新高中必修三数学上期中试卷(含答案)
(新)高中数学必修三期中测试卷及答案
P（E）=1/ 20 =0.05
（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
P（F）=9 /20 =0.45
（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
三、解答题：（共75分，解答题应书写合理的解答或推理过程）
14.（6分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为 ，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是，中位数是。
15．（14分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：
第一步 输入工资x(注x<=5000);
第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);
否则 y=25+0.1(x-1300)
16解：（1）甲网站的极差为：73-8=65；
乙网站的极差为：71-5=66（4分）
（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4 /14 =2 7
（3）甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，
而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．
从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．
17解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。
高三期中考试数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)的零点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x^2 = 1，即x = ±1。
因此，f'(x)的零点个数为2。
2. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。
只有选项B中的函数y = x^3满足这个条件。
3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an可以表示为（）A. a1 + (n-1)dB. a1 + ndC. a1 - (n-1)dD. a1 - nd答案：A解析：等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d，所以正确答案是A。
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形答案：C解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是直角三角形。
5. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5，这些都是有理数。
只有√4是无理数。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是__________。
答案：x = 3/4解析：对称轴的公式是x = -b/2a，代入a = 2，b = -3，得x = 3/4。
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10 = ________。
答案：110解析：等差数列的前n项和公式是Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 110。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(6)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(6)一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>3．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ）A ．12B ．13C ．23 D ．565．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.86．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，87．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．458．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？ 9．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．411．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.14．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．15．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．16．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．17．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．18．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．19．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________． 20．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．22．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.23．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，24．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A 被选中的概率； （2）求1B 和1C 不全被选中的概率．25．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.26．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温()℃141286用电量(度)22 26 34 38（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．3．C解析：C 【解析】【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==. 故选：C . 【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P A B =U . 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图7．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，，第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第1次循环满足判断条件；第2次循环满足判断条件；第3次循环满足判断条件；第4次循环满足判解析：6【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==； 第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数通过已知中的取值得到和的具体值从而求得差值【详解】由于且时将值赋给因此为中最大的数由于且时将值赋给因此为中最小的数本题正确结果：【点睛】本解析：30 【解析】 【分析】根据程序框图可知A 和B 分别为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大和最小的数，通过已知中的取值得到A 和B 的具体值，从而求得差值. 【详解】由于k x a =，且x A >时将x 值赋给A ，因此A 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大的数由于k x a =，且x B <时将x 值赋给B ，因此B 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最小的数98A ∴=，68B = 30A B ∴-=本题正确结果：30 【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.15．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 16．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自 解析：25【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人， 采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C ==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C ＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105m p n ＝＝＝． 即答案为25. 【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.18．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.19．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.20．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围三、解答题21．（Ⅰ）ˆy＝0.5t ＋2.3；（Ⅱ）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b$的值，再求出$a 的值，即可求出线性回归方程；（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 试题解析：（1）由已知得1(1234567)47t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =⨯++++++=.721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑121()()140.58)ˆ2(niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$ ∴所求回归方程为$0.5 2.3y t =+．（2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =代入(1)中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．