人口增长数学模型
软件学院
人口增长模型数学建模报告
专业：软件工程
班级：卓越131班
学号：201370044120
学生姓名：郭俊成
指导教师：于志云
2015 年11 月12 日
题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要
本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。
同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。
论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。
关键字
单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型
一、问题描述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。
人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。
请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
二、问题分析
（1）针对本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年。”的论述做了研究。我们搜集了大量关于计划生育实施前也就是1982年之前的人口数据。因为建国初年坚持着“人多力量大”的口号，人口增长几乎没有受到政策层面的影响，鼓励生育成为那个时期的主题。然而，人口的增长受环境、经济等因素的影响，不能无休止的增长，因而，我们选择灰色预测模型来分析计划生育实施前的人口状况，使得人口增长的预测更能贴合之前的增长趋势。通过简单的最小二乘法，拟合1982年之前的数据，并且利用灰色预测模型，预测1990、2000、2005、2010、2015年的人口，将其与这四年的实际情况进行对比，根据预测与实际的差值，分析计划生育政策对中国人口总数的影响程度。
人口老龄化的加剧又是中国的另一个国情。自上世纪九十年代以来，我国老龄人口急剧增加，二十一世纪初，进入老龄化社会。《中国人口老龄化发展趋势
预测研究报告》中提到“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿。这一阶段，老年人口规模将稳定在3-4亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”。随着医疗水平的提高，老龄人口死亡率已经降到很低的水平，短期内将继续维持。由于人口惯性的影响，大量人口涌入老龄人口，老龄人口数量急剧上升。因此，研究老龄人口数量更适合传统的阻滞增长模型，可以综合考虑近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测未来40年到70年的老龄人口数量和老龄化率。与官方的报告进行比较，探讨老龄化的严重性。
（2）根据近期国家调整的计划生育新政策，“单独二孩”政策会直接影响妇女的生育率。然而，由于我国人口结构、经济结构复杂，关于“单独二孩”政策的影响不能一概而论。农村、城市的差异，不同地区经济发展水平的差异，各地区采取不同的新政策。生育第二个孩子和生育第一个孩子的妇女叠加，符合条件的单独夫妇是否选择生育二孩更多得取决于他们的意愿。再加之，新政策实施不久，具体的理论和实践数据都不够成熟，因此建立数学模型的难度更大。我们简化数学模型，从年龄、地区差异下手，假设已知的和比较可靠的概率数据，建立差分方程模型，使用Leslie矩阵模型，分析按年龄分组的人口模型。同时，我们考虑城镇化和人口迁移的因素，分析人口移动对人口结构的影响。
三、模型假设
3.1 假设所有表征和影响人口变化因素都是在整个社会人口平均意义下确定的；
3.2 预测期间出生和死亡水平比较稳定，即使有变化，也比较有规律的；
3.3 由于预测全国人口数，人口当作一个整体，假设近几年我国的迁入迁出人
口基本保持平衡；
3.4 假设对未来人口的预测能最大可能符合人口发展的未来趋势；
3.5 假设任何影响人口变化的因素在未对人口造成影响之前不会因某种特殊原
因自动消失；
3.6 预测用的基础人口总数、出生率等与实际相近，比较准确。
四、模型的建立与求解
4.1使用最小二乘法和灰色预测模型分析计划生育实施前的人口数据4.1.1 使用MATLAB进行最小二乘法分析
1949~1980全国人口数据（单位：万）
（k=1,2...6） 构造累加生成序列得到
（k=1,2...6） 构造数据矩阵和数据向量，得到
计算 ：
{}1371
,1295,1160,1032,723,602)()0(=k X {}6183
,4812,3517,2357,1325,602)()1(=k X B Y (1)(1)
(1)(1)(1)(1)
(1)(1)
(1)
(1)
1(2)(1)121963.51(3)(2)1218411129371(4)(3)124164.511
(5)(4)15497.5121(6)(5)12x x x x B x x x x x x ??
??-+ ???
?
?-????
-+?
? ?
?-
? ? ? ?==??--+?
? ?
?- ? ? ??? -+?-????
? ???-+ ?????
