第十一章 反常积分
数学《反常积分》讲义
第十一章 反常积分1 反常积分概念一、问题提出定积分 1) 积分区间的有穷性2) 被积函数的有界性如果函数(被积函数)的积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间上无界,应如何讨论它们的积分，这类积分称为反常积分(或广义积分，Cauchy-Riemann 积分, C-R 积分), 而上一章的定积分称为正常积分.例 1 (第二宇宙速度) 例 2 (流水时间)二、两类反常积分的定义定义1 设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上, 且在任何有限区间[,]a u 上可积, 如果存在极限lim()uau f x dx J →+∞=⎰, 那么称极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分(无穷积分)，记作()aJ f x dx +∞=⎰，并称()af x dx +∞⎰收敛, 有时也称f 在[,)a +∞上(Cauchy-Riemann )可积; 反之，若上述极限不存在, 则称()af x dx +∞⎰发散.注 1()af x dx +∞⎰收敛的几何意义：若f 在[,)a +∞上为非负连续函数，则介于曲线()y f x =，直线x a =及x 轴之间一块向右无限延伸的区域有面积J .注 2 类似可定义()lim()aauu f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰lim()lim()uaauu u f x dx f x dx →+∞→-∞=+⎰⎰例 3 1) 讨论积分211dx x +∞+⎰，0211dx x -∞+⎰，211dx x +∞-∞+⎰的敛散性.2) 计算积分20125dx x x +∞++⎰.例4 讨论下列积分的敛散性.1) 11pdx x +∞⎰; 2) 21(ln )pdx x x +∞⎰.注3 设f 在[,)a +∞上连续，F 为f 的一个原函数，则()lim ()lim ()()()()uaau u f x dx f x dx F u F a F F a +∞→+∞→+∞==-=+∞-⎰⎰例 5 讨论sin axdx +∞⎰的敛散性注 4 ()f x dx +∞-∞⎰为两个非正常积分之和，而非lim()uuu f x dx -→+∞⎰.定义 2 设函数f 定义在区间(,]a b 上，在点a 的任一右邻域内无界, 但在任意内闭区间[,](,]b a b α⊂上有界且可积. 如果存在极限lim ()bu u af x dx J +→=⎰，那么称此极限为无界函数f 在(,]a b 上的反常积分，记作()baJ f x dx =⎰，并称反常积分()baf x dx ⎰收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分()baf x dx ⎰发散.在上述定义中函数f 在点a 的附近无界, 我们称a 为f 的瑕点, 而无界函数的反常积分()ba f x dx ⎰也称为瑕积分.注 5 1) 类似可定义瑕点为b 的瑕积分()lim ()buaau bf x dx f x dx -→=⎰⎰其中f 在b 的任一左邻域内无界，且在任何内闭区间[,][,)a a b β⊂上可积.2) 若,a b 都为f 的瑕点，且在任一内闭子区间[,](,)u v a b ⊂上可积，此时可定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()c vucu av bf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中c 为(,)a b 内的任一实数，当且仅当右式两个瑕积分都收敛时，左式的瑕积分收敛.3) 若f 的瑕点(,)c a b ∈，则定义瑕积分()()()bc b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰lim ()lim ()u bavu cv cf x dx f x dx +-→→=+⎰⎰其中f 在[,)(,]a c c b ⋃上有定义,在c 的任一邻域内无界, 且在任何闭子区间[,][,)a u a c ⊂, [,](,]v b c b ⊂都可积，当且仅当右边两个瑕积分收敛时, 左边的瑕积分收敛.例 6 1) 计算瑕积分1⎰2) 讨论瑕积分1pdxx ⎰的敛散性(p >0)3) 讨论瑕积分0p dxx+∞⎰的敛散性(p >0) 4) 24=⎰5) 1⎰三、两类反常积分的关系设()f x 连续，b 为瑕点，则11211()()t b xbab af x dx f b dt t t=-+∞-=-⎰⎰瑕积分可转化为无穷积分设0a >，1121()()t xaadtg x dx g t t =+∞=-⎰⎰12011()a g dt t t =⎰无穷积分可转化为瑕积分由此可见，瑕积分与无穷积分可相互转化，因而它们有平行的理论和性质. 例 7 讨论下列反常积分是否收敛 1) 2x xe dx +∞--∞⎰2) cos x e xdx +∞--∞⎰3) 2⎰4) 1(1)(ln )pdxp x x >⎰5) 1⎰例 8 举例说明瑕积分()b af x dx ⎰收敛，2()baf x dx ⎰未必收敛.例 9 1) 证明：若()af x dx +∞⎰收敛，且lim ()x f x A →+∞=，则0A =;2) 举例说明: ()af x dx +∞⎰收敛,f 在[,)a +∞上连续,未必有lim ()0x f x →+∞=成立.例 10 若f 在[,)a +∞上可导，且()af x dx +∞⎰与()af x dx +∞'⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.2 无穷积分的性质与收敛判别一、 无穷积分性质由()af x dx +∞⎰收敛lim ()lim()duau u F u f x dx →+∞→+∞⇔=⎰存在, 根据函数极限收敛的Cauchy 准则，我们有定理 1 (Cauchy 准则) 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,:G a u u G ε∀>∃≥∀>1221()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 (线性性质) 若1()af x dx +∞⎰和2()af x dx +∞⎰都收敛, 12,k k 为任意常数, 则1122[()()]ak f x k f x dx +∞+⎰也收敛，且11221122[()()]()()aaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰.