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高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系课件北师大版必修2
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
答案
类题通法 求弦长的常用方法
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距 先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常 用如下方法：
[变式训练2] 判断两圆 C1：x2＋y2－2x＝0 与 C2：x2＋y2－4y＝0 的位 置关系．若相交，求其公共弦长．
答案
解析
答案
由圆 C1 的方程，易得 C1(1,0)，|AC1|＝1. 两圆的方程相减，得直线 OA 的方程为 x－2y＝0.
从而|C1M|＝ |112－＋2×－02|2＝ 15.
于是|OA|＝2|AM|＝2
|AC1|2－|C1M|2＝2
12－
152＝4
5
5 .
答案
易错点⊳两圆位置关系考虑不全面 [典例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆 的方程． [错解] 设所求圆的圆心为 C(a，b)，则 a－42＋b＋12＝1 ①，当 两圆相切时，有 a－22＋b＋12＝3②，由①②解得 a＝5，b＝－1. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. [错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时 的情况．
高一数学春季尖子 班讲义第12讲 圆的初步 教师版 尖子班
当前形势圆的方程在近五年北京卷（理）考查5～14分高考要求内容要求层次具体要求A B C圆的标准方程与一般方程√掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．直线与圆的位置关系√掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程、弦长等有关直线与圆的问题两圆的位置关系√掌握圆与圆的位置关系，会求圆的公共弦方程北京高考解读2008年2009年2012年（新课标）第7题5分第19题14分第2题5分新课标剖析满分晋级第12讲解析几何1级直线方程六大考点解析几何2级圆的初步解析几何3级椭圆初步圆的初步【教师备案】因为直线方程建议讲了4小时，所以本讲建议讲2小时考点1：圆的标准方程1. 圆的标准方程 ⑴以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= ⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=【教师备案】⑴我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．现在我们来求以()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程．设()M x y ，是C e 上的任意一点．点M 在C e 上的条件是CM r =．也就是说，如果点M 在C e 上，则CM r =，反之，如果CM r =，则点M 在C e 上．由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：()()22x a y b r -+-=．两边平方，得()()222x a y b r -+-=①．显然，C e 上任意一点M 的坐标()x y ，适合方程①；如果平面上一点M 的坐标()x y ，适合方程①，可得CM r =，则点M 在C e 上．因此方程①是以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准知识切片知识点睛12.1圆的方程M COyxP (x, y )r Oy x方程．特别地，如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的标准方程就是222x y r +=． ⑵圆的标准方程()()222x a y b r -+-=⇔圆心()a b ，，半径为r ，它体现了圆的几何性质，圆的标准方程直接给出了圆的圆心坐标和半径长，突出了确定一个圆的基本要素，因此， 有利于画出图形．⑶圆的标准方程中共有三个待定系数a b r ，，，只要确定出这三个量的值，圆的方程即被 确定．因此确定圆的方程需要三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的 定形条件．⑷方程()()22x a y b t -+-=：①当0t >时，表示圆心为()C a b ，t ②当0t =时，表示一个点()C a b ，； ③当0t <时，不表示任何图形．2. 点与圆的位置关系圆的标准方程()()222x a y b r -+-=，圆心()A a b ，，半径r ， 若点()00M x y ，在圆上，则()()22200x a y b r -+-=； 若点()00M x y ，在圆外，则()()22200x a y b r -+->；若点()00M x y ，在圆内，则()()22200x a y b r -+-<；反之，也成立．【教师备案】判断点与圆的位置的方法是由两点间的距离公式，求出该点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小即可．例：写出圆心为()23A -，，半径长等于5的圆的标准方程，并判断点()157M -，，()251M --是否在这个圆上，若不在这个圆上，是在圆内还是在圆外？【解析】 圆心为()23A -，，半径长等于5的圆的标准方程是()()222325x y -++=．把()157M -，的坐标代入上述方程中，有()()22527325-+-+=，即点1M 的坐标适合圆的方程，可知点1M 在这个圆上；把()251M -的坐标代入上述方程中，有()()225213134525--+-+=+，可知点2M 不在这个圆上，而在这个圆内．3. 确定圆的方法要求出圆的标准方程必须求出圆心和半径．确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法，即列出a b r ，，的方程组，一般步骤为： ⑴根据题意，设所求的圆的标准方程()()222x a y b r -+-=；⑵根据已知条件，建立关于a b r ，，的方程组； ⑶解方程组，求出a b r ，，的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到所求圆的方程． 条件 方程形式过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠圆心在y 轴上 ()()22220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠【例1】 圆的标准方程写出下列各圆的方程⑴经过点()63，，圆心为()22-，；⑵经过点()45A --，，()61B -，，且以线段AB 为直径．