概率论与数理统计教案
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《概率论与数理统计》课程教案使用教材作者：贺兴时书名：概率论与数理统计第一章随机事件及概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;(2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；(4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配2学时第一章随机事件及概率1.1 随机事件1.2 概率及性质2学时1.3 条件概率与事件的独立性2学时1.4 全概率公式与贝叶斯公式2学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系；2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和Bayes公式5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。
2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。
四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。
2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。
3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。
2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。
3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。
七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。
2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。
3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。
八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。
2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。
3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案(48课时)Chapter 1: XXX1.Learning Objectives and Basic Requirements:1) Understand the concepts of random experiments。
sample space。
and random events;2) Master the nships and ns een random events;3) Master the basic XXX。
learn how to XXX;4) Understand the concept of event frequency。
know the XXX random phenomena。
and the XXX.5) XXX。
the law of total probability。
Bayes' theorem。
and their XXX.2.Teaching Content and Time n:n 1: XXXn 2: XXX (2 hours)n 3: XXX (Classical Probability) (2 hours)n 4: XXXn 5: Independence of Events (2 hours)3.XXX:1) Random events and nships een random events;2) XXX;3) Properties of probability;4) nal probability。
the law of total probability。
and Bayes' theorem;5) XXX。
XXX。
XXX.4.XXX:1) Enable students to correctly describe the sample space of random experiments and us random events;2) Pay n to helping students understand the specific meanings of events such as A∪B。
概率论与数理统计教案(48课时)(最新整理)
( x, y )G
，注意二重积分运算知识点的复习。
d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量 X ,Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：
第四章 随机变量的数字特征 一．教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用
期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率 pij 或密度函数 (x, y) ，求 Z f ( X ,Y ) 的分布律或密度
函数Z (z) 。特别如函数形式： Z X Y , Z max( X ,Y ), Z min( X ,Y ) 。
2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
5．列举正态分布的应用。
习题：
第三章 多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3)掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。
概率论与数理统计教案随机事件与概率
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量的数字特征（期望、方差）第三章：多维随机变量及其分布3.1 多元随机变量的概念3.2 联合分布及其性质3.3 独立性及其检验3.4 随机向量的数字特征（协方差、相关系数）第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的分布第五章：假设检验与置信区间5.2 常用的检验方法5.3 置信区间的估计5.4 功效分析与错误类型第六章：抽样调查与样本分布6.1 抽样调查的基本概念6.2 随机抽样方法6.3 样本分布的性质6.4 抽样误差的估计第七章：回归分析与相关分析7.1 线性回归模型7.2 回归参数的估计7.3 回归模型的检验与诊断7.4 相关分析与判定系数第八章：时间序列分析8.1 时间序列的基本概念8.2 平稳时间序列的模型8.3 时间序列的预测8.4 季节性分析与指数平滑第九章：非参数统计与生存分析9.1 非参数统计的基本概念9.2 非参数检验方法9.4 生存函数与生存分析的估计第十章：贝叶斯统计与统计软件应用10.1 贝叶斯统计的基本原理10.2 贝叶斯参数估计与预测10.3 贝叶斯统计的应用10.4 统计软件的使用与实践重点和难点解析一、随机现象与样本空间补充说明：事件的关系与包含关系，概率的基本性质（互补性、传递性等），概率的计算方法。
二、随机变量及其分布补充说明：概率质量函数与概率密度函数的区别与联系，分布函数的性质，随机变量的期望与方差的计算。
三、多维随机变量及其分布补充说明：二维随机变量的联合分布函数，条件概率的计算，独立性的数学表述与检验方法。
