线性代数-对称矩阵
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
对称矩阵正定的充要条件
对称矩阵正定的充要条件1.引言1.1 概述对称矩阵正定的充要条件是一种在线性代数中常见并且十分重要的性质。
它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，可以在很多实际问题中得到应用。
在本文中，我们将探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件，同时总结并讨论这些条件的意义。
在开始深入讨论之前，我们需要明确对称矩阵和正定矩阵的定义。
对称矩阵是指矩阵的转置和自身相等，而正定矩阵则是指其所有特征值均为正且对应的特征向量线性无关。
接下来，我们将首先介绍对称矩阵和正定矩阵的定义，以便读者对这些概念有一个清晰的认识。
然后，我们将详细讨论对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过探究这些条件，我们能够更好地理解对称矩阵正定性质的本质。
最后，我们将总结这些条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。
通过研究对称矩阵正定的充要条件，我们能够更深入地理解矩阵的性质和特征，并能够将其应用到更广泛的领域中。
本文的目的是帮助读者掌握对称矩阵正定性质的重要概念和相关理论，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要探讨对称矩阵正定的充要条件。
文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的目的和重要性，并介绍对称矩阵和正定矩阵的定义。
通过对这些基本概念的明确界定，我们可以更好地理解对称矩阵正定的条件。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论对称矩阵和正定矩阵的定义。
我们将首先介绍对称矩阵的定义，阐明其特性和性质。
然后，我们将引入正定矩阵的定义，并探讨其与对称矩阵之间的联系。
在正文的最后部分，我们将详细探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过这些条件的讨论，我们可以更加准确地判断一个对称矩阵是否正定。
最后，在结论部分，我们将总结对称矩阵正定的充要条件，简洁地概括文章的主要观点和结果。
此外，我们还将探讨这些条件的实际应用和意义，以展示对称矩阵正定的重要性和价值。
通过以上结构，本文将从引言到正文再到结论，层层递进地介绍对称矩阵正定的充要条件。
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
高考数学中的线性代数中的对称矩阵
高考数学中的线性代数中的对称矩阵高考较为重视数学的考察，而线性代数是其中的一个重要组成部分。
在线性代数中，对称矩阵是一个关键的概念。
本篇文章将着重探讨高考数学中的线性代数中的对称矩阵。
一、对称矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一种非常重要的工具。
而矩阵的对称性则是其中的一个重要概念。
对称矩阵是指一个矩阵满足它的转置矩阵等于它本身，即A = A^T。
其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
对称矩阵的一个典型例子是单位矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]它是一个对称矩阵，因为它等于它的转置矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]对称矩阵在线性代数中有重要的应用，因为它与一些重要的性质相关。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵可以对角化一个矩阵可以对角化，意味着可以做出一个相似变换将其变为形如对角矩阵的形式。
而对于对称矩阵，它可以被对角化。
也就是说，对于任意的对称矩阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
2. 对称矩阵的特征值均为实数在线性代数中，矩阵的特征值是一个非常重要的概念。
而对于对称矩阵，它的特征值都是实数。
这是因为对于一个实对称矩阵，它的特征多项式一定是实系数的。
对于实系数的多项式，它的根必须是实数或者共轭复数对。
3. 对称矩阵的特征向量可以相互正交一个非零向量集合中的向量时相互正交的，意味着它们之间的内积为0。
而对于对称矩阵，它的特征向量可以相互正交。
也就是说，对于一个对称矩阵A，如果它的一个特征值λ有k个不同的线性无关特征向量，那么它们就可以相互正交。
三、对称矩阵在高考数学中的应用1. 对称矩阵的求解在高考数学中，对称矩阵可以用于求解线性方程组。
由于对称矩阵的特征值都是实数，可以通过求解对称矩阵的特征值及其对应的特征向量来求解线性方程组。
这是很多高考数学题目经常涉及的部分。
2. 向量的内积对称矩阵与向量相乘可以得到一个结果向量，结果向量的每个元素表示对应维度上的内积。
第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质
⎛ λ1 ⎜ , pn ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
通识教育必修课程——线性代数
定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ [ξ 3 ,η2 ] 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η2 = ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = ξ 3 − η2 = ⎜ 1 ⎟ [η2 ,η2 ] 2⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 此时ξ1⊥η2 ， ξ1⊥η3 ，η2⊥η3 ．
通识教育必修课程——线性代数
单位化：
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ； ⎜ ⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ p1 = ⎜ −1 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 η2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = 2 ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎠
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
通识教育必修课程——线性代数
二、对称矩阵正交对角化
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = Λ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，对称矩阵和正交矩阵是两个重要的概念。
本文将深入探讨对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵是一个n阶方阵，其主对角线上的元素对称分布。
即对于一个n阶方阵A，如果对于所有的i和j，都有A(i,j) = A(j,i)，那么A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵的重要性质包括：1. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵A，其特征值都是实数，这使得对称矩阵在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在物理学中，对称矩阵可以表示刚体的惯性矩阵，而其实数特征值可以表示刚体的转动惯量。
2. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，若v是其非零特征值λ对应的特征向量，那么与v对应的特征值也是λ的特征向量与v正交。
这一属性使得对称矩阵在正交变换和对角化等方面具有重要的应用。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个n阶方阵，其列向量两两正交且模长为1。
换句话说，对于一个n阶方阵Q，如果满足Q^TQ = QQ^T = I，其中Q^T是Q的转置矩阵，I是单位矩阵，那么Q就是一个正交矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：1. 正交矩阵的行和列都是单位向量：正交矩阵的行和列向量都是单位向量，这意味着正交矩阵保持了向量的模长不变，并保持了向量之间的正交性。
2. 正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵Q，Q的逆矩阵等于其转置矩阵。
即Q^(-1) = Q^T。
这一属性使得正交矩阵在求逆和解线性方程组等方面具有重要的应用。
三、对称矩阵与正交矩阵的关系对称矩阵与正交矩阵之间存在着一定的关系。
具体来说，如果A是一个n阶对称矩阵，那么必存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = D，其中D是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
这个关系被称为对称矩阵的正交对角化定理，它表明对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
线性代数课件—对称矩阵、分块矩阵、逆矩阵
形如
或的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)是方阵, 分别称为上三角形分块矩阵或下三角形分块矩阵.同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和, 积,
仍是同结构的分块矩阵.
