鲁教版八年级下册一元二次方程的应用题专题练习
强化训练鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程专题训练试卷(含答案解析)
鲁教版（五四制）八年级数学下册第八章一元二次方程专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）A ．()1302n n += B ．n （n ﹣1）＝30 C ．()12n n -=30 D ．n （n ＋1）＝302、将一块长方形桌布铺在长为3m 、宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，那么桌布下垂的长度为（ ）A ．－2.5B ．2.5C ．0.5D ．－0.53、一元二次方程20x x +=的解为（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =4、用配方法解方程x 2－8x ＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）A ．（x －4）2＝15B ．（x －4）2＝17C ．（x ＋4）2＝15D ．（x －8）2＝155、2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD 与EFGH 均为正方形，若,AG BH CE DF a ====,AF BG CH DE b ====且正方形EFGH 的面积为正方形ABCD 的面积的一半，则a ：b 的值为（ ）A ．2BC ．2D ．26、定义运算：221m n mn mn =--△．例如：2424224211=⨯-⨯⨯-=-△．则方程20x =△的根的情况为（ ）．A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上结论都不对7、根据图中数字的规律，若第n 个图中的168q =，则p 的值为（ ）A ．121B ．144C ．169D ．1968、把方程2x 2﹣3x +1＝0变形为（x +a ）2＝b 的形式，正确的变形是（ ）A ．（x ﹣32）2＝16 B ．（x ﹣34）2＝116 C ．2（x ﹣34）2＝116 D ．2（x ﹣32）2＝16 9、一元二次方程3x 2－6x ＝1化为－般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）后，a ，b ，c 的值分别是（ ）A ．a ＝3，b ＝6，c ＝1B ．a ＝3，b ＝－6，c ＝1C ．a ＝－3，b ＝－6，c ＝1D ．a ＝3，b ＝－6，c ＝－110、若x =1是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2=0的一个解，则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知p 、q 是实数，有且只有三个不同的x 值满足方程|x 2+px +q |＝2，则q 的最小值 ___．2、一元二次方程21x =的根为______．3、某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为______．4、若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+4x +2=0有实数根，则k 的取值范围是______．5、若关于x 的方程()2330mx m x +--=有两个不相等的正整数根，则整数m 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．2、用一根长40cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为275cm ．求此长方形的宽是多少？3、解方程：x (2x ﹣5)＝2x ﹣5．4、解方程：(1)2540x x ++=．(2)4(2)(2)0x x x ---=．5、某服装厂2021年10月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是405万元． 假设该厂从2021年11月起连续4个月的生产成本的下降率都是相同的．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)该服装厂的厂长希望2022年1月份的生产成本能低于365万元，请你通过计算说明该厂长的目标能否实现．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】设有n 人参加聚会，根据题意列一元二次方程即可．【详解】每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n 人参加聚会，每人送出()1n -件礼物，根据题意可列出方程为()130n n -=故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意建立一元二次方程是解题的关键．2、C【解析】【分析】设桌布下垂的长度为h 米，则有()()3222322h h +⨯+=⨯⨯，计算求解即可．【详解】解：设桌布下垂的长度为h 米则有()()3222322h h +⨯+=⨯⨯解得0.5h =（负值舍去）故选C ．本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于列出正确的一元二次方程．3、D【解析】【分析】提取公因式x，变形为x(x+1)=0即可求解．【详解】解：由题意可知：x(x+1)=0，解得：11x=-，20x=，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．4、A【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．【详解】解：移项，得281x x-=-，配方得，2816116x x-+=-+，2(4)15x-=．故选：A．本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5、D【解析】【分析】根据题意可得正方形EFGH 的面积为2()a b -，正方形ABCD 的面积为22()a b +，然后列出方程求解即可．【详解】解：AG BH CE DF a ====，AF BG CH DE b ====，∴正方形EFGH 的面积为2()a b -，正方形ABCD 的面积为22()a b +，正方形EFGH 的面积为正方形ABCD 的面积的一半，2221()()2a b a b ∴-=+， 2240a ab b ∴-+=， ∴40a b b a-+=， 设a x b =，140x x ∴-+=， 2410x x ∴-+=，解得12x =22x =0a b >>，∴1a b>，:a b ∴的值为2故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解题的关键是掌握勾股定理．6、A【解析】【分析】根据新定义列出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵221m n mn mn =--△∴20x =△，即222210x x -⨯-=整理得，22410x x --=1680∆=+>∴方程20x =△有两个不相等的实数根．故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．7、B【解析】观察数字规律，n 位置的数分别为自然数，p 为2n ，q 为(2)n n +，据此列出一元二次方程解得n ，进而即可求得p 的值．【详解】解：观察数字规律，n 位置的数分别为自然数，p 为2n ，q 为(2)n n +，若第n 个图中的168q =，则(2)168n n +=解得12n =或14n =-（舍）2144p n ∴==故选B【点睛】本题考查了数字类找规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．8、B【解析】【分析】先移项，再将二次项系数化为1，最后配上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：2x 2﹣3x ＝﹣1，x 2﹣32x ＝﹣12，x 2﹣32x +916＝﹣12+916， 即（x ﹣34）2＝116，【点睛】本题主要考查配方法解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、D【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a 、b 、c 的值即可．【详解】解：2361x x -=，23610x x ∴--=，3a ∴=，6b =-，1c =-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是能化成一元二次方程的一般形式，注意：找各项系数时，带着前面的符号．10、D【解析】【分析】根据一元二次方程的解即可求出m 的值．【详解】解：因为x =1是一元二次方程x 2-mx +2=0的一个解，所以1-m +2=0，解得m =3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算．二、填空题1、-2【解析】【分析】根据题意由方程|x2+px+q|=2得到x2+px+q-2=0，x2+px+q+2=0，根据判别式得到Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，依此可Δ2=0，Δ1=16，可得p2-4q-8=0，依此可求q的最小值．【详解】解：∵|x2+px+q|=2，∴x2+px+q-2=0①，x2+px+q+2=0②，∴Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，∴Δ1＞Δ2，∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|=2，∴Δ2=0，Δ1=16，∴p2-4q-8=0，∴q=14p2-2，当p=0时，q的最小值-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，根据题意由根的判别式得到p 2-4q -8=0是解题的关键． 2、11x =，21x =-【解析】【分析】两边直接开平方即可．