研究生医学统计学-简单线性回归分析
医学统计学简单线性回归和线性相关
1、答：实验数据为:图一实验数据图首先得到散点图，观察身高与肺死腔容积是否具有线性关系。
Graph-Scatter/Dot-simple scatter,x图二15名儿童身高与肺死腔容积散点图从图中可知，肺死腔容量随着身高增加而增加，且呈直线变化趋势。
回归方程的截距和系数求解为：Analyze-Regression-Linear,将y放入Dependent, x放入Independent中，结果为：图三回归系数和截距结果图从上图得，截距为-89.771，回归系数为1.069.回归系数等于0的假设检验：建立假设、确定检验水准α。
H0:β=0,即儿童的身高与肺死腔容积无直线关系。
H1:β≠0,即儿童的身高与肺死腔容积有直线关系。
检验水准α=0.05计算检验统计量F值，确定P值。
图四方差齐性结果图从上图得，F=42.629，概率P<0.05，即拒绝H0,接受H1，可认为儿童的身高与肺死腔容积有直线关系。
证明：由图三和图四可得，t b=6.529=√F=6.529。
估计回归系数的95%置信区间：Analuze-Regression-Linear-save，勾上Mean，结果如下,图五总体回归系数置信区间得总体回归系数95%置信区间为(13.664,109.797)。
2、答：实验数据为：图一实验数据图首先得到散点图，观察凝血时间与凝血酶浓度是否具有线性关系。
Graph-Scatter/Dot-simple scatter,x变量放入X Axis,与y变量放入Y Axis,OK.结果如下，图二15名健康成人凝血时间与凝血酶浓度散点图从图中可知，凝血酶浓度随着凝血时间增加而减少，且呈直线变化趋势。
其次进行双变量正态检验：对x进行正态检验，结果为，图三 x变量正态检验结果图从上图可知，概率P>0.05，即x变量服从正态变量。
以凝血酶浓度和凝血时间作直线回归，并进行残差分析。
Analyze-Regression-Linear,将y放入Dependent, x放入Independent中，结果为：图四回归系数和截距结果图从上图得，截距为2.816，回归系数为-0.123.并且从上图得，概率P<0.05，即拒绝H0,接受H1，可认为凝血时间与凝血酶浓度有直线关系。
《医学统计学教学课件》10简单回归分析
14 名中年健康妇女的基础代谢（kJ/d）与体重的测量值
编号 基础代谢 体重（kg） 编号 基础代谢 体重（kg）
1
4175.6
50.7
8
3970.6
48.6
2
4435.0
53.7
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
大长度）做了测量，发现：
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关系：
Y ˆ33.730.516X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是 更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。 Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。
1．方差分析
理解回归中方差分析的基本思想，需要 对应变量Y的离均差平方和lYY作分解。
Y的离均差， 总变异
残差 回归变异
最小二乘法 标准误计算
图中，任意一点 P 的纵坐标被回归直线Yˆ 与均数 Y 截成三个线段，其中：Y Y (Yˆ Y ) (Y Yˆ ) 。由于 P 点是散点图中任取的一点，将全部数据点都按上法 处理，并将等式两端平方后再求和则有
Regression 释义
14 名中年健康妇女的基础代谢（kJ/d）与体重的测量值
编号 基础代谢 体重（kg） 编号 基础代谢 体重（kg）
1
4175.6
50.7
8
3970.6
48.6
2
4435.0
53.7
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
医学统计学课件：回归分析
线性回归模型的预测
利用模型进行预测
根据建立的模型，可以利用自变量值预测因变量值。
预测精度评估
通过比较预测值与真实值的差异，评估模型的预测精度。
预测范围扩展
如果仅有一个样本的数据，则可以利用该样本建立模型并预测其他 类似样本的数据。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
01
确定自变量和因变量
02
数据的概率化
04
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
根据研究目的和已有的知识，确定影响因变量的自变量。
数据预处理
对数据进行清理、缩放和标准化等预处理，以提高模型的准确性和稳定性。
模型拟合
使用最小二乘法等数学优化方法，拟合出多元线性回归模型。
多元线性回归模型的评估
01
02
03
残差分析
观察残差是否符合假设， 如正态分布、独立同分布 等。
偏最小二乘回归分析
总结词
偏最小二乘回归分析是一种广泛应用的回归方法，它 通过构建两个投影矩阵，将自变量和因变量同时进行 线性投影，以解决传统最小二乘法在处理具有多重共 线性的自变量时的不足。
详细描述
偏最小二乘回归分析通过迭代的方式，分别计算自变 量和因变量的投影矩阵，从而对数据进行最佳投影， 以获得更准确的回归系数估计。这种方法能够有效地 处理具有多重共线性的自变量，提高回归模型的精度 和预测能力。在医学领域，偏最小二乘回归分析可以 应用于研究多个生物标志物对某种疾病的影响，以及 疾病的诊断和预测。
通过对手术患者的康复情况、生存率等指标进行数据分析， 评估手术效果及并发症风险。
评估药物疗效
通过对比药物治疗前后的生化指标、症状改善情况等数据， 评估药物治疗效果及不良反应发生风险。
医学统计学直线回归分析
b为回归系数(regression 。
a>0
a=0
a<0
b>0
b>0：x 每增加（减少）一个观测单位，yˆ 增加
（减少）b个单位。
b<0
x yˆ b<0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）
|b|个单位。
b=0
b=0：x与 y 没有直线回归关系。
主要内容
直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别
医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系， 例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年 龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量， 身高与臂长……