性质2 (区间可加性) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，b a >，则()af x dx +∞⎰与()bf x dx +∞⎰同敛散，且()()()b aabf x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰.定理2 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛0,,:()uG a u G f x dx εε+∞⇔∀>∃≥><⎰当.性质 3 (绝对收敛) 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()af x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰也收敛，且()()aaf x dx f x dx +∞+∞≤⎰⎰.定义1 若()af x dx +∞⎰收敛, 则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.性质3 说明绝对收敛的无穷积分其本身一定收敛，而反之未必成立. 我们称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛的无穷积分.性质4 (换元) 设:[,)[,)a ϕα+∞→+∞是光滑严格单调映射,且()a ϕα=，lim ()t t ϕ→+∞=+∞. 若()af x dx +∞⎰收敛，则(())()f t t dt αϕϕ+∞'⎰收敛，且()(())()af x dx f t t dt αϕϕ+∞+∞'=⎰⎰.性质5 (分部积分) 设,f g 为[,)a +∞上的光滑函数, 且lim ()()x f x g x →+∞⋅存在, 则()()af xg x dx +∞'⋅⎰与()()af xg x dx +∞'⎰同敛散，且它们收敛时有等式()()()()()()aaaf xg x dx f x g x f x g x dx +∞+∞+∞''⋅=⋅-⋅⎰⎰其中()()lim ()()()()ax f x g x f x g x f a g a +∞→+∞⋅=-.二、 无穷积分判别法1、比较判别法 (绝对收敛判别法)定理 3 (比较法则) 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞. 则i) 当()ag x dx +∞⎰收敛时, 必有()af x dx +∞⎰收敛;ii) 当()af x dx +∞⎰发散时, 必有()ag x dx +∞⎰发散.例 1 判断积分22sin(1)5x dx x+∞++⎰的敛散性.1) Cauchy 判别法推论1 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，则有i) 当1(),[,)1p f x x a p x≤∈+∞>且时，()a f x dx +∞⎰收敛. ii) 当1(),[,)1p f x x a p x≥∈+∞≤且时，()a f x dx +∞⎰发散.2) 比较原则的极限形式推论 2 设f 和g 都在任何区间[,]a u 上可积, ()0g x >, 且()lim ()x f x c g x →+∞=. i) 当0c <<+∞时，()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰同敛散;ii) 当0c =时，若()ag x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰收敛;iii) 当c =+∞时，若()ag x dx +∞⎰发散，则()af x dx +∞⎰发散.推论 3 设f 定义在[,)(0)a a +∞>上，且在任何有限区间[,]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则有i) 当1p >，0λ≤<+∞时，()af x dx +∞⎰收敛; ii) 当1p ≤，0λ<≤+∞时，()af x dx +∞⎰发散.例 2 讨论下列无穷积分的敛散性:1) 1x x e dx α-⎰2)21+∞⎰2、 Dirichlet 和Abel 判别法定理4 (Dirichlet ) 若()()ua F u f x dx =⎰在[,)a +∞上有界, ()g x 在[,)a +∞上x →+∞时单调趋于0, 则()()a f x g x dx +∞⋅⎰收敛.定理5 (Abel ) 若()af x dx +∞⎰收敛, ()g x 在[,)a +∞上单调有界, 则()()af xg x dx +∞⋅⎰收敛.定理6 (Dirichlet- Abel ) 设无穷积分()()()aaf x dx u x dv x +∞+∞=⎰⎰, 其中()u x单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x →+∞时趋于0, 则()af x dx +∞⎰收敛.例 3 讨论无穷积分1sin p xdx x +∞⎰与1cos (0)px dx p x +∞>⎰的敛散性.例 4 证明下列积分条件收敛.1) 21sin x dx +∞⎰,21cos x dx +∞⎰;2) 41sin x x dx +∞⋅⎰;3)1+∞⎰. 例 5 若()af x dx +∞⎰绝对收敛. 且lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.例6 设,,f g h 为[,)a +∞上三个连续函数，且()()()h x f x g x ≤≤. 证明：如果()ah x dx +∞⎰，()ag x dx +∞⎰收敛，那么()af x dx +∞⎰亦收敛.例 7 证明: 若f 在[,)a +∞上一致连续，且()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.例 8 讨论下列无穷积分的敛散性1) 1ln n xdx x+∞⎰2) 31arctan 1x xdx x +∞+⎰3)21x edx +∞-⎰4) 1ln(1)px dx x +∞+⎰5) 0ln(1)px dx p x+∞+ (>0)⎰6) 0xdx ⎰7)21cos x e xdx +∞-⎰8) 0sin arctan xxdx x+∞⎰例9 证明：若f 是[,)a +∞上的单调函数,()af x dx +∞⎰收敛,则lim ()0x f x →+∞=, 且1()()f x o x x= , →+∞.