高中数学必修一函数专题：二次函数值域
高中函数值域
高中函数值域
高中函数值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
通过分析函数的图像、定义域、性质等方面，可以推导出函数的值域。
对于一些简单的函数，如一次函数、二次函数、指数函数等，其值域可以通过简单的方法求得。
例如，对于一次函数y = kx + b，其值域为全体实数；对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a>0，则值域为[y0，+∞)，其中y0为顶点的纵坐标；如果a<0，则值域为(-∞，y0]；对于指数函数y = a^x，如果a>1，则值域为(0，+∞)；如果0<a<1，则值域为(0，1]。
对于复杂的函数，如三角函数、对数函数、反三角函数等，其值域的求解需要借助函数的性质和图像来进行分析。
例如，对于正弦函数y = sin x，其值域为[-1，1]；对于对数函数y = loga x，其中a>0且a≠1，则值域为全体实数；对于反三角函数y = arcsin x，其定义域为[-1，1]，值域为[-π/2，π/2]。
在解决函数的值域问题时，需要注意函数的定义域和性质对值域的影响，并注意边界情况和特殊情况的处理。
通过对函数值域的深入理解和分析，可以帮助我们更好地理解函数的本质和应用。
- 1 -。
高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法
函数的定义域与值域的常用方法(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：( 1)直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
( 2)待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；(3)换元法：若给出了复合函数 f [g (x)的表达式，求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法解之；(4)构造方程组法：若给出f (x)和f (—x)，或f (x)和f (1/x)的一个方程，则可以x代换一x (或1/x),构造出另一个方程，解此方程组，消去 f (—x)(或f (1/x))即可求出f (x)的表达式；(5)根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负4、对复合函数y = f [ g (x)]的定义域的求解，应先由y = f (u)求出u的范围，即g ( x)的范围，再从中解出x的范围1仁再由g (x)求出y= g (x)的定义域a, l i和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域；(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示；2、在函数f: A^B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C,则C是B的子集；若C =B,那么该函数作为映射我们称为"满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结;(四) 求函数的最值1设函数y = f (x )定义域为 A ，则当x € A 时总有f ( x ) Wf( x o )=M ,则称当x = x 。
二次分式函数值域的求法
二次分式函数值域的求法甘肃 王新宏一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程2 方程有实根，△≥03 求的函数值域1：求y =22222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立由y =22222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y ≠2时,∵x ∈R∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)2-(y-2) ×(y-2) ≥0∴3y 2-18y+15≤0∴1≤y ≤5∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。
先来学习“√”函数。
形如y =x+x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数图像单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。
在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。
值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围②把原函数化为关于t 的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域例2 求y =12122-+-x x x （321≤<x ）的值域 解 令2x-1=t,得0<t ,5≤x=21+t ∴y=2112++t t 212+≥ 当且仅当tt 12=时，即t=2时，取“=”。
∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,212 练习2 求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1 三 分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=edx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3 y =3312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得t ∈()+∞,0且x=t-1∴y=12++t t t =tt 111++ ∵1+t+t13≥ (t=1时取“=”) ∴y 31≤且y>0 ∴值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y =12+x x 的值域 ？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四 分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。
高一数学必修一函数知识点总结
高一数学必修一函数知识点总结在高中数学的学习中，函数是一个非常重要的知识点。
它不仅是后续知识的基础，也在我们的日常生活中有广泛的应用。
因此，对函数的理解和掌握至关重要。
本文将对高一数学必修一函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、函数的概念和表示函数是一种特殊的关系，指的是自变量的每一个取值都唯一对应一个确定的因变量的规律。
函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数可以用图像、表格、公式等方式来表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，通常用符号D表示；值域是因变量可能取值的集合，通常用符号R表示。
2. 奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 单调性：如果对于定义域中的任意两个不同的x1和x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
4. 周期性：如果存在常数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。
