中考数学经典难题解答集锦

经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点，
由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

A F G C
E B
O D D 2 C 2
B 2
A 2 D
1
C 1
B 1
C
B
D
A A 1
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ．
连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG
∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG
∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN ＝∠MFC
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
B
F
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）
分别过P 、C 、E 、F 作AB 的垂线，垂足依次是Q 、∵ACDE 是正方形，∴∠EAM 、∠CAH 互余，又∠CAH 、∠ACH 互余，∴∠EAM ＝∠ACH ，
∵ACDE 是正方形，∴AE ＝CA ，显然有∠AME ＝∠CHA ＝90°，∴△AEM ≌△CAH ，∴EM ＝AH 。

∵CBFG 是正方形，∴∠FBN 、∠CBH 互余，又∠FBN 、∠BFN 互余，∴∠BFN ＝∠CBH ，
∵CBFG 是正方形，∴BF ＝CB ，显然有∠BNF ＝∠CHB ＝90°，∴△BFN ≌△CBH ，∴FN ＝BH 。

由EM ＝AH 、FN ＝BH ，得：EM ＋FN ＝AH ＋BH ＝AB 。

由PQ ⊥AB 、EM ⊥AB 、FN ⊥AB ，得：FN ∥PQ ∥EM ，又EP ＝FP ，∴PQ 是梯形EFNM 的中位线，
∴由梯形中位线定理，有：PQ ＝（EM ＋FN ）/2，结合证得的EM ＋FN ＝AB ，得：
PQ ＝AB/2。

经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
证明：连接BD 交AC 于点O ，过点E 作EG ⊥AC.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC=BD ，OD=BD/2，∠DOC=90°，∠ACD=45°， ∵EG ⊥AC ， ∴∠EGO=90°，
∴∠DOC+∠EGO=180°， ∴OD//EG ， 又∵OG//DE ，
∴四边形DOGE 是矩形， ∴DO=EG=BD/2=AC/2， ∵AE=AC ，
∴在Rt △AGE 中，EG=AE/2，∠ACE=∠AEC ， ∴∠EAG=30°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-∠EAG=180°-30°=150°， ∴∠AEC=∠ACE=150°÷2=75°， ∴∠ECF=∠ACE-∠ACD=75°-45°=30°， ∴∠EFC=180°-∠ECF-∠FEC=180°-30°-75°=75°， ∴∠EFC=∠CEF ， ∴CE ＝CF.
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
过E ，D 分别做AC
∵AC 是正方形ABCD ∴DH = AC/2 ∵ED//AC ∴
EG=DH ∵AC = AE ∴DH = AE/2
∴在Rt △EGC 中，∠ECG = 30° ∴∠CEA = ∠CAE = 75° ∵∠DCA = 45° ∴∠DCF = 15°
∴∠EFA = ∠DFC = 75° ∴∠EFA = ∠FEA ∴AE = AF
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．
求证：PA ＝PF ．（初二） 证明：【此题见过，E 应为BC 延长线上的点】
在AB 上截取AG=PC ，连接PG ∵ABCD 是正方形
∴AB=BC ，∠B=∠DCB=∠APF=90º【∵PF ⊥AP 】 ∵AC=CP
∴BG=BP 【等量减等量】 ∴∠BGP=∠BPG=45º ∴∠AGP=180º-∠BGP=135º ∵CF 平分∠DCE ∴∠FCE=45º ∴∠PCF=180º-∠FCE=135º ∴∠AGP=∠PCF
∵∠BAP+∠APB=90º ∠FPC+∠APB=90º
∴∠BAP=∠FPC 【加上∠AGP=∠PCF ，AG=PC 】 ∴⊿AGP ≌⊿PCF （ASA ） ∴PA=PF
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于
B 、D ．求证：AB ＝D
C ，BC ＝A
D ．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE
因为DP//AE ，AD//PE
所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP
所以，A 、E 、B 、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD ，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC ，且AD=BC 所以，PE//BC ，且PE=BC
即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
经典难题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：
≤l ＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。