽20米，池深3米，池里的水面距池底1.2米，水池里有多少立方米的水？
17.一水池长30米，宽20米，池深3米，池里的水面距池底1.2米，水池里最多还能存多少立方米的水？
18.一个水池，长25米，宽15米，现在池内有1.5米深的水，水面距池面还有0.4米的距离，这个水池的容积是多少立方米？
18.一水池，长30m，宽20m，池深3m，水池里水面的距池底1.2m，水池里有多少立方米的水？
19.一水池，长30m，宽20m，池深3m，水池里水面的距池底1.2m，水池里最多还能存多少立方米的水？
20.一个水池，长25米，宽15米，现在池内有1.5米深的水，水面距池面还有0.4米的距离，这个水池的容积是多少立方米？
21.一个水池，长25米，宽15米，现在池内有1.5米深的水，水面距池面还有0.4米的距离，这个水池最多还能存多少立方米的水？
22.将一块棱长0.8米的正方体钢块,熔铸成一个横截面是边长2分米的正方形的长方体钢材,熔铸成和长方体钢材有多长?
23.用一块体积是2000立方厘米的钢块锻造成一根横截面面积是20平方厘米长方体方钢，这根长方体方钢长多少?
25、将体积是360立方厘米的块油泥捏成一个长是10厘米,宽5厘米的长方体油泥,能
26、将30升水倒入一个棱长是5分米的正方体体玻璃缸内,水深多少分米?
27、两个容器，甲正方体（棱长6分米），乙长方体（长8分米、宽和高都是6分米），将甲容器的水装满倒入乙容器，乙容器水面有多高？
28、一个货车的车厢是棱长4米,宽2.5米,高1.5米的长方体,将它装满石子,铺在一个长20米,宽5米的路上,能铺多厚?
29、一个棱长5分米的玻璃缸内有水100升,将一个石块投入缸内,水面上升了1厘米,这个石块的体积是多少?。