【佛山二模】2014届广东省佛山市高三下学期教学质量检测文科数学试题(二)(含答案解析)
2014广东高考文科数学试卷及答案解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-553:(1)()sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 3sin (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又cos ()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-===17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅=={}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x x a x f x f x x a a a a x x +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a x a a x f x f a x f x ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,10,()3,11,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,1,(1,5111),()(0,),(,1),422a i a f x x f x f ii a f x a f x <∴-≤--∈-<<-+-+=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,11,,(14212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,01,,(0,1421775(0)()0,0,,2224124x a x x a f f a a x a x x a f f a -<<-<-∈-+->+>>--<<--<<<-+∈-+->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
2014佛山二模及答案(文数)
图1佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：图2那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22 B．16 C ．15D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C D ．210．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1Cρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线A. .CDBEF图5图6ABCD PEF排球队 篮球队图4ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c ,且2a b =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形A B C D 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.图719.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.A B CDP EF Q2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b=，……………………………………………………………2分又2a b=，所以22223cos24ba c bBac+-===，…………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B==，……………………………………………7分所以s i 63f Bππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s33B Bππ=+………………………………………………10分12=+=……………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm的同学恰有5人,其中3人来自排球队,记为,,a b c,2人来自篮球队,记为,A B,则从5人中抽取3名同学的基本事件为:abc,abA,abB,acA,acB,aAB,bcA,bcB,bAB,cAB共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:abA,abB,acA,acB,bcA,bcB共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105=.………………………………12分18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF,由翻折不变性可知,6PB BC==,9PE CE==,在PBF∆中,222201636PF BF PB+=+==,所以PF BF⊥………………………………2分在图1中,易得EF==排球队篮球队1817161510368925893291088328在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………4分又BFEF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP ………………………………………………8分 又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ……………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, …………………………12分 即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=,所以36273ABE PBE S PF h S ∆∆⋅⨯===, 即点A 到平面PBE.……………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=),……………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ……………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M =-==……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =.……………………13分综上,当4t =时,QM 的最大值为2.……………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. …………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.…………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. …………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②. ……………………4分于是当2n ≥时，n a .……………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n -=+，于是()241n b n =+. ……………………………………6分则()41n a n n ==+. ………………………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.……………10分 （Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.…………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.…………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =. 因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x >，20x =<（舍去），……………………5分 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………9分 ② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x，4x =且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ……12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =x a =-，极大值点为x =当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =………………………………………14分。
