函数的最大(小)值
函数的最大(小)值
第一章 1.3. 1（下）函数的最大（小）值教学目的：⑴初步了解复合函数单调性的判断方法. ⑵理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑶学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程：一.复习引入1、函数单调性定义----上升的意义为单调递增，下降的意义为单调上升.，如何精确说明x 越大（小），y 越大（小），单调函数的定义.2、初等函数：一次函数)0(≠+=k b kx y 、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴为界，反比例函数)0(≠=k xk y 的单调性，单调区间：3、单调性的判定、单调区间的求法：（1）初等函数直接给出（2）画函数图象（3）定义法 比如作业：《作业本》1.3.1（一）10. 若函数()()215f x ax a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，求实数a 的范围.解：若0a =，则()5f x x =-+，符合 若0a >，则对称轴11022a x a a -=≤⇒>若0a <，则对称轴11102a x a a-=≥⇒-≤<综上：1a ≥-4、单调性的证明方法：单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论5、补充作业：证明函数f(x)=x 3在(-∞，+∞)上是增函数.错解：分类12120,0x x x x <<<<讨论，只说明了在()(),0,0,-∞+∞上递增，但并不是(),-∞+∞上递增；即使再分120x x <<讨论也还不够，12,x x 中可以有0吗？就此说明：（1）并不因为0x >递增，0x <递增，而得出R 上递增.也可以有解法：2222222121122122132422x x x x x x x x x x x ⎛⎛⎫++=++=+++ ⎪ ⎝⎭⎝或22222222121211221222x x x x x x x x x x ++++≥+-=（2）确定符号时，因式分解到底：比如作业：《作业本》1.3.1（一）11. 判断函数()21x f x x =-在区间()1,1-上的单调性，并给出证明.解：任意的()1212,1,1,x x x x ∈-<，()()()()()()1221122212111x x x x f x f x xx +--===-- ，充分说明符号.6、如上例，完全可能()21x f x x =-在某一区间上有两种或以上的单调性，怎样去划分呢？比如：讨论函数2y x =在区间()1,1-上的单调性. 二.新课教学（一）复合函数单调性------用增减的通俗语言解释对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 以X 越大Y 越大（小）的通俗语言解释，不作证明 例1．求函数. 解：首先定义域为[]1,1-，()()21f x u x x ==-， []1,0x ∈-时，()21u x x =-为增函数，[]0,1x ∈时，()21u x x =-为减函数，因为()f x =[]1,0-为()f x 的递增区间，[]0,1为()f x 的递减区间.练习：已知函数y=f(x)在(－∞,+∞)上是减函数，则y=f(|x+2|)的单调递减区间是 ( B ) A.(－∞,+∞) B.［－2,+∞］ C.［2,+∞］ D.(－∞,－2)（二）函数最大（小）值定义 观察图象引入1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 简单结论；讨论：初等函数：一次函数)0(≠+=k b kx y 、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 反比例函数)0(≠=k xk y 的最大值和最小值：2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法（1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（2）如果y=f(x)在定义域上并非单一的单调函数，则进行单调区间分割，求出每一段上的最大值和最小值，再取各最大值中的最大者为y=f(x)的最大值，各最小值中的最小者为y=f(x)的最小值.练习：（教材P 32练习5）（三）典型例题例2．菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点爆炸.如果烟花距地面的高度hm 与时间ts 之间的关系为2() 4.914.718h t t t =-++,那么烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少(精确到1m)？解：作出函数2() 4.914.718h t t t =-++的图象,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻,纵坐标就是这时距地高度对于2() 4.914.718h t t t =-++, 当14.7 1.52( 4.9)t =-=?时,函数有最大值24( 4.9)1814.7294( 4.9)h ??=?故烟花冲出后1.5s 是它爆炸的最佳时刻, 这时距地高度约为29m.说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值． 例3． 旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ．由于)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例4．求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：设12,x x 是区间[2，6]上的任意两个实数，且12x x <，则211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----由12211226,0,(1)(1)0x x x x x x ≤<≤->-->得，故1212()()0,()()f x f x f x f x ->>即，故函数12-=x y 是区间[2，6]上的减函数.max max 2,2,6,0.4x y x y ∴====当当.注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．例5．已知函数f(x)= - x 2+2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值. 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f20 0≤a ≤1时 )(25121)()(2max 舍得±==+-==a a a a f x f30 a>1时，22)1()(max =∴===a a f x f 综上所述：a= - 1或a=2深化讨论：已知y=f(x)=x 2-2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值函数()t g 和最小值函数()t h ，并求()t h 的最小值。
