北师大数学选修新素养应用案巩固提升:第二章 章末复习提升课巩固提升训练 含解析

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北师大数学选修23新素养应用案巩固提升:第二章 1 第1课时 离散型随机变量 含解析

北师大数学选修23新素养应用案巩固提升:第二章 1 第1课时 离散型随机变量 含解析

[A基础达标]1.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;②某人射击2次,击中的环数之和记为X;③一个在数轴上随机运动的质点,它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是()A.①②B.①③C.②③D.都不是解析:选A.①②中变量X所有可能的取值可以一一列举出来,是离散型随机变量,而③中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.2.抛掷两枚骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差,则X的所有可能的取值为()A.0≤X≤5,X∈NB.-5≤X≤0,X∈ZC.1≤X≤6,X∈ND.-5≤X≤5,X∈Z解析:选D.两次掷出点数均可取1~6所有整数,所以X∈[-5,5],X∈Z.3.下列变量中,不是离散型随机变量的是()A.某教学资源网1小时内被点击的次数B.连续不断射击,首次命中目标所需要的射击次数YC.某饮料公司出品的饮料,每瓶标量与实际量之差X1D.北京“鸟巢”在某一天的游客数量X答案:C4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为() A.X=4B.X=5C.X=6 D.X≤4解析:选C.第一次取到黑球,则放回1个球;第二次取到黑球,则放回2个球…共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.5.掷两颗骰子,所得点数之和为γ,那么γ=4表示的随机试验结果是()A.一颗是3点,一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点解析:选D.因为γ=4表示两个骰子之和为4,有(3,1),(1,3),(2,2),即γ=4表示的随机试验结果是一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点,故选D.6.给出下列四个命题:①某次数学期中考试中,其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量;②黄河每年的最大流量是随机变量;③某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;④方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量.其中正确的是________.解析:①②③是正确的,④中方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的,不是随机变量.答案:①②③7.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>4”表示的试验结果是________.解析:因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一,由已知得-5≤X≤5,也就是说“X>4”就是“X=5”.所以,“X>4”表示两枚骰子中第一枚为6点,第二枚为1点.答案:第一枚为6点,第二枚为1点8.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.解析:若答对0个问题得分-300;若答对1个问题得分-100;若答对2个问题得分100;若问题全答对得分300.答案:-300,-100,100,3009.判断下列各个变量是否是随机变量,若是,是否是离散型随机变量?(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号码;(2)体积为27 cm3的正方体的棱长.解:(1)抽出卡片的号码是不确定的,是随机变量.被抽取的卡片号码可以一一列出,符合离散型随机变量的定义,是离散型随机变量.(2)体积为27 cm 3的正方体的棱长为3 cm ,为定值,不是随机变量.10.写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量的取值表示的事件.(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件,其中次品件数X 是一个随机变量;(2)一袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数Y 是一个随机变量.解:(1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.X =0,表示“抽取0件次品”;X =1,表示“抽取1件次品”;X =2,表示“抽取2件次品”;X =3,表示“抽取3件次品”;X =4,表示“抽取4件次品”.(2)随机变量Y 的可能取值为0,1,2,3.Y =0,表示“取出0个白球,3个黑球”;Y =1,表示“取出1个白球,2个黑球”;Y =2,表示“取出2个白球,1个黑球”;Y =3,表示“取出3个白球,0个黑球”.[B 能力提升]11.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k 表示的试验结果为( )A .第k -1次检测到正品,而第k 次检测到次品B .第k 次检测到正品,而第k +1次检测到次品C .前k -1次检测到正品,而第k 次检测到次品D .前k 次检测到正品,而第k +1次检测到次品解析:选D.由题意,前ξ个均为正品,故ξ=k 表示前k 次检测到正品,第k +1次检测到次品.12.已知Y =2X 为离散型随机变量,Y 的取值为1,2,3,4,…,10,则X 的取值为________.解析:由Y =2X 得X =12Y . 因为Y 的取值为1,2,3,4, (10)所以X 的取值为12,1,32,2,52,3,72,4,92,5. 答案:12,1,32,2,52,3,72,4,92,5 13.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数X ,所含红粉笔的支数Y ;(2)离开天安门的距离Y ;(3)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数X .解:(1)X 可取1,2,3.{X =i }表示取出i 支白粉笔,3-i 支红粉笔,其中i =1,2,3.{Y =j }表示取出j 支红粉笔,3-j 支白粉笔,其中j =0,1,2.(2)Y 可取[0,+∞)中的数.Y =k 表示离开天安门的距离为k (km).不是离散型随机变量.(3)X 可取所有的正整数.{X =i }表示前i -1次取出红球,而第i 次取出白球,这里i ∈N +.是离散型随机变量.14.(选做题)投掷甲、乙两枚骰子,所得点数之和为X ,所得点数之和是偶数为Y .写出随机变量可能的取值,并说明所表示的随机试验结果.解:若以(i ,j )表示投掷甲、乙两枚骰子后,骰子甲得i 点且骰子乙得j 点.X 的可能取值为2,3,4,…,12.X =2表示(1,1);X =3表示(1,2),(2,1);X =4表示(1,3),(2,2),(3,1);…;X =12表示(6,6).Y 的可能取值为2,4,6,8,10,12.Y =2表示(1,1);Y =4表示(1,3),(2,2),(3,1);Y =6表示(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1);…Y =12表示(6,6).。

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升:第二章 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升:第二章 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除

[A 基础达标]1.下列四组函数中导数相等的是( ) A .f (x )=2与g (x )=2x B .f (x )=-sin x 与g (x )=cos x C .f (x )=2-cos x 与g (x )=-sin x D .f (x )=1-2x 2与g (x )=-2x 2+4解析:选D.选项D 中,f ′(x )=(1-2x 2)′=-4x ,g ′(x )=(-2x 2+4)′=-4x . 2.若f (x )=x 2-2x -4ln x ,则f ′(x )>0的解集为( ) A .(0,+∞) B .(-1,0)∪(2,+∞) C .(2,+∞)D .(-1,0)解析:选C.因为f ′(x )=2x -2-4x =2(x -2)(x +1)x ,又x >0,所以f ′(x )>0即x -2>0,解得x >2.3.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0等于( ) A .e 2 B .e C .ln 22D .ln 2解析:选B.f ′(x )=ln x +x ·1x =ln x +1,由f ′(x 0)=2,得ln x 0=1,则x 0=e.故选B.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2e x f ′(1)+3ln x ,则f ′(1)=( ) A .-3 B .2e C.21-2eD.31-2e 解析:选D.因为f ′(1)为常数, 所以f ′(x )=2e x f ′(1)+3x ,所以f ′(1)=2e f ′(1)+3, 所以f ′(1)=31-2e. 5.曲线y =x sin x 上点⎝⎛⎭⎫-π2,π2处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B .π2 C .2π2D.12(2+π)2 解析:选A.y ′=(x sin x )′=x ′sin x +x (sin x )′=sin x +x cos x . 当x =-π2时,k =sin ⎝⎛⎭⎫-π2+⎝⎛⎭⎫-π2cos ⎝⎛⎭⎫-π2=-1. 所以在点⎝⎛⎭⎫-π2,π2处的切线方程为y -π2=-⎝⎛⎭⎫x +π2,即y =-x . 所以y =-x 与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为π22.6.设f (x )=e x +x e +e a ,则f ′(x )=________. 解析:f ′(x )=(e x )′+(x e )′+(e a )′=e x +e x e -1. 答案:e x +e x e -17.已知函数f (x )=ax 4+bx 2+c ,若f ′(1)=2,则f ′(-1)=________. 解析:法一:由f (x )=ax 4+bx 2+c ,得 f ′(x )=4ax 3+2bx . 因为f ′(1)=2, 所以4a +2b =2, 即2a +b =1.则f ′(-1)=-4a -2b =-2(2a +b )=-2. 法二:因为f (x )是偶函数, 所以f ′(x )是奇函数, 所以f ′(-1)=-f ′(1)=-2. 答案:-28.已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________.解析:因为y =x +ln x , 所以y ′=1+1x,y ′|x =1=2.所以曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1), 即y =2x -1.因为 y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,所以a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -1,y =ax 2+(a +2)x +1,消去y ,得ax 2+ax +2=0. 由Δ=a 2-8a =0, 解得a =8. 答案:89.设f (x )=(ax +b )sin x +(cx +d )cos x ,若已知f ′(x )=x cos x ,求f (x )的解析式. 解:因为f ′(x )=[(ax +b )sin x ]′+[(cx +d )·cos x ]′=(ax +b )′sin x +(ax +b )(sin x )′+(cx +d )′cos x +(cx +d )(cos x )′ =a sin x +(ax +b )cos x +c cos x -(cx +d )sin x =(a -d -cx )sin x +(ax +b +c )cos x .又因为f ′(x )=x cos x ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -d =0,c =0,a =1,b +c =0,解方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0,c =0,d =1,因此f (x )=x sin x +cos x .10.已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为f ′(x ). (1)求f (1)+f ′(1);(2)若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,求实数a 的取值范围. 解:(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞), 由f (x )=ax 2+ln x ,得f ′(x )=2ax +1x,所以f (1)+f ′(1)=3a +1.(2)因为曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )=2ax +1x存在零点,即f ′(x )=0⇒2ax +1x =0有正实数解,即2ax 2=-1有正实数解,故有a <0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).[B 能力提升]11.等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,函数f (x )=x (x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8),则f ′(0)等于( ) A .212 B .29 C .28D .26解析:选A.因为f ′(x )=(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8)+x [(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8)]′, 所以f ′(0)=a 1a 2…a 8=(a 1a 8)4=84=212.12.若曲线C :y =x 3-2ax 2+2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a 的取值范围是________.解析:由于曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,故y ′=3x 2-4ax +2a >0恒成立,所以Δ=16a 2-24a <0,所以0<a <32.答案:⎝⎛⎭⎫0,32 13.已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.解:因为直线l 过原点, 所以直线l 的斜率k =y 0x 0(x 0≠0),因为点(x 0,y 0)在曲线C 上,所以y 0=x 30-3x 20+2x 0,所以y 0x 0=x 20-3x 0+2,又y ′=3x 2-6x +2,所以k =y ′|x =x 0=3x 20-6x 0+2, 又k =y 0x 0,所以3x 20-6x 0+2=y 0x 0=x 20-3x 0+2, 整理得2x 20-3x 0=0,因为x 0≠0,所以x 0=32,此时,y 0=-38,k =-14,所以直线l 的方程为y =-14x ,切点坐标为(32,-38).14.(选做题)已知函数f (x )=e x (cos x -sin x ),将满足f ′(x )=0的所有正数x 从小到大排成数列{x n },证明:数列{f (x n )}为等比数列.证明:f ′(x )=[e x (cos x -sin x )]′=e x (cos x -sin x )+e x (-sin x -cos x )=-2e x sin x , 因为f ′(x )=0,即-2e x sin x =0,又x 为正数, 解得x =n π,n 为正整数, 从而x n =n π,n =1,2,3,….所以f (x n )=e n π(cos n π-sin n π)=(-1)n e n π, f (x n +1)=(-1)n +1e (n +1)π,则f (x n +1)f (x n )=(-1)n +1e (n +1)π(-1)n e n π=-e π. 所以数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=-e π, 公比为q =-e π的等比数列.。