2014年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3MN =，故选B ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z ++===+--+，故选D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B【解析】()2,1b a -=-，故选B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）122x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +【答案】A【解析】对于函数()122x x f x =-，()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数()3sin f x x x =，()()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，()()()2222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线221165x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()z z z z z z *=***④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．【答案】25【解析】142542105C P C ===．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)【解析】由22cos sin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长． 【答案】3【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AEAEF AE AE∆+∴===∆的周长的周长．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）553()sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππθθθθθθ=+--+-===sin 0,2πθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．（2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，这20名工人年龄的方差为：2222222111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，1,2AB BC PC ===，做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11==22CF CD ，EF DC ∥，DE CFDP CP ∴=122，DE ∴=，PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=，2MD ===，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．（2）由222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，得：2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，∴当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+， 111111111111131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221111111111()()111111(1)(1)(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡⎤⎢⎥∴+++<-+-++-⎢⎥+++⎢⎥-----+-⎣⎦1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0111111()11434331(1)44n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ===3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y 关系．（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f ．解：（1）'2()2f x x x a =++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x xa ++=的两根为1-(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时()f x为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，此时()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <时，()f x 的单调增函数区间为(,1-∞-，(1)-++∞，()f x的单调递减区间为(11---．（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11(0,)(,1)2上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，00x >，0x ∴ 01<，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01()()2f x f =．当2575(,][,0)12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．。
【佛山二模】2014届广东省佛山市高三下学期教学质量检测文科数学试题(二)(含答案解析)
广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）数学(文)试题一、选择题1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为1- B. z 的虚部为1 C.2z z ⋅= D.zi z= 3、已知:1,:1p x q x =-=“”“ ，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246a a +=，则5S = A. 10 B. 12 C. 15 D. 305、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D.[]89-，6、执行如图所示的程序框图，若输出1011S =，则输入()k k N *∈的值可以为A. 8B. 9C. 10D. 117、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与实轴的夹角为45，则双曲线的离心率为A.B.C.D.8、在圆OAB 不经过圆心，则AO AB ⋅的值为A.12 B. 2C. 1D.9、已知函数()2cos ,f x x x x R =-∈，则 A. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()143f f f ππ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10、对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x *=⋅=-，已知{}{}246,124A B ==，，，，，则下列结论不．正确的是 A. 1A B ∈* B. 2A B ∈* C. 4A B ∉* D. A B B A *=*二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.记函数f(x)=x 12log 的反函数为g （x ）,则函数y=g(x)在区间[]21，的值域为 12.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为13.设直线x-ky-1=0与圆()()42122=-+-y x 相交于点A,B 两点，且弦AB 的长为32，则实数k 的值是（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.已知曲线1C :sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）与曲线2x t y kt =⎧⎨=-⎩（t 为参数）有且只有一个公共点，则实数k 的值为15.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，已知CD=72，AB=BC=3，则AC 的长为 16、（本题满分12分） 已知函数()sin sin(),3f x x x x R π=++∈(1) 求函数()f x 的最小正周期。