(0)(0)(0)
(0)(0)723(2)1032(3)1160(4)1295(5)1371(6)x x Y x x x ???? ? ? ? ?
? ?
== ? ?
? ?
?
??
???1()T T a
U B B B Y
u ∧
∧-∧?? ?== ?
??
7
77
6.0504100.0015100.001510
0.0000T B B ??
?-?= ?-???
1
0.00000.0002()0.00020.9270T
B B -??
= ???
所以 把和带入时间响应方程 因为=602，=，所以时间响应方程为
可以得到
所以求得
后验差检验：
(1)x 的均值： =1030.5
(2)x 的方差：=28.0905 (3)残差的均值：=9.819188
(4)残差的方差：=78.587019 (5)后验差检验：
=0.27760387 (6)小误差概率：
{| 6.653599.819188|0.674528.0905}=--
10.1333()705.5464T T a U B B B Y u ∧∧
-∧??
-??
?===
? ?????
a ∧u
∧?(1)(1)???(1)(1)??ak u u x
k x e a a -?
?+=-+???
?(1)
(1)x ??
u
a
5292.92123-(1)0.1333?(1)5894.92123e 5292.92123k x
k +=-(1,2,36)k = (0)
1
1
(k)N
k x x
N
-
==
∑1s =2
1(k)1N
k E E N -
==-∑2s =2
1
s s 1{|E(k)|0.6745}P P E S -
=-<
4.1.3模型分析与结论
通过简单的二分法拟合和灰色预测模型的检验，通过表格和曲线图可以清晰的表明，计划生育政策对人口控制有非常明显的作用。根据2005年的拟合数据与2005年的实际人口相比，计划生育实施后全国人口确实少生4亿。然而，经过对网上各种资料的搜集，我们发现，相关研究人员是“采取了非常简单而间接的方法。换句话说，这个研究的方法还是从人口到人口，用粗出生率来模拟粗出生率”，忽视了随着人们对生育的认识发展过程，忽视了经济发展对人们转变生育观念的重要作用，“30年少生4亿人”是对一个原本没有经过认真科学论证的计算并被进一步误传的说法，是为了“强行”计划生育而使用的借口。政府与政策制定者的职责在于怎样从实际出发，从百姓和社会的利益出发，制定和完善社会政策，而不能传播根据不足、缺乏事实支撑的说法，更不应把“30年少生4亿人”当作回避检讨现行生育政策、拒绝调整和改变的挡箭牌。
然而，无论怎样都不能否认，长达四十年之久的计划生育，长达三十年的计划生育基本国策，确实为抑制人口过快增长，提高人口素质做出了不可替代的作用，政策本身应当继续坚持和发展。
4.2 阻滞增长模型对人口老龄化的研究
对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大老年人口数量，当时老年人
口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为
)(x r )(x r x )
0,0()(>>-=s r sx
r x r m x m x x =0)(=m x r m
x r
s =
（3）将（3）代入方程（1）
得：
（4）
解方程（4）可得
（5）
4.2.2模型求解
(1)将2004年看成初始时刻即，则2005为，以次类推，以2013年为作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程得到相关的参数，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
(2)由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
（6）
(3)根据曲线（6）我们可以对2020（）年、2025年（）、2030年（）2040年（）及2050年（）进行预测得（单位：亿）：
)1()(m
x x r x r -
=?????=-=0
)0()
1(x x x x rx dt
dx
m rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
0=t 1=t 9=t -0.0334,2.4682 ==r x m 9959.0)y y
()y ?y (1R 5
1
i 2
i
1
i 2i i 2=---
=∑∑==t e
t x 0334.0)143
.11682.3(11682
.3)(--+=
