2017年佛山二模理科数学

2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，集合{}2230A x x x =--≥，则RA =（ ）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()3,1-D ．[]3,1- 2．复数10i13iz =+（其中i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．3i z =-+ B ．3i z =- C ．13i z =- D ．13i z =-+3．已知实数x ，y 满足02x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20170S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．725 B ．925 C ．1625 D ．24256．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．483π-B ．283π- C ．24π- D ．24π+7．若将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ=（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．3 8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的（ ） A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科9．运行如图所示的程序框图，输出i 和S 的值分别为（ ） A ．2，15 B ．2，7 C ．3，15 D ．3，710．直角ABC 中，AD 为斜边BC 边的高，若1AC =，3AB =，则CD AB ⋅=（ ） A ．910 B ．310 C ．310- D ．910- 11．已知双曲线Γ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为l ，圆C ：()228x a y -+=与l 交于A ，B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ）A B D 12．设函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）满足()()()1322f f f +=，现给出如下结论：①若()f x 是()0,1上的增函数，则()f x 是()3,4的增函数； ②若()1a f ⋅≥()3a f ⋅，则()f x 有极值；③对任意实数0x ，直线()()()0012y c a x x f x =--+与曲线()y f x =有唯一公共点. 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若直线y kx =与曲线xy x e -=+相切，则k = ．14．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为 ． 15．已知点()4,0A ，抛物线C ：22y px =（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l⊥于H ，且PH PA =，120APH ∠=︒，则p = ．16．某沿海四个城市A 、B 、C 、D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，80AB =n mile ，40BC =+n mile ，CD =n mile ，D 位于A 的北偏东75︒方向.现在有一艘轮船从A 出发以50n mile/h 的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.19．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE 沿AE 折到AD E '的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证：AE BD '⊥；（Ⅱ）求二面角D AB E '--的余弦值.20．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，左、右焦点分别为1F 、2F ，且1C 与抛物线2C ：2y x =的交点所在的直线经过2F . （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）分别过1F 、2F 作平行直线m 、n ，若直线m 与1C 交于A ，B 两点，与抛物线2C 无公共点，直线n 与1C 交于C ，D 两点，其中点A ，D 在x 轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围.21．设函数()ln xf x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明：()0f x >. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 340x y +-=，曲线2C ：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >，02πα<<）分别交1C ，2C 于A ，B 两点，当α取何值时，OBOA取得最大值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =-++2x --. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（Ⅱ）设1a >-，且存在[)0,1x a ∈-，使得()00f x ≤，求a 的取值范围.2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABCCB 6-10: CBDCA 11、12：DD二、填空题13．1e - 14．12 15．8516三、解答题17．解：（Ⅰ）因为11a =，12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列， 所以()112n a n =+-⨯21n =-又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =， 当2n ≥时，2n n S b =-…① 112n n S b --=-…② 由①-②得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=， 所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1212n n n n n c a b --==，则 011322n T =++2152122n n --++ ①12n T =121322+++1232122n n n n ---+ ② ①-②得01112222n T =++222++122122n nn --- 1112=+++212122n n n --+-=11121211212n nn ---+--2332n n +=-所以12362n n n T -+=-18．解：（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望收益为51110EX a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()451501010a -⨯⨯5a =- 根据规则50.2a a -≤ 解得 6.25a ≤元，设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元. （Ⅱ）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=份， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=份， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=份，企业支付的总保费为12000 6.25⨯+600012.5⨯+200062.5275000⨯=元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=元. 19．解：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD Rt DAE ，所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O '=∩，OB ,D '⊂平面OBD '. 所以AE ⊥平面OBD '.又1BD ⊂平面OBD '，所以AE BD '⊥.（Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示. 在Rt AD E '中，易得25OD '=，45OA =，15OE =， 所以4,0,05A ⎛⎫⎪⎝⎭，80,,05B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,5D ⎛⎫' ⎪⎝⎭，则48,,055AB ⎛⎫=-⎪⎝⎭，820,,55BD ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 设平面ABD '的法向量()1,,n x y z =，则1100n AB n BD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即4805582055x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得24x yz y=⎧⎨=⎩， 令1y =，得()12,1,4n =，显然平面ABE 的一个法向量为()20,0,1n =. 所以121212cos ,n n n n n n ⋅=442121211==⨯，所以二面角D AB E '--的余弦值为42121.20．解：（Ⅰ）依题意得24c =，则1F ，2F . 所以椭圆1C 与抛物线2C 的一个交点为(2P ， 于是12a PF =242PF +=22a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=. （Ⅱ）依题意，直线m 的斜率不为0，设直线m ：2x ty =-，由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <. 由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，所以12AB y =-=)2212t t +=+，m 与n间的距离d =（即点2F 到m 的距离），由椭圆的对称性知，四边形ABCD 为平行四边形， 故1212AF F DABCD S S==)221122t t +⋅+=[)1,3s =∈，则1222AF F DS t=+211s s s==++5⎛∈ ⎝，所以四边形12AF FD的面积的取值范围为5⎛⎝. 21．解：（Ⅰ）()()e 1ln xf x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln e xxg x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln xg x x x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭， 令()11ln h x x x =--，()2110h x x x'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11eg =， 所以1e a ≥，即a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）()0f x >⇔e ln 0xa x x->. 令()e ln x a F x x x =-（0x >），以下证明当22e a ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()21e 1x a x F x x x -'=-()211e xa x x x⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()1F x F ≥e 0a =>； ②当1x >时，()()21a x F x x -'=()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，令()()e 1xx G x a x =--， 则()e xG x '=()2101a x +>-，又()222e G a=-2e 20a a -=≥， 取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1a m a <<-，则()()e 1m mG m a m =--22e e 0<-=，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000e ln x a F x x x =-，且()()0000e 01xx G x a x =-=-，即()000e 1x x a x =-，故()0001ln 1F x x x =--， 因为()()0201101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()02F x F >=1ln 20->，所以()0F x >.综上，当22e a ≥时，总有()0f x >. 22．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，1Ccos sin 40θρθ+-=，2C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅱ）曲线3C 的极坐标方程为θα=（0ρ>，02πα<<） 设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=， 所以21OB OA ρρ==)12sin sin 4ααα⨯+)12cos 214αα=-+ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又02πα<<，52666πππα-<-<， 所以当262ππα-=，即3πα=时，OB OA 取得最大值34. 23．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即11x x -++20x -->，等价于()11120x x x x ≤⎧⎪⎨-+---->⎪⎩或()111120x x x x -<<⎧⎪⎨-++-->⎪⎩或()()11120x x x x ≥⎧⎪⎨-++-->⎪⎩解得1x ≤-或10x -<<或2x >即不等式()0f x >的解集为()(),02,-∞+∞∪.（Ⅱ）当[),1x a ∈-时，()1f x a x =--，不等式()0f x ≤可化为1a x ≤+， 若存在[)0,1x a ∈-，使得()00f x ≤，则2a <，所以a 的取值范围为()1,2-.。