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升:第二章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 含解析

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升:第二章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 含解析

[A 基础达标]1.如果过函数y =f (x )图像上点A (3,a )的切线与直线2x +y +1=0平行,则f ′(3)=( ) A .2 B .-12C .-2D .12解析:选C.因为过点A (3,a )的切线与2x +y +1=0平行,所以过A 点的切线斜率f ′(3)=-2.2.已知曲线y =12x 2-2上一点P (1,-32),则在点P 处的切线的倾斜角为( )A .30°B .45°C .135°D .165°解析:选B.曲线y =12x 2-2在点P 处的切线斜率为k =limΔx →012(1+Δx )2-2-(12×12-2)Δx=lim Δx →0(1+12Δx )=1,所以在点P 处的切线的倾斜角为45°.故选B.3.已知曲线y =x 3上过点(2,8)的切线方程为12x -ay -16=0,则a =( ) A .-1 B .1 C .-2D .2解析:选B.由题意知切线斜率k =lim Δx →0(2+Δx )3-23Δx =lim Δx →0[12+6Δx +(Δx )2]=12,所以过点(2,8)的切线方程为y -8=12(x -2),即y =12x -16, 所以a =1.4.若y =f (x )=x 3,f ′(x 0)=3,则x 0的值是( ) A .1 B .-1 C .±1D .3 3 解析:选C.因为Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0)=(x 0+Δx )3-x 30=3x 20Δx +3x 0(Δx )2+(Δx )3,所以ΔyΔx=3x 20+3x 0Δx +(Δx )2,所以f ′(x 0)=lim Δx →0[3x 20+3x 0Δx +(Δx )2]=3x 20,由f ′(x 0)=3得3x 20=3,所以x 0=±1. 5. 如图,函数y =f (x )的图像在点P 的切线方程是y =-x +8,则f (5)+f ′(5)=( )A .2B .3C .4D .5解析:选A.由已知得f (5)=-5+8=3,f ′(5)=-1.所以f (5)+f ′(5)=-1+3=2.故选A. 6.已知函数y =f (x ),若f ′(x 0)>0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________.解析:由于f ′(x 0)>0,说明y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角. 答案:⎝⎛⎭⎫0,π27.已知f (x )=x 2+ax ,f ′(1)=4,曲线f (x )在x =1处的切线在y 轴上的截距为-1,则实数a 的值为________.解析:由导数的几何意义,得切线的斜率为k =f ′(1)=4.又切线在y 轴上的截距为-1,所以曲线f (x )在x =1处的切线方程为y =4x -1,从而可得切点坐标为(1,3),所以f (1)=1+a =3,即a =2.答案:28.已知f (x )在x =6处有导数,且f (6)=8,f ′(6)=3, 则lim x →6[f (x )]2-[f (6)]2x -6=________.解析:因为f ′(6)=3,所以lim x →6f (x )-f (6)x -6=3.所以lim x →6[f (x )]2-[f (6)]2x -6=lim x →6[f (x )-f (6)][f (x )+f (6)]x -6=[f (6)+f (6)]·f ′(6)=(8+8)×3=48. 答案:489.利用导数的定义求函数f (x )=12+3x在x =1处的导数.解:因为Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)Δx=12+3(1+Δx )-12+3×1Δx =-3Δx 5(5+3Δx )Δx =-35(5+3Δx ),所以f ′(1)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-35(5+3Δx )=-325.10.(1)求曲线f (x )=x 3+2x -1在点P (1,2)处的切线方程. (2)求过点Q (0,1)且与曲线f (x )=x 3+2x -1相切的直线方程. 解:(1)因为当x =1时, f (1)=1+2-1=2,所以点(1,2)在曲线f (x )=x 3+2x -1上, 所以切线的斜率为k =f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=lim Δx →0(1+Δx )3+2(1+Δx )-1-(1+2-1)Δx=lim Δx →0(Δx )3+3(Δx )2+5ΔxΔx=lim Δx →0[(Δx )2+3Δx +5]=5,所以在点P (1,2)处的切线方程为y -2=5(x -1),即5x -y -3=0. (2)当x =0时,f (0)=-1, 所以点(0,1)不在曲线y =f (x )上. 设切点为(x 0,y 0),由已知可得 k =f ′(x 0)=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →0(x 0+Δx )3+2(x 0+Δx )-1-(x 30+2x 0-1)Δx=3x 20+2.所以切线方程为y -y 0=(3x 20+2)(x -x 0). 又因为切线过点(0,1),所以1-y 0=(3x 20+2)(0-x 0), 又因为y 0=x 30+2x 0-1,所以x 30=-1,所以x 0=-1,所以y 0=-4,k =5. 所以切线方程为5x -y +1=0.[B 能力提升]11.曲线y =x +1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(-∞,1)D .(1,+∞)解析:选 C.y =x +1x上任意一点P (x 0,y 0)处的切线斜率为k =y ′|x =x 0=lim Δx →0(x 0+Δx )+1x 0+Δx -⎝⎛⎭⎫x 0+1x 0Δx=lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1x 20+x 0Δx =1-1x 20<1. 即k <1.12.函数y =4-x 2在x =1处的导数为________. 解析:作出函数y =4-x 2的图像如图.由导数的几何意义可知,函数y =4-x 2在x =1处的导数即为半圆在点P (1, 3)处的切线的斜率.所以k l = -1k OP =-13=-33. 答案:-3313.已知曲线y =x 2+1,问是否存在实数a ,使得经过点(1,a )能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,说明理由.解:存在.设切点为(t ,t 2+1),又Δy Δx =(t +Δx )2+1-(t 2+1)Δx =Δx +2t , 当Δx 趋于0时,ΔyΔx趋于2t ,即切线斜率k =2t ,所以切线方程为y -(t 2+1)=2t (x -t ),将(1,a )代入得t 2-2t +(a -1)=0, 因为有两条切线,所以Δ=(-2)2-4(a -1)>0, 解得a <2.14.(选做题)已知直线x +2y -4=0与抛物线y 2=2x 相交于A ,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的曲线段AOB 上求一点P ,使△ABP 的面积最大.解:由y 2=2x 及直线x +2y -4=0的位置关系可知,点P 应位于直线x +2y -4=0的下方.故令y =-2x ,由题意知曲线在点P 处的切线与直线x +2y -4=0平行. 设切点为(x 0,y 0),所以切线的斜率k =limΔx →0-2(x 0+Δx )+2x 0Δx=-22x 0,所以-22x 0=-12.所以x 0=2,所以切点坐标为(2,-2),此时该点为抛物线上与线段AB 的距离最大的点, 故点P (2,-2)即为所求.所以在抛物线的曲线段AOB 上存在点P (2,-2),使△ABP 的面积最大.。