四、大数定律与中心极限定理补充说明：大数定律的数学表述及其含义，中心极限定理的条件与结论，样本均值与标准差的性质。
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案【篇一：概率论与数理统计教案】《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且p(x?x)?0，其中x为任意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征教案章节一：随机变量的期望值教学目标：1. 理解期望值的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的期望值。
3. 学会计算连续随机变量的期望值。
教学内容：1. 期望值的定义及性质。
2. 离散随机变量的期望值的计算方法。
3. 连续随机变量的期望值的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解期望值的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的期望值的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固期望值的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的期望值。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对期望值的理解和计算能力。
教案章节二：随机变量的方差教学目标：1. 理解方差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的方差。
3. 学会计算连续随机变量的方差。
教学内容：1. 方差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的方差的计算方法。
3. 连续随机变量的方差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解方差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的方差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固方差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的方差。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对方差的理解和计算能力。
教案章节三：随机变量的标准差教学目标：1. 理解标准差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的标准差。
3. 学会计算连续随机变量的标准差。
教学内容：1. 标准差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的标准差的计算方法。
3. 连续随机变量的标准差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解标准差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的标准差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固标准差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的标准差。
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概率论与数理统计教案编写人：第三章：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（Y X ,）是二维离散型随机变量，y x ,是任意实数，),(),(Y Y x X P y x F ≤≤=二维随机变量（Y X ,）的联合分布函数。
2.联合分布函数的性质（1）单调性),(y x F 关于x(y)单调不减；（2）1),(0≤≤y x F ,0),(),(=-∞=-∞y F x F ,1),(=+∞+∞F ； (3) ),(y x F 关于x(y)右连续；(4)),(),(),(),(},{221221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 3．边缘分布函数设（Y X ,）是二维离散型随机变量的联合分布函数为),(y x F ，则),(},{}{)(+∞=+∞≤≤=≤=x F Y x X P x X P x F X ，),(},{}{)(y F y Y X P y Y P y F Y +∞=≤+∞≤=≤=二维随机变量（Y X ,）的边缘分布函数。
二、离散型二维随机变量1. 离散型二维随机变量的分布律设),(Y X 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(,),,1,2,,i j a b i j =L 令},{j i ij b Y a X p p ===),,1,2,ij i j p P a b i j ξη====L称(;,1,2,)ij p i j =L 是二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布. 二维联合分布的三个性质：11(1)0,,1,2,;(2)1ij ij i j p i j p ∞∞==∞≥==∑∑L2. 离散型二维随机变量的分布函数 ∑∑≤≤=i jx X y Y ij p y x F ),(3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量（Y X ,）的联合概率分布},{j i y Y x X p ===(,1,2,)ij p i j =L 中对固定的i 关于j 求和而得到∑∞===+∞≤===1.},{}{j i iji i p pY x X p x X p∑∞===≤+∞≤==1.},{}{i j ij j j p p y Y X p y Y p4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的j 若，0}{.>==j j p y Y p ，称jij j j i j i p p y Y p y Y x X p y Y x X p .}{},{}|{=======为在j y Y =的条件下，随机变量i x X =的条件概率. 同样定义.}{},{}|{i ij i j i i j p p x X p y Y x X p x X y Y p =======为在i x X =的条件下，随机变量j y Y =的条件概率. 条件概率符合概率的性质0}|{≥==j i y Y x X p1}|{1===∑∞=j i i y Y x X p5. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量),(Y X 的联合概率分布列与边缘分布为：ij j i p y Y x X P ===},{，.}{i i p x X p == j j p y Y p .}{==定理1：离散型随机变量Y X ,独立的充分必要条件是对于任意的j i ,都有 ij p .i p = j p .例1 从1，2，3，4种任取一个记为X ，在从1X 种任取一个记为Y ， (1)求二维随机变量（Y X ,）的联合分布律(2)求二维随机变量（Y X ,）的边缘分布律。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4/14/14/14/14321~X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛48/348/748/1348/254321~Y(3)求1=Y 的条件下，X 的概率分布251248/254/1/}1|1{1.11=====p p Y X p 25648/258/1/}1|2{1.12=====p p Y X p 25448/2512/1/}1|3{1.13=====p p Y X p 25348/2516/1/}1|4{1.13=====p p Y X p (4) 随机变量Y X ,独立吗？)48/25)(4/1()4/1(11≠=p .1p = 1.pY X ,不独立。
