高中数学直线与双曲线的交点问题ppt课件
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
《直线与双曲线》课件
划分线段
2
用尺子或其它工具连接两个点，得到
一个线段。
3
延长线段
将线段无限延伸直到直线的任意一端。
双曲线的标准方程
对称轴
双曲线的长轴与短轴交于中心 点，并被标记为对称轴。
标准方程
双曲线的标准方程为(x^2/a^2)(y^2/b^2)=1，其中a和b是双曲 线上的常数。
渐近线
由于双曲线的性质，它们总会 和直线相交，这条直线就称作 渐近线。
《直线与双曲线》PPT课 件
本PPT课件将介绍直线与双曲线的定义、性质及其应用领域，为您深入了解 该学科提供帮助。
直线和双曲线是什么？
直线
是一种没有弯曲的无限延伸的平面几何图形， 只有两个端点。
双曲线
是一种与圆不同、形状呈现两臂的闭曲线， 广泛应用于数学和科学领域。
如何画直线？
1
确定任意两点
选取平面上的两点，确定直线的位置。
直线与双曲线的区别与相似性
1 共同点
直线和双曲线均为几何图形，在数学和科学中均有广泛应用。
2 区别
直线无限延伸，而双曲线有两个端点；直线的标准方程为y=kx+b，而双曲线的标准方程 为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1。
双曲线的几何中心和焦点
1
中心点
双曲线的中心点为长轴和短轴的交点。
2
焦点
与双曲线有关的参数是f，其表示焦点到中心的距离。对于每个双曲线，有两个 焦点。
3
应用
在物理学和科学领域，双曲线常被应用于光学、机械、电气和核物理学的研究中。
双曲线与椭圆的比较
相同点
双曲线和椭圆都是封闭曲线，有多个常用参数。
不同点
椭圆和双曲线有不同的形状特征和数学方程， 有不同的应用领域。
第6节 第2课时 直线与双曲线--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
3
6
解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知
21 -22
两式相减可得 2
=
21
x1≠x2,则2
21 -22
21
22
− 2 =1,2
(1 -2 )(1 +2 )
2 ,所以
2
=
−
22
2 =1,
(1 -2 )(1 +2 )
2
.
因为点(3,6)是线段 MN 的中点,所以 x1+x2=6,y1+y2=12,
则 3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,所以 a2≠3 且 a2<6.
可得
2
2
x1+x2= 2,x1x2=- 2 .
3-
3-
因为 ⊥ ,则 ·=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+1)(ax2+1)
-2(2 +1)+22
1-2
+1)x1x2+a(x1+x2)+1=
2025
高考总复习
第2课时
直线与双曲线
研考点
精准突破
考点一
直线与双曲线的位置关系
例1直线3x-4y=0与双曲线
A.0
B.1
y2
9
2
− 16=1 的交点个数是(
C.2
解析 (方法 1)联立
2 2
9 16
= 1,
得
3-4 = 0,
A )
D.3
2
9
162
− 9 =1,方程组无解,说明直线与双曲线
(2)数形结合法:注意到与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点,根据
6
解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知
21 -22
两式相减可得 2
=
21
x1≠x2,则2
21 -22
21
22
− 2 =1,2
(1 -2 )(1 +2 )
2 ,所以
2
=
−
22
2 =1,
(1 -2 )(1 +2 )
2
.
因为点(3,6)是线段 MN 的中点,所以 x1+x2=6,y1+y2=12,
则 3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,所以 a2≠3 且 a2<6.
可得
2
2
x1+x2= 2,x1x2=- 2 .
3-
3-
因为 ⊥ ,则 ·=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+1)(ax2+1)
-2(2 +1)+22
1-2
+1)x1x2+a(x1+x2)+1=
2025
高考总复习
第2课时
直线与双曲线
研考点
精准突破
考点一
直线与双曲线的位置关系
例1直线3x-4y=0与双曲线
A.0
B.1
y2
9
2
− 16=1 的交点个数是(
C.2
解析 (方法 1)联立
2 2
9 16
= 1,
得
3-4 = 0,
A )
D.3
2
9
162
− 9 =1,方程组无解,说明直线与双曲线
(2)数形结合法:注意到与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点,根据
高中数学-双曲线习题课精品ppt课件
2 2
的圆是否恒过点A, 并说明理由.