广东省佛山市南海区2014届高三入学摸底考试数学文试题 Word版含答案[ 高考]
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佛山市南海区2014届高三数学（文）8月质量检测试题参考公式：13V Sh =锥 （其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．已知集合{}|3M x x =<，{}2|680N x x x =-+<，则MN =（ ）A ．∅B ．{}|03x x << C ．{}|13x x <<D ．{}|23x x <<2．复数1ii+的虚部是（ ） A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知向量(1,)a m =，(,2)b m = , 若a //b , 则实数m 等于（ ）A．BC．D ．04．已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-=（ ） A ．17- B ．7- C ．71 D ．75．设曲线21y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分A B C D6．一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A ．8B ．83C ．1)，83D ．8，87．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A ． 假设a ，b ，c 都是偶数B ． 假设a ，b ，c 都不是偶数C ． 假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ． 假设a ，b ，c 至多有两个偶数8．下列说法中正确的有（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； （2）“2x >”是 “2320x x -+>”的充分不必要条件； （3）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题；（4）对于命题p ：x R ∃∈，210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，*,m n N ∈），则m n nb ma a n m+-=-。
广东佛山市高三教学质量检测二文科数学试题
广东佛山市20XX 届普通高中高三教学质量检测（二）数学（文）试题本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式: 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则()UP Q =A ．∅ B. {}1 C. {}2 D. {}1,2 2．若将复数(12)i i -表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab 的值为A ．-2B ．21-C ．2D ．21 3．在等差数列{}n a 中，若232a a +=，456a a +=，则56a a +=A.8B. 10C. 12D. 144．已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[(1)]f f -=A ．2-B ．1-C ．1D ．25. 已知命题p :函数sin()2y x π=+的图像关于原点对称；q :幂函数恒过定点(1,1).则A ．p q ∨为假命题B ．()p q ⌝∨为真命题C ．()p q ∧⌝为真命题D ．()()p q ⌝∧⌝为真命题 6．已知1x >，则11y x x =+-的最小值为 A.1 B. 2 C. 22 D. 3 7． 已知△ABC 的面积为6，三边,,a b c 所对的角为,,A B C ，若4cos 5A =，且1b c -=，则a 的值为A.3B. 4C. 5D. 6 8．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是A ．若//l α，m αβ=，则//l m ； B ．若//l α，//m α，则//l m ；C ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥；D ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥．9. 已知双曲线221x y -=的一条渐近线与抛物线2y x a =+只有一个公共点，则a 的值为A ．14B ．12C ．34D ．1 10. 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x B ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为A ．26CB ．27C C ．28CD ．29C二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题)11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y=+2的最大值为 .12. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次 采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据 折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑， 则S = 元.13．如下数表，为一组等式：123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=某学生根据上表猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则a b c ++= ． (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程）已知⊙O 的方程为22cos 22sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则⊙O 上的点到直线11x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的距离的最大值为 ．15.（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ， 直线PO 交圆O 于,B C 两点，2AC =,120PAB ∠=， 则圆O 的面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）已知平面直角坐标系上的三点(0 1)A ，、(2 0)B -，、(cos sin )C θθ，（(0,)θπ∈），且BA 与OC 共线. （1）求tan θ；（2）求sin()4πθ-的值.17．（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85)之间为良好；在[65,75)之间为合格；在(0,60)之间，体能素质为不合格.现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；（2）现用分层抽样的方法在该校高一年级共900名学生中抽取6名学生，在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率；（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价. 18．（本题满分14分）（第一问7分，第二问7分）如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图． （1）求该几何体的体积； （2）证明：1DF 平面11PA F ．65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93, 85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1)（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.证明：当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅恒为定值.20．（本题满分14分）（第一问6分，第二问8分）已知函数22()(0)af x x x x=+>. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a =时，若112212(,()),(,())(0)P x f x Q x f x x x <<是函数图象上的两点，且存在实数00x >，使得21021()()()f x f x f x x x -'=-.证明：210x x x <<.21．