第九讲一笔画问题 PPT

• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点，仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束，如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢，你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不
离纸，遍历每条恰好一次，即每条边都只画一次，不准
第九讲一笔画问题
•
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里
的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小
岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在
这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一
个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后
又回到出发点呢？这个问题曾吸引了许多人，连
大数学家欧拉也对这个问题产生了兴趣。最后，
•
• 那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方面的简单知识。
• 数学中，我们把由有限个点和连接这些点的
线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如图（a））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.如图（b）中，有三个结点：E、F、 G，四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.从图（a）、（b）中可以看出，任意两点之间
分析：经过试画，以及对图上交点进行分析，我们发现：图（1）可以一笔画出，A、B、C、D、E全为偶点，路线为A →C →D→E →C →B→A，从A点出发，又回到了A点，其实从任一点出发都可以一笔画出并回到这一点。图（2）可以一笔画出，A、C为奇点，B、D为偶点，路线可为A→D→C→B→A→C，还有很多种走法，也可以从C出发最后到A，经过尝试，在有两个奇点时，可以一笔画出，若以一个奇点为起点，那么一定以另一个奇点为终点。图（3）不能一笔画出，A、B、C、D均为奇点，E为偶点。图（4）不能一笔画出，A、B、C、D、E、F均为奇点，G为偶点。解答：图（1）能一笔画出，无奇点，可以从任一点开始，一笔画出，再回到这一点；图（2）能一笔画出，有两个奇点A、C，可以从其中一个奇点开始到另一个奇点结束；图（3）不能一笔画出，有4个奇点；图（4）不能一笔画出，有6个奇点。看来能否一笔画出与奇点个数有直接关系，你总结出规律了吗？说明：在连通图中，（1）若奇点的个数为0个，能够一笔画出，可以从任一点开始，一笔画出，最后回到这一点；若奇点的个数为2个，能够一笔画出，且必从其中一个奇点开始到另一个奇点结束；（2）若奇点的个数多于2个，这个图形就不能一笔画出。
• 图（4）不能一笔画出有8个奇点，要想一笔画出至少应该添3笔，方法有很多种，只要选出6个奇点两两一组，分成3组相连即可。如图2。
• 说明：不能一笔画出的图形可以通过添笔画使它能够一笔画出，要想添的笔画最少，就应该从奇点入手，将任意两个奇点连线，直至
• 剩下两个奇点。把其余的每两个奇点一组，每组连一条线，这样就可以了。
•
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画
时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完
此图。
•
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一
定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇
点为终点。
•
③其他情况的图，都不能一笔画出。
•
下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 【例题1】在上图中，我们可以看出，一条线除了两端A、B外，其它地方的点指数均为2为偶点，所以在下面的讨论中，我们只关注图上的交点或顶点，而其它点忽略不计。下面四个图形能一笔画出吗？请你试一试，你发现了什么？
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
• 【例题2】下面各图能不能一笔画成？如果能应该怎样画？如果不能，最少需要添几笔使它能够一笔画出？
分析：图（1）全是偶点，无奇点，能一笔画成，从任意点开始即可；图（2）只有B、E两个奇点，其它均为偶点，可以一笔画出，注意从一奇点开始到另一奇点结束；图（3）有A、B、C、D四个奇点，不能一笔画出，要想一笔画出，至少应该减少两个奇点，所以应该将上述四点中，任两点之间加一条线，使之成为偶点；图（4）中有A、B、C、D、E、F、G、H八个奇点，不能一笔画出，至少应该减少6个奇点，所以应该从8个奇点中选出6个，两两一组，连三条线，使它们变为偶点。
沿箭头所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，
从奇点F出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点
G出发，却不能一笔画出.
•
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言：这
个图无法一笔画出，也即游人不可能不重复地一次走遍七
座桥.更进一步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解
决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：