例2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.010~X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.04.010~Y ，且4.0}0{=≠XY p ，求随机变量（Y X ,）的联合分布律及}{Y X p ≠。
例3 已知X,Y 独立，完成下表：例4 已知（X,Y ）的分布律为：已知}1{}0{=+=Y X X 与独立，求a,b三、连续型二维随机变量1．定义与性质如果联(,)F x y 是一个合分布函数，若存在函数(,)p x y ，使对任意的(,)x y ，有 (,)(,)x yF x y p u v dudv -∞-∞=⎰⎰成立，则称(,)F x y 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的(,)p x y 是(,)F x y 的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量(,)ξη的联合分布函数(,)F x y 是连续型分布函数，就称(,)ξη是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数(,)p x y 必具有下述性质：(1)(,)0;(2)(,)(,)1p x y p x y dxdy F ∞∞-∞-∞≥=+∞+∞=⎰⎰反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数(,)p x y ，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若(,)p x y 在点(,)x y 连续，(,)F x y 是相应的分布函数，则有2(,)(,)F x y p x y x y∂=∂∂ （4）若G 是平面上的某一区域，则 {}(,)(,)GP G p x y dxdy ξη∈=⎰⎰2．连续型随机变量的边缘分布若（Y X ,）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X 与Y 的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数(,)F x y 求得， 概率密度dx y x f y f dy y x f x f Y X ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==),()(,),()( 3. 连续型随机变量条件分布若（Y X ,）概率密度为),(y x f ，边缘概率密度)(y f Y 0>，称)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =为在y Y =的条件下，随机变量X 的条件概率密度. 类似地，称)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =)(x f X 0>为在x X =的条件下，随机变量Y 的条件概率密度.设随机变量),(Y X 的联合分布为),(y x F ，如果对任意的y x ,都 )()(}{}{},{),(y F x F y Y P x X P y Y x X P y x F Y X =≤≤=≤≤= 则称Y X ,是独立的4.随机变量的独立性设随机变量),(Y X 的联合分布为),(y x F ，如果对任意的y x ,都 )()(}{}{},{),(y F x F y Y P x X P y Y x X P y x F Y X =≤≤=≤≤= 则称Y X ,是独立的定理2：如果),(Y X 是二维连续型随机变量，则X 与也都是连续型随机变量，它们的Y 密度函数分别为)(),(y f x f Y X ，这时容易验证X 与Y 独立的充要条件为：)()(),(y f x f y x f Y X =几乎处处成立。
说明：(1))()(),(y F x F y x F Y X =或)()(),(y f x f y x f Y X =点点成立，则X 与Y 独立。
(2)X 与Y 独立,则)()(),(y F x F y x F Y X =点点成立)()(),(y f x f y x f Y X =不一定点点成立。
(3)在个别点)()(),(y f x f y x f Y X ≠，则X 与Y 可能还独立；在一点)()(),(y F x F y x F Y X ≠，则X 与Y 一定不独立。
例1：已知随机变两（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他0,0),(2y x Ae y x f yx(1)求A ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f2,121002===⎰⎰∞+∞+--A A dxdy Ae y x (2)求分布函数当0,0>>y x 时，⎰⎰⎰⎰∞---∞-==xxy y x ydudv e dudv v u f y x F 0022),(),( ]1][1[2y x e e ----= 其他，0),(=y x F⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他00,0)1()1(),(2y x e e y x F y x（3）求}{Y X p ≤ ⎰⎰∞+--==≤002312}{xy x dxdy e Y X p (4) 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==-∞+--∞+∞-⎰⎰other x e other x dy e dy y x f x f x y x X 002002),()(202 ⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==-∞+--∞+∞-⎰⎰other y e other y dx e dx y x f y f y y x Y 00002),()(02 (5) 求条件概率密度)|(|y x f Y X当0≤y 时，)|(|y x f Y X 不存在； 当0>y 时，⎪⎩⎪⎨⎧>==-otherx e y f y x f y x f xY Y X 002)(),()|(2|(6) 求}2|2{≤≤X X p41)2()2,2(}2{}2,2{}2|2{--==≤≤≤=≤≤e F F Y P Y X p Y X p Y(7)Y X ,独立吗？)()(),(y f x f y x f Y X =点点成立，则X 与Y 独立。
例2：已知随机变量（X,Y ）时区域D 上的分布，D 由1y x 0,x.y =+=围成，问X,Y 是否独立？解：⎩⎨⎧∈=其他，（0)2),(Dy x y x f⎰⎰==2121002121212),(dxdy F⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰-∞+∞-otherx x other x dy dy y x f x f x X 010220102),()(10 43]22[)()(2121021=-==⎰⎰∞-dx x dx x f F X X同理：43)(21=Y F≠),(2121F )(21X F )(21Y F所以X,Y 不否独立。