16=t 21=t 26=t 36=t 46=t 37.4)46(,16.4)36(,42.3)26(,87.2)21(,25.2)16(=====x x x x x
4.2.3 模型分析
根据往年的老龄人口数据，我们建立组织增长模型，预测了30年到40年的老龄人口数，预测结果如下表
老龄人口预测结果
我们自己的模型与官方发布的老龄人口预测图基本吻合，可见人口老龄化将会在未来相当长的一段时期更加严重和突出是不争的事实。四十年后30%的老龄人口是一个非常恐怖的事情，会引发一系列严重的社会问题，养老、就医体制的不健全会进一步凸显人口老龄化的矛盾，成为社会发展的重要阻力。因此，我们要以老龄人口的预测为依据，提早做好应对严重老龄化社会的挑战，积极地把老年人问题摆在更加突出的地位，实现中国特色老龄化社会的平稳过度。
《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于老龄人口的预测图
4.3 基于人口新政策的差分方程模型
4.3.1 基于LESLIE矩阵的差分方程模型的建立
考虑到市、镇、乡村的人口性别比例，妇女生育率以及人口的死亡率都有所差别，我们分别建立市、镇、乡村的差分方程模型。市、镇、乡村合起来即可得到江苏地区人口增长的差分方程模型。
（1）首先，在不考虑人口迁移的情况下（以人口的户籍变动为准），以乡村为例，建立人口增长模型。
记人口最大年龄为岁（由假设为90）。为乡村第年岁的人口数（用上标1表示乡村，上标2表示镇，上标3表示市），为乡村第年岁人口的死亡率，由人口死亡率数据为所占该类年龄段人口的千分比（‰），我们可以得到乡村第年岁人口的死亡率为：
×1000‰ ； 于是第年岁人口数为：
(1)
记为乡村第年岁女性生育率，该生育率表示所有岁女性平均生育婴儿数，生育率为该年龄妇女生育子女与该类年龄妇女的千分比，[]为育龄
区间（由假设取15到49岁为育龄区间），为乡村第年岁人口的女性比率，则乡村第年的出生人口数为
(2)
考虑到婴儿并不是全部都能活到年统计时刻其中有些婴儿由于疾病等原因死亡，能够活到年统计时刻的婴儿数是，因此， 就是年到年的婴儿死亡数，记婴儿死亡率为，
则： ×1000‰
于是第年的婴儿数 (3)
由(1)、(2)、(3)式可得在年的一岁人口数：
(4)
将分解为
(5)
其中：是生育模式，用以调整育龄妇女在不同年龄时的生育率高低，且：
m m 1()i x t t i 1()i d t t i t i 11111
()(1)()()
i i i
i x t x t d t x t +-+=0,1,2,,1i m =- 0,1,2t = (1)t +(1)i +1111(1)(1())()i i i x t d t x t ++=-1()i b t t i i 12,i i 1()i k t t i t 1()f t 2
1
1111()()()()i i i i i i f t b t k t x t ==∑t t 0()x t 10()()f t x t -1t -t 1()c t 11
01()()
()()
f t x t c t f t -=t 1
110
()(1())()x t c t f t =-(1)t +2
1
11
11111
(1)(1())(1())(()()())i i i i i i x t c t d t b t k t x t =+=--∑1()i b t 111()()()i i b t t h t β=1()i h t
； 是乡村妇女的总和生育率，
。
记 则由(4)、(5)式可得
(6)
于是我们可以得到乡村人口差分方程模型为：
将其表示为矩阵形式 ，记
此处，即为LESLIE 矩阵；
同时，记
则由上述方程得：
运用同样方法可分别得出镇与城的人口差分方程模型为：
其中，，，与，的推导方法相同。
2
1
1()1i i i i h t ==∑1()t β2
1
1
1()()i i i i t b t β==∑111
110()(1())(1())()()i i i b t c t d t h t k t *=--2
111111(1)()()()i i i i i x t t b t x t β*=+=∑2111101111
11111
()(1()()(1)()()()(1)(1())()
i i i i i i i i x t c t f t x t t b t x t x t d t x t β*=+?=-??+=??
?+=-?∑()1,2,,1i m =- ()()()()()
()()
12*
*
11111
11121
10000100000()010000000
10i i m m m
t b t t b t d t t d t d t ββ-???
?- ? ?A =-
? ? ? ?-?
?
