湖北省孝感市孝南区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

湖北省孝感市孝南区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．若方程（a-2)x 2-2018x+2019=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．a≠1B ．a≠-2C ．a≠2D ．a≠3 3．用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）A ．()221x +=B ．()221x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 4．以2和4为根的一元二次方程是（ ）A ．2680x x ++=B ．2680x x -+=C ．2680x x +-=D ．2680x x --= 5．已知抛物线y ＝2x ﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ，0)，则代数式m 2﹣m+2019的值为( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 6．如图，ABC ∆中，90,25ACB ABC ∠=︒∠=︒ ，以点C 为旋转中心顺时针旋转后得到''A B C ∆，且点A 在边''A B 上，则旋转角的度数为（ ）A ．65︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒ 7．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为( )A ．y ＝22(1)x +﹣2B ．y ＝22(1)x -﹣2C ．y ＝22(2)x -﹣1D ．y ＝22(2)x ++18．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）A ．()11452x x -=B ．()11452x x +=C ．()145x x -=D ．()145x x += 9．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题 11．方程2x x =的根是____________．12．已知点P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称,则a+b 的值是___.13．正三角形绕着它的旋转中心旋转___________能够与它自身重合．14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.15．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支，则可得方程为_______________．16．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过(﹣1，0)，对称轴x＝1，则下列三个结论：①abc ＜0；②10a+3b+c＞0；③am2+bm+a≥0.正确的结论为_____(填序号).三、解答题17．解方程：(1)x2﹣2x﹣1＝0(2)2(x﹣3)2＝x2﹣918．如图，已知A(1，﹣1)，B(3，﹣3)，C(4，﹣1)是直角坐标平面上三点.(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)请画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2.(3)判断以B，B1，B2，为顶点的三角形的形状(无需说明理由).19．已知抛物线y =-x 2+4x +5．(1)用配方法将y =-x 2+4x +5化成y =a （x ﹣h ）2+k 的形式；(2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)若抛物线上有两点A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),如果x 1>x 2>2,试比较y 1与y 2的大小. 20．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值．21．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？(2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.22．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨一元，每天的销售量就减少10件， （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？23．如图1 ，在ABC 中，90,,BAC AB AC ∠=︒=D 是BC 边上一点(不与点,B C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ．（发现问题）（1）如图1 ，通过图形旋转的性质，可知AD =_______，DAE =∠ 度； （解决问题）（2）如图1，证明BC DC EC =+；（拓展延伸）如图2，在ABC 中，90,,BAC AB AC D ∠=︒=为ABC 外一点，且45ADC ∠=︒，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接,EC ED ．（3）若6,3,AD CD ==求的BD 长．24．二次函数y ＝﹣54x 2+bx+c 的图象与直线y ＝﹣12x+1相交于A 、B 两点(如图)，A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C(﹣3，0).(1)填空：b ＝_____，c ＝_____.(2)点N 是二次函数图象上一点(点N 在AB 上方)，过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；(3)在(2)的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标.参考答案1．C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．【详解】A．不是中心对称图形，故此选项错误；B．不是中心对称图形，故此选项错误；C．中心对称图形，故此选项正确；D．不是中心对称图形，故此选项错误．故选C．2．C【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：∵方程（a-2)x2-2018x+2019=0是关于x的一元二次方程，∴a+2≠0，解得a≠-2，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．D【解析】试题解析：245,-=x x24454,x x -+=+2(2)9.x -=故选D.4．B【解析】【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．【详解】以2和4为根的一元二次方程是x 2﹣6x+8=0，故选B ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．5．C【分析】把(m ，0)代入y ＝x 2﹣x ﹣1得m 2﹣m ＝1，然后利用整体代入的方法计算m 2﹣m+2019的值即可；【详解】解：把(m ，0)代入y ＝x 2﹣x ﹣1得m 2﹣m ﹣1＝0，所以m 2﹣m ＝1，所以m 2﹣m+2019＝1+2019＝2020.