【详解】解：∵x 2=1，∴x 1=1，x 2=-1，故答案为：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、10%【解析】【分析】可先表示出2月份的销量，那么2月份的销量×（1+增长率）=12.1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：2月份的销量为10×（1+x ），3月份的销量在2月份销量的基础上增加x ，为10×（1+x ）×（1+x ），根据题意得，10（1+x ）2=121．解得，1 2.1x =-（舍去），20.110%x ==∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%故答案为：10%【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．4、k≤3且k≠1##k≠1且k≤3【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+2=0有实数根，∴k-1 0且Δ=42-4（k-1）×2≥0，解得：k≤3且k≠1．故答案为：k≤3且k≠1．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．5、-1【解析】【分析】用公式法解方程，得出方程的解，根据有两个不相等的正整数根，求出整数m的值即可．【详解】解：由题意可知：Δ＝（3﹣m ）2﹣4m ×（﹣3）＝m 2+6m +9＝（m +3）2≥0，∴x ∴x ＝1或x ＝﹣3m ， 由方程有两个不相等的正整数根，可知：m ＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．三、解答题1、应降价0.05元或0.2元【解析】【分析】设每张书签应降价x 元，列方程()2000.55002700.1x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，计算即可． 【详解】解：设每张书签应降价x 元．依题意得 ()2000.55002700.1x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 整理得21002510x x -+=，解得x 1=0.05，x 2=0.2，答：每张书签应降价0.05元或0.2元．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．2、5cm【解析】【分析】由题意可知等量关系为：长×宽=长方形面积，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设长方形的宽为xcm ，()2075x x -=解得：15=x ，215x =（不符合题意，舍去），答：此长方形的宽是5cm ．【点睛】本题考查列方程解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解决本题的关键．3、x 1＝52，x 2＝1 【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（2x －5）（x －1）＝0x 1＝52，x 2＝1【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是移项后利用提公因式进行因式分解．4、 (1)14x =-，21x =-(2)12x =，214x =【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：2540x x ++=，(1)(4)0x x ++=，4010x x +=+=，，14x =-，21x =-．(2)解：4(2)(2)0x x x ---=，(41)(2)0x x --=，20410x x -=-=，，12x =，214x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．5、 (1)每个月生产成本的下降率为10%(2)该厂长的目标能实现【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意，列出方程，即可求解；（2）求出2022年1月份的生产成本，即可求解．(1)解：设每个月生产成本的下降率为x ，依题意得：500（1-x ）2=405，解得：1x =0.1=10%，2x =1.9（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为10%；(2)解：405×（1-10%）=364.5（万元）．∵364.5＜365 ，∴该厂长的目标能实现．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．。
精品试卷鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程专项练习试题(含答案解析)
鲁教版（五四制）八年级数学下册第八章一元二次方程专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1是一元二次方程20x x m -+=的一个根，则方程的另外一根为（ ）A B 352 C D 2、已知关于x 的方程2210x x --=，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定3、已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（ ）A ．m +n ＝﹣2B ．mn ＝﹣5C ．m 2+2m ﹣5＝0D ．m 2+2n ﹣5＝04、如图所示，在长方形ABCD 中，AB =BC 上取一点E ，连接AE 、ED ，将ABE △沿AE 翻折，点B 落在点B '处，线段EB '交AD 于点F ．将ECD 沿DE 翻折，点C 的对应点C '恰好落在线段EB '上，且点C '为EB '的中点，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．C ．4D ．5、一元二次方程22630x x --=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A ．2，6，3B ．2，6，3-C ．2，6-，3D ．2，6-，3-6、将一块长方形桌布铺在长为3m 、宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，那么桌布下垂的长度为（ ）A ．－2.5B ．2.5C ．0.5D ．－0.57、如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽x 米，则可列方程为（ ）A ．32203220100x x ⨯--=B ．()()23220100x x x --+=C ．23220100x x x +=+D ．()()3220100x x --=8、用一条长60cm 的绳子围成一个面积为2200cm 的长方形．设长方形的长为cm x ，则可列方程为（ ）A ．(30)200x x -=B ．(30)200x x +=C ．(60)200x x +=D ．(60)200x x -=9、若1x =是方程210x ax --=的一个根，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．11D ．210、一元二次方程x 2+3x+4=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+4x +2=0有实数根，则k 的取值范围是______．2、方程x 2＝4x 的根是____．3、已知p 、q 是实数，有且只有三个不同的x 值满足方程|x 2+px +q |＝2，则q 的最小值 ___．4、若关于x 的方程()2330mx m x +--=有两个不相等的正整数根，则整数m 的值为______．5、若关于x 的二次方程（m ﹣1）x 2＋2mx ＋m ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解下列方程：(1) x 2+6x =0；(2)（y -1）2-4=0；(3)2x 2-5x +1=0；(4)5x （x -3）=2（x -3）．2、（1）232x x -=-；（2）()()22132120x x ++++=．3、已知关于x 的一元二次方程2104kx kx ++=有两个相等的实数根，求k 的值，并求这个方程的根． 4、解方程：(1)()()2232x x -=-；(2)23410x x --=．5、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出()35010a -件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再将已知解代入求出另一解即可．【详解】解：x =20x x m -+=的一个根，设方程的另一个根为n ， ∵两根的和为：111b a --=-=，1n =，解得：n = 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次一元二次方程的解，数量掌握根与系数的关系式解决本题的关键．2、C【解析】【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．【详解】解：x 2-2x -1=0，∵1a =，2b =-，1c =-，∴Δ=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，∵Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．3、D【解析】【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义求出答案即可判断．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5＝0的两个实数根，∴mn ＝﹣5，m +n ＝﹣2，m 2+2m ﹣5＝0，n 2+2n ﹣5＝0，∴选项A 、B 、C 正确，选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．4、A【解析】【分析】设B F '长为x ，根据图形沿着某条边折叠所得的两个图形全等，得出A B '=AB =CD =C 'D ，====90AB E ABE B C D C ''∠'∠∠∠︒，利用AAS 再证''∆≅∆AB F DC F ，F 即是AD的中点，已知AB =根据边之间的长度关系列出等式4222B E BE x BC EC AF x x '===-=-=，解方程即可．