（本题满分14分）（第一问4分，第二问5分，第三问5分）已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+．（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是否是等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；（3）求证：1132ni i ia b =<∑．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABBDACAB二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11． 2 12．153000 13．1 14．32 15． 4π三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分）（1）解法1：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，……………………………2分 ∵//BA OC，∴2sin cos 0θθ-=， …………………………4分 ∴1tan 2θ=. …………………………5分解法2：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，……………………………2分 ∵//BA OC ，∴BA OC λ=，∴2cos 1sin λθλθ=⎧⎨=⎩， ……………………………4分∴1tan 2θ=……………………………5分 解法3：由题意知，点C 为单元圆上的点，如图所示， ∵//BA OC ，∴//BA OC ，则BA OC k k =，………………3分 ∴1tan 2OC BA k k θ===； ……………………………5分 （2）∵1tan 02θ=>，[0,)θπ∈，∴(0,)2πθ∈，由22sin 1cos 2sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得5sin θ=，25cos θ=， …………………………8分 ∴5225210sin()sin coscos sin444525210πππθθθ-=-=⨯-⨯=-．……………12分17．（本题满分12分）解：(1)评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分. （说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分. 频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分.） 根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有1090030030⨯=人 ………5分 （2）设在抽取的6名学生中任取2名，恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的事件为A ，则抽取的6名学生中体能素质为优秀的有106230⨯=人，记作12,a a . 非优秀的有206430⨯=人，记作1234,,,b b b b . ……………………………7分 则基本事件有：121112131421222324121314232434(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a ab a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b共15个 …………………9分事件A 包含的基本事件有：1112131421222324(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b a b a b ，共8个…………11分所以恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率为8()15P A = ……………12分 （3）答对下述三条中的一条即可给2分： ①估计该校高一学生中体能素质为优秀有1090030030⨯=人，占总人数的13，体能素分组 频数频率[65,70)2230 [85,90)6630质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2490072030⨯=人，占总人数的45，说明该校高一学生体能素质良好.②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有1900330⨯=人，占总人数的130，体能素质仅为合格的有590015030⨯=人，占总人数的16，体能素质为不合格或仅为合格的共有690018030⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼.③根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有1090030030⨯=人，占总人数的13， 体能素质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2490072030⨯=人，占总人数的45，但体能素质为不合格或仅为合格的共有690018030⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼.18．（本题满分14分）解：（1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成， ∴正六棱柱的体积为：116222V Sh ==⨯⨯= ………………………3分正六棱锥的体积为：2111623332V Sh ==⨯⨯⨯= ………………………6分∴该几何体的体积的体积为12V V V =+= ………………………7分（2）证明∵侧面全为矩形，∴1AF FF ⊥； 在正六边形ABCDEF中，AF DF ⊥， ………………………8分又1DFFF F=，∴AF ⊥平面1DFF ； ……………………9分∵11//AF A F ，∴11A F ⊥平面1DFF ；又1DF ⊂平面1DFF ，∴111A F DF ⊥；……………………11分 （注：也可以由勾股定理得到）在1DFF ∆中，12FF =，23DF =，∴14DF =， 又1113PF PD ==；∴在平面11PA ADD 中，如图所示，225229PD =+=，∴22211DF PF PD +=，故11DF PF ⊥；……………………13分又1111A F PF F =，∴1DF ⊥平面11PA F ． ………………………14分（说明：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了1DFFF F = ，1DF ⊂平面1DFF ，1111A F PF F =三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则本题最多只能得4分）19．（本题满分14分） 解：解：（1）由题意可知，1b =， ……………1分而32c a =， ……………2分 且222a b c =+. ……………3分解得2a =， ……………4分 所以，椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分 （2）(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x y ，022x -<<， ……………6分直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令22x =，则00(222)2y y x +=+， 即00||||(222)|2|y DE x =++； …………8分直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即00||||2)|2|y DF x =-； (10)分0000||||||||2)2)|2||2|y y DE DF x x ⋅=⋅+-2200220044|4|4y y x x ==-- …………12分而220014x y +=，即220044y x =-，代入上式，∴||||1DE DF ⋅=，所以||||DE DF ⋅为定值1. ……………14分20．