反常积分初步
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高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
《反常积分课件》课件
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汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
《反常积分课件》课件
对函数f(x)在[a, b]上，当b->+∞或a->-∞时，求极 限∫f(x)dx。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
数学分析之十一章反常积分
于是: a 0
dx
a
lim
a2 x2 0 0
dx a2 x2
1 a
lim
0
arcsin
x a a c
o
lim
0
arcsin
a
a
a
0c
arcsin
1
2
a a x
图5-7-1
例5 : 讨论反常积分
1 1
dx x2
的收敛性
.
解
:
被积函数f
(x)
1 x2
在积分区间[1,1]上除x
0外连续,
f (x)dx
0
都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在
区间(, +)上无穷积分.记作 f (x)dx ,即
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (3)
a a
b 0
这时, 也称无穷积分 f (x)dx 收敛;
a
b
a
( )
22
y
y
1
1 x2
obx
注:
为方便起见,
把
lim F
b
(x)ba
记作F
( x)a .
例2 : 计算无穷积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
解:
te ptdt lim b te ptdt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
1 dx x
又
b 1
1 dx 2 x
第四节 反常积分
即反常积分
0
1
1 x2
dx
发散
所以反常积分
1
1
1 x2
dx
发散
1
1 x2
dx
发散
所以反常积分
1
1
1 x2
dx
发散
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铃
内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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结束
铃
思考与练习
b
a
f
(x)dx lim ta
b
t
f
(x)dx
类似地 函数f(x)在[a b)上(b为瑕点)的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx
lim
t b
t
a
f (x)dx
函数f(x)在[a c) (c b]上(c为瑕点)的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx lim t c
t
a
f
(x)dx lim t c
b
t
f
当 q 1时
时时
aba(bx(xdxdax)aq)q[1[111qq(x(xa)a1)1q]qba]
ba
(b a)1q 1 q
,
,
当 q1 时
b
a (
当 q1 时
b
a (
因此
当 q<1 时
此反常积分收敛
《反常积分初步》课件
反常积分的应用
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
《数学分析》第11章 反常积分ppt课件
f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.
反常积分求解步骤
反常积分求解步骤
首先，应该判断积分是否可以反常积分，这需要检查积分的收敛性，即是否具有收敛范围。
如果可以反常积分，就可以用反常积分法来求解积分。
步骤如下：
1. 将要求解的积分按反常积分法的形式分解，即将积分分解为几个不同的反常积分，这些反常积分可以用某些已知函数的积分替换。
2. 将每个反常积分替换为已知函数的积分，然后利用积分表或其他已知方法解决这些积分。
3. 将解答中的各个积分相加，得到积分的最终解答。
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收敛，并称此极限值
为该无穷限积分的积分值，记为
b
a
f ( x)dx lim f ( x)dx b a
如果上式右端极限不存在，则称无穷限积分发散
注1
若 a
f
(
x
)dx发散
，
则
由
极
限
不
存
在可
知 a
f
( x)dx
可能为无穷大量，也可能为非无穷大量
注2 无穷限积分的几何意义：
若 a
f
( x)dx收敛且f
a
无穷限积分
一、无穷限的积分
形如 f ( x)dx, b f ( x)dx, f ( x)dx的积
a
分，称为 无穷限积分
定义 如果对给定的实数a和任意实数b(b a),函
数f ( x) b a
f
( x)dx存在，
则称无穷限积分 a
f
( x)dx
f ( x)dx存在时,称
瑕积分ab f ( x)dx 收敛，记为
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ca c