1()A t ()()()()()11111
123()m X t x t x t x t x t = ()()()1111X t X t A t +=()()()2221X t X t A t +=()()()3331X t X t A t +=()2
X
t ()3X t ()2A t ()3A t ()1X t ()1A t
（2）受计划生育新政策“单独二孩”政策的影响，女性生育率有了比较明显的变化，女性生育率更多的受到适龄夫妇对于生育意愿的影响
()()()j
j j
i i i
t b t p t w =+ ()()()()j j j j i i i i p t b t l t q t =
(1,2,3;1,2,3)i j ==
将（1）中的()j
i b t 替代为此时的()j
i w t ，此时新的模型即是在计划生育新
政策影响下的人口模型。
（3）由于市，镇，乡村之间并不是相互独立的，他们之间有着频繁的人口流动，在实际问题中不能被忽视，下面我们在考虑人口迁移的情况下对上述模型进行改进。
考虑到在实际发生的人口迁移中多数由于贫富差距引起，我们在对模型进行改进时仅考虑乡村、镇、市的人口净迁移人口量，可以看到镇、市人口净迁移量都为正。我们假设每年乡村到城镇的人口迁移数为上年人口总数的倍，注意到一个地区人口数量与经济发达程度有很大联系，我们以市，镇总人口的比例来分配乡村到其人口迁移的数量。由于我们以每年的各个年龄段为预测变量，必须考虑各个年龄段的迁移数量，为简化起见我们以2000至2010年各个年龄段十年人口数量之和占十年总人口数量的比例分配各个年龄段的迁移数量，并记为年龄所占比例。
记 ，，分别为乡村，镇，市在第年的总人口数，显然满足：
，，
由以上分析，第年乡村1岁人口数量为：
岁人口的数量应为：
第年镇的1岁人口数量为：
αi s i ()1N t ()2N t ()3
N t t ()()1
10
m i
i N t x t ==∑()()2
20
m i
i N t x t ==∑()()3
30
m
i i N t x t ==∑1t +()1
11x t +()2
1
11
1111
0(1)()()()i i i i i x t t b t x t s N t βα*=+=-∑(1)i +()111i x t ++()()()()()1111111i i i i x t d t x t s N t α++=--()1,2,3,,1i m =- (1)t +()2
11x t +
岁人口的数量应为：
第年市的1岁人口数量应为：
岁的人口数量应为：
于是我们可以得到在考虑人口迁移的情况下市，镇，乡村的差分方程模型为：
4.3.2模型参数的设定
()()()()2
1222
221
1
032(1)()()()i i
i
i i N t x t t b t x t s N t N t N t βα*=??+=+ ? ?+??
∑(1)i +()211i x t ++()()()()()()()()22
221
1
3211i i
i
i
N t x t d t x t s N t N t N t α+??+=-+ ? ?+??
()1,2,3,,1i m =- (1)t +()3
11x t +()()()()2
1333
331
1
032(1)()()()i i
i
i i N t x t t b t x t s N t N t N t βα*=??+=+ ? ?+??
∑(1)i +()()()()()()()()3
3331
13211i i i i N t x t d t x t s N t N t N t α+??+=-+ ? ?
+??
()1,2,3,,1i m =- ()()()()()21
212
111
012202
3303111111022222
1103233331()(1())()()(1())()
()(1())()(1)()()()(1)()()()(1)()()()b b b i i i i i i i i i i i i i i i x t d t f t x t d t f t x t d t f t x t t b t x t s N t N t x t t b t x t s N t N t N t x t t b t x t βαβαβ*=*=*==-=-=-+=-??+=+ ? ?+??+=∑∑∑()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()31
03211111
222211323
3331
132111111i i i i i i i i i i i i N t s N t N t N t x t d t x t s N t N t x t d t x t s N t N t N t N t x t d t x t s N t N t N t αααα+++???
?????????
?
????????+ ?? ?+???
?+=--?????+=-+ ? ??+??
????+=-+ ?? ?+????