2019-2020学年北师大版数学选修2-3新素养应用案巩固提升:第二章 概率 章末综合检测(二)

2019-2020学年北师大版数学选修2-3新素养应用案巩固提升:第二章 概率 章末综合检测(二)

章末综合检测(二)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.袋中共放有6个仅颜色不同的小球,其中3个红球,3个白球,每次随机任取1个球,共取2次,则下列不可作为随机变量的是( ) A .取到红球的次数 B .取到白球的次数 C .2次取到的红球总数 D .取球的总次数详细分析:选D.由随机变量的定义可得选项D 不是随机变量.2.在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个数,记Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”,则Y =2所对应的试验结果数为( ) A .4 B .20 C .30D .60详细分析:选C.Y =2所对应的试验结果有(1,2,4),(3,2,4),(5,2,4),(7,2,4),(9,2,4),(1,2,6),(3,2,6),(5,2,6),(7,2,6),(9,2,6),(1,2,8),(3,2,8),(5,2,8),(7,2,8),(9,2,8),(1,4,6),(3,4,6),(5,4,6),(7,4,6),(9,4,6),(1,4,8),(3,4,8),(5,4,8),(7,4,8),(9,4,8),(1,6,8),(3,6,8),(5,6,8),(7,6,8),(9,6,8),共计30种.3.设随机变量X 的分布列为P (X =i )=c ·⎝⎛⎭⎫23i,i =1,2,3,则c 等于( ) A.1738 B.2738 C.1719D.2719详细分析:选B.由分布列的性质, 得c ⎝⎛⎭⎫23+49+827=1,所以c =2738. 4.若随机变量η的分布列如下:则当P (η<x )=0.8A .(-∞,2] B .[1,2] C .(1,2]D .(1,2)详细分析:选C.P (η<-1)=0.1,P (η<0)=0.3,P (η<1)=0.5,P (η<2)=0.8.故当P (η<x )=0.8时,x ∈(1,2].5.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100 D.C 680C 420C 10100详细分析:选D.随机变量服从超几何分布,N =100,M =80,n =10.故P (X =6)=C 680C 420C 10100.6.100件产品,其中有30件次品,每次取出1件检验后放回,连续检验两次,恰有一次为次品的概率为( ) A .0.42 B .0.3 C .0.7 D .0.21详细分析:选A.设第一次抽取为正品的事件为A ,第二次抽取为正品的事件为B .则恰有一次为次品的概率为P (A B )+P (AB )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 7.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是( ) A.35 B.25 C.59 D.110详细分析:选C.记“第一次摸出正品”为事件A ,“第二次摸到正品”为事件B ,则P (A )=C 16C 19C 110C 19=35,P (AB )=C 16C 15C 110C 19=13.故P (B |A )=P ()AB P ()A =59. 8.已知随机变量ξ的分布列如表,则随机变量ξ的方差D ξ的最大值为( )A.0.72 B .0.6 C .0.24 D .0.48详细分析:选B.因为y +0.4+x =1,所以y =0.6-x . E ξ=0·y +1×0.4+2·x =2x +0.4,D ξ=(0-2x -0.4)2·(0.6-x )+(1-2x -0.4)2·0.4+(2-2x -0.4)2·x =-4x 2+2.4x +0.24,当x =0.3时,D ξ取最大值0.6.9.甲射手击中靶心的概率为13,乙射手击中靶心的概率为12.甲、乙两人各射击一次,那么56等于( )A .甲、乙都击中靶心的概率B .甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C .甲、乙至少有一人击中靶心的概率D .甲、乙不全击中靶心的概率详细分析:选D.设“甲、乙两人都击中靶心”的事件为A ,则P (A )=13×12=16,P (A )=1-P (A )=56.10.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为( ) A.564 B.1564 C.532 D.516详细分析:选C.甲以4比2获胜,则需打6局比赛且甲第6局胜,前5局胜3局,故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122×12=532.11.如果ξ~B (n ,p ),其中0<p <1,那么使P (ξ=k )取最大值的k 值( ) A .有且只有1个 B .有且只有2个 C .不一定有D .当(n +1)p 为正整数时有2个详细分析:选 D.P ()ξ=k +1P ()ξ=k ≥1⇔C k +1n pk +1q n -k -1C k n p k q n -k=()n -k p (k +1)q ≥1⇔(n -k )p ≥q (k +1)(其中q =1-p ),即 k ≤(n +1)p -1.从而当(n +1)p 为正整数,即当k =(n +1)p -1和k =(n +1)p 时,P (ξ=k )都取最大值,所以使P (ξ=k )取最大值的k 值有2个.12.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值x 1+x 22、x 2+x 32、x 3+x 42、x 4+x 52、x 5+x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则( ) A .D ξ1>D ξ2 B .D ξ1=Dξ2C .D ξ1<D ξ2D .D ξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关详细分析:选A.由条件可得,随机变量ξ1,ξ2的平均数相同,记为x ,则Dξ1=15[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 5-x )2],D ξ2=15⎣⎡⎝⎛⎭⎫x 1+x 22-x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+x 32-x 2+…⎦⎤+⎝⎛⎭⎫x 5+x 12-x 2. 所以Dξ1-Dξ2=120[(x 1-x 2)2+(x 2-x 3)2+…+(x 5-x 1)2]>0,即Dξ1>D ξ2,故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13.某射手射击所得的环数X 的分布列如下:如果命中8~10详细分析:从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3+0.25+0.05=0.6. 答案:0.614.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为______.详细分析:设“种子发芽”为事件A ,“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为P (B |A )=0.8, 又P (A )=0.9,P (B |A )=P ()AB P ()A , 得P (AB )=P (B |A )·P (A ) =0.8×0.9=0.72. 答案:0.7215.已知A 、B 、C 相互独立,如果P (AB )=16,P (B C )=18,P (AB C )=18,则P (A B )=______.详细分析:依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )=16,P (B )·P (C )=18,P (A )·P (B )·P ( C )=18, 解得P (A )=13,P (B )=12.所以P (A B )=23×12=13.答案:1316.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a ,b ,c ∈(0,1)).已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况),则ab 的最大值为______.详细分析:该运动员不得分的概率为c ,得2分的概率为b ,得3分的概率为a ,所以3a +2b =2,又2≥26ab ,则ab ≤16⎝⎛⎭⎫当且仅当a =13,b =12时取等号,故ab 的最大值为16. 答案:16三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图,用A ,B ,C ,D 四类不同的元件连接成两个系统N 1,N 2,当元件A ,B ,C ,D 都正常工作时,系统N 1正常工作;当元件A ,B 至少有一个正常工作,且C ,D 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.已知元件A ,B ,C ,D 正常工作的概率依次为0.8,0.9,0.9,0.7,分别求系统N 1,N 2正常工作的概率P 1,P 2.(元件A ,B ,C ,D 是否正常工作相互之间没有影响)解:N 1正常工作等价于A ,B ,C ,D 都正常工作,N 2正常工作等价于A ,B 中至少有一个正常工作,且C ,D 中至少有一个正常工作.分别记元件A ,B ,C ,D 正常工作为事件A ,B ,C ,D ,由已知P (A )=0.8,P (B )=0.9,P (C )=0.9,P (D )=0.7.P 1=P (ABCD )=P (A )P (B )·P (C )P (D )=0.8×0.9×0.9×0.7=0.453 6,P 2=[1-P (A -B -)]·[1-P (C -D -)]=[1-P (A -)·P (B -)]·[1-P (C -)·P (D -)]=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6. 18.(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图),这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若X =0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X 的分布列和数学期望.解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28=28种,当X =0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P (X =0)=828=27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为-2,-1,0,1,X =-2时,有2种情形;X =1时,有8种情形;X =-1时,有10种情形.所以X 的分布列为EX =(-2)×114+(-1)×514+0×27+1×27=-314.19.(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.(3)用X ,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X -Y |,求随机变量ξ的分布列.解:(1)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1,2,3,4), 则P (A i )=C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234-i.这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)=C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232=827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则B =A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥,故P (B )=P (A 3)+P (A 4)=C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23+C 44⎝⎛⎭⎫134=19. 所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥,A 0与A 4互斥, 故P (ξ=0)=P (A 2)=827,P (ξ=2)=P (A 1)+P (A 3)=4081,P (ξ=4)=P (A 0)+P (A 4)=1781.所以ξ的分布列是20.(本小题满分12分人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解:(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为EX=0.85a×=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.21.(本小题满分12分)一个口袋中有2个白球和n个红球(n≥2,且n∈N+),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率p;(2)若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率;(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p),当n为何值时,f(p)取最大值.解:(1)一次摸球从n +2个球中任选两个,有C 2n +2种选法,其中两球颜色相同有C 2n +C 22种选法;一次摸球中奖的概率p =C 2n +C 22C 2n +2=n 2-n +2n 2+3n +2.(2)若n =3,则一次摸球中奖的概率是p =25,三次摸球是三次独立重复试验,三次摸球中恰有一次中奖的概率是P 3(1)=C 13·p ·(1-p )2=54125. (3)三次摸球中恰有一次中奖的概率f (p )=C 13·p ·(1-p )2=3p 3-6p 2+3p ,0<p <1,因为f ′(p )=9p 2-12p +3=3(p -1)(3p -1), 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0,13是增函数,在⎝⎛⎭⎫13,1是减函数, 所以当p =13时,f (p )取最大值.所以p =n 2-n +2n 2+3n +2=13(n ≥2,n ∈N +),所以n =2,故n =2时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.22.(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率. 解:(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”,B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”,由题设知P (A )=0.5,P (B )=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本. 所以X 所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. P (X =4 000)=P (A )P (B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P (X =2 000)=P (A )P (B )+P (A )P (B ) =(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(C i)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.。