【解析】 ⑴所求圆的方程为()()222241x y -++=⑵所求圆的方程为()()221329x y -++=【备选】求以两直线1:5l x y -=，2:24l x y +=的交点为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程．【解析】 所求圆的标准方程为()()22324x y -++=．考点2：圆的一般方程1． 圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎭为圆心，22142D E F +-为半径的圆．例：二元二次方程22232340x y x y +-++=是否表示圆．【解析】 ∵2x 和2y 的系数不相等，∴方程不表示圆．【教师备案】将圆的标准方程()()222x a y b r -+-=展开，得22222220x y ax by a b r +--++-=，由此可见，圆的方程具有如下形式：()220x y Dx Ey F ++++=*，其中D E F ，，为常数．那么，形如()*的方程是否都表示圆呢？将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得()222214224D E x y D E F ⎛⎫⎛⎫+++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与圆的标准方程比较，可知：经典精讲知识点睛①当2240D E F +->时，方程()*表示以22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，为圆心，22142D EF +-为半径的圆；②当2240D E F +-=时，方程()*只有一个解，表示一个点22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；③当2240D E F +-<时，方程()*无实数解，它不表示任何图形．例：若220x y x y m +-+-=表示一个圆的方程，则m 的取值范围是（ ）A ．12m >-B ．12m -≥ C ．12m <- D ．2m >-【解析】 A2． 如何选用圆的方程圆的方程有标准方程和一般方程，求哪一种都需要三个独立条件，都要用到待定系数法，但要灵活选用圆的方程的形式，以便简化计算．一般来说．⑴如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a b r ，，；⑵如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D E F ，，．例：⑴求经过两点()14A -，、()32B ，且圆心在y 轴上的圆的方程；⑵求过三点(11)A -，，(14)B ，，(42)C -，的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 【解析】 ⑴ 圆的方程是()22110x y +-=．⑵所求圆的方程为227320x y x y +--+=． 半径522r =，圆心7322⎛⎫⎪⎝⎭，【教师备案】老师可以配合知识点睛中的例子先讲圆的一般方程以及一般方程表示圆的条件，然后让学生做例2以及相应班次的学案；最后再根据知识点睛中的例子讲如何选用圆的方程，然后再做例3和相应班次的学案．【例2】 方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径⑴ 22104x y x +-+=；⑵ ()22200x y ax a ++=≠；⑶ 22210x y ay ++-=；【追问】若表示圆，则当圆的面积最小时，a 的值为多少？ ⑷ 22220160x y x +++=．经典精讲⑸ 224250x y mx y m ++-+=【解析】 解法一：⑴22102x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭表示一个点，坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，；⑵()()2220x a y a a ++=≠表示圆，圆心()0a -，，半径r a =； ⑶()2221x y a a ++=+表示圆，圆心()0a -，，半径21r a =+； 【追问】当0a =时，圆的面积取最小值． ⑷()22221010160x y ++=-<，不表示任何图形． ⑸1m >或14m <时表示圆，圆心为()21m -，，半径为2451m m -+． 当114m ≤≤时，方程不表示圆．【备选】若直线530x y -+=经过圆2222104m x y mx y +-++-=的圆心，则m 等于（ ）A ．16-B ．16C ．0或16D ．0或16-【解析】 A【例3】求圆的一般方程⑴已知ABC △三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三 角形外接圆的方程．⑵求过原点及()11A ，且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程． 【解析】 ⑴222143002x y x y +-++=． ⑵所求圆的方程为22350x y x y ++-=或2230x y x y +-+=．考点3：直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，有一个公共点；知识点睛12.2直线（圆）与圆的位置关系③直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定有两种方法：①代数法：判断直线0Ax By C ++=和圆220x y Dx Ey F ++++=的位置关系，可将2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y （或x ），得20mx nx p ++=（或20my ny p ++=）． 当0∆>时，直线与圆相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与圆相切，有一个公共点； 当0∆<时，直线与圆相离，无公共点．②几何法：已知直线0Ax By C ++=和圆()()222x a y b r -+-=，可用圆心到直线的距离22Aa Bb Cd A B++=+与r 的大小关系判断直线与圆的位置关系．当d r <时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d r =时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d r >时，直线与圆相离，无公共点；<教师备案>一般的，判定直线与圆的位置关系都用几何法，代数法在圆锥曲线才会常用。
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 直线与圆 2.4 圆与圆的位置关系
解 ①设两圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标是方程组
2 + 2 + 6-4 = 0,
的解.