（本题满分14分）(1) 解：322222()2a x af x x x x-'=-= …………1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，函数在(0,)+∞上单调递增； ………3分 ②当0a >时，当0x <<时，()0f x '<，函数在上单调递减；当x >()0f x '>，函数在)+∞上单调递增. …………5分综上可知，当0a ≤时，函数()f x 单调递增为(0,)+∞；当0a >时，函数()f x 单调递减区间为；单调递增区间为)+∞. …………6分 (2) 方法1：当12a =时，21()(0)f x x x x=+>，此时21()2f x x x '=-，………7分 222121212121122121212112111()()()[()]()()1()x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+--===+----，从而原等式为0212012112()x x x x x x -=+-. ………8分 由题意可得0x 是方程21212112()0x x x x x x --++=的根， ……………9分 令2121211()2()g x x x x x x x =--++，21111212221121211()2()x x g x x x x x x x x x x x -=-+--=--122121()10x x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，…11分12221221222121211()2()x x g x x x x x x x x x x x -=-+--=--212121()10x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，…12分12()()0g x g x ⋅<，由零点的存在性定理，可知：102x x x ∴<<. …14分方法2：21()2f x x x'=-，210012202112()()11'()2,f x f x f x x x x x x x x x -=-=+-- 由已知得0122012112x x x x x x -=+- ……………8分 欲证210x x x <<，先比较02012x x -与12112x x -的大小. 由01121222011211111222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1221212221211()10x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-+> ⎪⎝⎭………11分 另一方面，导函数2312()(2)20f x x x x '''=-=+> …………12分 故由01()()0,f x f x ''->得10x x <；同理，可证02x x <，因此210x x x <<. …………14分 方法3：21()2f x x x'=-，210012202112()()11'()2,f x f x f x x x x x x x x x -=-=+--， 由已知得0122012112x x x x x x -=+- ， …………8分 因12112x x -<12121x x x x +-22212x x <-， …………10分 即12112x x -<0222021122x x x x -<-，由0220202222200211(2)(2)()20x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=-+> ⎪⎝⎭ ……………12分 而02220220x x x x ++>，所以02x x <. 同理可证10x x <，因此210x x x <<. ……………14分21．（本题满分14分）解：（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， ……………1分由11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+， 可得111223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+()2n ≥，两式相减可得12n n n a b n -⋅=⋅，即n a n =. ……………2分当111n a ==时，，从而对一切n N *∈，都有n a n =. ……………3分所以数列{}n a 的通项公式是n a n =. ………4分 （注：求出121,2a a ==，并归纳出n a n =给2分）（2）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.由（1）得，11122,(1)n n n n n n a b n b a n d --⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ …………5分 111122()n n n n b a d a d nd d n--⋅=--++＝ ……………6分 要使1n nb b +是一个与n 无关的常数，当且仅当10a d =≠ ……………7分 即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=； 当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． ……………9分 法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.由（1）得，11122,(1)n n n n n n a b n b a n d --⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ ……………5分 若数列{}n b 是等比数列，则2111212[()]n n b dn a n a d b dn a n+++-=+…………6分 要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠. ………7分 即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=8分 当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． …………9分（3）证明：由（1）知12n n n a b n -=⋅.2311111111112232422n n i i i a b n -==+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑ 23111111111122222222n n i i i a b -=<+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑()3n ≥……………12分 211()1112114812n --=++⨯- ……………13分 11131442≤++= ……………14分。
2014年广东省高考数学试卷(文科)(含解析版)
2014年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5} 2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7B．8，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．115．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1D．x2+2x6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．207．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A．充分必要条件C．必要非充分条件8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线A．实半轴长相等B．虚半轴长相等B．充分非必要条件D．非充分非必要条件﹣=1与﹣=1的（）C．离心率相等D．焦距相等9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4C．l1与l4既不垂直也不平行B．l1∥l4D．l1与l4的位置关系不确定10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1则真命题的个数是（）A．1B．2C．3其中2，2是ω2的共轭复数，D．4二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．13．（5分）等比数列{an }的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．（二）（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．20．（14分）已知椭圆C：为．+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x）=f（）．2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）【考点】99：向量的减法；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．11B．8【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．（5分）下列函数为奇函数的是（）A ．2x ﹣B ．x 3sinxC ．2cosx +1D ．x 2+2x【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f （x ）=2x ﹣故此函数为奇函数．