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升:第二章 变化率与导数 章末综合检测二 含解析

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章末综合检测(二)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若limΔx →0f (x 0)-f (x 0+Δx )Δx=1,则f ′(x 0)等于( )A.32 B.23 C .1D .-1解析:选D.原式=-limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=-f ′(x 0),也就是f ′(x 0)=-1.2.如果质点A 按规律s =2t 3运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A .6 B .18 C .54D .81解析:选C.因为s ′=6t 2,所以当t =3时,s ′=54,即t =3时的瞬时速度为54. 3.已知函数f (x )在x =1处的导数为3,则f (x )的解析式可能是( ) A .f (x )=(x -1)3+3(x -1) B .f (x )=2(x -1) C .f (x )=2(x -1)2D .f (x )=x -1解析:选A.利用排除法,分别对四个选项求导数f ′(x ),再求f ′(1).4.已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数,若f (x ),g (x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足( )A .f (x )=g (x )B .f (x )-g (x )为常数函数C .f (x )=g (x )=0D .f (x )+g (x )为常数函数解析:选B.设y =f (x )-g (x ),则y ′=f ′(x )-g ′(x )=0,所以f (x )-g (x )=c (常数). 5.已知y =2x 3+3x +cos x ,则y ′等于( )A .6x 2+x -23-sin xB .6x 2+x -23+sin x C .6x 2+13x -23+sin x D .6x 2+13x -23-sin x 解析:选D.y ′=(2x 3)′+(x 13)′+(cos x )′=6x 2+13x -23-sin x . 6.抛物线y =x 2+bx +c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx +y +c =0间的距离为( )A.24B.22C.322D. 2解析:选C.由抛物线过点(1,2),得b +c =1, 又f ′(1)=2+b ,即2+b =-b ,所以b =-1, 所以c =2,故所求切线方程为x -y +1=0.所以两平行直线x -y -2=0和x -y +1=0之间的距离为d =|-2-1|12+12=32=322.7.给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在D 上也可导,则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称函数f (x )在D 上为凸函数,以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0,π2上不是凸函数的是( )A .f (x )=sin x +cos xB .f (x )=ln x -2xC .f (x )=-x 3+2x -1D .f (x )=x e x解析:选D.对A ,f ′(x )=cos x -sin x ,f ″(x )=-sin x -cos x <0⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是凸函数;对B ,f ′(x )=1x -2,f ″(x )=-1x 2<0⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是凸函数;对C ,f ′(x )=-3x 2+2,f ″(x )=-6x <0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上是凸函数;对D ,f ′(x )=e x +x e x ,f ″(x )=e x +e x +x e x =e x (2+x )>0⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上不是凸函数,选D.8.设a >0,f (x )=ax 2+bx +c ,曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0,π4,则P 到曲线y =f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0,1a B.⎣⎡⎦⎤0,12aC.⎣⎡⎦⎤0,⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎡⎦⎤0,⎪⎪⎪⎪b -12a解析:选B.因为过点P (x 0,f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0,π4,且a >0,P 在对称轴的右侧或其顶点,所以P 到曲线y =f (x )的对称轴x =-b 2a 的距离d =x 0-⎝⎛⎭⎫-b 2a =x 0+b2a. 又因为f ′(x 0)=2ax 0+b ∈[0,1], 所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-b 2a,1-b 2a .所以d =x 0+b2a ∈⎣⎡⎦⎤0,12a . 9.下列图像中,有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ∈R ,a ≠0)的导函数f ′(x )的图像,则f (-1)等于( )A .-13B.13C.73D .-13或73解析:选A.f ′(x )=x 2+2ax +a 2-1=(x +a )2-1, 由a ≠0,知f ′(x )的图像为第(3)个. 因此f ′(0)=0,故a =-1, 所以f (-1)=-13.10.若函数f (x )=ln|x |-f ′(-1)x 2+3x +2,则f ′(1)=( ) A .2 B .-2 C .8D .10 解析:选C.当x >0时,f (x )=ln x -f ′(-1)x 2+3x +2, f ′(x )=1x -2f ′(-1)x +3,f ′(1)=4-2f ′(-1);① 当x <0时,f (x )=ln(-x )-f ′(-1)x 2+3x +2, f ′(x )=1x-2f ′(-1)x +3,f ′(-1)=2+2f ′(-1).② 由①②,得f ′(1)=8.故选C.11.设某商品的需求函数为Q =100-5P ,其中Q ,P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性EQ EP 大于1,其中EQEP =-Q ′QP ,Q ′是Q 的导数,则商品价格P 的取值范围是( )A .(0,10)B .(10,20)C .(20,30)D .(20,+∞)解析:选B.EQ EP =-Q ′Q P =--5100-5P ·P =P20-P ,由EQ EP >1得P 20-P-1>0, 即2P -2020-P>0,解得10<P <20.故选B. 12.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N +)的前n 项和是( )A.1n +1B.n n +1C.2n +1n +1D.2n n +1解析:选B.f ′(x )=mxm -1+a =2x +1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m =2,a =1.则f (x )=x 2+x ,1f (n )=1n (n +1)=1n -1n +1,其和为⎝⎛⎭⎫11-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=nn +1. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +2,则函数y =f (x )的解析式为________.解析:设f (x )=a (x -m )2(a ≠0), 则f ′(x )=2a (x -m )=2ax -2am =2x +2, 所以a =1,m =-1,所以f (x )=(x +1)2=x 2+2x +1. 答案:f (x )=x 2+2x +114.曲线y =33x 2+1在点(1,34)处的切线方程为________. 解析:y =33x 2+1=(3x 2+1)13,y ′=13·(3x 2+1)-23·(3x 2+1)′ =13·(3x 2+1) -23·6x =2x (3x 2+1) -23, y ′|x =1=2·4-23=132,则切线方程为y -34=132(x -1),即x -32y +1=0. 答案:x -32y +1=0 15.函数f (x )=mx 2m+n的导数为f ′(x )=4x 3,则m +n =________.解析:因为f ′(x )=m (2m +n )x 2m +n -1=4x 3,所以⎩⎪⎨⎪⎧m (2m +n )=4,2m +n -1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =2,所以m +n =3. 答案:316.已知函数f (x )=13x 3-12⎝⎛⎭⎫a +1a x 2+x (a >0),则f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率最大时的切线方程是________.解析:f ′(x )=x 2-⎝⎛⎭⎫a +1a x +1,故f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率k =2-⎝⎛⎭⎫a +1a ,显然当a =1时,a +1a 最小,k 最大为0,又f (1)=13,所以切线方程为y =13.答案:y =13三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h (单位:m)与时间t (单位:s)之间的关系式为h (t )=-4.9t 2+14.7t +18,求烟花在t =2 s 时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况.解:烟花在t =2 s 时的瞬时速度就是h ′(2). 而ΔhΔt =h (2+Δt )-h (2)Δt =(-4.9-4.9Δt )(m/s). 所以h ′(2)=lim Δt →0ΔhΔt =lim Δt →0(-4.9-4.9Δt )=-4.9(m/s).即在t =2 s 时,烟花正以4.9 m/s 的速度下降. 如图,结合导数的几何意义,我们可以看出:在t =1.5 s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂;在0~1.5 s 之间,曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在1.5 s 后,曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地.18.(本小题满分12分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s (单位:m)关于时间t (单位:s)的函数为y =s (t )=5-25-9t 2.求函数在t =715时的导数,并解释它的实际意义.解:函数y =5-25-9t 2可以看作函数f (x )=5-x 和x =φ(t )=25-9t 2的复合函数,其中x 是中间变量.由导数公式表可得f ′(x )=-12x -12,φ′(t )=-18t .再由复合函数求导法则得y ′t =s ′(t )=f ′(x )φ′(t )=⎝⎛⎭⎫-12x -12·(-18t )=9t 25-9t 2,将t =715代入s ′(t ),得s ′⎝⎛⎭⎫715=0.875(m/s). 它表示当t =715时,梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.19.(本小题满分12分)(1)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 过点(1,5),其导函数y =f ′(x )的图像如图所示,求f (x )的解析式.(2)设函数f (x )=a e x +1a e x +b (a >0).曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =32x ,求a ,b 的值.解:(1)因为f ′(x )=3ax 2+2bx +c , 且f ′(1)=0, f ′(2)=0, f (1)=5,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a +2b +c =0,12a +4b +c =0,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-9,c =12,所以函数y =f (x )的解析式为f (x )=2x 3-9x 2+12x . (2)f ′(x )=a e x -1a e x ,所以f ′(2)=a e 2-1a e 2=32,解得a e 2=2或a e 2=-12(舍去),所以a =2e 2,代入原函数可得2+12+b =3,即b =12,故a =2e 2,b =12.20.(本小题满分12分)已知曲线y =x 3+x -2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x -y -1=0,且点P 0在第三象限,(1)求P 0的坐标;(2)若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程. 解:(1)由y =x 3+x -2,得y ′=3x 2+1,由已知得3x 2+1=4,解得x =±1.当x =1时,y =0;当x =-1时,y =-4. 又因为点P 0在第三象限, 所以切点P 0的坐标为(-1,-4). (2)因为直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,所以直线l 的斜率为-14,因为l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),所以直线l 的方程为y +4=-14(x +1),即x +4y +17=0.21.(本小题满分12分)已知f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=x 2+cx +d ,又f (2x +1)=4g (x ), f ′(x )=g ′(x ),f (5)=30.求g (4).解:题设中有四个参数a ,b ,c ,d ,为确定它们的值需要四个方程.由f (2x +1)=4g (x ),得:(2x +1)2+a (2x +1)+b =4x 2+4cx +4d ,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a +2=2c ,①a +b +1=4d ,②由f ′(x )=g ′(x ),得:2x +a =2x +c ,所以a =c .③ 由f (5)=30,得:25+5a +b =30,④ 由①③可得a =c =2.由④得b =-5. 再由②得d =-12.所以g (x )=x 2+2x -12.故g (4)=16+8-12=472.22.(本小题满分12分)设函数f (x )=13x 3-a2x 2+bx +c ,其中a >0.曲线y =f (x )在点P (0,f (0))处的切线方程为y =1.(1)确定b ,c 的值;(2)设曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))及(x 2,f (x 2))处的切线都过点(0,2),证明:当x 1≠x 2时,f ′(x 1)≠f ′(x 2).解:(1)由f (x )=13x 3-a2x 2+bx +c ,得f (0)=c ,f ′(x )=x 2-ax +b ,f ′(0)=b .又由曲线y =f (x )在点P (0,f (0))处的切线方程为y =1,得f (0)=1,f ′(0)=0. 故b =0,c =1.(2)证明:f (x )=13x 3-a2x 2+1,f ′(x )=x 2-ax ,由于点(t ,f (t ))处的切线方程为y -f (t )=f ′(t )(x -t ),而点(0,2)在切线上,所以2-f (t )=f ′(t )(-t ),化简得23t 3-a 2t 2+1=0,即t 满足的方程为23t 3-a2t 2+1=0.下面用反证法证明:假设f ′(x 1)=f ′(x 2),由于曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))及(x 2,f (x 2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:⎩⎨⎧23x 31-a 2x 21+1=0,①23x 32-a2x 22+1=0,②x 21-ax 1=x 22-ax 2.③由③,得x 1+x 2=a .由①-②,得x 21+x 1x 2+x 22=34a 2.④ 又x 21+x 1x 2+x 22=(x 1+x 2)2-x 1x 2=a 2-x 1(a -x 1)=x 21-ax 1+a 2=⎝⎛⎭⎫x 1-a 22+34a 2≥34a 2,故由④得x 1=a 2,此时x 2=a2与x 1≠x 2矛盾,所以f ′(x 1)≠f ′(x 2).。