【详解】解：设B 'F 长为x ，∵ABE △沿AE 翻折，点B 落在B '处，ECD 沿DE 翻折，使点C 的对应点C '落在线段EB '上， ∴A B '=AB =CD =C 'D ，====90AB E ABE B C D C ''∠'∠∠∠︒，在△AB′F 和△DC′F 中B DC F B FA C FD AB DC ''''''∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴''∆≅∆AB F DC F （AAS ），∴B F '='=C F x ，AF =DF ，∴2AD AF ====∵点C '为EB '的中点，∴4222B E BE x BC EC AF x x '===-=-=，∴42x x =，得1x =，经检验1x =是方程的解，并符合题意，∴333EF B F x '===．故选：A ．【点睛】本题考查图形折叠问题，矩形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题关键．5、D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义得出答案即可．【详解】解：一元二次方程22630x x --=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，6-，3-， 故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c =0（a ≠0）．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．6、C【解析】【分析】设桌布下垂的长度为h 米，则有()()3222322h h +⨯+=⨯⨯，计算求解即可．【详解】解：设桌布下垂的长度为h 米则有()()3222322h h +⨯+=⨯⨯解得0.5h =（负值舍去）故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于列出正确的一元二次方程．7、C【解析】【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两长方形的面积之和=小路的面积+两长方形重合的面积．【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x 米．根据题意可得：23220100x x x +=+．故选：C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．8、A【解析】【分析】本题可根据长方形的周长可以用x 表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程【详解】设长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()60302x x cm -=-， 根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：(30)200x x -=故答案选A ．【点睛】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab 来解题的方法．9、B【解析】【分析】将1x =代入方程210x ax --=中即可求出a 的值．【详解】解：将1x =代入方程210x ax --=中，可得2110--=aa即0故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的系数问题，掌握代入法是解题的关键．10、A【解析】【分析】先求出“△”的值，再判断即可．【详解】解：∵x2+3x+4=0，∴△=32﹣4×1×4=-7＜0，∴方程没有实数根，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．二、填空题1、k≤3且k≠1##k≠1且k≤3【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+2=0有实数根，∴k-1 0且Δ=42-4（k-1）×2≥0，解得：k≤3且k≠1．故答案为：k≤3且k≠1．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2、x1=0，x2=4## x1=4，x2=0【解析】【分析】移项后用因式分解法求解即可．【详解】解：∵x2＝4x，∴x2-4x=0，∴x(x-4)=0，∴x=0或x-4=0，∴x1=0，x2=4，故答案为：x1=0，x2=4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3、-2【解析】根据题意由方程|x2+px+q|=2得到x2+px+q-2=0，x2+px+q+2=0，根据判别式得到Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，依此可Δ2=0，Δ1=16，可得p2-4q-8=0，依此可求q的最小值．【详解】解：∵|x2+px+q|=2，∴x2+px+q-2=0①，x2+px+q+2=0②，∴Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，∴Δ1＞Δ2，∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|=2，∴Δ2=0，Δ1=16，∴p2-4q-8=0，∴q=14p2-2，当p=0时，q的最小值-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，根据题意由根的判别式得到p2-4q-8=0是解题的关键．4、-1【解析】【分析】用公式法解方程，得出方程的解，根据有两个不相等的正整数根，求出整数m的值即可．解：由题意可知：Δ＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3）＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，∴x∴x＝1或x＝﹣3m，由方程有两个不相等的正整数根，可知：m＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5、m＞23且m≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：2(2)4(1)(2)010m m mm⎧--->⎨-≠⎩，进而即可求出m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，∴2(2)4(1)(2)010m m mm⎧--->⎨-≠⎩，解得m＞23且m≠1．故答案为：m＞23且m≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键．三、解答题1、 (1)x1=0，x2=-6(2)y1=3，y2=-1(3)x1x2(4)x1=3，x2=2 5【解析】【分析】（1）利用分解因式求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可；（3）利用公式法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．(1)解：x2+6x=0，x（x+6）=0，∴x=0或x+6=0，∴x1=0，x2=-6；(2)解：（y-1）2-4=0，（y -1）2=4，∴y -1=±2，∴y 1=3，y 2=-1；(3)解：2x 2-5x +1=0，∵a =2，b =-5，c =1，∴Δ=（-5）2-4×2×1=17＞0，∴x ==∴x 1，x 2； (4) 解：5x （x -3）=2（x -3），移项得：5x （x -3）-2（x -3）=0，因式分解得：（x -3）（5x -2）=0，∴x -3=0或5x -2=0，∴x 1=3，x 2=25． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2、 (1)13x =-，21x =；(2)132x =-，21x =- 【解析】【分析】(1)化成一般式2230x x +-=，然后再使用十字相乘法即可求解；(2)令21x t +=，变形为2320t t ++=，求出t ，再回代求解．【详解】解：(1)由题意，原方程变形为：2230x x +-=，∴(3)(1)0x x +-=，解得：13x =-，21x =．(2) 令21x t +=，原方程变形为：2320t t ++=，∴(2)(1)0t t ++=，解得：12t =-，21t =-，当212x +=-时，解得：132x =-， 当211x +=-时，解得：21x =-， ∴方程的解为：132x =-，21x =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题，其中第(2)个方程中注意换元法的使用，计算过程中要细心．3、k =1、x 1=x 2=12- 【解析】【分析】根据“方程有两个相等的实数根” 结合根的判别式即可求得k 的值，然后解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：∵方程2104kx kx ++=有两个相等的实数根， ∴△=k 2-4×14k = k 2-k =0，解得k =1或k =0（不合题意舍弃） ∴k =1．把k =1代入原方程，得2104x x ++=， 解得：x 1=x 2=12-． ∴k 的值为1，此时这个方程的根为x 1=x 2=12-． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．4、 (1)12x =，25x =(2)1x =2x = 【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程．(1)解：原方程可化为(2)(5)0x x --=即20x -=或50x -=，∴12x =，25x =；(2)解：∵3a =，4b =-，1c =-，∴24280b ac ∆=-=>，∴x ==，∴1x =2x = 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．5、需要进货100件，每件商品应定价25元【解析】【分析】利润=售价-进价，总利润=单件利润×总件数，注意限制条件的作用．【详解】解：依题意()()2135010400a a --=，整理得2567750a a -+=，解得125a =，231a =．因为()21120%25.2⨯+=，所以231a =不合题意，舍去．所以350103*********a -=-⨯=（件）．答：需要进货100件，每件商品应定价25元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利润的计算方法是解题的关键．。