练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）c 6 ,经过点(-5, 2), 焦点在x轴上； x y 5 （2）与 1有相同的渐近线,且过（3， ）； 16 4 2 （3）经过点P (3,2 7 ), Q(-6 2, 7)
2 2
(4)以椭圆
的顶点为焦点且a＝5
例题1：
2 2
求证:椭圆
x y 1 x2-15y2=15 与双曲线 25 9
5 15
有相同的焦点F1,F2.
求|PF1|的值.
x2 y2 练1.双曲线与椭圆 1 有共同的焦点,且 27 36
与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲 2 2 y x 线的方程. 1 4 5 2 2 2 2 x y x y 1 练2.如果椭圆 2 1 与双曲线 4 a a 2
的焦点相同,求a的值.
a 1
练习1：
1.直线y kx 1交双曲线C : x 2 y 2 1于A, B 两点, O为坐标原点, OAB的面积为 2 ,求k的 值.
y 2.已知双曲线E : x 1和定点A( 1,0).过F ( 2,0) 3 的直线交曲线E于B, C两点, 试判断以线段BC为直径
直线与双曲线的位置关系： 练、若直线y=kx+1与双曲线 x y 1 4 个值. 仅有一个公共点,则这样的k可取___
2 2
y
p
O
的圆是否恒过点A, 并说明理由.
练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）c 6 ,经过点(-5, 2), 焦点在x轴上； x y 5 （2）与 1有相同的渐近线,且过（3， ）； 16 4 2 （3）经过点P (3,2 7 ), Q(-6 2, 7)
2 2
(4)以椭圆
的顶点为焦点且a＝5
例题1：
2 2
求证:椭圆
x y 1 x2-15y2=15 与双曲线 25 9
5 15
有相同的焦点F1,F2.
求|PF1|的值.
x2 y2 练1.双曲线与椭圆 1 有共同的焦点,且 27 36
与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲 2 2 y x 线的方程. 1 4 5 2 2 2 2 x y x y 1 练2.如果椭圆 2 1 与双曲线 4 a a 2
的焦点相同,求a的值.
a 1
练习1：
1.直线y kx 1交双曲线C : x 2 y 2 1于A, B 两点, O为坐标原点, OAB的面积为 2 ,求k的 值.
y 2.已知双曲线E : x 1和定点A( 1,0).过F ( 2,0) 3 的直线交曲线E于B, C两点, 试判断以线段BC为直径
直线与双曲线的位置关系： 练、若直线y=kx+1与双曲线 x y 1 4 个值. 仅有一个公共点,则这样的k可取___
2 2
y
p
O
直线与双曲线的位置关系
y2
1(a
0)与直线
l:x y 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
所以17 12
x2
2a2 1 a2
.
5 12
x
2 2
2a 2
1 a2
.
消
去,
x
2
,
得
2a 2 1 a
2
289 60
由a 0,所以a 17 13
2
2
(2)有两个公共点; 5 k 5 且k 1
2
2
(3)只有一个公共点; k=±1或k= ± 5
2
(4)交于异支两点； -1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
课堂训练与检测
1.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
交点的直线 共有___4____条.
y2 16
1 只有 一个
直线截双曲线所得的线段。
通径：与实轴垂直的焦点弦。
y
A
M
C
F1
o F2 x
B D
请指出右图中的焦半径，焦点弦和通径.
1.直线
l
过双曲线C：
x2 16
y2 9
1
的左焦点，
①若 l 只与C的左支相交，弦长的最小值为 9/2 .
②若 l 与C的左右两支都相交，弦长的最小值为 8 .