22．(1)79；（2）712. 【解析】 【分析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-．（2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 23．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 （2）80 （3）能 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可． （2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表． （3）由公式计算出2k ，再与6.635比较可得结果． 详解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：（3）由于()24015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活． 24．（1）13;（2）56.【解析】 【分析】 【详解】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 25．(1)14;(2) 15【解析】 【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率； （2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案. 【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a=， 要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)， 所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=； （2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确.26．(1)250y x =-+. (2) 30度. 【解析】分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．详解：()44211103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑∑，，，， 把()1030，代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(4)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(4)一、选择题1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 2．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．64．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，86．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，108．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．961259．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 4二、填空题13．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表：用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．16．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.17．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．18．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位.③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.19．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．20．已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$35y x =-，则m 的值为__________．三、解答题21．我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制；求数学、化学在同一天考的概率是多少？22．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．23．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025[)10,200.19[)20,3050[)30,400.23[)40,500.18[)50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的（3）从样本中年用水量在[]跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.24．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ (2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．25．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表： 时间t 1 2 3 4 5 储蓄存款z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数， 则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A （0，4），B （4，0），由4020a b a b +-=⎧⎨-=⎩得8343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C （83，43）， 则△OBC 的面积S=14423⨯⨯=83． △OAB 的面积S=14482⨯⨯=． 则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBC OAB S S n n =13， 故选：A ．二、填空题13．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.16．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中解析：23【解析】 【分析】 【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=. 考点：古典概型及其概率计算公式．17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.18．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．19．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.20．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据解析：3 【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算$,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．三、解答题21．（1）120960；（2）211. 【解析】 【分析】（1）分布计算出语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场和其余7门学科的安排方法，根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分别计算出所有安排方法和数学、化学在同一天考的安排方法的种数，根据古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场，共有4424A =种排法； 其余7门学科共有775040A =种排法，∴“考试日程安排表”共有504024120960⨯=种不同的安排方法.（2）各科考试顺序不受限制时，共有1111A 种安排方法；数学和化学在同一天考共有：2912929339A A C A A +种安排方法，∴数学、化学在同一天考的概率291292933911112362111011A A C A A P A ++⨯===⨯. 【点睛】本题考查排列组合计数问题、古典概型概率问题的求解，涉及到分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查学生的分析和解决问题的能力. 22．(1) 1()4P A =;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望试题解析：（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P （A ）＝111235310C C C C ＝14. （2）X 的可能取值为0,1,2，且P （X ＝0）＝38310C C ＝715，P （X ＝1）＝1228310C C C ＝715， P （X ＝2）＝2128310C C C ＝115综上知，X 的分布列为：故E （X ）＝0×15＋1×15＋2×15＝5（个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 23．（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =（2）27.25（立方米）（3）35【解析】 【分析】（1）观察图和表，用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，由此可求得样本容量n ，再由相应的频率求出,a b ； （2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值．（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率． 【详解】解：（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则502000.25==n ， 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510==b ， 用水量在[)50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==； （2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25350.23450.18550.02527.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）设,,,,A B C D E 代表年用水量从多到少的5个家庭， 从中任选3个，总的基本事件为,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10个，其中包含A 的有,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，共6个，所以63105P ==，即年用水量最多的家庭被选中的概率是35.