鲁教版八年级下册第八章《一元二次方程》一元二次方程的应用提高练习
一元二次方程的应用提高练习一、选择题1.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A. 500（1+2x）=720B. 500（1+x）2=720C. 500（1+x2）=720D. 720（1+x）2=5002.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A. 100cm2B. 121cm2C. 144cm2D. 169cm23.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A. 32B. 126C. 135D. 1444.某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（）A. （80-x）（200+8x）=8450B. （40-x）（200+8x）=8450C. （40-x）（200+40x）=8450D. （40-x）（200+x）=84505.利用墙的一边，再用13m的铁丝，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形与墙平行的一边的长．设与墙平行的一边的长为xm，可列方程为（）A. （（13-x）=20B. x（）=20C. x（13-x）=20D. x（）=206.把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为xmm，下面所列的方程中，正确的是（）A. （80-x）（60-x）=1500B. （80-2x）（60-2x）=1500C. （80-2x）（60-x）=1500D. （80-x）（60-2x）=15007.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大11，设个位数字为x，则方程为（）A. x2+（x-4）2=10（x-4）+x-11B. x2+（x-4）2=10（x-4）+x+11C. x2+（x+4）2=10（x+4）+x-11D. x2+（x+4）2=10（x+4）+x+118.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A. x（x-1）=45B. x（x+1）=45C. x（x-1）=45D. x（x+1）=459.已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于，则△ABC中最大角的度数是（）A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°10.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）A. B. C. 2- D. 4-2二、填空题11.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2019年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为______ ．12.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为______．13.我区大力推进义务教育均衡发展，加强学习标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造.2019年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2019年政府投资7.2亿元人民币，那么预计2019年应投资______ 亿元．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= ______ 秒时，S1=2S2．15.如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2-4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6，则∠ABC的度数为______ ．三、解答题16.如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．17.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年10000台提高到14400台．求该产品产量平均每年的年增长率．18.“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）降价后每件商品盈利______ 元，商场日销售量增加______ 件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2240元？19.某商人在我县开办了一家儿童服装专卖店，该店在儿童节前5月31日采购进一种今年流行的服装，6月份（6月1日至6月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系为：y=又知销售价格z（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．（1）求：关于x的函数关系式；（2）求出在这30天（6月1日至6月30日）的试销中，日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；（3）该商人在7月份采取降低售价从而提高日销售量的销售策略，7月1日全天，销售价格比6月30日的销售价格降低a%，而日销售量比6月30日提高了6a%（其中a 为小于20的正整数），日销售利润比6月份最大日销售利润少897元，求a的值．答案和解析【答案】1. B2. A3. D4. B5. B6. B7. C8. A9. B10. D11. 100（1+x）2=16912. x（20-x）=6413. 8.6414. 615. 45°16. 解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20-x）m．根据题意，得（20-x）x=50，解方程，得x=10．当x=10时，（20-x）=5．答：矩形的长为10m，宽为5m．17. 解：设该产品产量平均每年的增长率为x．由题意可得：10000（1+x）2=14400，解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）．答：该产品的该产品产量平均每年的增长率为20%．18. （20-x）；10x19. 解：（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，则有：，解得：，即z=x+35，当20＜x≤30时z=45，综上：z=；（2）当1≤x≤20时，W=yz-20y=（-2x+80）（x+35）-20（-2x+80），=-x2+10x+1200当20＜x≤30时，W=yz-20y=45（-3x+100）-20（-3x+100）=-75x+2500，即W=；（3）6月30日的价格为45元，日销售量为20个，6月份当1≤x≤20时日销售利润为：W=-x2+10x+1200=-（x2-10x+25）+1225=-（x-5）2+1225，当6月5日时日利润最大为1225元．当20＜x≤30时，利润为W=-75x+2019，当x增加时W减小，故为x=21时最大．最大日销售利润为425元，综上6月份日销售利润最大为1225元．由题意得45（1-a%）•10（1+6a%）-20×10（1+6a%）=1225-897整理得：27a2-1050a+7800=0，化简得9a2-350a+2600=0，a1=10，a2=（舍），答：a的值为10．。
精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程专题练习试题(含详细解析)
鲁教版（五四制）八年级数学下册第八章一元二次方程专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A ．220x x -=B ．1x y +=C ．11x x +=D ．321x x +=2、一元二次方程22630x x --=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A ．2，6，3B ．2，6，3-C ．2，6-，3D ．2，6-，3-3、某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x （x >0），则（ ）A ．261(1)25x -=B ．25(1−x )2=61C ．261(1)25x +=D ．225(1)61x +=4、若α，β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A ．2021B ．2019C ．﹣2021D ．40425、将方程x 2+6x +1=0配方后，原方程可变形为（ ）A ．（x +3）2=﹣10B ．（x ﹣3）2=﹣10C ．（x ﹣3）2=8D ．（x +3）2=86、用配方法解方程2410x x -+=时，原方程可以变形为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)4x -=C ．2(2)3x -=D ．()2215x -= 7、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．78、若关于x 的不等式组5324x x x a⎧-≤⎪⎨⎪->⎩无解，且关于x 的一元二次方程()21420a x x -++=有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29、社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2＝392B ．