注: 由()lim 1()x f x g x →+∞=, ()ag x dx +∞⎰收敛, 推不出()af x dx +∞⎰收敛.3 瑕积分的性质与判别法一、 瑕积分的性质 (瑕点为x a =)定理1 瑕积分()ba f x dx ⎰收敛0,0,εδ⇔∀>∃>当12,(,)u u a a δ∈+时,2121()()()bbu u u u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.性质1 设函数1f , 2f 的瑕点同为a ，1k ，2k 为常数，则当瑕积分1()baf x dx ⎰，2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分1122[()()]bak f x k f x dx +⎰必收敛，且11221122[()()]()()bb baaak f x k f x dx k f x dx k f x dx +=+⎰⎰⎰.性质2 设函数f 的瑕点为x a =，(,)c a b ∈, 则瑕积分()baf x dx ⎰与()caf x dx ⎰同敛散且()()()b c b aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰, 其中()bcf x dx ⎰为定积分.性质3 若f 的瑕点为a , f 在(,]a b 的任一闭子区间[,]u b 上可积, 则当()baf x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.当()baf x dx ⎰收敛时，称()baf x dx ⎰为绝对收敛; 而称本身收敛但不绝对收敛的瑕积分为条件收敛的瑕积分.二、瑕积分判别法定理2 (比较原则) 定义在(,]a b 上的两个函数,f g , 瑕点同为a , 在任闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，且()()(,]f x g x x a b ≤ ∈，则i) 当()bag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰必收敛 (从而()baf x dx ⎰也收敛) ;ii) 当()baf x dx ⎰发散时,()bag x dx ⎰发散.推论1 设f 定义在(,]a b 上，瑕点为a ，且在任何闭子区间[,](,]u b a b ⊂上可积，则 i) 当1()01()pf x p x a ≤, <<-时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 当1()1()pf x p x a ≥, ≥-时, ()baf x dx ⎰发散.推论2 若()0g x >，且()lim ()x af x cg x +→=, 则 i) 当0c <<+∞时,()b af x dx ⎰与()bag x dx ⎰同敛散;ii) 当0c =，()b ag x dx ⎰收敛时,()baf x dx ⎰收敛;iii) 当c =+∞，()b ag x dx ⎰发散时, ()b af x dx ⎰发散.推论3 在推论2的条件下，若lim()()p x ax a f x λ+→-=, 则 i) 01,0p λ<<≤<+∞时, ()baf x dx ⎰收敛;ii) 1,0p λ≥<≤+∞时, ()baf x dx ⎰发散.定理 3 (Dirichlet- Abel ) 设瑕积分()()()b baaf x dx u x dv x =⎰⎰有唯一奇点a ,其中()u x 单调, 且(),()u x v x 中一个有界, 另一个在x a +→时趋于0, 则()baf x dx ⎰收敛.例 1 讨论下列瑕积分的敛散性.1) 10⎰2) 21ln dx x⎰3) 130arctan 1xdx x -⎰4) 201cos mxdx xπ-⎰5) 1⎰6) 10⎰7) 20(,0)sin cos p q dxp q x xπ>⎰例 2 讨论反常积分1()1x x dx xα-+∞Φ=+⎰的敛散性.例 3 证明瑕积分20ln(sin )J x dx π=⎰收敛，且ln 22J π=-，同时利用上述结果证明：1) 2ln(sin )ln 22d ππθθθ=-⎰2) 0sin 2ln 21cos d πθθθπθ=-⎰三、反常积分与正常积分的区别1、 Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积，则f 在[,]a b 上有界. 无穷积分 f 在[,)a +∞上可积(()af x dx +∞⎰收敛) f ⇒在[,)a +∞上有界.如4()sin f x x x =⋅ 或者 ,()0,n x nf x x n =⎧=⎨≠⎩.2、Riemann 积分 f 在[,]a b 上可积⇒()f x 在[,]a b 上可积，但反之未必, 故Riemann 积分是绝对型积分，而无穷积分 ()f x 在[,)a +∞上可积⇒f 在[,)a +∞上可积，但反之未必, 故Cauchy-Reimann 积分是非绝对型积分, 如sin (),[1,)xf x x x=∈+∞.3、Riemann 积分 ,f g 在[,]a b 上可积⇒f g ⋅在[,]a b 上可积, 而无穷积分 ,f g 在[,)a +∞上可积⇒f g ⋅在[,)a +∞上可积.例4 证明：1) 11111p p x x dx dx x x --+∞=++⎰⎰2) 12π<<⎰3) 设f 在[,)a +∞上连续0a b <<，若lim ()x f x k →+∞=，则()()((0))ln f ax f bx adx f k x b+∞-=-⎰例5 证明: 1) 设f 在[,)a +∞上非负连续, 若0()xf x dx +∞⎰收敛, 则0()f x dx +∞⎰也收敛.2) 设f 在[,)a +∞上连续可微且当x →+∞时,()f x 递减趋于0, 则()f x dx +∞⎰收敛⇔0()xf x dx +∞'⎰收敛.习 题 课例 1 论述题:1) 设f 在(,)-∞+∞上连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，则()(),()()x x d d f t dt f x f t dt f x dx dx +∞-∞==-⎰⎰. 2) 积分0()f x dx +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=.3) 积分()baf x dx ⎰收敛，则此积分可用和式公式01lim ()ni i T i f x ξ→=∑来计算.4) 若lim ()x f x A →+∞=存在，()af x dx +∞⎰收敛，则0A =.5) 若0()f x dx +∞⎰收敛，lim ()0x f x →+∞=，则2()af x dx +∞⎰必收敛.6) 若()af x dx A +∞=⎰，则lim()nan f x dx A →+∞=⎰，但反之不成立.7) 若()af x dx +∞⎰收敛,g 有界, 则()()af xg x dx +∞⎰收敛.8) 若lim ()AAA f x dx -→+∞⎰存在，则()f x dx +∞-∞⎰收敛.