两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。
回归方程的估计
原理：最小二乘法(least square method)
各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小
计算公式
b
lxy lxx
(x x )( y (x x)2
y)
a y bx
其中
lxx x2 ( x)2 / n lyy y2 ( y)2 / n
lxy xy ( x y) / n
➢ yˆ p 的1-α的置信区间估计
公式为： yˆ p t S / 2,(n2) yˆp
其中：
S yˆ p S yx
1 (xp x)2
n
lxx
应变量个体y值的预测区间
对于给定的x=xp，y值的预测区间
计算公式为： yˆ p t / 2, Sy|xp
其中：
Sy|xp Syx
1 1 (xp x )2
n
lxx
研究生医学统计学-简单线性回归分析
sYX
YYˆ 2 n2
Y Y ˆ2 ＝ Y Y2 X X X Y X 2 Y2
Y Y ˆ2 ＝ Y Y 2 X X X Y X 2 Y 2 1 .60 0 .7 84 6 0 .5 84 63
编号 母X
脐Y
X2
Y2
XY S(YY)2SY2(SY)2/nlYY
—— 相关分析ຫໍສະໝຸດ 例例 7-1 某医生为了探讨缺碘地区母婴 TSH 水平的关系，应用免疫放射分析测定了160 名孕
妇（孕周 15-17w）及分娩时脐带血 TSH 水平（mU/L），现随机抽取10 对数据如下，试求脐 带血 TSH 水平 Y 对母血 TSH 水平 X 的直线回归方程。
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
公式可写成：
(Y Yˆ ) 2＝ (Y Y ) 2 － (Yˆ Y ) 2
SS剩 SS总 － SS回 S S 总＝ lYY
S S 回＝
l
2 X
Y
lXX
blXY
b 2lXX
SY .X
S (Y Yˆ ) 2 n2
SS剩 ＝ n2
M S剩
SS剩的另一种解法
编号 （1）
X （2）
Y （3）
Y: 因变量(dependent variable)；通常也称为“反应变量”(response variable)
新生儿脐带血TSH水平 （mU/L）Y
散点图
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 母血TSH水平（mU/L）X
图7-1 母血与新生儿脐带X血TSH水平散点图
同样有：
总＝ 剩＋ 回
医学统计学课件：回归分析
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
(卫生统计学)第十二章 简单回归分析
0.78655
（二）回归系数 β 的假设检验
H
：
0
0
即两变量之间无直线关 系
t 检验法 统计量：
t
b0 Sb
~
t
(n
2)
, 其中
Sb
SY .X l xx
例12 1 中， b -6.9802 , Sb 0.78655
6.9802 tb 0.78655 8.8767 P 0.001
y
图12-2
μ3 μ2 μ1
x1
x2
x3
x
三、回归参数的估计—最小二乘估计
求法：利用最小二乘法原理( least square method)— 回归残差平方和最小
n
n
n
S di2 (yi yi)2 [yi (abxi)]2 min
i1
i1
i1
S
a
n
2
[yi
(ab
xi )](1)
S n
b
2
i1
[yi
(ab
xi )](xi
)
n
2
i 1 n
[
yi
(a bxi )](1) 0
2
i1
[ yi
(a bxi )](xi )
0
b lxy lxx
a y bx
离差参数
n
n
n
n
( xi )( yi )
l xy ( xi x )( yi y ) xi yi i1
lXX 14.81 15 0.404
2242 lYY 3368 15 22.933
l XY
216.7 14.7 224 15
2.82
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是一种常用的统计学方法，旨在分析变量之间的关系并预测一个变量如何受其他变量的影响。
回归分析可以用于描述和探索变量之间的关系，也可以应用于预测和解释数据。
在统计学中，有多种回归分析方法可供选择，本文将介绍其中几种常见的方法。
一、简单线性回归分析方法简单线性回归是最基本、最常见的回归分析方法。
它探究了两个变量之间的线性关系。
简单线性回归模型的方程为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是残差项。
简单线性回归的目标是通过拟合直线来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合线。
二、多元线性回归分析方法多元线性回归是简单线性回归的扩展形式，适用于多个自变量与一个因变量之间的关系分析。
多元线性回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中X1, X2, ..., Xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是残差项。
多元线性回归的目标是通过拟合超平面来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合超平面。
三、逻辑回归分析方法逻辑回归是一种广义线性回归模型，主要用于处理二分类问题。
逻辑回归将线性回归模型的输出通过逻辑函数（如Sigmoid函数）映射到概率范围内，从而实现分类预测。
逻辑回归模型的方程为：P(Y=1|X) =1 / (1 + exp(-β0 - β1X))，其中P(Y=1|X)是给定X条件下Y=1的概率，β0和β1是回归系数。
逻辑回归的目标是通过最大似然估计来拟合回归系数，从而实现对未知样本的分类预测。
四、岭回归分析方法岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这会导致估计出的回归系数不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的目标函数中引入一个正则化项（L2范数），从而降低回归系数的方差。