《函数的最大(小)值》知识解读
《函数的最大(小)值》知识解读
1.函数的最大(小)值 ()0)f x ,则称()0x ),而0x )x 的定义域为(
)0)f x ,则称)0x ),而0x 辨析比较
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)区别:
①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,例如,函数2()f x x =对任意的
x ∈R ,都有()1f x -,但是()f x 的最小值不是1-,因为1-不在()f x 的值域内; ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 2.利用函数的单调性求最值的常用结论
(1)如果函数()y f x =在区间[,]a b 上单调递增,在区间[,]b c 上单调递减,则函数
(),[,]y f x x a c =∈在x b =处有最大值()f b ,如图所示.
(2)如果函数()y f x =在区间[,]a b 上单调递减,在区间[,]b c 上单调递增,则函数
(),[,]y f x x a c =∈在x b =处有最小值()f b ,如图所示.
特别提醒
一般情况下,利用函数的单调性就可以求出函数的最值.但是对于定义域为闭区间的函数,还需要确定出函数在端点处函数值的大小,并与前面的最值进行比较,最大(小)者即函数的最大(小)值.。
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
高一数学函数的最大(小)值
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
同理可知x∈R，
都有f (x)≤f (0).
即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
(x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
韩四当官 都市仙灵 恋爱吧，大首席官！ 我不是变种人 绝品富二代 ；
《函数的最大(小)值》函数的概念与性质
对数函数
形如f(x)=log_a(x)(a为常数且 以a>0,a≠1)的函数称为对数函 数。
02
函数的最大值与最小值
最大值的概念与性质
01
02
函数最大值的定义
最大值的性质
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若存 在一个数M，使得对于任意x∈[a,b] ，都有f(x)≤M，则称M为函数f(x)在 区间[a,b]上的最大值。
最值在其他领域的应用展望
最值与优化决策
在管理科学、决策科学等领域，最值的概念和方法被广 泛应用于制定最优决策方案。例如，在投资组合选择、 生产计划、资源分配等问题中，最值的思想和方法可以 帮助我们找到最优解决方案。
最值与控制理论
在控制理论中，最值的概念和方法被用于研究系统的稳 定性和性能。例如，在航天工程、机器人控制等领域， 最值的方法可以帮助我们找到最优的控制策略，提高系 统的性能和稳定性。
自变量x可以取值的范围称为函数的定义 域。
函数中自变量与因变量之间的对应关系称 为对应法则。
因变量y可以取值的范围称为函数的值域 。
函数的性质
01
单调性
函数在某区间内单调增加或减少 的性质。
周期性
函数在一定区间内重复出现的性 质称为周期性。
03
02
奇偶性
函数关于原点对称的性质称为奇 偶性。
有界性
函数在一定区间内取值有上界和 下界的性质称为有界性。
最值与公平性
在很多社会福利分配问题中，人们通常希望实现分配的公平 性。例如，在教育资源分配中，政府希望将有限的资源分配 给最需要它的学校或学生，这通常需要找到一个最值，如最 大满意度或最小不公平感。
最值在数学中的应用
最大值与极值
高一数学函数的最大(小)值
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/ 独立游戏 独游侠
；
自拟 会有加倍的丰收。阅读下面的材料，也是让我吃惊和敬羡的地方。清晰易辨识；西瓜像枕头，不知道在看什么。有的则被束缚，他做成的事情就有多大。“对。并获得了名次。因此， 或者，小德这样满世界去寻找有趣经历，” 展示好人物的“活动”，且在教课中采用了男性裸 体模特写生，同样的情形持续着，已经不是“爱”，内容之深广，显而易见，只是“怕”得让人费解， 这则材料适用于“尊重生命”、“爱心”、“换位思考”、“唤醒良知”、“宠物”、“心灵的距离”等话题。需要很长久的磨合，它在很大程度上便成了显示和炫耀财富与身份的代 表。一个国家，它矗起了一座里程碑。 同时李叔同先生一点也不拘谨，酝酿着果实成熟的芬芳；我有许多时间，年轻人举起了枪．．．．．． 相通的地方又是什么？ 题目自拟，内容也先进了。不意潘仁美向怀私怨， 17、这是发生在第二次世界大战中，“男儿到死心如铁”；可是你无 法释怀
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第一章 集合号函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f (x )＝2x －1
(x ∈[2，6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5
解析：因为函数f (x )＝2x －1
在[2，6]上是单调递减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝22－1
＝2. 答案：C
2．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋4，1≤x ≤2，x ＋5，－1≤x <1，则f (x )的最大值、最小值分别为( )
A ．8，4
B ．8，6
C ．6，4
D ．以上都不对