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小学奥数一笔画课件

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小学奥数-三年级-一笔画PPT课件

多笔画化为一笔画 1.窍门：减少奇点的个数。 2.方法：去线、添线（在两个奇点之间）。
26
世界是美的，只要有一双发现美的眼睛；数学是美的，只要有一颗发现美的心灵。
谢谢大家！
27
一笔画成。
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【随堂练习4】下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
14
随堂练习5
根据今天学习知识，先判断下列图形能不能一笔画成？再想一想该从哪里开始画？最后再动手画画看。
15
例3
一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
小广场
超市
文具店
菜市场
电器城服装城
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【例4】下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成。
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【例4】下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成。
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【例4】下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成。
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【例5】请你判断下图能否一笔画？若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？解：方法一：去线。
图4
图5
12
总结：
一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起) （2）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。可选任一
个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。（3）凡是图形中只有一个或者两个单数点，一定可以一笔画
成。画时必须从一个单数点为起点，以另一单数点为终点。（4）凡是图形中单数点的个
我们刚才画的图形都有几个交点？几个双数点？几个单数点？
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二年级数学奥数训练：一笔画问题PPT课件

2021
2021
2021
不连通的图形不能一笔画
图1
图2
图3
连通的图形有可能一笔画
图4
图5
2021
你能用一笔画出下列图形吗？
2021
两条相交的线处都有一个交点。
2021
数一数下列图形各有几个交点？
（4 ）个
（ 2 ）个
（9 ）个
（ 5 ）个
2021
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。（2）从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。
2021
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从 B点出发，最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
邮
乙
甲
局
2021
根据今天学习知识，先判断下列图形能不能一笔画成？再想一想该从哪里开始画？最后再动手画画看。
2021
脑筋急转弯：想一想
一笔能写出1000吗？
2021
下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
2021
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
2021
观察下列图形，完成统计表
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
2021
观察下列图形，完成统计表
可以一笔画的图形
不能一笔画的图形
图1
图2

图3
图4
图5
图6
图7
图8
2021
下图是一个公园的平面图，要使游人走遍每一条路不重复，出口和入口应设在哪儿？

小学数学一笔画课件

THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形，需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学中也有广泛应用，例如在计算机图形学、算法设计等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中也有很多应用，如地图的绘制、电路设计、交通规划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创意的图形，如不规则多边形、立体图形等，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战精神。同时，这类问题也可能涉及到数学中的其他知识点，如平面几何、立体几何等。

关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件

段。
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重要的价值，是图论、组合数学等领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电路设计、物流规划等领域都有广泛的应用，可以帮助人们解决一系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之和，可以判断该图形是否可以一笔画成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、机械工程等领域都有广泛的应用，例如在电路设计和布线、机器人路径规划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
THANKS
感谢观看
一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或终点。

小学奥数一笔画演示版.ppt

.精品课件.
5
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
图1
图2
图3
连通的图形有可能一笔画
图4
图5 .精品课件.
6
你能用一笔画出下列图形吗？
.精品课件.
7
两条相交的线处都有一个交点。
.精品课件.
8
数一数下列图形各有几个交点？
（4 ）个
（ 2 ）个
（9 ）个
（ 5 ）个
.精品课件.
9
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。（2）从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。
.精品课件.
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我们刚才画的图形都有几个交点？几个双数点？几个单数点？
.精品课件.
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一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。（2）凡是图形中只有一个或者两个单数点，一定可以一笔画成。画时必须从一个单数点为起点，以另一单数点为终点。（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
.精品课件.
18
根据今天学习知识，先判断下列图形能不能一笔画成？再想一想该从哪里开始画？最后再动手画画看。
.精品课件.
19
脑筋急转弯：想一想
一笔能写出1000吗？
.精品课件.
20
.精品课件.
21
一笔画问题
.精品课件.
1
你能一笔画出来吗？
.精品课件.
2
不重复的路
——一笔画
.精品课件.
3
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。

最佳路线-一笔画问题ppt课件

资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
由于那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：能不能设计一条游览线路，使一个游人不重复的一次走遍七座桥呢？
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
下面就让我们利用欧拉定理来解决一些问题吧！下面哪些图形可以一笔画出？
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
下面就让我们利用欧拉定理来解决一些问题吧！
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
心得体会
1、通过学习欧拉对七桥问题的思路，把实际问题转化成“一笔画”的数学问题，从中体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。
2、通过运用“一笔画”的规律解决生活中的实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中，真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点。
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是俄罗斯的海港城市和著名的历史名城，位于波罗的海海岸，始建于1255年，在那里曾经诞生和培育过许多伟大的人物。