392（1﹣x ）2＝100C ．100（1+2x ）2＝392D ．100（1+x 2）＝39210、定义新运算“a ⊗b ”：对于任意实数a ，b ，都有a ⊗b ＝（a ﹣b ）2﹣b ，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x ⊗k ＝0（k 为实数）是关于x 的方程，且x ＝2是这个方程的一个根，则k 的值是（ ）A ．4B ．﹣1或4C ．0或4D ．1或4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若m ≠0，则关于x 的一元二次方程mx 2＋x －3m ＝0的实数根的个数为____．2、某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为______．3、一元二次方程x 2﹣3x ＝0的解是_____．4、用配方法将方程2410x x --=变形为()22x m -=，则m 的值是______．5、在一元二次方程2355x x -=中，一次项的系数是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x ﹣1）（3x ＋2）＝x 2＋2；(2)2)(3)x x x =+．2、解下列方程：(1)23410x x ++=（配方法）(2)()()2233x x x -=-(适当方法） 3、已知关于x 的方程()222110x m x m +-+-=有两个实数根1x 和2x ．(1)求实数m 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +=+，求实数m 的值4、受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米．(1)求房价年平均下降率；(2)按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？5、解一元二次方程：x 2﹣1＝4（x ﹣1）．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可得答案．【详解】220x x-=是一元二次方程，故A选项符合题意，x y+=是二元一次方程，故B选项不符合题意，11x1+=是分式方程，故C选项不符合题意，x321+=含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故D选项不符合题意，x x故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键．2、D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义得出答案即可．【详解】解：一元二次方程2--=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，6-，3-，x x2630故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．3、D【解析】根据题意直接列出方程即可．【详解】设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x （x >0），则根据题意可列方程225(1)61x +=．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出数量关系列出等式是解答本题的关键．4、B【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数关系α+β=-b a解答即可．【详解】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，∴α+β=－2，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α=2021，∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2021－2=2019，故选：B ．【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数关系，熟记一元二次方程的根与系数关系α+β=-b a 是解答的关键．5、D【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】∵x 2+6x +1=0，∴x 2+6x =-1，则x 2+6x +9=-1+9，即（x +3）2=8，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6、C【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．【详解】解：方程2410x x ++=，移项得：241x x +=-，配方得：2443x x -+=，即2(2)3x -=，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7、A【解析】【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x 个，每个小分支又长出x 个分支，则又长出x 2个分支，则共有x 2+x +1个分支，即可列方程求得x 的值．【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x 个，根据题意列方程得：x 2+x +1=157，即（x +13）（x -12）=0，解得：x =12或x =-13（不合题意，应舍去）；∴x =12．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意用x 分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解是解决问题的关键．8、A【解析】【分析】由x 的不等式组无解可解得2a ≥-，由x 的一元二次方程有两个不相等的实数根可解得3a <，故23a -≤<中符合条件的所有整数有-2，-1，0，1，2，所有整数a 的和为0．【详解】532x x -≤ 移项得332x ≤4x a ->解得4x a >+∵关于x 的不等式组无解∴24a ≤+解得2a ≥-一元二次方程()21420a x x -++=则()22444121688248b ac a a a =-=-⋅-⋅=-+=-△且10a -≠∵x 的一元二次方程()21420a x x -++=有两个不相等的实数根∴240b ac =->即2480a ->解得3a <且a≠1综上所述符合题意的整数有-2，-1，0，2则-2-1+0+2=-1故选：A ．【点睛】一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：不解方程，由根的判别式直接判断根的情况；根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；应用根的判别式证明方程根的情况（无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）．已知不等式（组）的解集，求不等式（组）中待定字母的取值范围问题，首先把不等式（组）的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，这类问题有时要运用方程知识，有时要用到不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析．9、A【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x ，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x ，根据题意得：100（1+x ）2=392．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、D【解析】【分析】利用新运算把方程x ⊗k ＝0（k 为实数）化为2()0x k k --=，把x ＝2代入求解即可．【详解】解：∵a ⊗b ＝（a ﹣b ）2﹣b ，∴关于x 的方程x ⊗k ＝0（k 为实数）化为2()0x k k --=，∵x ＝2是这个方程的一个根，∴4-4k +k 2-k =0，解得：124,1k k ==，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于k的方程．二、填空题1、2【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】m≠解：0()22m m m∴=-⨯-=+>1431120∴实数根的个数为2故答案为：2．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ大于0时，有两个不同的实根；当Δ等于0时，有两个相同的实根；当Δ小于0时，无实根，正确理解根的判别式是解题的关键．2、10%【解析】【分析】可先表示出2月份的销量，那么2月份的销量×（1+增长率）=12.1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：2月份的销量为10×（1+x），3月份的销量在2月份销量的基础上增加x，为10×（1+x）×（1+x），根据题意得，10（1+x）2=121．解得，12.1x=-（舍去），20.110%x==∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%故答案为：10%【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．3、x1=0，x2=3## x1=3，x2=0【解析】【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：x2﹣3x＝0x（x-3）=0，∴x=0或x-3=0，所以x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．4、5【解析】【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x2-4x-1=0，移项得：x2-4x=1，配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5，所以m=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．