三、常见函数类型1. 线性函数：函数的图像是一条直线，表达式为y = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，表达式为y = ax² + bx + c（a≠0），其中a、b和c都是常数。
3. 指数函数：函数的自变量为指数，底数为常数的函数。
表达式通常为y = a^x，其中a为底数。
4. 对数函数：函数的自变量为底数，底数为常数的函数。
表达式通常为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数：函数的图像与有关三角函数的图像相似，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
表达式通常为y = f(x)，其中f(x)可以是sin x、cos x或tan x等。
高中数学-二次函数定区间上最值问题
高中数学-二次函数定区间上最值问题bx c （ a, b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元.a 0,而b ,c 可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2（二）二次函数 y ax bx c 的性质当x —时，y 随x 的增大而减小；当 x 2a2当x —时，y 有最小值4ac b.2a 4a（三）二次函数基本形式:21、y ax 的性质:22. y ax c 的性质: 上加下减。
、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念: 1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x亦，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为 x —，顶点坐标为2ab 4ac b 2 2a ' 4aR 时, 2a P 时, 2ay 随x 的增大而增大；当 y 有最大值 2 4ac b 4ay 随x 的增大而减小;2 一般地，形如 y ax 次方程类似，二次项系数—时，y 随x 的增大而增大;2a3. y a x h 的性质:2一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况2如设：f(X ax bxc (a 0)，求f (x)在x [m，n]上的最大值与最小值。
方法思路分析：将f(x)配方，得顶点为b2a4ac b2、对称轴为x4ab2a当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f (x)的最值:图1大者。
当a 0时，可类比得结论。
三、例题分析归类 (一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形:1. 轴定区间定2、轴定区间变2解：函数f(x) (x 1) 1,其对称轴方程为 x如图1所示，若顶点横坐标在区间 t , t 1左侧时，有1 t ,此时，当x t 时，函数取 得 最小值 fx( )min ft( ) (t 1)21 oL J'、/I h i 01 t t+1 x(1)当 y-2a m , n 时，f (x)的最小值是fb 4ac b 2 2a 4a,f (x)的最大值是 f (m)、 f(n) 中的较.b(2)当—2a b m ,m ，由 若 2a卄b若n —，由2a f (x)在 m ，n 上是增函数则f (x)在m , n 上是减函数则f (x)的最小值是 f (x)的最大值是f (m)，最大值是 f (m)，最小值是 f(n) f (n)(1)轴定，区间定；(2 )轴定，区间变；(3 )轴变，区间定；(4 )轴变，区间变。
二次分式函数值域的求法
二次分式函数值域的求法第一篇：二次分式函数值域的求法二次甘肃王新宏一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域2x2-x+21：求y =2的值域 x+x+2解：∵x+x+2>0恒成立 22x2-x+2由y =2得，x+x+2（y-2）x+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y≠2时,∵x∈R∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0∴3y-18y+15≤0∴1≤y≤5∴函数值域为[1,5] 2222练习1：求y =3x的值域 x2+4⎡33⎤⎢-4,4⎥⎣⎦二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。
先来学习“√”函数。
形如y =x+图像k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x[]值域：[2k,+∞]单调性：在x∈0,时，单调递减。
在x∈k,+∞]时，单调递减。
解题步骤：①令分母为t,求出t的范围②把原函数化为关于t的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域2x2-x+11例2求y =（<x≤3）的值域 22x-1解令2x-1=t,得t+1 2t111∴y=++≥2+ 2t22t1当且仅当=时，即t=2时，取“=”。
2t1∴y≥2+ 20∴值域为：⎢2+⎡⎣1⎤,+∞⎥2⎦⎡7⎤⎢1,3⎥⎣⎦(sinx)2+3cosx-4练习2求y=的值域cosx-2三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=ax+b(ac≠0)cx2+dx+e解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y =x+1x∈(-1,+∞) 2x+3x+3解令x+1=t,得t∈(0,+∞)且x=t-1∴y=t=t2+t+1111+t+t1≥3(t=1时取“=”)t1∴y≤且y>0 3∵1+t+∴值域为 0,⎥ 3练习3:求y =⎛1⎤⎝⎦x的值域？x2+1⎡1⎤⎢0,2⎥⎣⎦四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
二次函数的区间最值问题.pptx
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基
础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a 0 时，
函数在 x
b
4ac b2
处取得最小值
，无最大值；当时a 0 ，函数在 x
b
处取得
2a
4a
2a
此时， 2a 1 2 a 3 ； 2
综上所述， a 1或 a 3 . 2
3
需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 y 1 x2 x 5 的对称轴是 x 1 。画出其草图。
2
2
1
(1)
Байду номын сангаас
当对称轴在所给范围左侧．即 t
1时；当 x
t
时，
ymin
1 t2 2
t
5； 2
(2) 当对称轴在所给范围之间．即 t 1 t 1 0 t 1时；当 x 1 时，
ymin
值。
分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随a 的变化而变化，所以需
要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。
解：函数 f x x2 2ax 1 a 的对称轴是 x a 。 当对称轴在所给范围左侧，即 a 0 时，当 x 0 时， f x 1 a ，此时，
max
1 a 2 a 1；
1 2
12 1
5 2
3；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时，当 x t 1时，
ymin
1 t 12
2
t 1
5 2
1 t2 2
3.
