五年级奥数整除问题进阶
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。
小学五年级奥数题数的整除问题
小学五年级奥数题数的整除问题
小学五年级奥数题数的整除问题
奥数题数的整除问题
从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。
分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.
解：第一次报数后留下的`同学最初编号都是11倍数;
第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数;
第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数;
所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;
答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.。
五年级奥数竞赛之数的整除性
五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。
它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。
m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。
如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。
例如1与12，4与5，5与9，3与25等。
性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。
例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。
性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。
6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。
根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。
性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。
特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。
1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。
n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。
最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。
这样的六位数中的最小的数是。
5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。
7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。
小学五年级奥数数的整除问题知识点及练习题
【导语】奥数是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第xx届国际数学奥林匹克竞赛。
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1.⼩学五年级奥数数的整除问题知识点 ⼀、基本概念和符号： 1、整除：如果⼀个整数a，除以⼀个⾃然数b，得到⼀个整数商c，⽽且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常⽤符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； ⼆、整除判断⽅法：1、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2、能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3、能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4、能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5、能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6、能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字后能被11整除。
7、能被13整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质： 1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2、如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3、如果a能被b整除，b⼜能被c整除，那么a也能被c整除。
4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最⼩公倍数整除。
2.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题 1．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从⼩到⼤排列起来，第五个数的末位数字是多少？ 2．如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 3．从左向右编号的1991名同学排成⼀⾏，从左向右1⾄11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列，然后留下的同学再报数，第三次报数后，最后留下的同学中，从左边数第⼀个⼈的最初编号是多少？ 4．173□是四位数字，⽼师在这个□中先后添⼊3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除，⽼师添⼊的3个数字的和是多少？ 5．在1992后⾯补上三个数字，组成⼀个七位数，使他们能被2、3、5、11整除，这个七位数最⼩值是多少？3.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题 1．能同时被2、5、7整除的五位数的多少？ 2．下⾯⼀个19983位数33…3（991个3）□44…4（991个4）中间漏写了⼀个数字（⽅框），已知，这个多位数被7整除，那么，中间⽅框内的数字是多少？ 3．有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，⽽且⽐这个两位数⼤1的数，它的两个数字之和也能被4组成，所以这样的两位数的和是多少？ 4．⼀个⼩于200的⾃然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么这个⾃然数是多少？ 5．任取⼀个四位数乘3456，⽤A表⽰其积的个位数字之和，⽤B表⽰A的个位数字之和，C表⽰B是个位数字之和，那么C是多少？4.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题 试问，能否将由1⾄100这100个⾃然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都⾄少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出⼀种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明。
五年级奥数题及答案：整除问题
五年级的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。=500+333+200-(166+100+66)+33=734(个)
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59 89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是 多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习四：
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶13 81 81 76上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？二、截断作差能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？23四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．【分析】在本题中，255259555999□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？已知多位数2010120103111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．已知51位数255259555999个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2. 四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3. 四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4. 已知多位数201225881258258258□个（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5. 已知多位数2011120113111333个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。
小学奥数经典讲义五年级秋季 第三讲数论之数的整除性提高
第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：，方框教学目标分析：因为36=4×9，所以C6能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值.[拓展]要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C分别是多少？分析：先取A=9，则3+B+C是9的倍数，B=8，C=7时，取得最大值.【例4】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例5】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998. [拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.Ⅱ、整除与数字组合【例6】（★★★2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 .分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是 .分析：168=2×2×2×3×7，由于这个六位数被8整队，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别验证这个6位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.[拓展]：用数字4、5、6各两个，组成一个六位数，使它们能被165整除，这样的六位数有多少个？分析：165=3×5×11，所以，这样的六位数的个位数为5，且各位数数字之和为3的倍数（已满足），奇偶数位之和的差为11的倍数，4+4+5+5+6+6=30，30拆成两个差为11的倍数的数和有两种方法：30=15+15或4+26，显然后一种是无法达到的，而15只能等于4+5+6，所以，万位数和百位数上一个是4，一个是6，十万位、千位、十位上是4、5、6的某个排列，所以一共有2×3×2×1=12个.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B －A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，×[；③×Ⅲ、多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.【例11】（★★）200820082008200808n 个能被11整除，那么，n 的最小值为多少 分析：200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.[巩固]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★）应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被7整除？（其中数码2和7都重复了50次）222...22?77 (777)分析：事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“22?77”．从中减去21077，并除以100，即得“1?”．此时不难验证，具有此种形式的二位数中，只有14可被7整除．所以？上填4.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被99整除，□□是 .72×是0的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.5、（★★★例9）已知ABABAB 是154的倍数，求AB 的最小值.分析：事实上ABABAB =AB ×10101，而10101=3×7×13×37，所以只要保证AB 能被22整除，所以AB 的最小值为22.练习三数学知识时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.。
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（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1 2011个3
{
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下次再见~~~~
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234
789，能被99整除，这个九位数是多少？
分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99
的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123
678，能被99整除，这个八位数是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59 89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是 多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
练习四：
已知多多少？
2010个1 2010个3
{ {
挑战极限
例题五：
有数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要 求的六位数。 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除， 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要 求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可。
练习三：
四位数57 2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
{ {
例题四：
已知51位数 55...5 99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?
25个5 25个9
分析:这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些，因为1001是13的倍 数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明他们都是13的倍数， 那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？