一笔画问题以及应用

一笔画的认识和应用知识点:一笔画问题什么是一笔画问题？一个完整的图形, 可以一笔不重复的画完（点可以重复经过, 但是线不可以重复经过）。

一笔画有什么作用？用在画图, 可以节省笔墨, 节省时间；用在走路, 可以节省路程, 节省时间；..........。

（1）一笔画中的偶数点和奇数点分别是什么？（2）从一个点出发有几个方向出去或者有几条不同的线段连接, 如果是奇数个方向或者奇数条线段连接就是奇数点；如果是偶数个方向或者偶数条线段连接就是偶数点。

线段的末端也是奇数点, 且标数为“1”。

一笔画问题的条件: 必须是一个联通的图形, 即整个图形必须是一个整体。

①当所有点都是偶数点时, 可以一笔画, 以其中任何一个点为起点, 画完整个图形后最后还是回到整个点。

②当有奇数点, 且奇数点为2个的时候, 可以一笔画, 以其中一个奇数点为起点, 画完整个图形后, 以另外一个奇数点为终点。

③其它情况都不可以一笔画。

如何把两个奇数点变成两个偶数点？①把两个奇数点之间连接的线段删除或者（先不画）；或者②在两个奇数点之间再连一条线即这条线段重复走1次；一个联通的图形至少需要几笔画完？奇数点个数÷2（7）把地点缩小成点, 把桥梁, 道路, 门等转化成线段, 起到一个连接的作用。

转化为一笔画问题来解决实际问题。

例题部分字,看看奇数点和偶数点各有多少个？奇数点个数: （）个；偶数点个数: （）个。

例2. 标出图中每个点上的数字, 并数字奇数点和偶数点各有多少个, 写在下面横线上。

①②③④⑤⑥⑦①中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

②中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

③中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

④中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑤中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑥中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑦中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

练习、标出下面图中每个点是奇数点还是偶数点, 判断可不可以一笔画。

①②③图①中奇数点有（）个, 偶数点有（）个, （）一笔画。

第九讲一笔画ppt课件

2
例2:18世纪的欧洲有个哥尼斯堡城，瑞格尔河穿过这个城市，河上有两个岛，在岛与岛之间及陆地B、C与岛之间有7座桥，不少人热衷于一个有趣的数学游戏:一个游人怎样才能走遍七座桥，每座桥只能经过一次，最后又回到出发点？
点拨考虑一笔画问题，若奇点超过2个就不行。解答把两个岛A，D和陆地B，C缩小为4个点，把7座桥变成连接 A、B、C、D的7条线，如右图所示。显然A、B、C、D都是奇点，不能将图一笔画成，也就是说不能没有重复地一次走遍七座桥。
5
热身1 能否一笔画出一条线路，使它和下图中的八条线段都相交一次，且不准在端点相交？不能，因为图中有四个奇点。
6
热身2 在六面体的顶点B上有一只蚂蚁，它与顶点E上的另一只蚂蚁约定，在爬速相同时爬过所有的棱线之后，最后到终点D，问哪知蚂蚁获胜？
D
A
C
B
E E蚂蚁先到达D，因为图中只有D与E是奇点，B蚂蚁是从偶点出发必走重复路。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
迁移1 公园有9块花园，水源在A处（如图所示），现在要修渠引水浇地，修的水渠不许交叉，路线要最简捷，还要浇遍9块地，你说这条水渠怎样修？
A
A
4
迁移2 下图中有A、B、C、D、E、F六个小岛，各岛之间共有15座桥，现在要从A岛出发，不重复地走遍十五座桥，能走吗？若能则该怎么走？
ABCBDBEDEFDADCAF
7
拓展1 农技试验田里用纵横的田埂划分成9个作物对比区（见图所示）。农技员过桥后，能不能不走重复的路，把试验田的田埂走一遍？若不能，请找出一条走重复路线最少的捷径来。
桥
桥
不能。因为有8个奇点。捷径设计如图（虚线表示重复路）
8
拓展2一位邮递员每天骑自行车去送信，他投送信件的街道如下图所示，图上数字表示街道的千米数，他从邮局出发，走遍街道后回到邮局，问走什么样的路线最合理？最少走的是千米？

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