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升:第二章章末复习提升课 含解析

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章末复习提升课1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°,180°).(2)k =⎩⎪⎨⎪⎧tan α,α≠90°,不存在,α=90°.(3)斜率的求法:①依据直线方程;②依据倾斜角;③依据两点的坐标. 2.两条直线的位置关系 设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则(1)平行⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0. (2)相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0.(3)重合⇔A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0)或A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2(A 2B 2C 2≠0).3.距离公式(1)两点间的距离公式: 已知点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), 则|P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.(2)点到直线的距离公式:①点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2;②两平行直线l 1:Ax +By +C =0与l 2:Ax +By +D =0的距离d =|C -D |A 2+B 2. 4.点和圆的位置关系设点P (x 0,y 0)及圆的方程(x -a )2+(y -b )2=r 2. (1)(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2⇔点P 在圆外. (2)(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2⇔点P 在圆内. (3)(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2⇔点P 在圆上. 5.直线与圆的位置关系设直线l 与圆C 的圆心之间的距离为d ,圆的半径为r ,则 d >r →相离;d =r →相切;d <r →相交. 6.圆与圆的位置关系设C 1与C 2的圆心距为d ,半径分别为r 1与r 2,则位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1+r 2 d =r 1+r 2 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2 d =|r 1-r 2| d <|r 1-r 2| (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |=1+k 2|x A -x B |=(1+k 2)[(x A +x B )2-4x A x B ].注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.1.明确直线的倾斜角与斜率的关系(1)倾斜角是角度,是倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便.(2)倾斜角可正可零不可为负,而斜率k 不仅可正,可零,而且可以为负.2.讨论斜率的情况:在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时,特别要注意直线的斜率不存在的情况.3.点到直线的距离公式的应用在应用点到直线的距离公式时,一定要把直线化为一般式,明确系数A ,B ,C . 4.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆应满足的条件: (1)A =C ≠0,(2)B =0,(3)D 2+E 2-4AF >0. 5.画空间直角坐标系的三大注意事项(1)x 轴与y 轴成135°(或45°),x 轴与z 轴成135°(或45°).(2)y 轴垂直于z 轴,y 轴和z 轴的单位长度相等,x 轴的单位长度等于y 轴单位长度的一半.(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题.圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a =( ) A .-43B .-34C. 3D .2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x -1)2+(y -4)2=4,故该圆的圆心为(1,4),由点到直线的距离公式得d =|a +4-1|a 2+1=1,解得a =-43,故选A.[答案] A已知直线l :mx +y +3m -3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点.若|AB |=23,则|CD |=________.[解析] 设圆心到直线l :mx +y +3m -3=0的距离为d ,则弦长|AB |=212-d 2=23,得d =3, 即||3m -3m 2+1=3,解得m=-33,则直线l:x-3y+6=0,数形结合可得|CD|=|AB|cos 30°=4.[答案] 4最值问题解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标,可用于解决生活中的一些实际问题,本章主要研究直线与圆中的最值及动点轨迹等.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求yx的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.[解]原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆.(1)设yx=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值,此时有|2k-0|k2+1=3,解得k=±3,故yx的最大值是3,最小值是- 3.(2)设y-x=b,即y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时b取得最大值和最小值,此时|2-0+b|2=3,解得b=-2±6,故y-x的最大值为-2+6,最小值为-2- 6.(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何的知识知,其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值,又知圆心到原点的距离为2,故x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,最小值为(2-3)2=7-4 3.圆的切线方程问题求圆的切线的问题经常出现,主要有以下三类.(1)求过圆上一点的圆的切线方程已知圆x2+y2=r2,M(x0,y0)是圆上一点,则过点M的圆的切线方程为xx0+yy0=r2.一般地,若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,则过切点M (x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(2)求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程,一般设为点斜式,运用待定系数法或判别式法求出斜率k ,但用点斜式表示直线方程的前提是斜率必须存在.过圆外一点可以作圆的两条切线,如果只有一解,那么一定有一条切线斜率不存在,这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来.(3)已知斜率求圆的切线斜率为k 且与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2相切的切线方程的求法:①先设切线方程为y =kx +m ,然后化成一般式kx -y +m =0,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ;②设切线方程为y =kx +m ,与圆的方程(x -a )2+(y -b )2=r 2联立,化为关于x 的一元二次方程,利用判别式为0求出m .过点P (-2,0)向圆x 2+y 2=1引切线,求切线的方程. [解] 设所求切线的斜率为k , 则切线方程为y =k (x +2).由题意联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),x 2+y 2=1,即(k 2+1)x 2+4k 2x +4k 2-1=0.由题意知上述一元二次方程有两相等实根,所以Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=-12k 2+4=0,即k =±33,所以所求切线的方程为y=±33(x +2).1.直线ax +by +c =0同时要经过第一、二、四象限,则a ,b ,c 应满足( ) A .ab >0,bc <0 B .ab <0,bc >0 C .ab >0,bc >0D .ab <0,bc <0解析:选A.由题意知,直线的斜率小于0,直线在y 轴上的截距大于0,从而ab >0,bc <0. 2.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0解析:选D.设圆心为(a ,0)(a >0), 则圆心到直线3x +4y +4=0的距离等于2, 即3a +432+42=2,解得a =2.故圆的方程为(x -2)2+y 2=4.3.对任意实数k ,圆C :(x -3)2+(y -4)2=13与直线l :kx -y -4k +3=0的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .与k 取值有关解析:选D.圆心(3,4)到直线距离d =|3k -4-4k +3|k 2+1=|k +1|k 2+1与k 取值有关,故选D.4.如果直线ax +3y +2=0与直线3ax -y -2=0垂直,那么a =________. 解析:由题意得a ·3a -3=0,解得a =±1. 答案:±15.设圆(x -3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1,则圆半径r 的取值范围是________.解析:注意到圆心C (3,-5)到已知直线的距离为|4×3-3×(-5)-2|42+(-3)2=5,结合图形可知有两个极端情形: 其一是如图所示的小圆,半径为4; 其二是如图所示的大圆,其半径为6, 故4<r <6.答案:(4,6)6.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=4,直线l 1过定点A (1,0).(1)若l 1与圆相切,求l 1的方程;(2)若l 1与圆相交于P ,Q 两点,线段PQ 的中点为M ,又l 1与l 2:x +2y +2=0的交点为N ,求证:AM ·AN 为定值.解:(1)①若直线l 1的斜率不存在,即直线是x =1,符合题意. ②若直线l 1斜率存在, 设直线l 1为y =k (x -1), 即kx -y -k =0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2,即|3k -4-k |k 2+1=2,解之得k =34.所求直线方程是x =1或3x -4y -3=0.(2)证明:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx -y -k =0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +2=0,kx -y -k =0得 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k -22k +1,-3k 2k +1. 又直线CM 与l 1垂直,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -k ,y -4=-1k (x -3)得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2+4k +31+k 2,4k 2+2k 1+k 2. 所以AM ·AN = |y M -0|1+1k2·|y N -0| 1+1k2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2+2k 1+k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-3k 2k +1k 2+1k 2 =6为定值.。