【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题． 24．(1)65，66； (2)0.286； (3) 甲网站更受欢迎 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图，得到甲乙两网站的最大点击量和最小点击量，即可求解极差； （2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，即可求解相应的概率；（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，即可作出判定． 【详解】（1）由茎叶图可知，甲网站最大点击量为73，最小的点击量为8，所以甲网站的点击量的极差为73–8=65， 乙网站最大点击量为71，最小的点击量为5，所以乙网站的点击量的极差为71–5=66． （2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据， 所以甲网站在[10,40]内的概率为40.28614P =≈． （3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，可判定甲网站更受欢迎． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及茎叶图的应用，其中解答正确根据茎叶图读取相应的数据，及注意茎叶图的数据分布特点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1） 1.2 1.4z t =-$（2）$1.22412y x =-（3）12千亿元【解析】 【分析】 （1）求出t 、z 、15i i i t z =∑、521ii t=∑后代入公式即可得解；（2）由题意可得$()5 1.22013 1.4y x -=--，化简即可得解； （3）把2020x =代入线性回归方程即可得解. 【详解】 （1）由题意()11234535t =++++=，()101235 2.25z =++++=， 则51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii t==++++=∑，∴55122154553 2.2ˆ 1.25559i i i i i t z t zbt nt==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 2.2 1.23 1.4a z bt=-=-⨯=-， ∴ 1.2 1.4zt =-$. （2）由令2013,t x =-5=-z y ，结合（1）中结论可得$()5 1.22013 1.4y x -=--即$1.22412y x =-（3）由题意，当2020x =时，$1.22020241212y =⨯-=，所以可预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题. 26．（1）见解析；（2）29(,]8. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin 2A <<，因此221992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.。
2019年高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)
2019年高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.153．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．66．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 7．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．58．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<9．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8 B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，810．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元11．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．14．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．15．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.16．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．17．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．18．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.19．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，中间是边长为2cm 的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;20．如图程序框图的输出结果是_________.三、解答题21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）22．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组 频数 频率 [)0,10 25[)10,200.19[)20,3050[)30,40 0.23 [)40,500.18[)50,605（1）分别求出n ，,a b 的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 23．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表：（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 24．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅． 25．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．26．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+，当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92.故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人；令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.10．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．11．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”. 故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的 解析：36p 【解析】分析：不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936P ππ==，故答案为36p . 点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．14．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 解析：133108π【解析】 【分析】不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为3363AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1332AB =率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =， 小圆与正三角形相切，小圆的半径为3363AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高， 可得大圆半径为1332AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108Pππ⨯⨯+⨯⨯==，故答案为108.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x0，y0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9xl y k x y x y=+=-'=-∴'=-Q：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x（）+=-与曲线33y x x=-相切于切点22-（，）时，9k=-．若直线与曲线切于点0002x y x≠（，）（），则320000000002232122y yk y x x x xx x++==-∴=-----Q，，，又200|33k y x x x='==-Q，2220000021332240x x x x x∴---=-∴--=，，200021330x x k x≠∴=-∴=-=Q，，，故直线l的方程为9160x y+-=或2y=-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x xL的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x+++L的平均数是25111,⨯+=，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误.故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..16．6【解析】因为所以输出 解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =17．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9 【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．18．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64 【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属解析：49π 【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，面积为29cm π，中间是边长为2cm 的正方形孔，面积为24cm ，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为49π，故答案为49π. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.20．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.三、解答题21．（1）$0.30.4y x =-，正相关（2）1.7千元 【解析】 【分析】（1）利用公式求出ˆb，ˆa ，即可得出所求回归方程，再根据变量y 的值随x 的值增加而增加，可判断正相关还是负相关；（2）当7x =时带入，即可预测该家庭的月储蓄． 【详解】解：（1）由题意知10n =，111801208,21010n n i i i i x x y y n n ========∑∑， 222172010880nxx i i l x nx ==-=-⨯=∑，1184108224n xy i i i l x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，由此得24ˆ0.380xy l blxx ===， 所以ˆˆ20.380.4ay bx =-=-⨯=-， 故所求回归方程为0.30.4y x =-．由于变量y 的值随x 的值增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关． （2）将7x =代入回归方程0.30.4y x =-． 可得：0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元） 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，以及最小二乘法和变量间的相关关系，还考查计算能力． 22．（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =（2）27.25（立方米）（3）35【解析】 【分析】（1）观察图和表，用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，由此可求得样本容量n ，再由相应的频率求出,a b ； （2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值．（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率． 【详解】解：（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则502000.25==n ， 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510==b ， 用水量在[)50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==； （2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25350.23450.18550.02527.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）设,,,,A B C D E 代表年用水量从多到少的5个家庭， 从中任选3个，总的基本事件为,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10个，其中包含A 的有,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，共6个，所以63105P ==，即年用水量最多的家庭被选中的概率是35.【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题．23．（1） 1.2 1.4z t =-$（2）$1.22412y x =-（3）12千亿元【解析】 【分析】 （1）求出t 、z 、15i i i t z =∑、521ii t=∑后代入公式即可得解；（2）由题意可得$()5 1.22013 1.4y x -=--，化简即可得解； （3）把2020x =代入线性回归方程即可得解. 【详解】 （1）由题意()11234535t =++++=，()101235 2.25z =++++=， 则51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii t==++++=∑，∴55122154553 2.2ˆ 1.25559i i i i i t z t zbt nt==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 2.2 1.23 1.4a z bt=-=-⨯=-， ∴ 1.2 1.4zt =-$. （2）由令2013,t x =-5=-z y ，结合（1）中结论可得$()5 1.22013 1.4y x -=--即$1.22412y x =-（3）由题意，当2020x =时，$1.22020241212y =⨯-=， 所以可预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.24．(1)250y x =-+. (2) 30度. 【解析】分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．详解：()44211103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑∑，，，，把()1030，代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 25．（1）11,24m n == ； （2）16.【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题()()1132413111134mn m n m n⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ， 则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 26．（1）0.0135a =（2）276人（3）32.8 【解析】 【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a ；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得； （3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得． 【详解】解：（1）由200.025200.0055200.0032201a ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 解得0.0135a =.（2）Q 上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()+⨯⨯⨯=.0.00550.0032201200276（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.。
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z 的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．253．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．3236．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．647．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√312．人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上动点P 到左焦点F （﹣c ，0）的距离和动点P 到直线x =−a 2c 的距离之比是常数c a ．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 为左焦点，直线l ：x ＝﹣4与x 相交于点M ，过F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为A 1，B 1，则（ ） A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l的斜率为．（写出一个即可）15．已知e ax﹣e2x≥0在x＞0时恒成立，则实数a的最小值为．（注：e为自然对数的底数）16．已知数列{a n}的首项为1，且a n+a n+1=n2⋅cos nπ2（n∈N*），则a40的值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos B＝2a+b．（1）求角C的大小；（2）若b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，求CD的值．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a 1＝2d ，数列{a b n }的首项为a 1，满足a b n+1=2a b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x ∈[e ，e 2]，使f(x)≤(ax +12)lnx 成立，求实数a 的取值范围．注：e 为自然对数的底数．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅解：A ＝{x |lnx ≤0}，lnx ≤ln 1，∴0＜x ≤1，A ＝（0，1]，B ＝{x |x ≤0}＝（﹣∞，0]，∴A ∩B ＝∅． 故选：D ．2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．25解：z ＝1﹣2i ，则1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ，其虚部为25．故选：D ．3．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π解：由于圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则圆锥的母线长为√32+42=5， 故圆锥的侧面积为π•3•5＝15π； 圆柱的侧面积为2π•3•3＝18π； 故毡帐的侧面积为15π+18π＝33π． 故选：C ．4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{S n }是递增数列，则d ＞0，但是对任意n ∈N *，S n ＞0不成立，所以由甲推不出乙， 若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列，所以由乙可以推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．323解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，因为|AF |＝5，所以|AF |＝x A +1＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4或y A ＝﹣4（舍去）， 设B （x 1，y 2），由2FB →=BA →，所以2（x 1﹣1，y 2）＝（4﹣x 1，4﹣y 2）， 所以2y 2＝4﹣y 2，解得y 2=43．故选：A ．6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有n =C 31A 32=18种．