数学建模中国人口模型
数学建模 人口模型
中国人口增长预测模型的建立与分析摘要针对我国人口发展过程中出现的老龄化进程加快，出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化的新特点，我们基于LESLIE 矩阵，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，经过两次改进建立了便于计算机求解的差分方程模型，对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测。
随后利用时间段参数设置法，对差分方程模型又进行了一次改进。
然后运用等维灰色系统预测法对该差分方程模型的中短期预测进行了检验，同时根据2001年人口基本数据运用此模型对2001年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2020年、2021～2035年、2036～2050年三个区间，以量化短期、中期与长期。
通过调整模型中相关参数及输入条件，定量地分析了男女性别比例、老龄化和乡村人口城镇化对我国人口增长的影响。
预测结果表明，从短期来看，我国的出生性别比变化不明显，将在短期内维持基本不变，老龄化进程在15年内在上升了8个百分点，人口扶养比持续升高，这将加重我国的人口压力，乡村人口城镇化水平进展缓慢；从中期来看，总人口性别比将保持在1与1.1之间，老龄化进程将呈线性增加趋势，乡村人口城镇化水平将持续发展；从长期来看，老龄化进程将在2035到2045年经历老龄人口高峰平台，老龄人口比重在0.3以上，育龄妇女人数持续下降，总人口数将在2023年达到峰值14.05亿。
关键词：LESLIE矩阵，人口预测，性别比例，城镇化，老龄化，灰色系统预测一、问题的重述人口问题是中国社会发展的重要问题，对中国人口的中长期预测有助于政府制定相应的政策保持中国的长治久安。
现需要解决的问题如下：1.主要根据2001～2005年的人口统计数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势作出预测，特别要关注老龄化，出生人口性别比及乡村人口城镇化等因素。
2.指出所建模型的优点和不足之处。
数学建模(人口发展的评价分析)
2010-2011(1)学期数学建模B期末作业改革开放以来我国人口发展的评价分析姓名：王印芬学号：20092561 专业：自动化（交控）周 2 第 4 讲姓名：蒲磊学号：20092569 专业：自动化（交控）周 2 第4 讲姓名：学号：专业：周第讲改革开放以来我国人口发展的评价分析摘要中国是世界第一人口大国，人口问题一直是中国的第一大问题，也是目前人们比较关心的问题。
中国拥有13亿人口，约占世界总人口的1/5，因此我们有必要对中国的人口进行分析。
从1978年改革开放以来，到现在三十多年的时间过去了。
在这三十年里，中国在工业、农业、交通等各个领域都发生了翻天覆地的变化。
同样，中国的人口也发生了翻天覆地的变化，无论是人口的数量，人口的性别比例，人口的年龄组成还是人们的受教育程度都在发生不同程度的改变。
本文从人们比较关心也比较熟悉的几个方面入手，分析改革开放30年来中国人口的数量，性别比例和年龄组成的发展和变化状况。
在建模的过程中，我们利用了指数模型分析近三十年我国人口的数量的发展变化。
这样就对模型进行了理想化，使问题变得简单，更利于建模。
应用了最小二乘法进行数据的计算处理，由于在指数模型总数据比较多计算比较复杂，而应运最小二乘法就能将此问题简单化，有利于模型的求解。
应运了权重分析法。
由于在建模过程中我们不仅要进行纵向的比较而且还要有横向的比较，所以在进行横向比较时，我们计算了数据的平均值和方差，并赋予他们不同的权重这样有利于数据进行科学的比较和分析。
应用了EXCEL软件处理数据，并用其进行了画图分析比较。
其中我们还采用了SPSS软件进行了画图处理。
本文通过以上模型对我国人口的发展变化进行了详细的分析，最后我们将所得结果进行了验证，使得模型更加具有说服力。
关键词：指数分析，最小二乘法，权重分析，EXCEL，SPSS，数量，年龄，性别比。
一．问题重述中国是一个人口大国，虽然改革开放以来，中国在各方面都取得了很大的成就，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
(完整版)数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析
中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。
模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。
这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。
一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。
通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。
我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。
由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。
关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。
二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。
中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。
毕业设计_数学建模论文中国人口增长预测
中国人口增长预测摘要本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。
模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。
该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。
又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。
结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。