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升:第二章223第2课时 圆与圆的位置关系 含解析

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升:第二章223第2课时 圆与圆的位置关系 含解析

第2课时 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定 (1)几何方法已知两圆C 1:(x -x 1)2+(y -y 1)2=r 21, C 2:(x -x 2)2+(y -y 2)2=r 22,则圆心分别为C 1(x 1,y 1),C 2(x 2,y 2),半径分别为r 1,r 2, 圆心距d =|C 1C 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 则两圆C 1,C 2有以下位置关系:两圆位置关系图形情况 d 与r 1、r 2的关系相离d >r 1+r 2 外切d =r 1+r 2 相交|r 2-r 1|<d <r 1+r 2 内切d =|r 2-r 1|内含d <|r 2-r 1|(2)代数方法设两圆方程分别为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0相交Δ=0相切Δ<0内含,相离. 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交, 有一组实数解⇔两圆相切, 无实数解⇔两圆相离或内含.1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点,那么这两个圆相离.( )(2)两圆方程联立,若有两个不同解,则两圆相交.()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含.()(4)若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×2.圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+2)2=9的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:选B.圆心距d=(-2-1)2+(-2-2)2=5,两圆半径的和r1+r2=2+3=5,则d=r1+r2,即两圆外切.3.若圆x2+y2=9与圆(x-4)2+(y+3)2=r有3条公切线,则实数r的值为()A.8 B.64C.2 D.4解析:选D.两圆有3条公切线,即两圆外切,两圆圆心距d=(0-4)2+(0+3)2=5,所以有5=3+r,解得r=4.4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a=________.解析:圆x2+y2-2ax+a2-1=0,配方得(x-a)2+y2=1,两圆的连心线长为(a-0)2+02=|a|=2-1,解得a=±1.答案:±15.已知圆O1与圆O2的方程分别为(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r>1),若两圆相交,则r的取值范围是________.答案:(1,3)1.两圆的公切线问题(1)公切线的条数判断因两圆位置关系变化而变化①两圆外离时有4条,其中2条内公切线,2条外公切线;②两圆外切时有3条,其中1条内公切线,2条外公切线;③两圆相交时有2条,只有2条外公切线;④两圆内切时有1条,只有1条外公切线;⑤两圆内含时无公切线.(2)公切线的求法:由于公切线与两圆都相切,所以圆心到切线的距离都等于圆的半径,故可设公切线方程为y =kx +b (注意斜率不存在的情况).由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径,联立方程组即可求解.(3)公切线的长度:一定要结合几何图形,利用构造直角三角形,两点间的距离公式等方法灵活求解.2.两圆相交时公共弦问题(1)设圆O 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0, 圆O 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0. 则两圆相交公共弦所在直线方程为:(x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1)-(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,即(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题,从而得以解决,如图,利用圆O 1,首先求出O 1点到相交弦所在直线的距离d ,而|AC |=12|AB |,所以14|AB |2=r 21-d 2,即|AB |=2r 21-d 2,从而得以解决.圆与圆的位置关系的判定已知圆C 1:x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0和圆C 2:x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,当m 为何值时,(1)两圆相外切;(2)两圆内含.[解] 两圆的方程分别化为C 1:(x -m )2+(y +2)2=9,C 2:(x +1)2+(y -m )2=4,所以两圆的圆心坐标分别为C 1(m ,-2)和C 2(-1,m ),两圆的半径分别为r 1=3,r 2=2.(1)如果两圆相外切, 则有(m +1)2+(-2-m )2=3+2,即m 2+3m -10=0, 解得m =-5或m =2. (2)当两圆内含时, 则有(m +1)2+(-2-m )2<3-2,即m2+3m+2<0,解得-2<m<-1.所以当m=-5或m=2时两圆相外切,当-2<m<-1时两圆内含.在本例中,条件不变,若两圆相内切、相交,结果如何?解:如果两圆相内切,则有(m+1)2+(-2-m)2=3-2,即m2+3m+2=0,解得m=-2或m=-1.如果两圆相交,则有3-2<(m+1)2+(-2-m)2<3+2,解得-5<m<-2或-1<m<2.判定两圆位置关系的步骤(1)将圆的方程化为标准式,求出圆心和半径.(2)计算圆心距,半径和、半径差的绝对值.(3)利用圆心距,半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系.1.圆C1与圆C2的半径是方程x2-3x+1=0的两个根,d为两圆的圆心距,求当C1与C2(1)外切;(2)外离;(3)内切;(4)内含时,d的取值范围.解:设两圆C1、C2的半径分别为r1、r2,则r1+r2=3,r1r2=1,所以|r1-r2|=(r1+r2)2-4r1r2=32-4×1=5,(1)当C1与C2外切时,d=3;(2)当C1与C2外离时,d>3;(3)当C1与C2内切时,d=5;(4)当C1与C2内含时,0≤d< 5.圆与圆相切的问题已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m取何值时两圆外切;(2)m取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么.[解]两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m.圆心分别为C1(1,3),C2(5,6).半径分别为11和61-m .(1)当两圆外切时,(5-1)2+(6-3)2=11+61-m .解得m =25+1011.(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故有61-m -11=5.解得m =25-1011.因为k c 1c 2=6-35-1=34,所以两圆公切线的斜率是-43,设切线方程为y =-43x +b ,则有⎪⎪⎪⎪43×1+3-b ⎝⎛⎭⎫432+1=11.解得b =133±5311.容易验证,当b =133+5311,直线与另一圆相交,故所求公切线方程为y =-43x +133-5311.即4x +3y +511-13=0.求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数. (2)设出公切线的方程.(3)利用切线性质建立所设字母的方程,求解字母的值. (4)验证特殊情况下的直线是否为公切线. (5)归纳总结.[注意] 对于求公切线问题,不要漏解,应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数.2.(1)若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =( )A .21B .19C .9D .-11(2)求与圆x 2+y 2-2x =0外切且与直线x +3y =0相切于点M (3,-3)的圆的方程. 解:(1)选C.圆C 2的标准方程为(x -3)2+(y -4)2=25-m . 又圆C 1:x 2+y 2=1,所以|C 1C 2|=5. 又因为两圆外切,所以5=1+25-m ,解得m =9.(2)圆方程x 2+y 2-2x =0化为(x -1)2+y 2=1,设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a -1)2+b 2=r +1,|a +3b |2=r ,b +3a -3=3,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =0,r =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =-43r =6.,所以所求圆的方程为(x -4)2+y 2=4或x 2+(y +43)2=36.圆与圆相交的问题已知圆C 1:x 2+y 2-2x +10y -24=0和圆C 2:x 2+y 2+2x +2y -8=0. (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度.[解] (1)将两圆方程化为标准方程,圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50,圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.则圆C 1的圆心为C 1(1,-5),半径r 1=52;圆C 2的圆心为C 2(-1,-1),半径r 2=10.又|C 1C 2|=25,r 1+r 2=52+10,r 1-r 2=52-10, 所以|r 1-r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2,所以两圆相交. (2)两方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x +10y -24=0,x 2+y 2+2x +2y -8=0,两式相减得x -2y +4=0,即为两圆相交弦所在直线的方程. (3)法一:两方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x +10y -24=0,①x 2+y 2+2x +2y -8=0,② 两式相减得x =2y -4,③把③代入②得y 2-2y =0,所以y 1=0,y 2=2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-4,y 1=0,或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0,y 2=2,所以交点坐标为(-4,0)和(0,2).所以两圆的公共弦长为(-4-0)2+(0-2)2=2 5.法二:由x 2+y 2-2x +10y -24=0,得(x -1)2+(y +5)2=50,其圆心为C 1(1,-5),半径r 1=5 2.由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x -2y +4=0, 所以圆心C 1到直线x -2y +4=0的距离 d =|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=3 5.设公共弦长为2l ,由勾股定理r 2=d 2+l 2,得50=45+l 2,解得l =5,所以公共弦长2l =2 5.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法,常用如下方法:[注意] (1)当两圆相切时,两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程. (2)当两圆外离时,方程作差也能得一条直线方程,但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程.3.求过两圆x 2+y 2=25和(x -1)2+(y -1)2=16的交点且面积最小的圆的方程.解:圆x 2+y 2=25和(x -1)2+(y -1)2=16的公共弦所在直线的方程为x 2+y 2-25-[(x -1)2+(y -1)2-16]=0,即2x +2y -11=0,过直线2x +2y -11=0与圆x 2+y 2=25的交点的圆系方程为x 2+y 2-25+λ(2x +2y -11)=0,即x 2+y 2+2λx +2λy -(11λ+25)=0.依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x +2y -11=0上.