线性规划所有类型总结(很全的)
线性规划总结
线性规划总结Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．（2）简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。
常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。
线性规划知识点
线性规划
1．线性规划：
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤：(1)直线定界，(2)特殊点定域；若C≠0，由原点定域；
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
注意点：（1）线性目标函数最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函
数所表示的几何意义
——在y轴上的截距或其相反数。
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线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划必须满足一系列线性约束条件，如不等式约束和等式约束。
约束条件用来限制决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过转换为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数为最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式约束。
3. 决策变量为非负数。
四、线性规划的解法线性规划有多种求解方法，下面介绍两种常用的方法：1. 图形法：当问题只有两个决策变量时，可以使用图形法求解。
首先绘制出目标函数和约束条件所构成的图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，适用于多个决策变量的线性规划问题。
它通过不断迭代改善目标函数的值，直到找到最优解为止。
五、常见应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径和最优运输量的问题，以降低物流成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配，如人力资源、物资资源等，以提高资源利用效率。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各项投资的最优权重，以最大化投资回报或最小化风险。
六、总结线性规划是一种常用的数学优化方法，通过最大化或最小化线性目标函数，在一系列线性约束条件下求解最优解。
线性规划知识总结
线性规划知识总结1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。
（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。
（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。
知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是（ ）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是________________。
线性规划经典总结
线性规划一、 线性规划的有关概念1、 线性约束条件：由关于x ，y 的二元一次不等式组成的不等式组对自变量x 、y 进行约束，叫线性约束条件。
2、 线性目标函数：关于x 、y 的二元一次解析式z=f （x ，y ）叫线性目标函数。
3、 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
4、 可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）。
5、 可行域：所有可行解组成的集合。
6、 最优解：使得线性目标函数取得最大值或最小值的解（x ，y ）。
二、 图解法求线性规划问题最优解的一般步骤 1：由线性约束条件画出可行域；2：令z=0，再利用平移法找到最优解所对应的点;3：求出最优解所对应的点的坐标，代入目标函数，求出最大值或最小值； 4：通过检验是否符合题意，得出问题的答案。
三、 激活思维例1.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 则z=2x+y 的最大值为 。
沙场演练：1.若⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≥+0,0221352y x y x y x 则z=x —5y 的最大值为 。
2.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-0,005302>>y x y x y x ，则z=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2141的最小值为 。
四、解析几何中常见的几何意义例2.已知x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则（1）xy 的最值为 ； （2）()()2211+++y x 的最值为 ；（3）y x +的最值为 。
沙场演练：1已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是 。
2.在平面直角坐标系中，点p （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-≥12121x y x y ，所表示的平面区域内，则目标函数()()2212-++=y x z 的最小值为 。
3已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________.4已知实数,x y 满足112213y x y x ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，则214z x y =+的最大值为 ． 5已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥040522y x y x y ,则521-+=y x z 的最小值是______ 6设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则y x u x y =-的取值范围是_________． 7动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b a ω+-=-的取值范围是 ．五、目标函数中有参数例3.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>b a by ax z +=的最大值为12，则ba 32+的最小值为 。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
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线性规划，想说懂你很容易
线性规划是近两年高考的必考内容。
学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。
而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。
1、目标函数形如z=ax+by 型：
例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥，则
y x z 3-=的最小值是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z
x y -=，所以3
z -表示直线
331z
x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选
D.
2、目标函数形如a
x b
y z --=型：
例2（2007.辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤，≥，≤，
则
y
x
的取值范围是（ ） A ．]6,59[ B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，， C ．(][)36-∞+∞ ，， D ．[36]，
解：画出可行域（如图2），
y
x
表示可行域内的点（x,y ）与原点连线的斜率，求得A （1，6），C （29
,25）, 且求得K OA =6，K OC =5
9，
所以659≤≤x
y
，选A.
3、目标函数形如z=a bx+cy 型：
例3.（2008.北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪
+⎨⎪⎩，
，，≥≥≤则23x y z +=的
最小值是（ ）A ．0
B ．1
C D ．9
图1
图2
图3
解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u 最小为0，则
23x y z +=的最小值是1.故选B.
4. 目标函数形如z=
e
dx c
by ax +++型：
例4．已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥x
y y x x 12340
，则132+++x y x 的取值范围是（
）
A ．[1,5]
B ．
[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11]
解：做出可行域
（如图4），因为1)1(211)1(21132+++=++++=+++x y x y x x y x ，其中
1
1
++x y 可视作可行域内的点与点C （-1，-1）连线的斜率，且求得K CA =5，
K CB =1，所以由图可知5111≤++≤
x y ，所以1111
3≤++≤x y 选D. 5. 目标函数形如22)()(b y a x z -+-=型：
例5.已知x 、y 满足⎩⎨⎧≥≥≤-+0
,00
22y x y x ，求22)1()1(-+-=y x z 的最大
值和最小值.
解：目标函数的几何意义是可行域的点（x ，y ）与点C （1，1）的距离（如图5），由图形易知点C 与可行域内的点O （0，0）和A （2，0）的距离最大为2，而z 的最小值是点C 到直线022=-+y x 的距离
55，所以max z =2，min z =5
5
变式 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤--≥+-0320930
72y x y x y x ，求z =x 2+y 2的最大值和最小值，
解：画出可行域（如图6），z =x 2+y 2表示可行域内的点与原点O 距离的平方，由图可知，|OA|最大，max z =（2265+）2=61,最小值为点O 到直线x+2y-3=0的距离的平方，min z =（4
1|3|+）2=59
.
6. 目标函数形如z=|ax+by+c|型：
例6. 已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-+≥+-052040
2y x y x y x ，求z =|x+2y-4|的最大值.
图4
图5
图6
解：因为55
|
42||42|⋅-+=
-+=y x y x z ,所以z 可看作是可行域内任意一点（x,y ）到直线x+2y-4=0的距离的5倍.由图7知，点C 到直
线x+2y-4=0的距离最大,由⎩⎨⎧=--=+-0520
2y x y x 可得C （7，9）所以z max =|7+2
×9-4|=21.
7. 目标函数形如z=ax 2+by 2型：
例7.已知变量x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤+≤261y x y x y ，求z=4x 2+y 2的最值
解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），
由z=4x 2+y 2
得14
22=+z y z x ，目标函数z
的几何意义是椭圆长轴的平方，
当椭圆分别经过C （4，2），B （1，2，）时z 取最大值和最小值，max z =68，
min z =8.此题还可以进一步引申，求z=4x 2-y 2
的最值。
图7
图8。