定理2.1
n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必
要条件是A非奇异, 而且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
证: 必要性设A可逆
AA-1=I|AA-1|=|I|
由有则 所以
|A| |A-1|=1|A| 0, 即A为非奇异.
充分性
设A非奇异, 存在矩阵
有
同理可证
BA=I
由此可知A可逆, 且
那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.
如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.
0, 则称
定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|A为非奇异的.
BT=B.如果AB=BA, 则有 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.
对任意矩阵A,
ATA和AAT都是对称矩阵.
§2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中, 有时需要将一个矩阵分成若干个"子块"(子矩阵), 使原矩阵显得结构简单而清晰.例如:
然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得
线性代数4.3 实对称矩阵
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
根据th4.8,对应特征值
i
恰有 ri 个线性无关的特征向量 (i 1,2,, s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量. 由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交 矩阵P, 则
AP P1 AP diag (1, 2 ,n ) P
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵 定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足
A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2)
Ir 幂等矩阵一定相似于形如 0
0 的对称阵. 0
补充：幂零矩阵 定义
m 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A 0 (ｍ为正整数），则称
对称矩阵
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
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xT Ax(xT AT )x(Ax)T x(x)T xxT x
两式相减 得 ( )xT x0
n
n
但因x0 所以 xT x xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数
注意：设为实对称矩阵的特征值，故(iE A)X 0的
系数矩阵为实矩阵，故此方程组的解必有实的 基础解系，故A的特征向量也可以取为实向量。
思考题解答
解 由 A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称
阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
P 1 AP E r 0 , 0 0
其中E r 是r阶单位阵. 从而 det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
课后作业
• P138
15，17
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
3）把这两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵P， 则P-1AP PT AP ，其中中元素的排列顺序应该与 矩阵P中的特征向量的排列顺序相对应。
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
性质2:设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是 对应的特征向量 若12 则p1与p2正交
分析：只要证明 p1，p2 0，即p1T p2 0即可。
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
• 一、实对称矩阵的性质
§4.4
对
• 二、实对称矩阵正交对角化的 过程
称
• 复习小结
矩
阵
一、实对称矩阵的性质
性质1:实对称阵的特征值为实数
证明: 设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特征向量 即Axx x0
显然有 Ax Ax (Ax)(x)x 于是有 xT Ax xT (Ax) xT (x)xT x
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T
p3
1 (1, 6
1,
2)T
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
返回
二、实对称矩阵正交对角化的步骤：
1）求出n阶方阵A的全部特征值1, ,r ,设它们
的重数依次k1，k2， kr，则k1 k2 kr n。
2）把属于i (i 1, 2 n)的ki个线性无关的特征向量求出来， 设为i1, ,iki (i 1, 2 n)，再把它们正交化和单位化，
得到ki个两两正交的单位特征向量，因为k1 k2 kr n， 故可得到n个两两正交的单位特征向量。
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
性质3 : 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征方程的k重根， 则对应于特征值恰有k个线性无关的特征向量。
性质4 :设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P1AP PT AP , 其中是以A的n个特征值为对角线上元素的对角矩阵。
证明 设A 的互不相等的特征值为 1,2 ,,s ,
它们的重数依次为r1 , r2 ,, rs (r1 r2 rs n). 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定
理3( 如上)可得：
对应特征值 i (i 1,2,, s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知, 这样的特征向量共可得 n个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1,, rs 个s , 恰
是A的n个特征值.
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
例
设
A 011
1 0 1
011 求正交阵
P
使P1AP为对角阵
解: 由| E A|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程( 2EA)x0得基础解系1(1 1 1)T
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T
对应231 解方程 (E A)x0得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2