故选：A ．7．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ），将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）＝A sin （ωx +ωπ3−π3）+b 的图象，∵g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）＝g （﹣x ）， ∴A sin （ωx −π3）+b ＝A sin （﹣ωx +ωπ3−π3）+b ，∴（ωx −π3）+（﹣ωx +ωπ3−π3）＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k +2，k ∈Z ，则令k ＝1，可得ω的值为5． 故选：C ．8．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12解：∵对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，又f （2）＝2， ∴f （2）+f （2）＝f （2×2）+1，∴f （4）＝2f （2）﹣1＝3， 又f （4）+f （4）＝f （4×4）+1，∴f （16）＝2f （4）﹣1＝5， ∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）+f （x 2x 1）＝f （x 2）+1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2x 1）﹣1，又当x ＞1时，都有f （x ）＞1∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 2x 1＞1，∴f （x 2x 1）＞1，∴f （x 2x 1）﹣1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∴f （x ）在[1，16]也单调递增， ∴当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是f （16）＝5． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →解：已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，则|a →|=1，|b →|=2√2，a →⋅b →=1×2+0×2=2，则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=21×2√2=√22， 又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则＜a →，b →＞=45°，即选项A 正确，选项B 错误；又|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√1−4+8=√5，即选项C 正确； b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|a→|a →|=2a →，即选项D 正确．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关解：因为f （x ）＝x 3﹣3x 2，x ∈R ，f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）， 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）， 作出函数y ＝f （x ）的图象，如图所示：所以f （x ）极大值＝f （0）＝0，f （x ）极小值＝f （2）＝﹣4，又因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，所以﹣4＜t ＜0，故A 正确； 因为f （x ）+f （2﹣x ）＝x 3﹣3x 2+（2﹣x ）3﹣3（2﹣x ）2 ＝x 3+（2﹣x ）3﹣3[x 2+（2﹣x ）2]＝2[x 2﹣x （2﹣x ）+（2﹣x ）2]﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝2（3x 2﹣6x +4）﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝﹣4，所以f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称，故B 正确； 由B 可知f （0）+f （2）＝﹣4，f （12）+f （32）＝﹣4，又f （1）＝1﹣3＝﹣2，所以f （0）+f （12）+f （1）+f （32）+f （2）＝﹣4﹣4﹣2＝﹣10，故C 错误；对于D ，设x 1＜x 2＜x 3，因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即x 3﹣3x 2＝t ，x 3﹣3x 2﹣t ＝0有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3， 等价于（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）＝0，即x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）x ﹣x 1x 2x 3＝0，所以x 1+x 2+x 3＝3，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝0，x 1x 2x 3＝t ，所以x 1+x 2+x 3＝3，与t 无关，故D 错误． 故选：AB ．11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√3 解：取AD 中点O ，连接OP ，因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， OP ⊂面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 过O 作Oy ∥AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，则A(√3，0，0)，B(√3，4，0)，C(−√3，4，0)，D(−√3，0，0)，P （0，0，3）， 所以BD →=(−2√3，−4，0)，PB →=(√3，4，−3)，设PQ →=λPB →（0＜λ＜1），则Q(√3λ，4λ，3−3λ)（0＜λ＜1）， 所以CQ →=(√3λ+√3，4λ﹣4，3﹣3λ），对于A 项，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为n →=（0，1，0），假设CQ ∥平面P AD ， 则CQ →⋅n →=4λ−4=0．解得λ＝1，又因为0＜λ＜1， 所以不存在点Q 使得CQ ∥平面P AD ，故A 项错误；对于B 项，假设存在点Q 使得CQ ⊥BD ，则CQ →⋅BD →=−2√3(√3λ+√3)+(−4)×(4λ−4)=0，解得λ=511，所以存在点Q使得CQ⊥BD，故B项正确；对于C项，连接AC、BD相交于点O1，取等边三角形P AD的外心O2，过O1作O1M∥PO，过O2作O2M∥OO1，连接OO1，如图所示，则O1M⊥平面ABCD，O2M⊥平面P AD，所以M为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，又O1M=OO2=13PO=1，O1A=12AC=12√AB2+AD2=12√42+(2√3)2=√7，所以r=MA=√O1M2+O1A2=2√2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πr2=4×(2√2)2π=32π，故C项正确；对于D项，连接EQ、ED、EB，如图所示，因为平面CDQ∩P A＝E，P A⊂平面P AB，所以点E在平面CDQ与平面P AB的交线处，又Q∈平面CDQ且Q∈平面P AB，所以点Q在平面CDQ与平面P AB的交线处，所以平面CDQ∩平面P AB＝EQ，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，又因为CD⊂平面CDQ，平面CDQ∩平面P AB＝EQ，所以CD∥EQ，又CD∥AB，所以AB∥EQ，又因为Q为PB中点，所以E为P A的中点，EQ=12CD．又因为AB∥EQ，AB⊄平面CDEQ，EQ⊂平面CDEQ，所以AB∥平面CDEQ，所以点B到平面CDEQ距离等于点A到平面CDEQ距离，所以V B﹣CDEQ＝3V B﹣DEQ＝3V A﹣DEQ＝3V Q﹣ADE=32V B﹣ADE=34V B﹣P AD=34×13S△P AD×AB=34×13×12P A×AD×sinπ3=34×13×12×2√3×2√3×√32×4＝3√3，故D项正确．故选：BCD．12．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x2 a2+y2b2=1（a＞b＞0）上动点P到左焦点F（﹣c，0）的距离和动点P到直线x=−a2c的距离之比是常数ca．已知椭圆C：x24+y23=1，F为左焦点，直线l：x＝﹣4与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为A1，B1，则（）A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF解：对于选项A ：易知|AF||AA 1|=ca =12， 所以|AA 1|＝2|AF |，故选项A 正确；对于选项B ：过点A 作AA 2⊥x 轴，过点B 作BB 2⊥x 轴，此时△AA 2F ∽△BB 2F ，所以|AA 1||BB 1|=|AF||BF|=|AA 2||BB 2|=|A 1M||B 1M|，因为AA 1⊥A 1M ，BB 1⊥A 1M ，所以△AA 1M ～△BB 1M ，则|AM||BM|=|AA 1||BB 1|=2|AF|2|BF|=|AF||BF|，即|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |，故选项B 正确；对于选项C 项：若直线MA 与椭圆相切时，不妨设MA 的方程为y ＝k （x +4）， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 并整理（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，此时Δ＝（32k 2）2﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＝4k 2﹣1＝0，解得k 2=14，所以4x 2+8x +4＝0，解得x ＝﹣1，所以|AB |为通径，则|AB|=2b2a=3，故选项C 错误；对于选项D ：因为sin ∠AFM =sin ∠AFA 2=AA 2AF ，tan ∠AMF =AA 2MA 2， 不妨设sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF ，此时AA 2AF=2AA 2MA 2，即MA 2＝2AF ，又|AA 1|＝2|AF |，|AA 1|＝|MA 2|，所以MA 2＝2AF ，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 54 ．