2
2
+ + 6-28 = 0
-
,得 x-y+4=0.
∵A,B 两点坐标都满足此方程,∴x-y+4=0 即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆 C1 的圆心(-3,0),r= 13,圆心 C1 到直线 AB 的距离为
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
课程标准 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,分别为 外离
2.[人教B版教材习题]分别指出下列两圆的位置关系(外离、外切、相交、
内切、内含):
(1)x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0;
(2)x2+y2+2x-2y-2=0和x2+y2-4x-6y-3=0.
解 (1)因为圆心分别为 C1(2,3),C2(-6,-3),半径分别为 r1=2,r2=8,所以圆心距
圆 C3 的半径为
5
r= ,所以弦长为
2
2
2 -2 =2
5 2
2 2
( ) -( )
2
2
= 23.
|1+1-1|
12 +12
新王牌补习社高一第6课时：向量.docx
高考真题向量11L10已知a 与b 均为单位向量，其夹角为&,有下列四个命题11W13已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则 k= o1W2L13已知向量方3夹角为45°,且帀|=1, |2方一引=怖，贝ij|6|= _________________ 13WL13已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点，则応BD = ______________ 13WL13已知两个单位向最a , 〃的夹角为60°, c =ta^(l-t)b ,若b ・c = 0 ,贝胖= _________—,1 —.—.一 一.14L15.已知A,B,C 是圆0上的三点，若AO = -(AB + AC)f 则的夹角为 _______________________ 14WL3.设向量 £丿满足la^AhVlO, \a-b\ = 46 f 则 a- A =()A.1B. 2C. 3D. 514W6设D,E,F 分别为\ABC 的三边BC, CA, AB 的中点，则EB + FC =⑸〃设D 为AABC 所在平血内一点BC = 3CD,则()(A) AD = --AB^-AC3315L13.设向量A , b 不平行，向量Aa+b 与a + 2方平行，则实数人= 15W2已知点A (0, 1), B (3,2),向量疋二(-4, -3),则向最荒二(A) (-7, -4)(B) (7,4)(C) (-1,4)(D) (1, 4)15W4.向量a = (1,-1), * = (-1,2),贝IJ(2a+*)•« =A. —1B ・ 0C ・ 1D. 3P }:\a + b\>\<=^ % 0，¥P 2:0 + b|>1 oP 3 :”一> 1 <=> 其中的真命题是片：|o-b|>lu>&G —,龙(A)片£(B)P l9P 3(C) P 2,P 3A.7D B.丄乔2c. I BC2D ・BC(C) ~AD = -~AB + -AC3 3(S ))7D =-'AB --AC33精选习题：1、试化简：（1）CD + BC + AB(2) AB + DF + CD + BC + FA .-CD )-(AC -BD)2、如图所示，己知正六边形ABCDEF,O是它的中心，若BC = b,5.在厶ABC111AB =c, AC =b,若点Z)满足BD =2 DC ,则AD 等于(6.已知/XABC的三个顶点/、B、C及平而内一点尸满足PA + PB + PC=0 满足AB + AC =A AP,贝抄的值为（A. 2D. 6向量基础7、已知丨Q丨=丨b丨=1, I a + b I =1, 则丨a-b I等于（）A. 1B. V3C.D.2试用万，了将向量亦，丽，BD丽表示出來。
向量 圆的综合应用
向量圆的综合应用
向量和圆在数学中是两个不同的概念，但它们可以结合在一起解决一些综合问题。
以下是一些向量和圆结合的例子：
1. 向量与圆的切线：给定一个圆和圆上的一点，以及一个过该点的切线，我们可以使用向量来表示切线的方向。
通过向量的运算，我们可以找到切线的长度和方向，进而解决与切线相关的问题。
2. 向量与圆的旋转：如果我们有一个向量和一个圆，我们可以将向量旋转一定的角度，使其与圆的某条直径对齐。
这可以用于解决与旋转相关的问题，例如在物理或工程中模拟旋转运动。
3. 向量与圆的面积：向量的点积和叉积可以用于计算与圆相关的面积。
例如，如果我们有一个向量场和一个包围该场的圆，我们可以使用向量的叉积来计算该圆的面积。
4. 向量与圆的几何变换：通过向量的线性变换，我们可以将一个圆变换到另一个位置或大小。
这可以用于图形处理、计算机图形学或机器人学等领域。
以上只是一些例子，实际上向量和圆的综合应用非常广泛，需要结合具体的问题进行分析和解决。