对于函数f （x ）=x 3sinx ，由于f （﹣x ）=﹣x 3（﹣sinx ）=x 3sinx=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=2cosx +1，由于f （﹣x ）=2cos （﹣x ）+1=2cosx +1=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=x 2+2x ，由于f （﹣x ）=（﹣x ）2+2﹣x =x 2+2﹣x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ），故此函数为非奇非偶函数．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（），由于f （﹣x ）=2x ﹣﹣=﹣2x =﹣f （x ），A ．50B ．40C ．25D ．20【考点】B4：系统抽样方法．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．7．（5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A ．充分必要条件C ．必要非充分条件B ．充分非必要条件D ．非充分非必要条件【考点】HP ：正弦定理．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．【解答】解：由正弦定理可知⇒=，∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 均小于180°，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sinA ，sinB 都是正数，∴“a ≤b”⇔“sinA ≤sinB”．∴“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的充分必要条件．故选：A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．8．（5分）若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等﹣=1与﹣=1的（）C ．离心率相等D ．焦距相等【考点】KC ：双曲线的性质．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k ＜5，则0＜5﹣k ＜5，11＜16﹣k ＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16，b 2=5﹣k ，c 2=21﹣k ，曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16﹣k ，b 2=5，c 2=21﹣k ，即两个双曲线的焦距相等，故选：D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键．9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（）A ．l 1⊥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行B ．l 1∥l 4D ．l 1与l 4的位置关系不确定【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为l 2，CD 所在的直线为l 3，AE 所在的直线为l 1，若GD 所在的直线为l 4，此时l 1∥l 4，若BD 所在的直线为l 4，此时l 1⊥l 4，故l 1与l 4的位置关系不确定，故选：D．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z 1，z 2，z 3有如下命题：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1*z 3）+（z 2*z 3）②z 1*（z 2+z 3）=（z 1*z 2）+（z 1*z 3）③（z 1*z 2）*z 3=z 1*（z 2*z 3）；④z 1*z 2=z 2*z 1则真命题的个数是（）A．1其中2，2是ω2的共轭复数，B．2C．3D ．4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】5L：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1+z 2）确；=（z 1+z 2=（z 1*z 3）+（z 2*z 3），正②z 1*（z 2+z 3）=z 1（③（z 1*z 2）*z 3=z 1成立，故错误；④z 1*z 2=z 1，z 2*z 1=z 2）=z 1（+）=z 1+z 1=（z 1*z 2）+（z 1*z 3），正确；）=z 1z 3，等式不，z 1*（z 2*z 3）=z 1*（z 2）=z 1（，等式不成立，故错误；综上所述，真命题的个数是2个，故选：B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x +3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x +y +2=0．．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5e x ，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y +2=﹣5x ，即5x +y +2=0．故答案为：5x +y +2=0．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．12．（5分）从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I ：概率与统计．【分析】求得从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母、取到字母a 的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，共有取到字母a ，共有∴所求概率为故答案为：．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（5分）等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5=4，则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5．=10种情况，=4种情况，=．【考点】4H ：对数的运算性质；87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a 3=2，再根据性质化简log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5log 2a 3，代入即可求出答案．【解答】解：log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2a 1a 2a 3a 4a 5=log 2a 35=5log 2a 3．又等比数列{a n }中，a 1a 5=4，即a 3=2．故5log 2a 3=5log 22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．【解答】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．【考点】%H：三角形的面积公式．【专题】58：解三角形．【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）=Asin （x +（1）求A 的值；（2）若f （θ）﹣f （﹣θ）=），x ∈R ，且f （）=．，θ∈（0，），求f （﹣θ）．【考点】GP ：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数f （x ）=Asin （x +A 的值；（2）利用函数的解析式，通过f （θ）﹣f （﹣θ）=利用两角差的正弦函数求f （﹣θ）．），x ∈R ，且f （，）=，，θ∈（0，），求出cosθ，），x ∈R ，且f （）=，直接求【解答】解：（1）∵函数f （x ）=Asin （x +∴f （∴）=Asin （．+）=Asin=（2）由（1）可知：函数f （x ）=3sin （x +∴f （θ）﹣f （﹣θ）=3sin （θ+=3[（=3•2sinθcos ∴sinθ=∴cosθ=，，=3sinθ=，），））]）﹣3sin （﹣θ+）﹣（∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）19282930313240合计工人数（人）133543120（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：这20名工人年龄的方差为S 2=2=30．[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直．【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5Q ：立体几何．