如果上式右端极限不存在, 则称瑕积分 发散
定义 如果对任意 0, 函数f ( x)在[a ,b]上可积 ,
且 lim f ( x) , 则当极限 lim b f ( x)dx存在时,称
旋转形成的体积
解：
Vx
(ex )2 dx
0
e2xd (2 x)
20
e2x
2
0
2
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
如果被积函数 f ( x)在[a,b]上一点(或有限个点)处
无界
,
则称
b
a
f
(
x
)dx为
瑕积分.并称无界的点为瑕点
通常考虑较多的无界点是无穷间断点
例1 判断下列积分为何种积分; 若为瑕积分, 指出瑕点
1 dx 1 x2
arctan x
收敛
xlicm 1 ar1cxta2 dnxx
cxlim1a1rxc2tdaxn
x
arctan(xc
22
)
arctan
x
c
arctan c lim arctan x lim arctan x arctan c
x
x
( )
22
无穷限积分可简记为
xa
0 a
瑕积分 b a
f
( x)dx
收敛，记为
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
类似地定义f ( x)在b或c(a c b)点无界时,
瑕
积分 b a
f
(
x
)dx的敛
散性
:
若 lim f ( x) , 则定义
xb
b
d
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
1
d ( x2 1)
1 x2
1 x2
ln( x2 1) 如何判断？
仍然考虑用定义计算！
2 x dx c 2 x dx 2 x dx
1 x2
1 x2
c 1 x2
其中 c 2x dx
1 x2
c
1
1 d(x2 x2
1)
ln( x2
1) c
原积分发散
例4 求曲线y ex与x轴围成的在第一象限图形绕x轴
解：10 p 1时，上例(1) 原式 发散
20
p 1时，上例(2) 原式 收敛
且 1
1 dx
xp
1 p1
30
p 1时，
1
dx
x 1
p
x1 p 1 p
1
lim x1 p 1 x p
1 p1
发散
例3
讨论无穷限积分 2x
1 x2
dx 的敛散性
解：
2x
dx
lim
b
b1 2 x2
dx 1
lim
b
1 2
ln|
x 1 |b x1 2
lim 1 ln | b 1 | 1 ln3 1 ln 3
2 b b 1 2
2
收敛
或
2
1 x2
dx 1
1 ln| 2
x x
1 1
|
2
lim 1 ln 2 x
|
x x
1 1
|
1 ln3 2
1 ln 2
3
(4)
a [ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
同 理 可 以 定 义 在 无 穷 区间( , b], ( , )上 的 无 穷 限
积分 :
b
b
f
(
x)dx
lim
a
a
f
( x)dx
(a b)
c
f ( x)dx f ( x)dx c f ( x)dx
(c为任意常数)
(x)
0,则 a
f
( x)dx表示由曲线
y f ( x)，直线x a和x轴所围成的向右无限延伸的图形
面积
注3 由上述定义及极限运算性质可知：
若 a
f
( x)dx,
a
g( x)dx收敛，则
a
kf
(
x)dx，
[
a
f
(x)
g( x)]dx也收敛且
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
§6.5 反常积分初步
定积分的两个必要条件：1. 积分区间[a,b] 有限； 2. f ( x) 在 [a,b] 上有界.
若条件满足,称为 常义积分. 若条件不满足,称为反常积分.
一、无穷区间上的反常积分（无穷限积分）
形如 f ( x)dx, b f ( x)dx, f ( x)dx的积分，称为
当 c
f
( x)dx
及 c
f
( x)dx都收敛时，称无穷限积分
f
(
x
)dx收敛,
有
一个发散,
则称
f
(
x
)dx发散
无穷限积分的计算(判断)方法： 先求相应的常义积分 再取极限
例1 研究下列无穷限积分的敛散性
(1) 1dx
1x
(2)
1
x1ndx
(n
1)
(3)
2
x
1 2
dx 1
1 ln x
(1)0
dx x
11
(2)0 x dx
dx
(3)0 x2
x 0为瑕点
0时为常义积分 0时为x 0瑕点
既是无穷限积分 又是瑕积分，x 0为瑕点
定义如果对任意c (a,b), 函数f ( x)在[c,b]上可积 ,
且 lim xa
f (x)
,
则当极限lim ca
b c
(4)
1
1 x
2
dx
解：(1) 10先求常义积分 任取b 1
b
1
1dx x
ln
|
x
|
b 1
ln | b |
20取极限 原积分 lim ln | b | b
(2) 10
b 1
1 xn
dx
x1n 1 n
b 1
b1n 1 n
1
1
n
20 原积分 1
收敛
n1
发散
(3)
2
1 x2
dx 1
a
f
( x)dx
F
(
x)
a
lim F (
x
x)
F (a)
b
f
( x)dx
F
(
x)
b
F (b)
lim F(
x
x)
f
( x)dx
F
(
x)
lim F( x)
x
lim F( x)
x
( p积分) 1 dx
x 1
p
p
1 -
1
收敛, 发散,
p1 p1
例2
讨论无穷限积分 1
1 xp
dx的敛散性