垂径定理学案
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
垂径定理教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
初中垂径定理的应用教案
初中垂径定理的应用教案教学目标：1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂径定理的理解和应用。
2. 培养学生的解决问题的能力。
教学难点：1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示垂径定理的定义和图像。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用垂径定理。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念，如圆、半径、弦、直径等。
2. 提问：你们认为圆有什么特殊的性质吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义和图像，解释垂径定理的意义。
2. 通过示例，演示如何应用垂径定理解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。
2. 引导学生分组讨论，互相解答疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。
2. 提问：你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗？五、课后作业（5分钟）1. 布置一些应用垂径定理的实际问题，让学生回家练习。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义和图像，引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。
通过课堂练习和分组讨论，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生正确应用垂径定理，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
初中垂径定理教案
初中垂径定理教案教学目标：1. 理解垂径定理的概念及其实际应用。
2. 学会运用垂径定理解决相关几何问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教学内容：1. 垂径定理的定义及证明。
2. 垂径定理的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学习过的等腰三角形的性质，如等腰三角形的底角相等、中线垂直于底边等。
2. 提问：圆是否有类似的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义：圆中，如果一条直线垂直于一条弦，那么这条直线必过圆心。
2. 证明垂径定理：a. 画出圆和一条垂直于弦的直线。
b. 连接圆心和直线上的点。
c. 利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，得出结论。
3. 讲解垂径定理的逆定理：如果一条直线过圆心，那么这条直线必垂直于某条弦。
三、例题解析（15分钟）1. 给出例题，让学生尝试运用垂径定理解决问题。
2. 引导学生分析题目，画出图形，并逐步解题。
3. 讲解解题思路和技巧。
四、课堂练习（10分钟）1. 给出几道练习题，让学生独立完成。
2. 挑选部分学生的作业进行讲解和评价。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结垂径定理的重点和难点。
2. 提问：垂径定理在实际应用中还有哪些作用？3. 引导学生思考和探索垂径定理在其他领域的应用。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对垂径定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解其掌握程度。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义、证明和应用，使学生掌握了垂径定理的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立解决问题，对垂径定理有一定的掌握。
但在拓展环节，学生对垂径定理在其他领域的应用思考不够深入，需要在今后的教学中加强引导和培养。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
27.1.2 第2课时 垂径定理 华师版九年级数学下册学案
27.2 圆的对称性2.圆的对称性第2课时垂径定理学习目标：1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）自主学习一、知识链接1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______.二、新知预习（预习课本P39-40）填空并完成练习：(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.练习：合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做 1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论.【要点归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，，.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）（2）（3）（4）归纳总结：垂径定理的几个基本图形【典例精析】例1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm.【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？命题1 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1) CD⊥AB吗？为什么？(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.命题2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点.(1) CD⊥AB吗？请说明理由；(2) AE=BE吗？请说明理由.【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【典例精析】例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.方法一：证明：作直径MN⊥AB.方法二：证明：取的中点M，连结OM.度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、课堂小结内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”).辅助线两条辅助线：半径，弦心距.垂径定理基本图形及变式图形构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.当堂检测1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．参考答案自主学习一、知识链接1.轴直径所在的直线2.OB等腰BE∠BOD二、新知预习（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分练习：（1）12 5 （2）12 24 （3）13合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做：1.AE=BE，，证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.想一想：解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心.【典例精析】例1 16【针对训练】解: 连结OA，∵CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5cm.即半径OC的长为5cm.思考探索命题1 解：（1）CD⊥AB. 连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得= ，= .命题2 解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE.【典例精析】则（垂，∴∴.方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，∴∴.径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，答：拱桥的半径是6.5米．【针对训练】解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．当堂检测1. 32. 53. 24.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5．6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O 于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm．。
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B C=
C D=
D E
(5题图）
(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）
学习目标：
1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。
学习重点，难点：
垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程：
一、 上节知识回顾：
1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。
图2
图1
2、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。
3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。
二、学习（自学）过程：
1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：
1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB
∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.
垂径定理及其推论可概括为：
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。
4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿
＿。
5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。
(9题图）
(8题图）
(7题图）
(6题图）
6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。
7、 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，SinA=
3
2
，则弦AB 的长为＿＿＿＿＿。
8、 如图，是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，
净高CD=7米，则此圆的半径OA=＿＿＿＿。
9、 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB 的长是（ ）
A.22
B.23
C.5
D.35
四、课堂小结： 1.圆的对称性。
2.垂径定理及其推论。
五、课堂小测：
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧。
B.过弦的中点的直线必过圆心。
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心。
D ．弦的垂线平分弦所对的弧。
2.如图1，在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在AB 上，且AC=BD,求证：△OCD 是等腰三角形。
图1
A
E 六、作业： 一、选择题．
1．如图1，⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则AB 的长是（ ）
A ．3
B ．4 C
．6 D ．8
A
(1) (2) (3) (4) （5） 2．如图2，⊙O 的半径等于4，半径OC
与弦AB 互相平分，AB 的长为（ ）
A.
B.
C.3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不一定正确的
是（ ）
A ．A
B ⊥CD B ．∠AOB=2∠AOD
C ．弧AD=弧DB
D ．PO=PD 二、填空题
4．⊙O 的半径是4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120。
，则AB 的长是______；
5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；
6．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；
7．如图5，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____； 三、解答题
8．在⊙O 中，直径AB ⊥弦EF ，垂足为P ，AP=2cm ，BP=4cm ，求EF ．
9．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB 与点B 运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm
，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．
10．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，截面如图，若管内污水的面宽AB=40cm，污水的最大深度为10cm，则圆柱型水管的直径为多少cm？
11.如图2，⊙O的直径AB=16㎝，P是OB的中点，CD为过点P的一条弦，∠APC=30°，求CD的长。
图2
B
12.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD,若AB=6㎝，CD=8㎝，求弦AB和CD间的距离。
（提示：
有两种情况。
）
（1）
（2
）。