岭回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε + λ∑(β^2)，其中λ是正则化参数，∑(β^2)是回归系数的平方和。
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7.6908 XS X/n1.8 5/1 3 0 1.583
7.2576
8.5828 YS Y/n4.7 5/1 3 0 4.573
9.3060 a Y bX
10.9200 73.1380
SXY
4.5730.99731.583 2.9943
例 71资料的回Yˆ归 2.9方 9 4程 0.39： 9X 73
回归参数计算的实例
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
合计
母X 1.21 1.30 1.39 1.42 1.47 1.56 1.68 1.72 1.98 2.10 15.83 SX
脐Y 3.90 4.50 4.20 4.83 4.16 4.93 4.32 4.99 4.70 5.20 45.73 SY
X2
Y2
1.4641 15.2100
1.6900 20.2500
1.9321 17.6400
2.0164 23.3289
2.1609 17.3056
2.4336 24.3049
2.8224 18.6624
2.9584 24.9001
3.9204 22.0900
4.4100 27.0400
25.8083 210.7319
X X Y Y
2
X X
2
l
2 XY
l XX
5 6
1.47 1.56
4.16 4.93
2.1609 17.3056 6.1152 2.4336 24.3049 7.6908
[S XY S X S Y / n )] 2 S X 2 S X 2 / n
7
1.68
4.32
2.8224 18.6624 7.2576
Y: 因变量(dependent variable)；通常也称为“反应变量”(response variable)
新生儿脐带血TSH水平 （mU/L）Y
散点图
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 母血TSH水平（mU/L）X
图7-1 母血与新生儿脐带X血TSH水平散点图
—— 相关分析
实例
例 7-1 某医生为了探讨缺碘地区母婴 TSH 水平的关系，应用免疫放射分析测定了160 名孕
妇（孕周 15-17w）及分娩时脐带血 TSH 水平（mU/L），现随机抽取10 对数据如下，试求脐 带血 TSH 水平 Y 对母血 TSH 水平 X 的直线回归方程。
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SX2
SY2
XY 4.7190 5.8500 5.8380 6.8586 6.1152
b lXY l XX
SXY SX
2
SX SY / SX 2 / n
n
73 .138 15 .83 45 .73 /10 25 .8083 15 .83 2 /10
0.7474 0.9973 0.7494
函数关系： 确定。例如园周长与半径：y=2πr 。 回归关系：不确定。例如血压和年龄的关系，称为直线回
归(linear regression)。
目的： 建立直线回归方程( linear regression equation)
一、 直线回归方程
一般表达式： Yˆ abX
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
1
1.21 3.90 1.4641 15.2100 4.7190 21.7031945.732/101.6086
2 3 4
1.30 1.39 1.42
4.50 4.20 4.83
1.6900 1.9321 2.0164
20.2500 17.6400 23.3289
5.8500 5.8380 6.8586
10 简单线性回归分析
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与 动物死亡率等。
两个关系：
y (1) 依 存 关 系 ： 应 变 量 (dependent variable)Y 随 自 变 量 (independent
variable)X变化而变化。
—— 回归分析
(2) 互依关系： 应变量Y与自变量 X间的彼此关系
母血 TSH 水平 X 1.21 1.30 1.39 1.42 1.47 1.56 1.68 1.72 1.98 2.10
脐带血 TSH 水平 Y 3.90 4.50 4.20 4.83 4.16 4.93 4.32 4.99 4.70 5.20
X: 自变量(independent variable)；通常也称为“解释变量”(explanatory variable) 只有一个自变量，称简单回归（simple regression）； 多个自变量，称多元回归(multiple regression)
sYX
YYˆ 2 n2
Y Y ˆ2 ＝ Y Y2 X X X Y X 2 Y2
Y Y ˆ2 ＝ Y Y 2 X X X Y X 2 Y 2 1 .60 0 .7 84 6 0 .5 84 63
编号 母X
脐Y
X2
Y2
XY S(YY)2SY2(SY)2/nlYY
bl XY b 2 l XX
8
1.72
三、回归系数的假设检验
b≠0原因：① 由于抽样误差引起，总体回归系数β=0
② 存在回归关系，总体回归系数β ≠0
（一） t 检验； （二） 方差分析
公式
t b0＝ b
Sb
Sb
，υ＝n－2
Sb为回归系数的标准误 Sb＝
SY.X
XX2
SY.X lXX
SY.X为Y的剩余标准差——扣除X的影响后Y的变异程度。
b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。
意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
b>0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系
—— 水平。
｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
例 71资料的回Yˆ归 2.9方 9 4程 0.39： 9X 73
散点图
5.5
5.0
4.5
X Y
新生儿脐带血TSH水平
（mU/L）Y
4.0
3.5
3.0
2.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 母血TSH水平（mU/L）X
图7-1 母血与新生儿脐带X血TSH水平散点图