5、5-【解析】【分析】将方程化为一般形式，再根据一元二次方程的有关概念求解即可，一元二次方程的一般形式为20(a0)ax bx c，其中2++=≠ax bx c，，分别为二次项、一次项和常数项，b为一次项系数．【详解】解：25x x-=-，350355x x-=化为一般形式为2一次项的系数为：5-故答案为：5-【点睛】此题考查一元二次方程的有关概念，解题的关键是掌握一元二次方程的有关概念．三、解答题1、 (1)5x 2+x ﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x 2+6x +1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1【解析】【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)化简后为5x 2+x ﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；(2)化简后为2x 2+6x +1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a b c ，，是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2、 (1)x 1=−13，x 2=−1(2)x 1=3，x 2=6【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：移项得：2341x x +=-，两边同时除以3得： 24133x x +=-， 配方得：22242123333x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 开方得：x +23=13或x +23=−13， 解得：x 1=−13，x 2=−1；(2)解：移项得：22(3)(3)0x x x ---=，提公因式得：(3)[2(3)]0x x x ---=，∴x −3=0或2x −6−x =0，∴x 1=3，x 2=6．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、 (1)54m(2)2m =-【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系找出1212x x m +=-，2121x x m ⋅=-，结合22121216x x x x +=+即可得出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出m 的值，结合（1）的结论即可得出m 的值．(1) 解：关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=有两个实数根1x 和2x ．∴△22(21)4(1)450m m m =---=-+， 54m∴． (2)解：1212x x m +=-，2121x x m ⋅=-，22121216x x x x +=+，22(12)3(1)16m m ∴-=-+，即24120m m --=，解得：6m =或2m =-， 54m ， 2m ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于m 的不等式．4、 (1)10%(2)29160【解析】【分析】（1）设年平均下降率为x ，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x ），去年的房价＝前年的房价×（1-x ），由此列方程求解即可．（2）由（1）得年平均下降率为10%，根据题意计算即可．(1)设年平均下降率为x ，根据题意，得()240000132400x -=. 解得10.110%x ==，2 1.9190%x ==（不合题意，舍去），答：年平均下降率10%；(2)()324001106%2910-=（元），答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米29160元．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ． 5、x 1＝1，x 2＝3【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵2141x x -=-（）∴()()()11410x x x +---=∴()()130x x --=则()10x -=或()30x -=解得1213x x ==，∴方程的解为1213x x ==，．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于熟练使用因式分解法求解．。
鲁教版八年级一元二次方程应用练习题及参考答案(难度系数0.6)
八年级一元二次方程应用（难度系数0.6）一、单选题（共13题；共26分）1.某单位要组织篮球邀请赛，每两队之间都要赛一场且只赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意，可列方程（）A. x(x+1)=15B. x(x−1)=15C. 12x(x+1)=15 D. 12x(x−1)=15【答案】 D【考点】一元二次方程的应用2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【考点】一元二次方程的应用3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【答案】C【考点】一元二次方程的应用4.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程（）A. (x＋1)2＝43B. x2＋2x＋1＝43C. x2＋x＋1＝43D. x(x＋1)＝43【答案】C【考点】一元二次方程的应用5.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A. x(x−1)=10B. x(x−1)2=10 C. x(x+1)=10 D. x(x+1)2=10【答案】B【考点】一元二次方程的应用6.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）A. 12B. 35 C. 2﹣ √3 D. 4﹣2 √3 【答案】 D【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程的应用7.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A.n(n+1)2＝20 B. n(n －1)＝20 C.n(n−1)2＝20 D. n(n ＋1)＝20【答案】B【考点】一元二次方程的应用8.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A. x(x +1)=2550B. x(x −1)=2550C. 2x(x +1)=2550D. x(x −1)=2550×2 【答案】B【考点】一元二次方程的应用9.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人 【答案】B【考点】一元二次方程的应用10.在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ）A. 12x(x −1)=90 B. x （x ﹣1）=90 C. x(x −1)=902D. x （x+1）=90【答案】 B【考点】一元二次方程的应用11.祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A.x(x−1)2 =930 B.x(x+1)2=930 C. x （x+1）=930 D. x （x ﹣1）=930【答案】D【考点】一元二次方程的应用12.学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A. x2=21B. 12x（x﹣1）=21 C. 12x2=21 D. x（x﹣1）=21【答案】B【考点】一元二次方程的应用13.已知x2+3x+5=9，则代数式3x2+9x-2的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】 D【考点】一元二次方程的应用二、填空题（共17题；共17分）14.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________. 【答案】8【考点】一元二次方程的应用15.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有________个飞机场.【答案】6【考点】一元二次方程的应用16.网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为:________．【答案】x(x−1)=90【考点】一元二次方程的应用17.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：________．【答案】x2﹣x﹣78=0【考点】一元二次方程的应用18.某学校九年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校九年级共有________个班级。
鲁教版八年级数学下册第八章 一元二次方程练习(含答案)