例 2 计算下列无穷积分: 1) 0()x n n I e x dx n N +∞-=∈⎰2) 21dxx x+∞++⎰3) (1)(ln )padxa x x +∞>⎰4) 24011x dx x +∞++⎰5) 31⎰6)1+∞⎰例 3 1) 设1()(2)x x x x ϕ+=-，求321()1()x dx x ϕϕ'+⎰;2) 已知01()cos x x dt tϕ=⎰，求(0)ϕ'.例 4 证明: 0cos 1xdx x+∞+⎰收敛, 且0cos 11xdx x+∞≤+⎰.例 5 讨论下列积分收敛性 1)2301dx x x x +∞+++⎰2)0cos (0)kx e xdx k +∞->⎰3)0ln(1)m x dx x +∞+⎰4)1+∞⎰5)20sin mx dx x +∞⎰6) 01m n x dx x +∞+⎰ 7) 10p x x e dx +∞--⎰ 8) 0cos (0)1n ax dx n x+∞≥+⎰。
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
第十一章反常积分习题课教学总结
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ． ⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰u aaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(lim =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx 在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。
Chapter11-反常积分
分），称 a 为瑕点。记作ab f ( x)dx .
b
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ua u
0 a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，称反常积分发散.
数学分析
12
北方工业大学数学系
uc a
va v
如果 c a
f
(
x
)dx
和 b c
f
( x)dx 都收敛，就称反常积分
b
a
f
(
x
)dx
收敛；否则，就称发散.
数学分析
13
（4）如果a,b都是瑕点，则定义
北方工业大学数学系
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx ，
c为(a,b)内任一实数。
当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端 瑕积分收敛。
解 设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力
加速度为g。 按万有引力定律，
在距地心
x(
R)
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
.
火箭从地面上升到距离地心为 r( R)
处需作的功为
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR
2
1 R
1 r
.
x R
o
数学分析
2
北方工业大学数学系
当r
时，
r R
mgR x2
2
a b a b b
第十一章 反常积分
[
]
=
p 1 +¥ - 2 k p e + 1 - ( 2 k +1 ) p - ( 2 k + 2 ) p e + 2 e + e = . å p 2 k = 0 2 ( e - 1 )
[
]
（3）此为瑕积分，瑕点为 0。令 x = 2t ，化为
x 0
p
+ u ®0 u
亦收敛。而这与 ò f ( x ) dx 为条件收敛的假设相矛盾，所以这两个无穷积分都是发散的，且
ò [ f ( x ) + f ( x ) ]dx = +¥ = ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx ,
a a
+¥
+¥
意即它们都是无穷大量。 （2）这里是要证明（1）中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察
p
1 n 2 . 2
设 ò f ( x ) dx 为条件收敛。证明：
a +¥ a
（1） ò 都为发散；
[ f ( x ) + f ( x ) ]dx 与 ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx
a
+¥
ò [ f ( t ) + f ( t ) ]dt = 1 . （2） lim ò [ f ( t ) - f ( t ) ]dt
( 2 k + 2 ) p
( 2 k +1 ) p
- x e sin xdx ö ÷ ø
( 2 k + 2 ) p 1 +¥ - x k p - x e (sin x + cos x ) 2 ) å ( 2 k +1 ) p + e (sin x + cos x ( 2 k +1 ) p 2 k = 0
第11章反常积分答案
第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（ ）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx =（ ）A 、3ln 1-B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln~5、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（ ）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e xD 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx8、⎰=-10121dx e x x（ ）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）A 、0B 、4πC 、 2πD 