即-2λ-2λ-11=0,则λ=-114,代回圆系方程得所求圆方程为⎝⎛⎭⎫x -1142+⎝⎛⎭⎫y -1142=798.思想方法 巧用圆系方程解题求圆心在直线x +y =0上,且过两圆x 2+y 2-2x +10y -24=0和x 2+y 2+2x +2y-8=0的交点的圆的方程.[解] 设所求圆的方程为x 2+y 2-2x +10y -24+λ(x 2+y 2+2x +2y -8)=0,即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(2λ-2)x +(2λ+10)y -8λ-24=0, 同除以1+λ可得, x 2+y 2+2λ-21+λx +2λ+101+λy -8λ+241+λ=0, 此圆的圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-λ-11+λ,-λ+51+λ. 又因为圆心在直线x +y =0上, 所以-λ-11+λ-λ+51+λ=0,得λ=-2.所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x -6y +8=0.(1)一般地,过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆的方程可设为:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠-1),然后再由其他条件求出λ,即可得圆的方程.(2)利用圆系,恰当设出所求圆的方程是解本题的关键,将方程整理后,圆心坐标的表示要准确.最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程).1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4y=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交解析:选D.圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(0,-2),半径r2=2,|O1O2|=5,r1+r2=3,r2-r1=1,所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,则两圆相交.2.以点(2,-2)为圆心且与圆x2+y2+2x-4y+1=0外切的圆的方程是()A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=16D.(x-2)2+(y+2)2=16解析:选B.由x2+y2+2x-4y+1=0得(x+1)2+(y-2)2=4,圆心(-1,2),半径r1=2,故所求的圆的半径:r2=(2+1)2+(-2-2)2-2=5-2=3,则所求的圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=9,故选B.3.两圆C1:x2+y2=a与C2:x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为________.解析:x2+y2+6x-8y-11=0⇔(x+3)2+(y-4)2=36,从而C1(0,0),r1=a,C2(-3,4),r2=6,因为C1与C2内切,所以|C1C2|=|r2-r1|,5=|6-a|,所以a=1或121.答案:1或1214.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2+2x -6y +1=0,①x 2+y 2-4x +2y -11=0②的解, ①-②得:3x -4y +6=0.因为A ,B 两点坐标都满足此方程,所以3x -4y +6=0即为两圆公共弦所在的直线方程,易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r =3.又C 1到直线AB 的距离为d =|-1×3-4×3+6|32+(-4)2=95.所以|AB |=2r 2-d 2=232-⎝⎛⎭⎫952=245. 即两圆的公共弦长为245., [学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1.已知圆C 1与C 2相切,圆心距为10,其中圆C 1的半径为4,则圆C 2的半径为( ) A .6或14 B .10 C .14D .不确定解析:选A.由题意知,r +4=10或10=|r -4|,解得r =6或r =14.2.两圆x 2+y 2-2y -3=0与x 2+y 2+2x =0的公共弦所在的直线方程为( ) A .2x -2y -3=0 B .2x -2y +3=0 C .2x +2y +3=0 D .2x +2y -3=0解析:选C.两圆方程相减得2x +2y +3=0.即为两圆的公共弦所在的直线方程. 3.圆x 2+y 2+4x -4y +7=0与圆x 2+y 2-4x +10y +13=0的公切线的条数是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选D.两圆的圆心距d =(-2-2)2+(2+5)2=65,半径分别为r 1=1,r 2=4,则d >r 1+r 2,所以两圆相离,因此它们有4条公切线.4.⊙A ,⊙B ,⊙C 两两外切,半径分别为2,3,10,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形解析:选B.△ABC 的三边长分别为5,12,13,52+122=132,所以△ABC 为直角三角形.5.两圆相交于点A (1,3),B (m ,-1),两圆的圆心均在直线x -y +c =0上,则m +c 的值为( )A .-1B .2C .3D .0 解析:选C.由题意知,AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m +12,1在直线x -y +c =0上,所以m +12-1+c =0,m +2c =1.又直线AB 的斜率k AB =3-(-1)1-m =41-m =-1, 所以m =5,c =-2.故m +c =3,故选C.6.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2+(y -3)2=1内切,则此圆的方程为________. 解析:由题设知,圆心为(a ,6),R =6, 所以(a -0)2+(6-3)2=6-1,所以a 2=16.所以a =±4,所以所求圆的方程为(x ±4)2+(y -6)2=36.答案:(x ±4)2+(y -6)2=367.圆x 2+y 2+2x -4y +3=0与圆x 2+y 2-4x +2y +3=0上的点之间的最短距离是__________.解析:由x 2+y 2+2x -4y +3=0得(x +1)2+(y -2)2=2,由x 2+y 2-4x +2y +3=0得(x -2)2+(y +1)2=2,两圆圆心距为(-1-2)2+(2+1)2=32>22,故两圆外离,则两圆上的点之间的最短距离是32-2-2= 2. 答案: 28.若圆O 1:x 2+y 2=5与圆O 2:(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________.解析:由题意知O 1(0,0),O 2(m ,0),且5<|m |<35,又O 2A ⊥AO 1,所以有m 2=(5)2+(25)2=25⇒m =±5,所以|AB |=2×5×205=4. 答案:49.求与已知圆x 2+y 2-7y +10=0相交,所得公共弦平行于已知直线2x -3y -1=0,且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程.解:公共弦所在直线的斜率为23,已知圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0,72,故两圆圆心所在直线的方程为y -72=-32x , 即3x +2y -7=0.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由⎩⎪⎨⎪⎧(-2)2+32-2D +3E +F =0,12+42+D +4E +F =0,3⎝⎛⎭⎫-D 2+2⎝⎛⎭⎫-E 2-7=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =2,E =-10,F =21.所以所求圆的方程为x 2+y 2+2x -10y +21=0.10.已知圆C 1:x 2+y 2-4x +2y =0,C 2:x 2+y 2-2y -4=0交于A ,B 两点.(1)求过A ,B 两点的直线方程;(2)求过A ,B 两点且圆心在直线2x +4y =1上的圆的方程.解:(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-4x +2y =0,x 2+y 2-2y -4=0.两式相减并整理得:x -y -1=0,所以过A ,B 两点的直线方程为x -y -1=0.(2)依题意:设所求圆的方程为x 2+y 2-4x +2y +λ(x 2+y 2-2y -4)=0,其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21+λ,λ-11+λ, 因为圆心在直线2x +4y =1上,所以2·21+λ+4·λ-11+λ=1,解得λ=13,所以所求圆的方程为:x 2+y 2-3x +y -1=0. [B 能力提升]11.已知半径为1的动圆与圆(x -5)2+(y +7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A .(x -5)2+(y +7)2=25B .(x -5)2+(y +7)2=17或(x -5)2+(y +7)2=15C .(x -5)2+(y +7)2=9D .(x -5)2+(y +7)2=25或(x -5)2+(y +7)2=9解析:选D.设动圆圆心坐标为(x ,y ),当两圆内切时有(x -5)2+(y +7)2=4-1,即(x -5)2+(y +7)2=9,当两圆外切时有(x -5)2+(y +7)2=4+1,即(x -5)2+(y +7)2=25.12.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x -a )2+y 2=1与圆x 2+(y -b )2=1的位置关系是________.解析:因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y -b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x -a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则d =|C 1C 2|=a 2+b 2=4=2, 所以d =r 1+r 2,所以两圆外切.答案:外切13.已知圆A :x 2+y 2+2x +2y -2=0,若圆B 平分圆A 的周长,且圆B 的圆心在直线l :y =2x 上,求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程.解:设圆B 的半径为r ,因为圆B 的圆心在直线l :y =2x 上,所以圆B 的圆心可设为(t ,2t ),所以圆B 的方程是(x -t )2+(y -2t )2=r 2,即x 2+y 2-2tx -4ty +5t 2-r 2=0.①因为圆A 的方程为x 2+y 2+2x +2y -2=0,②所以②-①,得两圆的公共弦所在直线的方程为(2+2t )x +(2+4t )y -5t 2+r 2-2=0.③因为圆B 平分圆A 的周长,所以圆A 的圆心(-1,-1)必须在公共弦上, 于是将x =-1,y =-1代入方程③并整理得r 2=5t 2+6t +6=5⎝⎛⎭⎫t +352+215≥215, 所以当t =-35时,r min =215. 此时,圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x +352+⎝⎛⎭⎫y +652=215. 14.(选做题)已知圆O 1的方程为x 2+(y +1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程,并求内公切线方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且|AB |=22,求圆O 2的方程. 解:(1)由两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=2(2-1),故圆O 2的方程是:(x -2)2+(y -1)2=4(2-1)2.两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程为x +y +1-22=0.(2)设圆O 2的方程为:(x -2)2+(y -1)2=r 22, 因为圆O 1的方程为:x 2+(y +1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程:4x +4y +r 22-8=0.①作O 1H ⊥AB ,则AH =12|AB |=2,O 1H =2, 由圆心(0,-1)到直线①的距离得 |r 22-12|42=2, 得r 22=4或r 22=20, 故圆O 2的方程为:(x -2)2+(y -1)2=4或(x -2)2+(y -1)2=20.。