【分析】（1）要证CF ⊥平面MDF ，只需证CF ⊥MD ，且CF ⊥MF 即可；由PD ⊥平面ABCD ，得出平面PCD ⊥平面ABCD ，即证MD ⊥平面PCD ，得CF ⊥MD ；（2）求出△CDE 的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD ，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；又平面PCD ∩平面ABCD=CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ；又CF ⊥MF ，MD 、MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF=M ，∴CF ⊥平面MDF ；（2）∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又∵Rt △PCD 中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF ∥DC ，∴∴DE==，即，；=，，∴PE=∴S△CDE=CD•DE=MD===×=，．∴V M﹣CDE =S△CDE•MD=×【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．【考点】8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S 1=a 1求出a 1的值；（2）利用a n 与S n 的关系，将条件转化为a n 的方程，从而求出a n ；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：∴（S 1+3）（S 1﹣2）=0．∵S 1＞0，∴S 1=2，即a 1=2．（2）由．∵a n ＞0（n ∈N *），∴S n ＞0．∴．，得：，即．∴当n ≥2时，又∵a 1=2=2×1，∴．==＜=＜；（3）由（2）可知n ∈N *，当n=1时，显然有当n ≥2时，＜+，=（），=﹣＜．所以，对一切正整数n ，有【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．20．（14分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0，y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K3：椭圆的标准方程．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出k 1•k 2，进而取得x 0和y 0的关系式，即P 点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P （x 0，y 0）的切线为y=k （x ﹣x 0）+y 0，+=+=1，4x 2+9[k 2x 2+﹣2kx 0x ++2ky 0x ﹣2ky 0x 0]=36整理得（9k 2+4）x 2+18k （y 0﹣kx 0）x +9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，∴△=[18k （y 0﹣kx 0）]2﹣4（9k 2+4）×9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，整理得（x 02﹣9）k 2﹣2x 0×y 0×k +（y 02﹣4）=0，∴﹣1=k 1•k 2=∴x 02+y 02=13．=﹣1，把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x 和y 关系．21．（14分）已知函数f （x ）=x 3+x 2+ax +1（a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈（0，）∪（，1），使得f （x 0）=f （）．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第（2）问，可将f （x 0）=f （）转化为f （x 0）﹣f （）=0，即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理．【解答】解：（1）由f （x ）得f′（x ）=x 2+2x +a ，令f′（x ）=0，即x 2+2x +a=0，判别式△=4﹣4a ，①当△≤0即a ≥1时，f′（x ）≥0，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数．②当△＞0即a ＜1时，方程f′（x ）=0的两根为当x ∈（﹣∞，﹣1﹣当当，即，）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数；时，f′（x ）＜0，则f （x ）为减函数；，+∞）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数．综合①、②知，a ≥1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），a ＜1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，f （x ）的单调递减区间为和．，+∞），（2）∵==21===∴若存在∪．，使得∪，即内必有实数解．，则关于x 的方程4x 2+14x +7+12a=0在∵a ＜0，∴△=142﹣16（7+12a ）=4（21﹣48a ）＞0，方程4x 2+14x +7+12a=0的两根为∵x 0＞0，∴依题意有即得∴当得当得，且，且∪成立；∪成立．∪{}时，不存在∪，使．时，存在唯一的∪，使，，且，，∴49＜21﹣48a ＜121，且21﹣48a ≠81，，即，【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．22。
广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测(二)数学试题
广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．已知数列{}n
a 和等差数列{}n
b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且2n n S a +=，11b a =，
424T T =.
(1)求数列{}n
a ，{}n
b 的通项公式；
(2)若1n n n c a b -=，求数列{}n
c 的前n 项和.
16．如图，三棱锥-P ABC 中，正三角形
PAC 所在平面与平面ABC 垂直，O 为AC 的中点，
G 是PBC V 的重心，OG BC ^，G 到平面PAC 的距离为1，6AB =.
11．BCD
【分析】A与B相互独立，则
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点()00
,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
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广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）
数学(文)试题
一、选择题
1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<£，则U C M =
A. (],1-¥-
B. ()2,+¥
C. ()[),12,-¥-È+¥
D. (](),12,-¥-È+¥ 2、复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为1- B. z 的虚部为1 C.2z z ×= D.z
i z
= 3
、已知:1,:1p x q x =-=
“”“ ，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246a a +=，则5S = A. 10 B. 12 C. 15 D. 30
5、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y £ìï
--³íï--£î
，则35z x y =+的取
值范围是
A. [)3+¥，
B. []83-，
C. (],9-¥
D. []89-，
6、执行如图所示的程序框图，若输出10
11
S =
，则输入()k k N *Î的值可以为
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
7、已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与实轴的夹角
为45o ，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
8、在圆O
的弦AB 不经过圆心，则AO AB ×uuu r uuu r
的值
为
A.