、π》10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（ ）A 、0B 、2πC 、2π-D 、π11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（ ）A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx x B 、dx x ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （ ）^A 、0≥B 、0>C 、0<D 、0=答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛； （ ）2、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界， 则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛； （ ）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）/5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+a dx x f 发散； （ ）6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ）7、若()x f 单调，()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）8、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）9、若()⎰∞+adxx f 2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛； （ ）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+a dx x g x f 收敛；（ ）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）答案：××× ××× ×、三、填空题（每题2分） 1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a x λ， 若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当1>λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ ；7、当1≥p 时，瑕积分⎰10px dx ；'8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则=A ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数=a ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则p ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则p ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、2-< 12、2≥四、计算题（每题5分） | 1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21lim ππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx，解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dxx dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→x x))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x xx dx+--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x-解：由 Cx x x x xx d dx x x x dx x x +-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(111112222342得 ⎰∞+++04211dx x x =221arctan 21lim 11lim 20420πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→u x x dx x x u u u8、())0(ln >⎰∞+a x x dxa p解：1=p 时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰a u x x x d x x dxu u a au ln ln lim ln ln lim ln1≠p 时，()()a u x p x xd x x dxpu uapu a p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln 11limln ln limln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln 111p p a p p故当1>p 时，()⎰∞+a px x dx ln =()pa p --1ln 111≤p 时，()⎰∞+apx x dxln 发散；9、⎰2)ln(sin πdxx解：=I ⎰20)ln(sin πdx x =⎰+→20sin ln lim πεxdx ⎰+→=422sin ln lim 2πεεtdt t x、=⎰+++→42)cos ln sin ln 2(ln lim 2πεεdtt t=⎰⎰++⋅404cos ln 2sin ln 242ln 2πππtdttdt=⎰⎰+=++404022ln 2cos ln 2sin ln 22ln 2ππππIxdx xdx由此求得 2ln 2π-=I10、⎰∞+-∈=0)(N n dx e x I x n n解：当0=n 时，⎰∞+-==001dx e I x当1≥n 时，dx x e n ux e dx x e I un x u nx u un x u n ⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==010lim 0)(lim lim=⎰---+∞→=u n n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） ~ 