故选：C.【点睛】本题主要考查了整体代入求值，掌握整体代入求值是解题的关键.6．C【分析】先利用直角三角形两锐角互余计算出65BAC ∠=︒，再利用旋转的性质得'CA CA =，'65A BAC ∠=∠=︒，ACA'∠等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ACA'∠的度数即可．【详解】解：90ACB ∠=︒，25ABC ∠=︒，65BAC ∴∠=︒，以点C 为旋转中心顺时针旋转后得到''A B C ，且点A 在边''A B 上，'CA CA ∴=，'65A BAC ∠=∠=︒，ACA'∠等于旋转角，''65CAA A ∴∠=∠=︒，'180656550ACA ∴∠=︒-︒-︒=︒，即旋转角的度数为50︒．故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键在于依据旋转的性质，把已知条件和求解目标集中在一个等腰三角形中．7．B【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，﹣2)，根据抛物线的顶点式求解析式.【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，﹣2)，∴平移后抛物线解析式为y ＝2(x ﹣1)2﹣2.故选：B.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 8．A【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x （x-1）场，再根据题意列出方程为()11452x x -=． 【详解】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为()11452x x -=，故选：A ．【点睛】本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 9．A【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①02x ≤≤时，根据12APQ S AQ AP ∆=⋅，列出函数关系式，从而得到函数图象；②24x ≤≤时，根据''''APQ CP Q ABQ AP D ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【详解】①当02x ≤≤时，∵正方形的边长为2cm ， ∴21122APQ y S AQ AP x ∆==⋅=； ②当24x ≤≤时，APQ y S ∆=''''CP Q ABQ AP D ABCD S S S S ∆∆∆=---正方形()()()21112242222222x x x =⨯---⨯⨯--⨯⨯- 2122x x =-+， 所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A 选项图象符合，故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．10．B【解析】试题解析：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=12A′B′=2， ∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选B ．11．0和1【分析】观察本题形式，用因式分解法比较简单，在移项提取x 后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出x ．【详解】移项得：20x x -=，即()10x x -=，解得：1201x x ==，．故答案为：0和1 ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12．2【解析】【分析】由关于原点对称的点的坐标关系可知，-b=-3,2a=-2,求出a,b即可.【详解】因为点P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称,所以-b=-3,2a=-2,解得b=3,a=-1.所以a+b=2.故答案为：2【点睛】本题考核知识点：关于原点对称的点的坐标.解题关键点：理解关于原点对称的点的坐标关系.13．120︒【解析】试题分析：根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．︒÷=︒∵3603120∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故答案为120︒考点：旋转对称图形．14．-4【解析】【分析】y=-代入抛物线解根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出：220.52x -=-+，解得：x =±所以水面宽度增加到 4.故答案是： 4.-【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 15．x 2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x 个小分支，每个小分支又长出x 个分支，则又长出2x 个分支，则共有2x +x+1个分支，即可列方程得：2x +x+1=91．故答案为2x +x+1=91．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．16．②③【分析】①观察图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标即可判断；②观察图象可知当x ＝3时y 大于0代入值即可判断；③根据对称轴得b ＝2a 代入即可判断.【详解】解：①观察图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0.所以①错误；②观察图象可知：当x ＝3时，y ＞0，即9a+3b+c ＞0，∵a ＞0，∴10a+3b+c ＞0.所以②正确；③因为对称轴x ＝1，所以b ＝﹣2a ，所以am 2+bm+a＝am 2﹣2am+a＝a(m ﹣1)2≥0.所以am 2+bm+a≥0.所以③正确.故答案为②③.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键.17．(1)11x =+21x =-；(2)x 1＝3，x 2＝9.【分析】(1)利用公式法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得；【详解】解：(1)∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1，∴△＝(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)＝8＞0，∴x ＝1即11x =+21x =(2)∵2(x ﹣3)2＝x 2﹣9，∴2(x ﹣3)2＝(x+3)(x ﹣3)，∴2(x ﹣3)2﹣(x+3)(x ﹣3)＝0，∴(x ﹣3)(x ﹣9)＝0，∴x ﹣3＝0或x ﹣9＝0，解得x 1＝3，x 2＝9.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，掌握解一元二次方程是解题的关键.18．(1)见解析；(2)见解析；(3)△BB 1B 2是等腰直角三角形.