12 B. 2
C. 1
D.
9、已知函数()2
cos ,f x x x x R =-Î，则 A. ()134f f f p p æöæö>>-ç
÷ç÷èøèø B. ()134f f f p p æöæö
>>-ç÷ç÷èøèø
C. ()143f f f p p æöæö-
>>ç÷ç÷èøèø D. ()134f f f p p æöæö
>->ç÷ç÷èøèø
10、对于集合M ，定义函数()1,1,M x M
f x x M -Îì=í
Ïî
，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x *=×=-，已知{}{}246,124A B ==，，，，，则下列结论不．
正确的是 A. 1A B Î* B. 2A B Î* C. 4A B Ï* D. A B B A *=*
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11.记函数f(x)=x 1
2log 的反函数为g （x ）,则函数y=g(x)在区间[]21，的值域为
12.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
13.设直线x-ky-1=0与圆
()()42122=-+-y x 相交于点A,B 两点，且弦AB 的长为32
，
则实数k 的值是
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14.已知曲线1C :sin x y q
q
ì=ïí=ïî（θ为参数）与曲线2x t y kt =ìí=-î（t 为参数）有且只有一个
公共点，则实数k 的值为
15.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，已知CD=72，
AB=BC=3，则AC 的长为 16、（本题满分12分） 已知函数()sin sin(),3
f x x x x R p
=++
Î (1) 求函数()f x 的最小正周期。
(2) 若3(,(,),121024
f p p p q q +
=Î求sin q
17、“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。
为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20~80岁之间的60人，并按年龄层次[)30,20，[)40,30，[)50,40，
[)60,50，[)70,60，[)80,70绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2014年“行通
济”活动的人数如下表。
若规定年龄分布在[)60,20岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”.
（1）根据已知条件完成下面的22´列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗？
“老年人”人数
“中青年人”人数
合计 有参与 没有参与 合计
（2）从上述22´列联表“老年人”和“中青年人”两大组中，用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取两人，求恰好有一人是“老年人”的概率
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=
，其中d c b a n +++= 下面的临界值表供参考：
)(2k K P >
0.10 0.05 0.025 0.010
k
2.706
3.841 5.024 6.635
18.（本题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ABC ^底面，AB BC ^，E 是1AC 的中点，
D 在线段AC 上，并且1D
E A C ^，已知1A A AB ==，2BC =.
（1） 求证： 1A C EDB ^平面. （2） 求三棱锥E BCD -的体积.
19.（本题满分14分）
已知椭圆G 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2
，且过抛物线2
:4C x y =的焦点F .
（1） 求椭圆G 的方程；
（2） 设点F 关于x 轴的对称点为'
F ，过'
F 作两条直线1l 和2l ，其斜率分别为k 、'
k ，
满足0k >，'0k k +=，它们分别是椭圆G 的上半部分相交于,G H 两点，与x 轴相交于,A B 两点，使得165
GH =
，求证：'
ABF D 的外接圆过点F ；
（3） 设抛物线C 的准线为l ，,P Q 是抛物线上的两个动点，且满足2
PFQ p
Ð=
，线段PQ 的中点为M ，点M 在l 上的投影为N ，求
MN PQ
的最大值.
20、（本题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*
21()n n S a n N =-Î,数列{}n b 满足
*1+11,(1),()n n b nb n b n N ==+Î
(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式。
(2) 数列{}n b 的前n 项和为n Q ,且n n n T S Q =+ 是否存在常数l ，使得对任意正整数n ，不
等式
1n n T T l +³恒成立？若存在，求l 的最小值，若不存在，说明理由。
21、（本题满分14分） 已知函数1
()ln ,()f x a x a R x
=-
Î其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。
（2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。
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