中考数学抛物线难题解析(含答案)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E

作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。

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直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。

（1）求直线BC及抛物线解析式

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标

如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0， -3），对称轴是直线x =1，直线BC 交抛物线对称轴交于点D .

（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P ，Q 两点，且点P 在第三象限. ①当线段PQ =3AB/4时，求tan ∠CED 的值；

②当以点C ，D ，E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标. 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.

第25题图 第25题备用图

直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。

（1）求圆心C的坐标。（Xc=1, c(1,4)）

（2）已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))

（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M坐标。

26.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P

的坐标；若不存在，说明理由．

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分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，可得A （﹣1，0）B （4，5），然后利用待定系数法即可求得b ，c 的值； （2）由直线AB 经过点A （﹣1，0），B （4，5），即可求得直线AB 的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x ﹣3，设点E （t ，t+1），则可得点F 的坐标，则可求得EF 的最大值，求得点E 的坐标；

（3）①顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD ，可求出点F 的坐标（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），点D 的坐标为（1，﹣4）由S 四边形EBFD=S △BEF+S △DEF 即可求得； ②过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P ，设点P （m ，m2﹣2m ﹣3），可得m2﹣2m ﹣2=5/2，即可求得点P 的坐标，又由过点F 作b ⊥EF 交抛物线于P3，设P3（n ，n2﹣2n ﹣3），可得n2﹣2n ﹣2=﹣15/4，求得点P 的坐标，则可得使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形的P 的坐标．

解答：解：（1）由已知得：A （﹣1，0），B （4，5）， ∵二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，5）， ∴错误！未找到引用源。，解得：b=﹣2，c=﹣3； （2）如图：∵直线AB 经过点A （﹣1，0），B （4，5），∴直线AB 的解析式为：y=x+1， ∵二次函数y=x2﹣2x ﹣3，∴设点E （t ，t+1），则F （t ，t2﹣2t ﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t ﹣3）=﹣（t ﹣3/2）2+25/4，∴当t=错误！未找到引用源。时，EF 的最大值为25/4，∴点E 坐标（3/2，5/2）；

（3）①如图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD ． 可求出点F 的坐标（3/2，-15/4），点D 的坐标为（1，﹣4）

S 四边形EBFD=S △BEF+S △DEF =错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×（4﹣错误！未找到引用源。）+错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×（错误！未找到引用源。﹣1）=错误！未找到引用源。； ②如图：ⅰ）过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P ，设点P （m ，m2﹣2m ﹣3）则有： m2﹣2m ﹣2=错误！未找到引用源。，解得：m1=错误！未找到引用源。，m2=错误！未找到引用源。，

∴P 1（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P2（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），

ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于P3，设P3（n ，n2﹣2n ﹣3）

则有：n2﹣2n ﹣2=﹣15/4，解得：n1=1/2，n2=3/2（与点F 重合，舍去），∴P 3（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），综上所述：所有点P 的坐标：P1（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P2（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），P3（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用． 23、（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S 、求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

(4)补充：在（3）的条件下，点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形能否成为