()1,2,3,,1i m =-
我们根据所建立模型，需要以下几个输入量：
总和生育率，婴儿死亡率，生育模型，每年乡村到城镇的人口迁移数为上年人口总数的倍数，乡村到城镇的人口迁移中女性所占比例，各年龄人口的死亡率，出生人口中女性所占比例，总人口数；
根据国家统计局发布的第六次人口普查数据和第五次人口普查数据，我们得到1987年到2010年中每年的江苏省总人口数。可以作为模型预测的初值。 通过对其时间序列分析，得出在很短时间内，都稳定到某一值：
本论文只关注从2000起，未来45年江苏人口的发展趋势。由于社会环境稳定，可以简单地认为未来45年中，各年龄人口的死亡率保持一定。
国家政策可以影响乡村到城镇的人口迁移中女性所占比例及迁移总量的倍率
。在以下求解中，我们可以分析不同值下人口增长曲线的变化。
同时，国家计划生育政策也将影响总和生育率，为了保持社会经济的稳定发展，应该把总和生育率控制在 1.8左右。由于乡村与城镇总和生育率的不同,我们将各生育率定为如下：
根据《2010中国卫生统计年鉴》上1991年至2009年婴儿死亡率的变化，即《中国儿童发展纲要》（2001━2012年）提出的每10年降低20个百分点
[8]
。经过数据处理，得出,2050年婴儿死亡率
。
我们首先对模型（3）运用Matlab 编程对其参数进行分析，由上所定参数，
()k
t β()k c t ()k i h t αr ()k z t ()k N t ()k z t r αr β、()k
t β()k c t
并且取 0.5。此时仅有未知，为分析其对总人口数变化规律的影响，分别令其取0.01,0.001,0.0001。 4.3.3模型分析
经过模型的求解之后，我们分析了各个年份的女性生育率变化情况
由统计表尤其是统计图的走向可以清晰看出，适龄女性的生育率从2006年以来就一直呈上升态势，尤其是在2014—2018年，生育率增长最为迅速，之后趋于稳定。由此可见，“单独二孩”政策对女性生育率的影响相当明显，生育率由之前的严重偏低逐渐走向正常化水平，对缓解老龄化带来的负面影响起到了重要的作用。
我们利用预测出的女性生育率用同样的方法也预测出了2010~2050年0~14
r 2006
200820182020
1.41.45
1.5
1.55
1.6
1.65
岁人口总数
20002005201020152020202520302035204020452050
江苏省2000-2050年0~14岁人口总数统计图(单位：百万) 由上图可以看出，尽管0—14岁的人口总数在2000~2050这50年间出现了增长的拐点，即在2020年出现了0-14岁人口的极值，但在2010年之后开始了明显的下降，可见，尽管“单独二孩”政策在短期内会作用于生育率但生育人口的绝对值依旧是继续其下降趋势。
4.4 人口老龄化形式依旧严峻
根据之前的对于新生幼儿人口数目和老年人口模型的求解，针对0~14岁人口比例和老龄人口比例，建立如下图表：
依据本论文前面论述的人口老龄化的部分，我们利用江苏省的数据重新建立了人口老龄化的阻滞增长模型，得出的结论基本与全国的一致。从近期来看，人口老龄化速度远远大于新生儿的增长速度，老龄人口的比例远远大于幼儿人口比例，人口老龄化所带的诸如养老、就医等一系列问题暂依旧无法得到明显缓解。然而，此次计划生育新政策的调整昭示着我国的生育政策逐步的趋于理性，会产生一个生育小高峰，从长远来看，为我国的人口发展注入了新的活力。然而，我们必须注意到，人口老龄化是一个长期严重的问题，它将贯穿全国包括江苏省的整个21世纪，因此，我们应该更加稳定我们生育政策，及时调整，为我国人口发展和整个经济社会发展注入新的动力。
4.5 幼儿人口的下降为教育改革提供契机
根据之前的论述，我国的生育率将保持一个比较低的水平，0—14岁儿童数量继续减少。长期的严格计划生育政策已经让每年小学、高等院校的入学人数在下降，为我国教育体制改革的难得契机。我们会看到普通教育会愈加的规范化，之前出现的膨胀式的发展已经不会再出现。教育主管部门应该合理地利用这个契机，加快教育体制改革，进一步提升人口素质，提升全民的思想道德素质和科学文化素质。然而，依旧庞大的幼儿基数和城镇化的加速推进，幼儿教育的短板愈加的凸显，人们对教育的要求更加的个性化，加之新出台的单独二孩政策更是会让幼儿教育雪上加霜，因此，国家应更加注重幼儿教育，实现幼儿入园的普遍化，提升幼儿教育水平。
4.6 劳动、就业的矛盾短时期内进一步激化
近几年的养老金问题和延迟退休问题凸显了人口迅速老龄化和青壮年劳动力不足之间的矛盾，高等教育学生的就业难和延迟退休的政策形成了强烈的矛盾。“最难就业季”的平凡造访和一些岗位的人员严重欠缺以及延迟退休政策、经济下行压力等等交织在一起，人口与经济社会发展的矛盾依旧非常突出。国家应根据情况，实施调整一系列政策，保持国家稳定和发展的生机与活力。
2010
2015202020252030203520402045
2050
五、模型评价
（1）采用最小二乘法拟合计划生育实施前的人口数据，并且采用灰色预测模型检验了相关数据，拟合和预测本身应当是真实可靠的。然而，无论是最小二乘法还是灰色预测模型，其本质还是根据数据的数字特征做的数学预测，没有考虑人口发展的其他因素，忽视了事物发展的原因是内因与外因作用的结果。也正因为此，“少生4亿”的说法开始遭到人们的质疑。
（2）用阻滞增长模型预测老龄人口的变化，是建立在人口死亡率保持稳定这个假设基础上的，死亡率本身与出生率不同，它受到人口基数的影响是巨大的，因此，对于稍长时期的老龄人口预测需要不断调整()
r x，而在本文中，预测未来30-50年的死亡率，可信度还是比较高的。
（3）用差分方程和Leslie矩阵研究计划生育新政策和人口迁移对人口数量、结构的影响。新政策受多方面的影响，远远不是本文论述那些，其影响因素有些甚至是无法调查无法定量研究。因此本文的结论只能有一些参考价值。
六、参考文献
[1]邓聚龙灰色系统理论教程[M]. 华中理工大学出版社, 19901
[2] 姜启源数学模型[M] 北京：高等教育出版社2009