模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。
各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。
根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。
结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。
可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。
关键词：灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子一．问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。
英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。
但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。
因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。
数学建模-人口模型-人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究【摘要】本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。
2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。
首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1)灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。
同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。
并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ⨯+=⨯-。
中国人口增长预测-数学建模
中国人口增长的预测和人口的结构分析摘要本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估，选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。
模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进，弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷，加入了社会因素的影响作为改进，保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。
多次运用拟合的方法（非线性单元拟合，线性多元拟合）对数据进行整合，得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性，证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。
模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况，利用不同年龄段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测，迭代的方式不同于拟合，具有逐步递进的准确性，在参数正确的前提下，能够保证每一年得到的人口都有正确性，同时我们分男女两方面来考虑模型，不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数，具有更高的准确性。
然而Leslie模型涉及的参数较多，如果采用动态模型的方式，计算量过大，我们首先用均值的方式对模型进行简化，同样得到迭代矩阵后的人口数值，发展趋势与预测相同，能够很好的预测中国人口的长期发展，同时，由于Leslie矩阵涉及多个参数，所以我们用最终的结果来表征老龄化程度，城乡比，抚养比等多个评价社会发展的参数，得到了较好的估计值，使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。
通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测，均能得到很好的效果，说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。
关键词：人口发展预测；logistic模型改进；参数拟合；Leslie迭代模型；一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。
中国各年龄段的人口函数模型
中国各年龄段的人口函数模型
模型：f(x)=k*(a的bx+c次方)
2005年1月6日，是我国的“13亿人口”日，随着内地第13亿名公民在北京降生，标志着我国的社会发展将面临新的严峻的挑战。
人口的增长是如何测算的呢？以下是中国1991－1998人口数，统计如表所示。
(1)试建立1991－1998中国人口增长数学模型；(2)按照此增长模型到2010年我国人口能否控制在14亿以内？(3)按照此增长模型经过多少年中国人口将比1991年翻一番？
人口数统计表 (单位：亿)
年份
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
人口数 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4810
(以上数据来自1999中国统计年鉴)
分析：根据统计表计算1991-1998年每一年人口数与上一年人口数的比，从计算得到1991-1998年间每年人口数增长比例非常接近, 如果精确到小数点后面两位, 则都是1.01. 所以, 可近似地认为8年中人口是按确定的比例增加的(这里我们作了适当化简, 在建立数学模型中, 适当的化简有时是必要的), 因此符合指数函数模型。
设t 为自1991年以来的年数, 则1992人口数=11.5823 (1.01)1; 1993人口数=11.5823 (1.01)2; 所以自1991起 t年后人口数=
结论：按照此指数增长模型到2010年我国人口数估计为：=14.1781, 将超过14亿, 因此必需适当降低增长率.