（用数字作答）解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r ⋅(3x)4−r ⋅(−x)−r =C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，.....，4）r ∈N ； 当4﹣2r ＝0时，解得r ＝2；故常数项为C 42⋅32=54．故答案为：54．14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l 的斜率为 （﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一） ．（写出一个即可） 解：设其方程是kx ﹣y ﹣5k ＝0，由圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，可得圆心M （3，2），半径r ＝2， 由S △ABM =12|BM |•|AM |•sin ∠AMB ，知sin ∠AMB ＝1时，△ABM 面积最大，此时∠AMB ＝90°，圆心M 到直线的距离为√2， 所以√k 2+1=√2，解得k ＝﹣2±√3，故直线l 的方程是：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0或（﹣2−√3）x ﹣y +10+5√3=0． 故答案为：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一）．15．已知e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立，则实数a 的最小值为 e ．（注：e 为自然对数的底数） 解：∵e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立⇔e ax ≥e 2x 在x ＞0时恒成立 ⇔ax ≥2+lnx 在x ＞0时恒成立⇔a ≥2+lnxx在x ＞0时恒成立， 令f(x)=2+lnx x ，则f ′(x)=−1−lnx x 2＞0⇒0＜x ＜1e ，f （x ）在(0，1e )上是增函数，在(1e ，+∞)上是减函数，∴a ≥f(1e)=e ，∴实数a 的最小值为e ． 故答案为：e ．16．已知数列{a n }的首项为1，且a n +a n+1=n 2⋅cos nπ2（n ∈N *），则a 40的值是 759 ． 解：依题意，由a n +a n+1=n 2⋅cosnπ2， 可得a n +1+a n +2＝（n +1）2•cos (n+1)π2，两式相减，可得a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2，当n ＝1时，a 1+a 2＝12•cos π2=0，∵a 1＝1，∴a 2＝﹣1，当n 为偶数时，n +1为奇数，cos (n+1)π2=0，此时a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2=−n 2•cos nπ2，此时a 2＝﹣1，a 4﹣a 2＝﹣22•cos 2π2=22，a 6﹣a 4＝﹣42•cos 4π2=−42，a 8﹣a 6＝﹣62•cos 6π2=62，a 10﹣a 8＝﹣82•cos 8π2=−82，…a 38﹣a 36＝﹣362•cos 36π2=−362，a 40﹣a 38＝﹣382•cos 38π2=382，各项相加，可得a 40＝﹣1+22﹣42+62﹣82+…+342﹣362+382，＝﹣1﹣2×（2+4）﹣2×（6+8）﹣…﹣2×（34+36）+382， ＝﹣1﹣2×（2+4+…+36）+382， ＝﹣1﹣2×(2+36)×182+382， ＝759． 故答案为：759．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c •cos B ＝2a +b ．（1）求角C 的大小；（2）若b ＝1，c =√7，∠ACB 的角平分线交AB 于D ，求CD 的值． 解：（1）根据题意，若2c •cos B ＝2a +b ， 则有：2c ×a 2+c 2−b 22ac=2a +b ，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，可得：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°， 所以C ＝120°；（2）因为C＝120°，b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得7＝a2+1﹣2×a×1×（−12），可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或﹣3（舍去），因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，所以12ab sin120°=12b•CD•sin60°+12a•CD•sin60°，所以2×1＝1×CD+2×CD，解得CD=2 3．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（1）易知x=1+2+3+4+55=3，y=9+12+17+21+275=17.2，而∑5i=1x i y i=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，可得b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=303−5×3×17.255−5×32=4.5，则a=y−b x=17.2−4.5×3=3.7，所以y关于x的线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x＝6时，y=4.5×6+3.7＝30.7（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，此时P（ξ＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），P（ξ＝1）＝（1﹣p）q+（1﹣q）p，P（ξ＝2）＝pq，则ξ的分布列为：故E（ξ）＝0×（1﹣p）（1﹣q）+1×（1﹣p）q+（1﹣q）p+2×pq＝p+q．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．（1）证明：因为EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，所以EF∥AC，又EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以CE∥AF，AF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE∥平面ABF；因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，AB⊂平面ABF，CD⊄平面ABF，所以CD∥平面ABF；CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABF，而DE⊂平面CDE，所以DE∥平面ABF．（2）解：连接BD交AC于O，连接CO，因为AC＝EC＝2，∠ACE＝60°，所以四边形ACEF是菱形，且EO⊥AC，EO=√3，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以EO⊥平面ABCD，因为四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，所以13S ABCD OE＝2√3，所以S ABCD＝6=12AC⋅BD，所以BD＝6，所以BE＝DE=√3+9=2√3，设AB＝a，则由余弦定理得：{a 2+a2−2a2cos∠ABD=4a2+a2+2a2cos∠ABD=36，得a=√10，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠EBC=BE2+BC2−CE22BE⋅BC=12+10−4430=3√3020，sin∠EBC=√1−2740=√13020，所以S△BCE=12BE⋅BC sin∠EBC=12×2√3×√10×√13020=√392，因为V E﹣BCD＝V D﹣BCE，所以点D到平面BCE的距离为3V E−BCDS△BCE=√3√392=6√1313，所以直线ED与平面BCE所成角的正弦值为6√13132√3=√3913．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a1＝2d，数列{a bn }的首项为a1，满足a bn+1=2a bn，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得首项a1＝a3﹣2d＝14﹣2d，则S6＝6•（14﹣2d）+6×52•d＝3d+84，S 3＝3•（14﹣2d ）+3×22•d ＝42﹣3d ， S 9＝9•（14﹣2d ）+9×82•d ＝18d +126， ∵S 6＞S 3＞S 9，∴3d +84＞42﹣3d ＞18d +126， 即{3d +84＞42−3d 42−3d ＞18d +126，解得﹣7＜d ＜﹣4，∴公差d 的取值范围为（﹣7，﹣4）．（2）由题意，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2d +（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 则a b n =（b n +1）d ，a b n+1=（b n +1+1）d ， ∵a b n+1=2a b n ，∴（b n +1+1）d ＝2（b n +1）d ， ∵d ≠0，∴b n +1+1＝2（b n +1）， ∵数列{a b n }的首项为a 1，即a b 1=a 1， ∴b 1＝1， ∴b 1+1＝1+1＝2，∴数列{b n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n +1＝2•2n ﹣1＝2n ，∴b n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n＝（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =21−2n+11−2−n＝2n +1﹣n ﹣2．21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）因为双曲线E 经过点Q （3，2）， 所以4a 2−9b 2=1，①因为双曲线E 的离心率为2， 所以ca=2，②又c 2＝a 2+b 2，③联立①②③，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线E 的方程为y 2−x 23=1， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时过点Q 的切线l 的方程为2y ﹣x ＝1， 因为直线l 交y 轴于点H(0，12)，联立{2y −x =1x 2+(y −2)2=10，消去y 并整理得5x 2﹣6x ﹣31＝0， 此时Δ＝656＞0，由韦达定理得x 1+x 2=65，x 1x 2=−315，所以S △F 1AB =12|F 1H|⋅|x 1−x 2|=12(12+2)•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(12+2)•4√415=√41；（2）证明：不妨设P （x 0，y 0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 因为点P 在圆F 2上，所以x 02+(y 0−2)2=10，过点M ，N 的双曲线E 的切线方程分别为{y 3y −x 3x3=1y 4y −x 4x3=1因为两切线均过点P （x 0，y 0）， 所以{y 3y 0−x 3x 03=1y 4y 0−x 4x03=1， 则直线MN 的方程为y 0y −x 0x3=1，联立{y0y−x0x3=1y2−x23=1，消去y并整理得(x02−3y02)x3+6x0x+(9−9y02)=0，由韦达定理得x3+x4=−6x0x02−3y02，x3⋅x4=9−9y02x02−3y02，所以(y3+2)(y4+2)=(x03y0x3+1y0+2)(x03y0x4+1y0+2)=x029y02x3x4+x03y0⋅1+2y0y0(x3+x4)+(1+2y0y0)2=3(x02−4y02−4y0−1)x02−3y02，因为x02+(y0−2)2=10，所以x02=10−(y0−2)2，此时x02−4y02−4y0−1=5−5y02，则k1k2=y3+2x3⋅y4+2x4=3(5−5y2)x02−3y02⋅x02−3y029(1−y02)=53．