北师大数学选修23新素养应用案巩固提升:第二章 2 超几何分布 含解析

北师大数学选修23新素养应用案巩固提升:第二章 2 超几何分布 含解析

[A 基础达标]1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析:选D.法一:由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球至少有1个白球的情况有(10-1)种,根据古典概型公式得所求概率P =10-110=910.法二:所取3个球中白球数X 服从超几何分布,X 的分布列为X 0 1 2 P110610310故P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)=610+310=910.2.某12人的兴趣小组中,有5名“三好学生”,现从中任意选6人参加竞赛,用X 表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A .P (X =2)B .P (X =3)C .P (X ≤2)D .P (X ≤3)解析:选B.设6人中“三好学生”的人数为k ,则其选法数为C k 5·C 6-k7,当k =3时,选法数为C 35·C 37.3.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任意抽2件,则出现2件次品的概率为( ) A.2245 B.949C.47245D .以上都不对 解析:选A.出现2件次品的概率为C 25·C 045C 250=2245.4.袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球,从中任取2个,那么下列事件中发生的概率为710的是( )A .都不是白球B .恰有1个白球C .至少有1个白球D .至多有1个白球解析:选D.P (都不是白球)=C 22C 25=110,P (恰有1个白球)=C 13C 12C 25=35,P (至少有1个白球)=C 13C 12+C 23C 25=910,P (至多有1个白球)=C 22+C 13C 12C 25=710.故选D. 5.一批产品共50件,次品率为4%,从中任取10件,则抽到1件次品的概率是( )A.C 12C 948C 1050B.C 12C 950C 1050C.C 12C 1050D.C 948C 1050解析:选A.50件产品中,次品有50×4%=2(件),设抽到的次品数为X ,则抽到1件次品的概率是P (X =1)=C 12C 948C 1050.6.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于________.解析:由题易知,从5个球中随机取出2个球共有C 25=10种不同取法,而取出的球颜色不同共有C 13C 12=6种不同取法,故所取出的2个球颜色不同的概率为P =C 13C 12C 25=610=35.答案:357.在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少有一件为二级品的概率是________.解析:设随机变量X 表示取出二级品的件数,则P (X =1)=C 15C 215C 320=3576,P (X =2)=C 25C 115C 320=538,P (X =3)=C 35C 015C 320=1114.所以P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=3576+538+1114=137228.答案:1372288.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,则P (X =2)=________.解析:设10个球中有白球m 个,则C 210-mC 210=1-79,解得:m =5.P (X =2)=C 25C 15C 310=512.答案:5129.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列.解:由于从10件产品中任取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3-k 7,那么含有k 件一等品的概率为P (X =k )=C k 3C 3-k7C 310,k =0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列为10.交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所摸到的2个球的钱数之和(设为X ),求X 的分布列.解:因为X 为摸到的2球的钱数之和,故X 可能取的值为2(摸到2个1元球),6(摸到1个1元球1个5元球),10(摸到2个5元球).所以P (X =2)=C 28C 210=2845,P (X =6)=C 18C 12C 210=1645,P (X =10)=C 22C 210=145.综上所述,得X 的分布列为[B 能力提升]11.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,其中白球的个数记为X ,则等于C 122C 14+C 222C 226的是( )A .P (0<X ≤2)B .P (X ≤1)C .P (X ≥1)D .P (X ≥2)解析:选B.由条件知,随机变量X 服从参数为N =26,M =4,n =2的超几何分布,其中X 的不同取值为0,1,2,且P (X =k )=C k 4C 2-k22C 226(k =0,1,2).所以P (X =0)=C 04C 222C 226,P (X =1)=C 14C 122C 226,P (X =2)=C 24C 226.所以P (X ≤1)=P (X =0)+P (X =1)=C 222+C 14C 122C 226.12.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔,在已知备选的10道题中,李明能答对其中的7道,规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选,则李明入选的概率为________.解析:设所选3题中李明能答对的题数为X ,则X 服从参数为N =10,M =7,n =3的超几何分布,且P (X =k )=C k 7C 3-k3C 310(k =0,1,2,3)故所求概率为P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=C 27C 13C 310+C 37C 03C 310=63120+35120=4960. 答案:496013.老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵,规定至少要背出2篇才能及格.某同学只会背诵其中的6篇,试求:(1)抽到他会背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率.解:(1)设抽到他会背诵的课文的数量为X ,则X 服从参数N =10,M =6,n =3的超几何分布.则有P (X =0)=C 06C 34C 310=130,P (X =1)=C 16C 24C 310=310,P (X =2)=C 26C 14C 310=12,P (X =3)=C 36C 04C 310=16.因此X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=12+16=23.14.(选做题)现有来自甲、乙两班的学生共7名,从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数;(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X ,求X 的分布列,并求甲班学生数不少于1人的概率.解:(1)设甲班的学生数为n ,由题意得,17=C 2nC 27=n (n -1)27×62=n (n -1)7×6,整理得n 2-n -6=0,解得n =3或n =-2(舍去). 即7个学生中,有甲班3人.(2)由题意知X 服从参数N =7,M =3,n =2的超几何分布,其中X 的所有可能取值为0,1,2.P (X =k )=C k 3C 2-k 4C 27(k =0,1,2). 所以P (X =0)=C 03C 24C 27=621=27,P (X =1)=C 13C 14C 27=1221=47,P (X =2)=C 23C 04C 27=321=17.所以X 的分布列为由分布列知P (X ≥1)=P (X =1)+P (X =2)=47+17=57.即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为57.。

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