【分析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可.(2)分别作出点A 1，B 1，C 1的对应点A 2，B 2，C 2即可.(3)△BB 1B 2是等腰直角三角形.【详解】解：(1)△A 1B 1C 1如图所示.(2)△A 2B 2C 2如图所示.(3)△BB 1B 2是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查了作图-平移变换，作图-旋转变换，掌握作图-平移变换，作图-旋转变换是解题的关键.19．（1）2=2)9y x -++（；（2）开口方向向下，对称轴为：2x =-,顶点坐标为()2,9-； （3）y 1＜y 2；【分析】（1）已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式；（2）根据顶点式的坐标特点，直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）首先根据抛物线的对称轴和开口方向确定其增减性，然后根据自变量的范围比较函数值的大小．【详解】(1)22245=-4+4)9=2)9y x x x x x =-++-+-++（（，（2）抛物线2(2)9y x =-++，开口方向向下，对称轴为：2x =-,顶点坐标为()2,9-；（3）∵抛物线的开口方向向下，且对称轴为2x =-，∴当2x -≤时递增，当2x -＞时递减，∵x 1>x 2>2＞-2，即在对称轴2x =-右边递减，y 随x 的增大而减小，∴x 1>x 2 即可得y 1＜y 2.【点睛】此题考查抛物线的性质，解题关键在于把一般式转化为顶点式，掌握抛物线的增减性质. 20．（1）m≤14；（2）m=0 【分析】（1）利用判别式的意义得到22(21)4410m m m =--=-+≥，然后解关于m 的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()1221x x m +=--，212x x m =，再利用21120x x x +=得到10x =或120x x +=，分类讨论并分别解关于m 的方程，得到满足条件的m 的值．【详解】解：（1）∵关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ， ∴22(21)4410m m m =--=-+≥， 14m ∴≤； （2）由根与系数的关系得：()1221x x m +=--，212x x m =，21120x x x +=，112(x x x ∴+ )0=，10x ∴=或120x x +=，①当10x =时，2120x x m ==，解得0m =，②当120x x +=时，即()210m --=，解得12m =， 又14m ≤， 12m ∴=不符合题意，舍去， 综上所述，m 的值为0．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，也考查了一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①∆>0⇔方程有两个不相等的实数根；②∆=0⇔方程有两个相等的实数根；③∆<0⇔方程没有实数根．求参数时注意：一元二次方程的二次项系数不为0．21．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .【分析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．22．（1）w=-10x 2+700x-10000；（2）35元【分析】（1）利用每件利润×销量=总利润，进而得出w 与x 的函数关系式；（2）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：（1）由题意可得：w=（x-20）[250-10（x-25）]=-10（x-20）（x-50）=-10x 2+700x-10000；（2）∵w=-10x 2+700x-10000=-10（x-35）2+2250，∴当x=35时，w 取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键． 23．（1）AE ；90；（2）见解析；（3）BD 的长为9【分析】()1利用旋转变换的性质即可解决问题；()2证明ABD △≌()ACE SAS ，推出BD CE =，等量代换即可得结论；()3如图2中，连接BD ，证明ABD △≌()ACE SAS ，推出BD CE =，再证明ECD 是直角三角形，利用两次勾股定理即可解决问题．【详解】 解：（1）由旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，得到90AD AE DAE =∠=︒，.故答案为：AE ；90．（2）∵90DAE BAC ∠=∠=︒，∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠,∴BAD CAE ∠=∠,又∵,AB AC AD AE ==,∴ABD ACE △≌△（SAS ），∴BD CE =，∴BC BD DC DC EC =+=+；（3）如图2中，连BD ．∵90=BAC DAE ∠=︒∠，∴+=+BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠,∴=CAE BAD ∠∠,又AB AC =，AD AE =，ABD ∴≌()ACE SAS ，BD CE ∴=，∵90DAE ∠=︒,AD AE =,∴22222=+=DE AD AE AD ，45ADE ADC ∠=∠=︒，ECD ∴为直角三角形，=90EDC ∠︒,∴2222222283261EC CD ED CD AD =+=+⨯==+，∴EC=9，∴=9BD CE =．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是依据全等三角形的性质进行线段的转移，将已知条件和目标聚拢在一个直角三角形中，用勾股定理求解．24．(1)174-，1；(2)MN 的最大值 【分析】(1)由一次函数解析式求得点A 、B 的坐标，然后将其代入二次函数解析式，即利用待定系数法确定函数解析式；(2)设M 的横坐标是x ，则根据M 和N 所在函数的解析式，即可利用x 表示出M 、N 的坐标，利用x 表示出MN 的长，利用二次函数的性质求解；(3)BM 与NC 互相垂直平分，即四边形BCMN 是菱形，则BC ＝MC ，据此即可列方程，求得x 的值，从而得到N 的坐标；【详解】解：(1)由直线y ＝﹣12x+1得到：A(0，1)，把x＝﹣3代入y＝﹣12x+1得到：y＝﹣12×(﹣3)+1＝52.故B(﹣3，5 2 ).将A、B的坐标分别代入y＝﹣54x2+bx+c，得()c=155=-3324b c⎧⎪⎨⨯--+⎪⎩，解得b＝174-，c＝1；(2)设N(m，﹣54m2174-m+1)，则，M，P点的坐标分别是(m，﹣12m+1)，(m，0)，∴MN＝(﹣54m2174-m+1)﹣(﹣12m2+1)，＝﹣54m2﹣154m＝﹣54(m+32)2+4516，∴当m＝﹣32时，MN的最大值为4516；(3)连接MN，BN，由BM与NC互相垂直平分，∴四边形BCMN是菱形由BC∥MN，∴MN＝BC，且BC＝MC，而BC＝﹣12×(﹣3)+1＝52，即：﹣54m2﹣154m＝52，且(﹣12m+1)2+(m+3) 2＝254，解得：m＝﹣1；故当N(﹣1，4)时，BM与NC互相垂直平分.【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，菱形的性质，掌握二次函数综合题，菱形的性质是解题的关键.。