要计算何时人口翻一翻，只要解方程 =2 ，解得 , 如果按照此增长模型中国人口每65年翻一翻。
我们称65为中国人口的倍增期。
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数学建模论文
论文题目：中国人口的预测模型
学院：理学院
专业：数学与应用数学
姓名：***
学号：************
2010 年5月9日
目录
一摘要 (3)
二问题的提出 (3)
三问题分析 (3)
四模型假设 (4)
五符号说明 (4)
六模型建立 (5)
模型一 (5)
模型建立 (5)
模型求解 (5)
模型二 (7)
模型建立 (7)
模型求解 (8)
七模型检验 (9)
九参考文献 (10)
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10)
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11)
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要
日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。
通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。
模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。
关键词：人口模型中国人口数量
二问题的提出
人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。
三问题分析
通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。
但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
较符合，但是2005到2008期间误差越来越大，通过对指数的性质可以了解到，当自变量无穷大时，函数趋于去穷大，这与事实相悖，因为现实资源是有限的，当人口到达某一数值后，由于各种资源、环境因素的限制，人口数量将达到某一稳定值，所以，不妨假设最大人口数为，当人口数达到最大的时候，增长率为0，建立第二个数学模型。
四模型假设
1 假设：表中所给出的数据是中国人口的真实值。
2 假设：一些大型自然灾害不考虑在内，如战争，地震等。
3假设：中国实行的生育模式一直不变。
4假设：医疗水平五太大变化对人口数量。
五符号说明
r——人口增长率
t——时间
——1978年人口数量
x(t)——时刻t的人口数
r(x)——增长率的函数
——人口最大容量
六 模型建立
模型一：
模型建立：
图表是从1978年到2008年间的人口数：
记时刻t=0是人口数为0x ，时刻t 的人口为()x t ，由于量大，()
x t 可视为连续、可微函数。
t 到+t t 时间段内人口的增量为 ()()()+-=x t t x t rx t t
于是()x t 满足微分方程0
(0)⎧=⎪⎨⎪=⎩dx rx dt x x （1） 模型求解：
解微分方程（1），得 0()=rt x t x e 0()1(1)-=+-m
rt
m x x t x e x
由上述模型微分方程的解，通过对上表进行数据拟合，得到参数r ：
程序：
y=[9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851
10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517
11.9850 12.1121 12.2359 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627
12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 13.1448 13.2129 13.2802]';
t=[0:1:30]';
b=ones(31,1);
z=log(y)-b*log(9.6259);
r=t\z
结果为：
r =0.0122
将r=0.0122代到上述模型中，得到指数增长模型，方程为：
求出的1978到2008年的人口数为：
画出两表的数据图像，得到：
从图表可以看出，1978到2004年预测的人口数和实际人口数吻合，但从2005到2008这四年误差较大。
原因在于，指数模型当t
时，，即人口数无穷增长，但自然环境下，因为资源，环境条件等人口最终将稳定在某一特定的值，无论t 再变，y 值都不会再改变。
模型二：
模型建立
当=m x x 时，增长率应为0，即()0=m r x ，于是=
m r s x ，带入()=-r x r sx ，得()(1=-）m
x r x r x （3） 将（3）式带入（1）得
模型：0(1)(0)⎧=-⎪⎨⎪=⎩
m dx x r x dt
x x x （4） 模型求解：
解方程（4），得0()1(1)-=+-m
rt
m x x t x e x （5）
通过求的模型，对表中1978到2008年的数据r 和
进行数据拟合： function f=fun2(k,t)
f=k(1)./(1+(k(1)/9.6259-1)*exp(-k(2)*t));
t=0:1:30;
x=[9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 13.1448 13.2129 13.2802 ];
k0=[0.05 0.05];
k=lsqcurvefit('fun2',k0,t,x)
f=fun2(k,t)
运行结果：
k =
15.5731 0.0441
f =
Columns 1 through 8
9.6259 9.7870 9.9463 10.1036 10.2589 10.4120
10.5629 10.7115
Columns 9 through 16
10.8575 11.0011 11.1421 11.2804 11.4161 11.5490
11.6790 11.8063
Columns 17 through 24
11.9306 12.0521 12.1707 12.2864 12.3992 12.5091
12.6161 12.7202
Columns 25 through 31
12.8214 12.9198 13.0154 13.1082 13.1982 13.2856
13.3702
由此得到阻滞增长模型方程式：
其中t为时间，y为人口数。
七模型检验
将得到的数据与实际数据比对，画出图像可以看出，预测的数据与实际数据误差较小，较吻合，比对结果如图所示：
由此我们可以预测出2009年到2018年的中国人口数据，
f =
Columns 1 through 9
13.4546 13.5341 13.6110 13.6853 13.7573 13.8268 13.8941 13.9590 14.0217
Column 10
14.0822
九参考文献
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1
【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社
2008.10
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1
【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：山东教育出版社，1997.12 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.12
【6】戴树桂环境化学（第二版）高等教育出版社 2006.10
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