量子力学习题汇集

第一章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率．３．在球坐标中，粒子波函数为()ϕϑψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率；２）在()ϕϑ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率．４．已知力学量F 的本征方程为n n n F ϕλϕ=求在状态波函数332211ϕϕϕψc c c ++=下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）．第二章习题１．一粒子在二维势场⎩⎨⎧∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++∇-=η所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值．３．利用递推关系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明()22222)2)(1()12()1(2+-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第 四 章 习 题１． 证明 )cos sin (cos ϕϑϑi A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。

说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。

２． 对于一转动惯量为I 的平面转子，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。

如ϕϕψsin )0,(A =，求),(t ϕψ。

３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。

４．一质量为m 的粒子被限制在半径为a r = 和b r =的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。

求粒子的基态能量和归一化本征函数。

第 五 章 习 题１． J ϖ为一角动量算符。

试计算x J 、y J 、z J 在{}z J J ,2 的共同本征函数构成的表象中，21=j 的子空间的矩阵表示。

２． 已知体系的哈密顿量H 与另一力学量B 在能量表象中的表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001ωηH ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001010b B0=t 时体系的态矢量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11221)0(ψ（1） 求在 0=t 及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。

（2） t 时刻的态矢)(t ψ。

（3） 求该体系力学量B 的可能值及几率和B 的平均值。

（4） 0=t 时体系在B 表象中的态矢)0(ψ'。

第 六 章 习 题１． 设氢原子状态是⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=),(23),()(2110211121ϕϑϕϑψY R Y r R (1) 求z L 和z S 的平均值；(2) 求总磁矩S ce L c e M ϖϖϖμμ--=2 的z 分量的平均值（用玻尔磁子表示）．２． 在z S 表象下求解x S 的本征值方程．在x S 的本征矢测量z S 有哪些可能值这些可能值出现的几率及平均值．并求此状态在x S 表象中的表示．３．L ϖ和S ϖ为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明[]0,≠⋅S L L ϖϖϖ， []0,≠⋅S L S ϖϖϖ如果定义总角动量S L J ϖϖϖ+=，证明[]0,=⋅S L J ϖϖϖ４．设A ϖ、B ϖ是与σϖ对易的任意矢量算符，证明)())((B A i B A B A ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ第 七 章 习 题１． 某物理体系由两个自旋21的非全同粒子组成．已知粒子1处于211=z S 的本征态，粒子2处于212=x S 的本征态，求体系总自旋2S 的可能测量值及相应的概率（取1=η）．２． 一个处于中心势的粒子具有轨道角动量η2=L 和自旋η1=S ．求和形如S L A H so ϖϖ⋅=的自旋－轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里A 是个常数．３． 两个自旋21的粒子组成的系统由等效Hamilton 量 ()2121S S B S S A H z z ϖϖ⋅++=描述，其中1S 、2S 是两个粒子的自旋，z S 1、z S 2是它们的z 分量，A 和B 为常数．求该Hamilton 量的所有能级．４． 两个无相互作用的粒子，质量相同为m ，处于一维无限深势阱中，势阱宽为a 2，在阱中势为零，阱外势无穷大． (1) 求系统四个最低能级的值是多少 (2) 求这些能级的简并度，如果这两个粒子 (ⅰ) 是全同粒子，自旋为21； (ⅱ) 不是全同粒子，自旋都为21； (ⅲ) 全同粒子，自旋为1．５． 固定在z 轴上的两个电子间存在一个磁偶极－偶极相互作用能()z z S S S S A H 21213-⋅=ϖϖi i S σϖϖ21=，i σϖ为Pauli 矩阵，A 为常数（令1=η）． (1) 用总自旋算子21S S S ϖϖϖ+=表示A H ． (2) 求A H 的本征值和简并度．6．某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：)(x a ϕ，)(x b ϕ，)(x c ϕ，K ，其中Λc b a E E E <<．两个没有相互作用的粒子置于该势阱中．对下列(1)，(2)，(3)各种情形写下：两粒子体系可能达到的两个最低能级；上述两个能级各自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用ϕ表示空间部分，S M S ,表示自旋部分，S 是总自旋）． (1) 两个自旋为21的可区分粒子．(2) 两个自旋为21的全同粒子．(3) 两个自旋为0的全同粒子．第 八 章 习 题１． 设一粒子作简谐振动，其哈密顿量2220212x m m p H ω+=，受微扰作用2cx H ='（2ωm c <<）。

试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较。

２． 一个二维各向同性谐振子，质量为m ，频率为ω。

在加入微扰xy H λ='（λ为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。

３． 设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a E b b a E )0(2)0(1 其中a 、b 为实数。

求 （1） 用微扰公式求能量至二级修正值。

（2） 直接求能量，并与（1）所得结果比较。

总 复 习 题1. 试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质.2. 某一角动量算符满足ϖϖηϖJ J i J ⨯=如果定义： J + = J x + iJ y , J - = J x - iJ y试证明：(1) [,]J J J Z ±±=±η ; (2) [,]J J 20±=3. 已知一厄密算符在正交归一基矢{u u u 123,,张成的三维空间 中取如下矩阵形式101020101⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 求其本征值和本征矢.4. 实际氦原子的基态当然是非简并的。

但是，考虑一假想的氦原子， 其中两个带负电的，自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子。

对这种假想的氦原子，问其基态的简并度是多少给出你的理由（忽略与自旋有关的作用）。

5．试写出一被束缚在半径为a 的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。

6．对于坐标x 构成算符xe ˆ (1) 证明它是厄密算符；(2) 求出它在坐标、动量表象中的表示。

7． 有一在2221x m ω势作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为)(21)(23)(65x x x ψψψ-=式中)(x n ψ为其归一化的本征函数，相应的本征值为ωη⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n(1) 求这一时刻的能量平均值； (2) 求这一时刻的位置平均值；(3) 过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化为什么8．有一三电子系统，电子有三种可能的轨道态A ϕ，B ϕ，C ϕ和两种自旋态+χ，-χ。

则系统的反对称波函数的数目是多少并举出两个具体例子。

9．已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=εεεεε2002002H (1) 求体系能量本征值及归一化本征矢；(2) 求将H 对角化的幺正变换矩阵。

10．在z s 表象中，求在z s 的相应于本征值为2η+的本征态中，x s 的可能值及相应的几率。

如果在x s 表象中求解上述问题，会得到什么结果11．试证明守恒量的平均测量值不随时间变化。

12．在轨道角动量算符2L 和z L 的共同本征态),(ϕϑlm Y 下，计算下列期望值：(1) x L 和y L ； (2) 2x L 和2y L ； (3) 2x L ∆和2y L ∆。

13．自旋0=s 的三个全同粒子处在某有心力场中，忽略粒子之间的相互作用。

三个粒子所处单粒子定态的量子数r n 和l 均相同，且1=l 。

求体系的可能的状态数，并且用简练的形式（如Dirac 符号）表示之。

14．设哈密顿量在能量(0H )表象中的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a E b bE 21 其中a 、b 为小量。

(1) 用微扰法求能级至二级修正值；(2) 求准确的能级值，与(1)的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。

15．考虑一个具有三维态空间的物理体系。

在态空间选定一组正交归一基，在这组基下，哈密顿量可用矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012H表示。

(1) 当测量系统的能量时，可能的结果是什么(2) 一个粒子处于ψ，用这组基表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i i i 31，求H 、2H 和H ∆。

16. 考虑两个粒子体系，每个粒子都有自己的角动量1L ϖ和2L ϖ。

证明21L L L ϖϖϖ+=是一个角动量算符，即满足对易关系L i L L ϖηϖϖ=⨯。