③设直线 l 截双曲线C所得的弦长为d：
Y
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
高中数学直线与双曲线的交点问题
yFra bibliotekF•1
O
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
•
b y x 4
a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
•
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
b y x 5
a
过平面其他任意一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
y b x a
y
b k b
a
a
F•1
•O
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
b y x 3
a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支、有右两个支交相点交的于直两线点的的直斜线率范围
y b x a
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
•
ybx 6 a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点，
则k的取值范围为
. 1k
5
k 5
2
k 1
2
k 5 2 k 1
y
F•1
O
•
y x
F• 2
x
y x 7
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点，
O
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
•
b y x 4
a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
•
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
b y x 5
a
过平面其他任意一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
y b x a
y
b k b
a
a
F•1
•O
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
b y x 3
a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支、有右两个支交相点交的于直两线点的的直斜线率范围
y b x a
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
•
ybx 6 a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点，
则k的取值范围为
. 1k
5
k 5
2
k 1
2
k 5 2 k 1
y
F•1
O
•
y x
F• 2
x
y x 7
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点，
直线与双曲线的交点
2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
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• F1
B
O
A
• F2
x
C
y
1 x m
k AB
3 3
x2 y2 过 双 曲 线 2 2 1(a 0, b 0)的 右 焦 点 F作 双 曲 线 渐 近 线 的 垂 线 a b l,若 直 线 l与 双 曲 线 的 左 、 右 两 相 支交 于 A, B两 点 ， 求 双 曲 线 的 离 心 a 率的取值范围 . k b b y x a y
y
x2 y2 2 1 2 a b
b b k a a
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线 • F1
•
O
• F2
x
b y x a
过双曲线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
k 1
k
2
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点， 则k的取值范围为 .5 k 1 5 k 2 5 2
k 1
k
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 左，右相交两个点， 则k的取值范围为 1 k . 1
过平面其他任意一点
与双曲线只有一个交点的直线 4条 与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 b 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 y x 与双曲线左、右两支相交于两点的直线 a
y
x y 2 1 2 a b
• F1
2
2
O
• F2
x
•
b y x a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点， 则k的取值范围为 . 5 1 k 5 2 k 5
• F1
O
• F2
x
b y x a
直线与双曲线的交点个数问题 利用斜率的相对关系
过原点
与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
• F1
O
•
x2 y2 2 1 2 a b
• F2
x
b y x a
过渐近线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
b k切 线 k 与双曲线左支有两个交点的直线 y b x a a
b y x a
y
• F1
O
•
• F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
b y x a
过双曲线内一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
•
• F1
OБайду номын сангаас
• F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
b y x a
k 1
5 k 2
5 k 2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
1. 已知双曲线 x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C 是双曲线右支上两点，若∆ABC为正三角形，则m的取 值范围 .
2 y x2 1 1 m
y
y
1 x m
渐近线方程： 1 y x m
B
O
A
• F2
x
C
y
1 x m
k AB
3 3
x2 y2 过 双 曲 线 2 2 1(a 0, b 0)的 右 焦 点 F作 双 曲 线 渐 近 线 的 垂 线 a b l,若 直 线 l与 双 曲 线 的 左 、 右 两 相 支交 于 A, B两 点 ， 求 双 曲 线 的 离 心 a 率的取值范围 . k b b y x a y
y
x2 y2 2 1 2 a b
b b k a a
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线 • F1
•
O
• F2
x
b y x a
过双曲线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
k 1
k
2
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点， 则k的取值范围为 .5 k 1 5 k 2 5 2
k 1
k
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 左，右相交两个点， 则k的取值范围为 1 k . 1
过平面其他任意一点
与双曲线只有一个交点的直线 4条 与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 b 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 y x 与双曲线左、右两支相交于两点的直线 a
y
x y 2 1 2 a b
• F1
2
2
O
• F2
x
•
b y x a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点， 则k的取值范围为 . 5 1 k 5 2 k 5
• F1
O
• F2
x
b y x a
直线与双曲线的交点个数问题 利用斜率的相对关系
过原点
与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
• F1
O
•
x2 y2 2 1 2 a b
• F2
x
b y x a
过渐近线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
b k切 线 k 与双曲线左支有两个交点的直线 y b x a a
b y x a
y
• F1
O
•
• F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
b y x a
过双曲线内一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
•
• F1
OБайду номын сангаас
• F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
b y x a
k 1
5 k 2
5 k 2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
1. 已知双曲线 x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C 是双曲线右支上两点，若∆ABC为正三角形，则m的取 值范围 .
2 y x2 1 1 m
y
y
1 x m
渐近线方程： 1 y x m