中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及答案解析

解得：x= 13 ， 3
∵ BD= AD2 AB2 =2 13 ， ∴ OB= 1 BD= 13 ，
2
∵ BD⊥EF，
∴ EO= BE2 OB2 = 2 13 ， 3
∴ EF=2EO= 4 13 ． 3
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）过点 O 向线段 OM 作垂线，此直线与格点的交点为 N，连接 MN 即可； （2）根据勾股定理画出图形即可． 试题解析：（1）过点 O 向线段 OM 作垂线，此直线与格点的交点为 N，连接 MN，如图 1 所示；
（2）等腰直角三角形 MON 面积是 5，因此正方形面积是 20，如图 2 所示；于是根据勾股 定理画出图 3：
【答案】(1)见解析；（2） 4 3 ；（3）见解析
【解析】 试题分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD 为等边三角形，得∠ 4=60°， AC=AB 进而求证△ ABE≌ △ ACF，即可求得 BE=CF； （2）根据△ ABE≌ △ ACF 可得 S△ ABE=S△ ACF，故根据 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC 即可解题； （3）当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△ AEF 的面积会随着 AE 的变化 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 S△ CEF=S 四边形 AECF-S△ AEF，则 △ CEF 的面积就会最大. 试题解析：（1）证明：连接 AC， ∵ ∠ 1+∠ 2=60°，∠ 3+∠ 2=60°， ∴ ∠ 1=∠ 3， ∵ ∠ BAD=120°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=60° ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD， ∴ △ ABC、△ ACD 为等边三角形 ∴ ∠ 4=60°，AC=AB， ∴ 在△ ABE 和△ ACF 中，
，
∴ △ ABE≌ △ ACF．（ASA） ∴ BE=CF． （2）解：由（1）得△ ABE≌ △ ACF， 则 S△ ABE=S△ ACF． 故 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC， 是定值． 作 AH⊥BC 于 H 点， 则 BH=2， S 四边形 AECF=S△ ABC
AFB AED ADE BAF ， AD AB
∴ △ ABF≌ △ DAE（AAS）．
∴ BF=AE． ∵ AF=AE+EF， ∴ AF=BF+EF． 点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌 握判定与性质是解本题的关键． 3．图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图 1 中画出等腰直角三角形 MON，使点 N 在格点上，且∠ MON=90°； （2）在图 2 中以格点为顶点画一个正方形 ABCD，使正方形 ABCD 面积等于（1）中等腰直 角三角形 MON 面积的 4 倍，并将正方形 ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角 形和一个正方形，且正方形 ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．
=﹣
=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全 等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ ABE≌ △ ACF 是解题 的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 DE 交 x 轴于点 E（30，0），交 y 轴于点 D（0，
40），直线 AB：y＝ 1 x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，交直线 DE 于点 P，过点 E 作 3
②F 点移动到 F'的距离是 10 t，F 垂直 x 轴方向移动的距离是 t，当点 H 运动到直线 DE
上时，在 Rt△ F'NF 中， NF = 1 ，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在 Rt△ DMH'中， MH 4 ，
NF 3
EM 3
t=4，S= 1 ×(12+ 45 )×11= 1023 ；当点 G 运动到直线 DE 上时，在 Rt△ F'PK 中， PK = 1 ，
考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.
4．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF 为正三角形，E、F 在菱形的边 BC，CD 上． （1）证明：BE=CF． （2）当点 E，F 分别在边 BC，CD 上移动时（△ AEF 保持为正三角形），请探究四边形 AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． （3）在（2）的情况下，请探究△ CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如 果变化，求出其最大值．
0
，
∴
k
4 3
，
b 40
∴ y＝﹣ 4 x+40， 3
直线 AB 与直线 DE 的交点 P（21，12）， 由题意知 F（30，15）， ∴ EF＝15； （2）①易求 B（0，5），
∴ BF＝10 10 ，
∴ 当点 F1 移动到点 B 时，t＝10 10 10 ＝10；
②当点 H 运动到直线 DE 上时，
∴ t＝7， ∴ S＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】 本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键．
6．在 ABC中， ABC 90 ，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作 CE BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG BD ，连接 BG，
2．如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥ DE，交 AG 于 F． 求证：AF=BF+EF．
【答案】详见解析. 【解析】 【分析】 由四边形 ABCD 为正方形，可得出∠ BAD 为 90°，AB=AD，进而得到∠ BAG 与∠ EAD 互余， 又 DE 垂直于 AG，得到∠ EAD 与∠ ADE 互余，根据同角的余角相等可得出∠ ADE=∠ BAF， 利用 AAS 可得出△ ABF≌ △ DAE；利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由 AF-AE=EF， 等量代换可得证. 【详解】 ∵ ABCD 是正方形， ∴ AD=AB，∠ BAD=90° ∵ DE⊥AG， ∴ ∠ DEG=∠ AED=90° ∴ ∠ ADE+∠ DAE=90° 又∵ ∠ BAF+∠ DAE=∠ BAD=90°， ∴ ∠ ADE=∠ BAF． ∵ BF∥ DE， ∴ ∠ AFB=∠ DEG=∠ AED． 在△ ABF 与△ DAE 中，
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA）， ∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴ x2=42+（6-x）2，
2 又 BD 1 AC ，
2 BD DF，
2 证明： BD / /GF ， BD FG ，
四边形 BDFG 为平行四边形， 又 BD DF， 四边形 BDFG 为菱形，
3 解：设 GF x ，则 AF 5 x ， AC 2x ，
在 Rt AFC中， (2x)2 ( 7 )2 (5 x)2 ，
2
4
8
当点 G 运动到直线 DE 上时，
F 点移动到 F'的距离是 10 t， ∵ PF＝3 10 ， ∴ PF'＝ 10 t﹣3 10 ，
在 Rt△ F'PK 中，
PK 1 ， FK 3
∴ PK＝t﹣3，F'K＝3t﹣9，
在 Rt△ PKG'中， PK ＝ t 3 ＝ 4 ， KG 15 3t 9 3
2
4
8
FK 3
PK=t-3，F'K=3t-9，在 Rt△ PKG'中， PK ＝ t 3 ＝ 4 ，t=7，S=15×（15-7）=120. KG 15 3t 9 3
【详解】 （1）设直线 DE 的直线解析式 y＝kx+b， 将点 E（30，0），点 D（0，40），
∴
30k b b 40
EF⊥x 轴交直线 AB 于点 F，以 EF 为一边向右作正方形 EFGH． （1）求边 EF 的长；
（2）将正方形 EFGH 沿射线 FB 的方向以每秒 10 个单位的速度匀速平移，得到正方形
E1F1G1H1，在平移过程中边 F1G1 始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒（t＞0）． ①当点 F1 移动到点 B 时，求 t 的值； ②当 G1，H1 两点中有一点移动到直线 DE 上时，请直接写出此时正方形 E1F1G1H1 与△ APE 重叠部分的面积．