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax+12)lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）=ax+1=a+xx，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减；由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增；综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（2）∵f(x)≤(ax+12)lnx，∴alnx+x≤(ax+12)lnx，x∈[e，e2]，∴xlnx−ax+a≤12，设g(x)=xlnx−ax+a，∴g′(x)=lnx−1ln2x−a=−(1lnx−12)2+14−a，当a≤0，g'（x）≥0，g（x）在[e，e2]上单调递增，∴g(x)min=g(e)=e −ae +a ≤12，即a ≥e−12e−1，不符合题意； 当0＜a ＜14时，则存在唯一的x 0∈[e ，e 2]，使得g '（x 0）＝0，当x ∈[e ，x 0]，使得g '（x 0）＜0，此时g （x ）单调递减， 当x ∈[x 0，e 2]，使得g '（x 0）＞0，此时g （x ）单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0lnx 0−ax 0+a ≤12， ∴a ≥1x 0−1(x 0lnx 0−12)＞1x 0−1(x 0lne 2−12)=1x 0−1(x 02−12)=12，这与0＜a ＜14相矛盾； 当a ≥14时，g '（x ）≤0，此时g （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴g(x)min =g(e 2)=e 22−ae 2+a ≤12，解得a ≥12，符合题意， 综上，实数a 的取值范围是[12，+∞）．。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(1)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(1)一、选择题1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.154．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A．0B．2C．4D．146．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．147．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A．1B．0C．1D．38．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．961259．从区间[]0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，n x，1y，2y，…，n y，构成n个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，811．某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤L ，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++=LB ．12150150b b b M ++=LC ．12150b b b M n++>LD ．12150150b b b M ++>L12．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________． 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.16．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．17．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．18．某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．19．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；20．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．22．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：23．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni iiniit t y ybt t∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-24．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60130m≤≤）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积m（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择ˆˆˆy a x=+ˆˆˆlny c d x=+两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+，并得到一些统计量的值，如表所示：ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+()()1ni iix x y y=--∑0.0054590.005886()()2211nni i i i x x y y ==--∑∑ 0.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln15 2.71≈，3 1.73≈，15 3.87≈，17 4.12≈参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑25．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.26．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表； 求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.7．B解析：B 【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 8．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.9．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 10．D解析：D【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+，从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即， 因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 15．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交即直线AP 与线段BC 有公共点解析：13【解析】 【分析】连接AC ，可求得CAB ∠，满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABP DAB∠=∠. 【详解】连接AC ，如图所示，3tan 3CB CAB AB ∠==，所以π6CAB ∠=， 满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率π16π32CAB P DAB ∠===∠. 故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.16．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 133π【解析】 【分析】不妨设2AB =33AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为133222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =， 33AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为 解析：50【解析】由图可知，低于60分的频率为(0.0050.01)200.3+⨯=，故该班人数为15500.3=，故答案为50．19．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围20．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间 解析：215【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-= ，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P =。
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从 4 日到 9 日，空气质量越来越好，，故 C 正确；这 12 天的 AQI 指数值的平均值为
110，故 D 不正确. 故选 C．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式 i2 2000 的解中最大自然数，即可求
解. 【详解】 由算法语句知，
运行该程序实现求不等式 i2 2000 的解中最大自然数的功能， 因为 452 2025 2000 ， 442 1936 2000 ， 所以 i 44 ，
故选：C 【点睛】 本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.
7．B
解析：B 【解析】 分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
23．己知集合 M x, y x 0, 2, y 1,1 .
