一致连续函数性质的应用(I)

1、设函数()f x 在区间[,]a b 上可导，
证明()f x 在[,]a b 上一致可导的充分必要条件是()f x '在[,]a b 上连续。

这里()f x 在[,]a b 上一致可导是指：对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，
当0||x y δ<-<时，就有()()
()f y f x f x y x
ε
-'-<-成立。

证明 充分性 设()f x '在[,]a b 上连续，于是()f x '在[,]a b 上一致连续， 对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，当||x y δ-<时，就有
()()f x f y ε''-<成立；
对任意,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<，存在ξ位于,x y 之间，使得
()()()()f x f y f x y ξ'-=-，
显然||x ξδ-<，()()f f x ξε''-<，
于是()()
()()()f y f x f x f f x y x ξε
-'''-=-<-， 即得()f x 在[,]a b 上一致可导；
必要性 设()f x 在[,]a b 上一致可导， 注到,x y 的地位对称，
因此有对任给0ε>，存在0δ>，当,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<时，
就有()()()f y f x f x y x ε-'-<-，()()
()f y f x f y y x
ε
-'-<- 从而 ()()
f x f y ''-()()()()()
()2f y f x f y f x f x f y y x y x
ε
--''≤
-+-<--， 故得到()f x '在[,]a b 上一致连续，因此()f x '在[,]a b 上连续。

2、设函数()f x 在区间I 上非李普希兹连续，
证明()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：对任给的0ε>，总存在正数M ，
使当,x y I ∈，x y ≠，满足()()
f y f x M y x
->-时，就有()()f y f x ε-<.
证明 充分性 对任给0ε>，取
M ε
δ=
，对任意,x y I ∈，x y ≠，当||x y δ-<时，
若满足()()
f y f x M y x
->-，就有()()f y f x ε-<；
若成立
()()
f y f x M y x
-≤-，则有
()()||||f y f x M y x M δε-≤-<=， 即得()f x 在区间I 上一致连续 。

充分性 用反证法.
假若()f x 在区间I 上不一致连续，则存在00ε>，存在{}{},n n x y I ∈， 使得1
n n x y n
-<
，但()()0n n f x f y ε->， 则有()()0n n n n
f x f y n x y ε->-，
由假设条件，对
02
ε>，只需要n 充分大，就满足
()()
0n n n n
f x f y n N x y ε->>-，
就有()()0
2
n n f x f y ε-<
，矛盾，
所以()f x 在区间I 上一致连续；
必要性
证法一 设()f x 在区间I 上一致连续，对任意0ε>，存在0δ>，当,x y I ∈，
x y δ-<时，有()()f x f y ε-<；
若有,x y I ∈，满足()()f x f y ε-≥，必有x y δ-≥， 取2M ε
δ=
，
若有,x y I ∈，x y ≠，满足()()
f y f x M y x
->-时，我们断言必有()()f x f y ε-<；
假若不成立，也就是假若有()()f x f y ε-≥，必得矛盾。

事实上，令()()f x f y αε=-≥，则存在正整数2K ≥，使得(1)K K εαε-≤≤， 设1K α
β=
-，则有2εβε≤<，βα≤；
不妨设()()()f x f y x y <<，
因为()()()()f x f x f x f y βα<+≤+=， 故由连续函数介值定理，知存在1x ，使得
1()()f x f x β=+，1x x y <≤；
同理，存在2x ，使得
21()()f x f x β=+，12x x y <≤；
如此继续下去，则得011K K x x x x -<<
<<，其中规定0,K x x x y ==；
这时，对每个i ，因为
1()()i i f x f x βε--=≥，
故由一致连续的定义，1i i x x δ
--≥，1,2,,i
K =；
从而
()()2f y f x K M y x K ββεδδδ-≤=≤=-，这与()()
f y f x M y x
->-，矛盾；
对于x y >的情况，可类似讨论。

必要性证毕。

证法二 假若结论不成立，
则存在00ε>，对任意正整数 n ，存在{}{},n n x y I ∈， 尽管
()()
n n n n
f x f y n x y ->-，但()()0n n f x f y ε->；
由于()f x 在区间I 上一致连续，对00ε>，存在0δ>，当,x y I ∈，x y δ-<时，
有()()0f x f y ε-<；
于是必有n n y x δ-≥，
不妨设n n x y <，则存在正整数2K ≥，使得(1)n n K y x K δδ-≤-≤， 取i n z x i δ=+，0,1,2,
,1i K =-；K n z y =，
则有10|
()()|i i f z f z ε--<，1,2,
,i K =。