2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行学习任务1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．(重点)2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．3．娴熟驾驭用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点) 核心素养1．通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培育直观想象和逻辑推理素养．2．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养．3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养．空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取确定点O 作为基点，那么空间中随意一点P 就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．做一做：在空间直角坐标系Oxyz 中，点A (1,2,3)的位置向量是 OA →＝(1,2,3) .[解析] 位置向量OA →＝(1,2,3). 空间中直线的向量表示式直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的随意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，①把AB →＝a 代入①式得OP →＝OA →＋t AB → ，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．思索1：依据空间直线的向量表达式OP →＝OA →＋tAB →，线段AB 的中点M 的向量表达式是什么？提示：OM →＝OA →＋12AB →＝12(OA →＋OB →)． 做一做：推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量．( √ )(2)若向量v 是直线l 的方向向量，则λv (λ≠0)也是直线l 的方向向量．( √ )(3)直线l 的方向向量都平行，且方向相同．( × )空间中平面的向量表示式1.平面ABC 的向量表示式空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋ xAB →＋yAC → .③我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式．2．平面的法向量如图，若直线l ⊥α，取直线l 的 方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．思索2：假如n 为平面α的一个法向量，A ，B 为平面α内的两点，则n 与AB →有什么关系？提示：n ⊥AB →，即n ·AB →＝0.做一做：推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α的全部法向量都平行，且同向．( × )(2)若n 是平面α的一个法向量，则λn (λ∈R )也是平面α的一个法向量．( × )(3)向量i ＝(1,0,0)是坐标平面Oyz 的一个法向量．( √ )提示：(1)法向量也可能方向相反．(2)当λ＝0时，λn ＝0，不能作为平面的法向量．(3)x 轴垂直于坐标平面Oyz .空间中直线、平面平行的向量表达式提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．做一做：1.若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是_l∥β__.[解析]由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是_α∥β__.[解析]由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.。
2025版新教材高中数学第2章2.5.2圆与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有__4___条．
[解析] (1)两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 r＝2，R＝ 3，两圆的圆心距为 －2－22＋0－12＝ 17，则 R－r< 17<R＋r，所 以两圆相交，选 B.
题型二
两圆相切问题
2．求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点 M(3， － 3)的圆的方程．
[分析] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求 得．
[解析] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆 x2＋y2－2x＝0 外切， 则 a－12＋b2＝r＋1.①
(2)到点 A(－1,2)的距离为 3 的直线是以 A 为圆心，3 为半径的圆的切 线；同理，到 B 的距离为 1 的直线是以 B 为圆心，半径为 1 的圆的切线， 所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝
3＋12＋－1－22＝5. 半径之和为 3＋1＝4，因为 5>4， 所以圆 A 和圆 B 外离，因此它们的公切线有 4 条．
对点训练❷ 若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切， 则m的值为__－__9_或__1_1_____.