（1）若 x, y M ，且 x, y 为整数，求 x y 0 的概率；
（2）若 x, y M ，求 x y 0 的概率. 24． PM 2.5是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国 PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM 2.5日均值在 35 微克/立方米以下空气
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有 4 种情况，甲、乙将贺年卡
都送给丁有 1 种情况，利用古典概型求解即可．
【详解】
（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都
送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，
年龄 x
21
24
34
41
脂肪 y
9.5
17.5
24.9
28.1
由表中数据求得 y 关于 x 的线性回归方程为 yˆ 0.6x aˆ ，若年龄 x 的值为 50 ，则 y 的估
计值为 ．
20．已知变量 x, y 之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则
y
与
x
的线性回归方程
y
b
x
a
必过点_______________
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁
的概率为（ ）
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 1 5
3．已知变量 x, y 之间满足线性相关关系 yˆ 1.3x 1 ，且 x, y 之间的相关数据如下表所
示：
x
1
2
3
4
y
0.1
m
3.1
4
则实数 m （ ）
新高中必修三数学上期中试卷(含答案)
一、选择题
1．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的
两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进
行更正后，重新求得样本的平均数为 x ，方差为 s2 ，则
A． x 70, s2 75 B． x 70, s2 75 C． x 70, s2 75 D． x 70, s2 75
人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言，则这 2 人都来自高校 C 的概率 P __________．
16．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．
17．执行如图所示的流程图，则输出的 x 值为______．
18．某公共汽车站，每隔 15 分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到 站候车时间大于 10 分钟的概率为________．（结果用分数表示） 19．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：
详解：由 S 1 1 1 1 1 1 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最
234
99 100
后再相减.因此在空白框中应填入 i i 2 ，选 B.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． 1 10
B． 3 5
C． 3 10
D． 2 5
11．如图所示是为了求出满足 21 22 2n 2018 的最小整数 n，
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A． S 2018 ？，输出 n 1
B． S 2018 ？，输出 n
C． S 2018 ？，输出 n 1
________.
14．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)(x+1) ELSE y=(x-1)(x-1) END IF PRINT y END
15．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A, B,C 的相关人员中，抽取若干
【详解】
由题意，根据平均数的计算公式，可得 x 7050 80 60 70 90 70 ， 50
设收集的 48 个准确数据分别记为 x1, x2 , , x48 ，
则
75
1 50
x1
702
x2
702
x48
702
60
702
90
702
1 50
x1
702
x2
702
x48 702 500 ，
B． 12 25
C． 16 25
D． 4 5
5． AQI 即空气质量指数， AQI 越小，表明空气质量越好，当 AQI 不大于 100 时称空气
质量为“优良”.如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是
（）
A．这12 天的 AQI 的中位数是 90 B．12 天中超过 7 天空气质量为“优良”
息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概
率．
【详解】
设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B，A、B 相互独立，
P(A) P(B) 4 2 ， 10 5
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为
1 P(AB) 1 (1 P(A))(1 P(B)) 1 3 3 16 ． 5 5 25
C．从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好
D．这12 天的 AQI 的平均值为100
6．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）
A．42
B．43
C．44
D．45
7．为计算 S 1 1 1 1 … 1 1 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
234
99 100
A． i i 1
B． i i 2 C． i i 3 D． i i 4
D． S 2018 ？，输出 n
12．已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 m 3, n 3 ，从乙
盒中随机抽取 i i 1, 2 个球放入甲盒中.
（a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i 1, 2 ； i
（b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi i 1, 2 .
所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是： 1 ， 4
故选 C． 【点睛】
本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】
分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： x 1 2 3 4 5 2.5 ， y 0.1 m 3.1 4 1.8 m ，
8．运行该程序框图，若输出的 x 的值为 16，则判断框中不可能填（ ）
A． k 5
B． k 4
9．若框图所给的程序运行结果为
C． k 9
D． k 7
，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是
A． ？
B． ？
C． ？
D． ？
10．从分别写有1, 2,3, 4,5 的 5 张卡片中随机抽取1张，放回后再p1 p2, E 1 E 2
B． p1 p2, E 1 E 2
C． p1 p2, E 1 E 2
二、填空题
D． p1 p2, E 1 E 2
13．如图，四边形 ABCD 为矩形， AB 3 ， BC 1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之 一个圆弧 DE ，在 DAB内任作射线 AP ，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为
4
2
4
4
线性回归方程过样本中心点，则：1.8 m 1.3 2.5 1， 4
解得： m 1.8 .
本题选择 D 选项. 点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信
率分布直方图如图所示，已知第 2 组有 35 人.
（1）求该组织的人数；
（2）若在第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第 3, 4, 5 组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经 验，求第 3 组至少有1名志愿者被抽中的概率.
2x y 8 0
（2）设点 (a, b) 是区域 x 0
内的随机点，求函数 y f (x) 在区间[1, )上是