[3] 同济大学应用数学系工程数学线性代数高等教育出版社2005
[3] 中华人民共和国国家统计局. 中国统计年鉴-2012[M]. 北京：中国统计出版社，2002
人口增长模型的确定
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
全国数学建模竞赛一等奖论文
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
数学建模人口模型
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
全国大学生数学建模竞赛论文--范例
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全 名）：参赛队员（打印并签名）：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排 摘要 病床是医院的重要卫生资源，其使用情况是反映医院工作效率的重要指标，合理分配床位、提高病床使用率对于充分利用医疗资源、提高医院的两个效益有着十分重要的意义。 本题针对某医院眼科病床分配中存在的不合理现象，让我们建立一个合理的病床安排模型，以解决病床的最优分配问题，从而提高对医院资源的有效利用。 针对问题一，本文制定的指标评价体系包括门诊相关指标集（病人平均等待时间、门诊等待平均队长、病人平均满意度）和病床相关指标集（出院者平均住院日数、病床平均工作日、病床平均周转率、实际病床利用率）。为了能够全面地评价出模型的优劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等综合评价方法，并对应建立了三个评价模型，以得出更为科学合理的结论。 针对问题二，本文建立了以病床需求数为状态转移变量、以各类病人的病床安排数为决策变量的动态规划模型。模型中，充分考虑了观测期内病人平均等待时间、病床平均周转率、病床利用率和潜在流失率等指标，且在制定寻优策略时，引入了病人满意度量化函数和优先级函数，使得模型更加合理。通过Matlab 对该模型求解，得出了次日病床安排方案（结果见表4）。 综合评价模型时，以该医院目前的病床安排方案和我国医院通用的病床安排方法为比较对象，借助上述三种评价方法和模型，进行了综合评价比较，从综合评价结果来看，本文的模型相对较优（评价结果见表9）。 针对问题三，本文既充分考虑了如何缩短病人平均等待时间和提高病床利用率，又兼顾了公平原则，根据病症的不同和就诊病人到院的顺序制订了优先服务策略，给出了每个病人相应的入住时间区间（见P18）。 针对问题四，由于住院部周六和周日不安排手术，对某些类型病人的病床安排产生了一定的影响，因此我们对问题二中模型的优先级函数进行了相应的调整，并利用Matlab进行了求解（结果见表10）。 为了判断手术安排时间是否改变，本文根据问题一的评价方法和模型对修改后的模型进行了综合评价，从评价结果得知，手术安排时间应该做相应的调整。 针对问题五，为了使所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短，本文建立了以其为目标函数且带约束条件的非线性规划模型，并利用了Lingo 软件对其进行求解，得出的结论是：分配给外伤、白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼、视网膜疾病等各类型病人的床位数依次为：8、16、12、21、22，分别占总床数的比例为：10.13%、20.25%、15.19%、26.58%、27.85%。 最后，本文对所建模型的优点和缺点进行了客观的评价，认为本文研究的结果在实际医院病床安排中有一定的参考价值。 关键词：病人平均等待时间；实际病床利用率；RSR 法；满意度量化函数；动态规划模型；非线性规划 1.问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，
数学建模人口模型人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题：1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色 预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2014至2040年的人口 数目进行了预测， 得出在2040年时，中国人口有14.32亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文 建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2014至2040年的人口数目进行了预测，同时还用2002 至2013年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2040年时，中国人口有14.22亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99,我们就 此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 X(t+1)= 17255.&041 977 - 1 653 1.2 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况， 人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数Y =17965.0 e0.0327356 t-17372.5 ；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021 年, 深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词：GM(1,1)灰色模型Logistic阻滞增长模型线性拟合非线性拟 合 【目录】 一、问题重述 ------------------------------------------------------------- （4） 二、符号定义与说明-------------------------------------------------------- （4） 三、模型假设 ------------------------------------------------------------- （4） 四、问题分析及模型建立及求解 A、问题一:1、问题背景 -------------------------- --------------------- （5）