第八章 一元二次方程一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．620x -+=B ．2210x y -+=C ．220x x +=D ．212x x+= 2．已知方程2715x x k -+=的一个根是2，则k 的值是 （ ）A ．5-B ．5C ．3-D ．11-3．一元二次方程25230x x +-= 的一次项系数是（ ）A ．2xB ．2C ．2-D ．25x4．将方程x 2－6x ＋1＝0配方后，原方程变形（ ）A ．(x －3)2＝8B ．(x －3)2＝－8C ．(x －3)2＝9D ．(x －3)2＝－95．一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．若x 2+2x ﹣3＝0，则221x x -的值是（ ） A ．34- B ．1C ．1或﹣1D ．2 7．若一元二次方程2310x x -+=的两个根分别为,a b ，则232a a ab -+-的值为（ ） A ．-4 B ．-2 C ．0 D ．18．某农场2016年蔬菜产量为50吨，2018年蔬菜产量为60.5吨，该农场蔬菜产量的年平均增长率相同．设该农场蔬菜产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．()260.5150x -=B ．()250160.5x -= C ．()250160.5x += D ．()260.5150x += 9．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=10．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=-- 有正整数解，且方程2420ax x --=有解,则满足条件的所有整数a 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．若()224x -=，则x =__________． 12．己知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22268m n m +++的最小值等于__________． 13．已知α，β是方程2320x x --=的两个实数根，则23αααβ--的值为________． 14．如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的矩形ABCD 上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成______m ．三、解答题15．已知关于x 的一元二次方程()22310m x x -+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m ，并求出此方程的根．16．解方程（1）2531x x x -=+（2）(25)410x x x -=-17．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．18．2018年非洲猪瘟疫情暴发后，今年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：今年7月20日猪肉价格比今年年初上涨了60%，某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．（1）问：今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 19．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为公顷，比2000年底增加了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率答案1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．C 9．A 10．D 11．0或4 12．15．13．4 14．215．(1)14m>-且2m≠；(2)当0m=时，11x=，22x=．16．（1）x1=1，x2=15-；（2）x1=52，x2=217．（1）k﹥34；（2）k=2．18．（1）今年年初猪肉的价格为每千克50元；（2）猪肉的售价应该下降3元．19．（1）60，4，2000；（2）10％。
最新鲁教版(五四制)八年级数学下册 一元二次方程练习(含答案)
第八章一元二次方程一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）＝0C．x2﹣2x+1D．x2+3x﹣5＝0A．x﹣2＝0B．x2-1x2．一元二次方程2x2﹣3x-1=0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是（）A．a=2，b=3，c=-1B．a=2，b=1，c=3C．a=2，b=﹣3，c=﹣1D．a=2，b=﹣3，c=13．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或34．将方程x2﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+3)2=﹣2B．(x﹣3)2=﹣2C．(x﹣3)2=7D．(x＋3)2=7 5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．k≥－3B．k≤3C．k＞－3D．k＜36．一元二次方程x2+2x＝0的根是（）A．2B．0C．0或2D．0或﹣27．已知α、β是一元二次方程2230+的值是x x--=的两个根，则αβ（）A．2B．-2C．3D．-38．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（）A．0B．﹣2C．0 或﹣1D．﹣2或029．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是( )+A．x＝40%10%2B．100(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2C．(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2D．(100+40%)(100+10%)＝100(1+x)210．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题11．关于x的方程2+--+=是一元二次方程，那么mm x m x(1)(1)10_________.12．若关于x的一元二次方程220++=有实数根，则m的值可以是x x m__________．（写出一个即可）13．若x1，x2是一元二次方程x2＋2x－4＝0的两个实数根，则x12＋3x1＋x2＋x1x2＝__．14．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x 株，则可以列出的方程是____________．三、解答题15．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．（1）2215+=;x x一般式：_________________．二次项为____，二次项系数为____，一次项为____，一次项系数为____，常数项为____．（2）()2x x x+=-；2133一般式：_________________．二次项为____，二次项系数为____，一次项为____，一次项系数为____，常数项为____．16．解下列方程（1）（3x－1）2＝2（3x－1）（2）3x2－ x ＋1＝017．已知关于x 的一元二次方程2221()0x m x m +-+=有两个实数根1x ，2x ．（1）分别用含m 的代数式表示12x x +，12x x 的值．（2）若22121x x +=，求m 的值．18．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动.甲卖家的A 商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售.（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.乙卖家也销售A 商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m 元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了52m%，这样一天的利润达到了20000元，求m 的值. 19．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？(2)在(1)中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由答案1．D2．C3．A4．C5．C6．D7．A8．C9．C10．C11．1≠-12．0（答案不唯一）13．-214．(3＋x)(4－0.5x)＝1515．（1）22510x x -+=，22x ，2，5x -，-5，1；（2）2230x x --=，2x ，1，2x -，-2，-3.16．（1）113x =，21x =；（2）12x x == 17．（1）x1+x2=1-2m ，x1•x2=m2；（2）m=0．18．（1）最多降价80元, 才能使利润率不低于20%；（2）60.19．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm。
鲁教版八年级数学下册第八章 一元二次方程练习(含答案)
第八章 一元二次方程一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．2112x x +=C ．2221x x x +=-D ．()23(1)21x x +=+2．若a （a ≠0）是方程x 2+cx +a ＝0的根，则a +c 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．23．将方程3x 2﹣x =﹣2(x +1)2化成一般形式后，一次项系数为( )A ．﹣5B ．5C ．﹣3D ．34．用配方法解方程3x 2﹣6x+1=0，则方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=13B ．3（x ﹣1）2=13C ．（3x ﹣1）2=1D ．（x ﹣1）2=23 5．若关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥- B ．4m ≤- C ．4m ≥ D ．4m ≤6．我们知道方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=﹣1，x 2=3D ．x 1=﹣1，x 2=﹣37．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ） A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+8．若关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为12x =，21x =，则p ，q 的值分别是（ ）A ．3-，2B ．3，2-C ．2，3-D ．2，39．岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）A ．x （x-1）=28B ．x （x+1）=28C ．2x （x-1）=28D ．12x （x-1）=28 10．如图，某小区在一块长为16m ，宽为9m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m 2．设小路的宽度为xm ，则下列方程：①（16﹣2x ）（9﹣x ）＝120②16×9﹣9×2x ﹣（16﹣2x ）x ＝120③16×9﹣9×2x ﹣16x +x 2＝120，其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题 11．若（a ﹣2）x |a |﹣1﹣2＝0是关于x 的一元一次方程，则a ＝_____．12．一元二次方程24x =的解是 ．13．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x ++的值为__________．14．两年前生产1t 药品的成本是6000元，现在生产1t 药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是__________．三、解答题15．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 16．解方程：（1）x 2－4x －7＝0；（2）x 2－6x ＋9＝(5－2x) 2．17．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x+m 2﹣4=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．18．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨.（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？19．阅读理解，并回答问题：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，则有ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即ax2+bx+c ＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2，于是b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2．由此可得一元二次方程的根与系数关系：x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．这就是我们众所周知的韦达定理．（1）已知m，n是方程x2﹣x﹣100＝0的两个实数根，不解方程求m2+n2的值；（2）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；①x1x2+x2x3+x3x1的值；②求x3﹣x1的最大值答案1．D2．A3．D4．D5．A6．D7．C8．A9．D10．C11．-212．±2．13．514．10%15．它的另一个根是﹣2，k的值为﹣116．（1）12x=，22x=；（2）12823x x==，．17．（1）52m<；（2）2m=18．（1）60；（2）将售价定为200元时销量最大.19．（1）201；（2）①4，②3。
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一元二次方程专题复习（三）
温故知新：
1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫
做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）∆=ac b 42
-
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） ①当⎩
⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根； （当⎩⎨
⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根；当⎩⎨⎧=∆≠时
00a ⇔方程有两个相等的实数根；） ②当⎩
⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
例：求证：方程0)4(2)1(222=++-+a ax x a 无实数根。
3、根与系数的关系（韦达定理）：
如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则a
c x x a b x x =⋅-
=+2121,
知识梳理：
列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系
（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（X)表示出来，设元又分直接设元和间接设元
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程
（4）解方程：求出所列方程的解
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意
（6）写出答案。
解应用题常见类型
常见类型
1、传播问题
①有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
②某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
2、循环问题：单循环问题，双循环问题和复杂循环问题
①参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
②参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
③要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程
计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）
A．B．
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
④教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了
240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（）
A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C．2x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：M=a(1±x)n
n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
注意：平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
①某超市一月份的利润为500万元，三月份的利润为720万元，若每月比上月增长的百分数
相同，则平均每月增长率为（）
A．10% B．15% C．20% D．25%
②某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
③据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市
的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．
（1）求2009年底该市汽车拥有量；
（2）如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达多少万辆？
常用关系式：售价—进价=利润
一件商品的利润×销售量=总利润
单价×销售量=销售额
①某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
②某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
③水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天
可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
④商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取
适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
⑤某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存
．．．．．．，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
5、面积问题
①如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
②从正方形的铁片上截去2m宽的一条长方形，余下面积是48m2，设原来正方形边长为xcm，
下面所列方程正确的是（）
A．2（x+2）＝48 B．x（x+2）＝48 C．x（x﹣2）＝48 D．2（x﹣2）＝48 ③将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于100cm2，则较小的一个正方形的边长为cm．
④如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地
方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．
⑤一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长
相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
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6、银行问题
王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．。