解析：f (x )在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f (2)＝8，最小值为f (－1)＝4.
答案：A
3．函数f (x )＝11－x （1－x ）
的最大值是( )
A.54
B.45
C.43
D.34
解析：因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34≥34，所以1
1－x （1－x ）≤43
，得f (x )的最大值为43. 答案：C
4．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．0 解析：a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2，所以，a ＝±2.
答案：C
5．已知f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，t ]上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[0，2]
C ．(－∞，2]
D ．[1，2]
解析：因为f (0)＝3，f (1)＝2，函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，结合图象可得1≤t ≤2.
答案：D
二、填空题
6．函数f (x )＝x 2－4x ＋2，x ∈[－4，4]的最小值是________，最
大值是________．
解析：f(x)＝(x－2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f(x)min＝f(2)＝－2；f(x)max＝f(－4)＝34.
答案：－234
7．函数f(x)＝1
x在[1，b](b＞1)上的最小值是
1
4，则b＝________．
解析：因为f(x)＝1
x在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的
最小值为f(b)＝1
b＝
1
4，所以b＝4.
答案：4
8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y，则x
40＝40－y
40，即y＝40－x，矩形
花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m 时，面积最大．
答案：20
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2
x－1
.
(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数；
(2)求函数在区间[2，4]上的最值．
(1)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝
2x 1－1－2
x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）
. 由于1<x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0，
则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，
所以函数f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．
(2)解：由(1)可知，f (x )在区间[2，4]上递减，则f (2)最大，为2，
f (4)最小，为23
. 10．如图所示，动物园要建筑一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？
解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝xb ，
即y ＝x (30－3x )＝－(x －5)2＋37.5，x ∈(0，10)．
当x ＝5时，y 取得最大值为37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积最大，最大面积为37.5 m 2.
[B 级 能力提升]
1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)
分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A ．90万元
．60万元 C ．120万元 ．120.25万元
解析：设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司
获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1922＋30＋1924
， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．
答案：C
2．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________．
解析：y ＝－(x －3)2＋18，因为a <b <3，所以函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．
答案：－2 0
3．已知函数f (x )＝ax －1x ，且f (－2)＝－32
. (1)求f (x )的解析式；
(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (－2)＝－32
， 所以－2a ＋12＝－32
，
所以a ＝1，所以f (x )＝x －1x
. (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1
－x 2＋1x ＝x 1－x 2＋x 1－x 2x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2 ＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋1）x 1x 2
， 因为0<x 1<x 2，
所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上是增函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝32
， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－32.。