1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt t t t dx x x =⎰∞++-021ln dxx x则有 01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dx x x⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dxx x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛⇒dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x3、证明：若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：,a ∀由条件()1J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由()x f 连续可得…()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a x x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、 设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若()x f 在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x证：（1）设()Ax f x =+∞→lim 。
第十一章 反常积分
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
例5 计算广义积分 0 解
a
dx a2 x2
(a 0).
lim
xa 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
a
dx a2 x2
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
（注意：不能忽略内部的瑕点）
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx
思考题
积分 0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x 1
思考题解答
积分 0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1
x 1
ln x 1 lim 1, lim x 1 x x 1 x 1 0
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b ] 上连续，取
a b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 a a
0
.
故原广义积分发散.
例8 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
. dx
x 1瑕点
2 3
解
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
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数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
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第十一章反常积分
教学要点
反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学时数 8学时
教学内容
§1 反常积分的概念（4学时）
反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）
无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法
与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。
考核要求
掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛
和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别
法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
§1 反常积分概念
一问题的提出
例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？
解设地球半径为，火箭质量为
地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为
于是火箭上升到距地心处需要做到功为
当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使
例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为
设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：
由此得
所以流完一桶水所需的时间应为
但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取
相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
二反常积分的定义
1无穷限反常积分的定义，
.
无穷限反常积分几何意义
例1 ⑴讨论积分, , 的敛散性 .
⑵计算积分.
例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴; ⑵.
例3讨论积分的敛散性 .
2 瑕积分的定义:以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点
为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.
例4 判断积分的敛散性 .
例6 讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 .
瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;
设, 有，把无穷积分化成了瑕积分。