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 圆与圆的位置关系高
位置关系第二课时圆与圆的位置关系高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系高效测评北师大版必修2 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题（每小题5分，共20分）1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2:x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是( ）A．内切B．外切C．相交D．相离解析：圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：（x－2)2＋（y－1)2＝8，∴｜O1O2|＝错误!＝3错误!＝r1＋r2。
答案：B2．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为( ）A．x＝1 B．x＝错误!C．y＝x D．x＝错误!解析: (x－1）2＋y2－1－（x2＋y2－1）＝0得x＝错误!。
答案：B3．圆x2＋y2＝m2(m＞0)与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切,则m的值为( ）A．1 B．1或11C．11 D．6解析：圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0可化为（x＋3）2＋(y－4)2＝36，∵两圆内切,∴圆心距d＝错误!＝5＝｜6－m｜，解得m＝1或m＝11.答案：B4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3）2＝1内切,则此圆的方程为（) A．（x－4）2＋（y－6）2＝6 B．（x±4）2＋(y－6）2＝6C．(x－4）2＋（y－6)2＝36 D．（x±4）2＋(y－6）2＝36解析：设圆心坐标为（a，b），∵半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3）2＝1内切,结合图形可得b＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，错误!＝5解得a＝±4,故所求圆的方程为（x±4）2＋(y－6)2＝36。
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尖子生辅导：向量，直线与圆的和谐交汇
向量是数学中的重要概念之一，由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使它 成为联系相关数学知识的紐带，在知识的交汇点处命题是近年高考命题的热点，向量的引入拓宽了命题渠道，传统的圆与向量的结合使得试题更加新颖别致，下面举例说明 1， (湖南卷)已知直线6=
+y x 与圆O ：422=+y x 相交于A,B 两点,求OB OA ⋅的值。
2， (全国卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切。
圆O 与x 轴相交
于A,B 两点，圆内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列，求PB PA ⋅的取值范围。
3，已知直线0=++m y x 与圆22
2
=+y x 交于不同的两点A,B ，O 是坐标原点
，
≥+，那么实数m 的取值范围是______________.
4，已知直线l :5=
+ny mx 与圆O:522=+y x 相交于A,B 两点，设向量a=()2,1-，若圆O
上存在一点Q 使+=且||a 。
求直线l 的方程。
5，过点A(-2,0)的直线交圆12
2
=+y x 于P,Q 两点，则⋅的值为_________. 1.分析:与圆半径有关的向量数量积常用几何运算，可简化计算量。
解析: 圆心O 到直线的距离31
16==
+d ，则0226022=∠∴=-=AOB d r AB ，所以
⋅
260cos 02==∠r AOB 。
评注: 本题虽可用坐标运算，但计算量较大不
如几何运算简洁。
2.分析:利用向量数量积的几何运算建立⋅关于θ的函数求解。
解析: 易求得圆O 方程为42
2
=+y x ， |PA|,|PO|,|PB|成等比数列，所以
⋅=()⋅+()
+=442
2
2-=-=-PB PA PO ，又设向量与 的夹角为θ，则⋅=|PA||PB|θcos ∴⋅=
4cos -⋅θ
PB PA 所以
⋅=θθθcos 14
cos 1cos 44--+-=，又因为点P 在圆内(][)0,1cos ,,2-∈∈∴θπθπ，[)1,21cos 11∈-θ
所以⋅的取值范围是[)0,2-。
评注: 点P 在圆内(]
[)0,1cos ,,2-∈∈∴θπθπ这个隐含条件的找出是本题求解的关键。
3.解析: OA OB AB -=
≥+20π≤∠⇒≥⋅AOB OB OA ，则圆心O 到直线距离2
m d =
满足21<≤d 得22<≤m 或22≤<-m ，故实数m 的取值范围是
(][
)
2,22,2 --。
4.解析； OQ ||a 则OQ =λa ，Q ()λλ2,-，Q 为圆O 上一点，|OQ |=5解得λ=1或-1
，又
||=，+=由向量平行四边形法则知OAQB 为菱形，∴
OQ 的中点即为AB 的中点，且AB OQ ⊥。
当λ=1时，Q(-1,2)，AB 的中点为()1,2
1-，2
11
=-=OQ k AB k ，l 的方程为()212
11+=-x y 即0542=--y x ，当λ=-1
时，同理求得
0542=+-y x ，故直线l 的方程为0542=--y x 或0542=+-y x 。
评注: 本题主要考查了以下几个方面:①平面向量的几何意义；②共线向量；③直线与圆的位置
关系(中点弦)；④直线方程；⑤综合运用知识解题的能力。
5.解析: 过点A 作圆的一条切线AT ，由平面几何知识(切割线定理)知:
AQ AP ⋅
31222=-==。
从以上几题可知将向量，直线与圆有机的结合，体现了在知识交汇处命题的原则，直线，圆与向量的综合考查是以向量牵线搭桥，重点考查直线与圆的相关知识。