例谈近几年高考题中的新题型

例谈近几年高考题中的新题型

江苏省泰州市民兴实验中学丁益民（225300）

综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.

就这两年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的7种。

一、情境新颖型

新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境.

【例1】（2020年全国卷Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9

十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=【】

A.6E

B.72

C.5F

D.B0

【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.

【解答】我们用符号［x］(10) ，［y］ (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有

［16］(10)=［10］(16)

则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16) =6E.

答案为A.

二、研究学习型

【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点

．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）无穷多个

【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体

的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的

三视图.

【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12

，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12??????，所以该几何体的体积取值范围是11,63??

????

答案为D.

三、开放探究型

开放题在这几年高考中比较多见,有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道.

【例3】(2020年北京卷)在数列n a 中，若 a 1，a 2 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列n b 满足12n n n n b a a a ++=++ ,n =1，2，3，…，分虽判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

【点示】 开放有三：（1）答案不唯一，a 1、a 2可“任意”设置；（2）极限是否存在，不知道；（3）“任何”、“总会”、“无穷个0”都是开放词.

【解答】 （Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a === （答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======??.?

即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限不存在.

当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞

= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下

假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;

当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥

即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.

令212122212(),(),

n n n n n n n a a a C a a a --->?=?

由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =???) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.

若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即

331320,,0,1,2,3,,,

n k n k n k a a A k a A +++++=??==?????=?

所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项.

四、时代信息型

在应用题中, “时代信息题”就显得尤为鲜明：（1）反映生活；（2）联系生产；（3）服务

实际；（4）展示科技等等。

【例4】 (2020年江苏卷)右图中有一个信号源和五个接收器.接收

器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能

接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右

端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两

个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

（A

）

454

（B

）361 （C ）154 （D ）15

8 【点示】 时代信息，服务生活，普及科技.

【解答】 将六个接线点随机地平均分成三组，共有3

3222426A C C C =15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C 14C 12C 11=8种结果，这五个接收器

能同时接收到信号的概率是15

8，选D. 五、即时定义型

数学的抽象思维源于定义，新定义来于新问题，新定义表述新内容或新数学，因此，及时定义型的题目是数学创新返朴归真的一种。

当然，考题中的新定义并非来源一个真正的“数学前沿”的实际问题，而是某个“旧定

义”的转化，解题时只是要求考生再“转化回去”。

【例5】 （2020年福建第12题）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1， y 1)、 B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 2－x 1︱+︱y 2－y 1︱.

给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;

②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；

③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.

其中真命题的个数为

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【点示】 及时定义：平面内任意两点间的距离是数轴上两点间距离的推广，由一维推向了二维，递进式定义法. 对于①是我们所熟悉的坐标上的点.而②③中运用绝对值不等式就可以判断.

【解答】 B 对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ?中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-

≥01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-=

∴命题① ③成立，而命题②在ABC ?中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB += 明显不成立，选B.

六、图表符号型

用新图示，新表格，新符号陈述题设或提出问题的新题目。图、表、符号等，它们都是数学语言，设计题目的方法是先将“自然语言”翻译成这种“特殊语言”。解题的关键是要要求考生先把这种“特殊语言”再翻译成“自然语言”。

【例6】 (2020年北京卷)图右为某三岔路口交通环岛的简化

模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A 、B 、C 的机动车

辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过

路段AB ?,BC ?,CA ?

的机动车辆数（假设：单位时间内，在上

述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则

（A ） 123

x x x >> （B ） 132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>

【点示】 给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但要抓住主线，即车辆的来源.据此列方程比较其大小一眼可见.

图形使题目简洁明了，如果用文字去描述，将会是一篇长文章. 而且还很难表述清楚.

【解答】 C 依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1

∴x 1

七、猜想判断型

【例7】 (2020年广东卷)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第

一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最

底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层

开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第

n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.

【点示】 猜想判断，按已有经验，“平面上”的对应式是n 的二次函数，这里是立体，f (n )应是n 的三次函数.

【解答】 f (3)=10，猜得 6

)2)(1(++n n n ,设第n 堆的底层球数为g (n )，由图和题意可得g (n )-g (n-1)=n ,所以g (2)-g (1)=2,g (3)-g (2)=3,…，g (n )-g (n -1)=n ,全部迭加可得，g (n )=g (1)+2+3+…+n =

)(2

12)1(2n n n n +=+，由于从第2堆起，后一堆总比前一堆多一 个底层的球数，即f (n )-f (n-1)=g (n ),所以

f (n )=[f (n )-f (n-1)]+[f (n-1)-f (n-2)]+…+[f (2)-f (1)]+f (1)=

g (1)+g (2)+…+g (n ) =1+[]

)21()21(2

12)1(232222n n n n +++++++=+++?ΛΛΛ =6)2)(1(2)1(6)12)(1(21++=??????++++n n n n n n n n