数学建模logistic人口增长模型
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测
实验目的 [1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； [2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解 其中的数学模型； [4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。 应用实验（或综合实验） 一、实验内容 从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示： 表综2.1 用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 二、问题分析 1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程： ?????==0 )0(d d x x rx t x 2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人 口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程： ?? ???=-=0)0()1(d d x x x x rx t x m
人口增长数学模型
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为
)1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
全国大学生数学建模竞赛论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
数学建模中国人口模型
数学建模论文 论文题目：中国人口的预测模型 学院：理学院 专业：数学与应用数学 姓名：陈保锋 学号：200812010117 2010 年5月9日
目录 一摘要 (3) 二问题的提出 (3) 三问题分析 (3) 四模型假设 (4) 五符号说明 (4) 六模型建立 (5) 模型一 (5) 模型建立 (5) 模型求解 (5) 模型二 (7) 模型建立 (7) 模型求解 (8) 七模型检验 (9) 九参考文献 (10) 【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10) 【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11) 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。 关键词：人口模型中国人口数量 二问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。 三问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
数学建模 之 人口模型
数学建模 ———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
leslie人口增长模型模型
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
人口增长的预测(数学建模论文
关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1． Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：
全国大学生数学建模竞赛论文模板
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。
一、 问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！ 应为：在仔细理解了问题的基础上，用自己的语言重新将问题描述一篇。应尽量简短，没有必要像原题一样面面俱到。 二、 模型假设 作假设时需要注意的问题： ①为问题有帮助的所有假设都应该在此出现，包括题目中给出的假设！ ②重述不能代替假设！ 也就是说，虽然你可能在你的问题重述中已经叙述了某个假设，但在这里仍然要再次叙述！ ③与题目无关的假设，就不必在此写出了。 三、 变量说明 为了使读者能更充分的理解你所做的工作， 对你的模型中所用到的变量，应一一加以说明，变量的输入必须使用公式编辑器。 注意： ①变量说明要全 即是说，在后面模型建立模型求解过程中使用到的所有变量，都应该在此加以说明。 ②要与数学中的习惯相符，不要使用程序中变量的写法 比如： 一般表示圆周率；c b a ,, 一般表示常量、已知量；z y x ,, 一般表示变量、未知量 再比如：变量21,a a 等，就不要写成:a[0],a[1]或a(1),a(2) 四、模型的建立与求解 这一部分是文章的重点，要特别突出你的创造性的工作。在这部分写作需要注意的事项有： ①一定要有分析，而且分析应在所建立模型的前面； ②一定要有明确的模型，不要让别人在你的文章中去找你的模型； ③关系式一定要明确；思路要清晰，易读易懂。