综上所述： ymin
1 t2 3,t 0 2 3, 0 t 1
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高一数学必修一函数专题：二次函数值域第一部分：计算二次函数的值域题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在定义域R x ∈上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向上。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值。
最大值为∞+。
第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向下。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值。
最小值为∞-。
例题一：已知：二次函数121)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12121=⇒⨯--=x x 。
第二步：二次函数121)(2+-=x x x f 图像开口向上。
2111121)1()(2min =+-⨯==f x f 。
+∞=max )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),21[)(+∞∈x f 。
例题二：已知：二次函数2)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：二次函数2)(2+--=x x x f 图像开口向下。
49221412)21()21()21()(2max =++-=+----=-=f x f 。
-∞=min )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]49,()(-∞∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
题型二：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在指定范围上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：对称轴abx 2-=属于给定的范围。
①⇒>0a 开口向上：二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值； 最大值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。
②⇒<0a 开口向下：二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值； 最小值在给定的范围距离对称轴较远的边界处取得。
第二种情况：对称轴abx 2-=不属于给定的范围。
在给定的范围的两个边界处取得两个最值。
例题一：已知：二次函数463)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数对称轴1326=⇒⨯--=x x 。
第二步：对称轴1=x 在给定范围]2,0[∈x 内。
二次函数463)(2+-=x x x f 开口向上。
141613)1()(2min =+⨯-⨯==f x f 。
给定范围]2,0[∈x 边界0到对称轴1=x 的距离为1，2到对称轴1=x 的距离为1 ⇒距离相同时，在两个边界处同时取得另一个最值。
4400)2()0()(max =+-===f f x f 。
所以：二次函数)(x f 在]2,0[∈x 上的值域：]4,1[)(∈x f 。
例题二：已知：二次函数1221)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数对称轴2)21(22-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：对称轴2-=x 在给定的范围]0,3(-∈x 内。
二次函数1221)(2+--=x x x f 开口向下。
31)2(2)2(21)2()(2max =+-⨯--⨯-=-=f x f 。
给定范围]0,3(-∈x 边界3-到对称轴2-=x 的距离为1，0到对称轴2-=x 的距离为2 ⇒)(x f 在较远的0=x 处取得最小值。
1100)0()(min =+-==f x f 。
所以：二次函数)(x f 在]0,3(-∈x 上的值域：]3,1[)(∈x f 。
例题三：已知：二次函数x x x f 3)(2+-=。
计算：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称性23)1(23=⇒-⨯-=x x 。
第二步：对称轴23=x 不在给定范围)1,1(-∈x 内。
二次函数在给定的范围)1,1(-∈x 的两个边界3-=x 和0=x 处取得两个最值。
4)1(3)1()1(2-=-⨯+--=-f 。
2131)1(2=⨯+-=f 。
较大的函数值为二次函数的最大值，较小的函数值为二次函数的最小值。
4)(min -=x f ，2)(max =x f 。
所以：二次函数)(x f 在)1,1(-∈x 上的值域：)2,4()(-∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数34)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在)0,3(-∈x 上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数123)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在]1,0[∈x 上的值域。
跟踪训练三：已知：二次函数x x x f 23)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在]2,1[∈x 上的值域。
跟踪训练四：已知：二次函数342)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在)1,1[-∈x 上的值域。
第二部分：计算二次函数的值域题型一：计算函数ax c b ax x f -±-=)(在定义域上的值域。
例题一：已知：函数1221)(++-=x x x f 。
计算：函数)(x f 的值域。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到：021≥-x ，21012≤⇒≥+x x ，]21,21[21-∈⇒-≥x x 。
第二步：对函数进行平方。
22)1221()]([1221)(++-=⇒++-=x x x f x x x f 22)12(12212)21(+++⋅-⋅+-=x x x x214224122)12)(21(212)12)(21(22122++-=+-=++-=+++-+-=x x x x x x x x 。
第三步：计算二次函数142+-=x y 在定义域]21,21[-∈x 上的值域。
二次函数的对称轴0)4(20=⇒-⨯-=x x 。
对称轴0=x 在定义域]21,21[-∈x 内，二次函数142+-=x y 开口向下。
二次函数142+-=x y 的最大值在0=x 处取得：110max =+=。
定义域]21,21[-∈x 的两个边界：21-=x 到对称轴0=x 的距离为21，21=x 到对称轴0=x 的距离为21。
二次函数142+-=x y 的最小值在21-=x 和21=x 同时取得：01)21(4min 2=+-⨯-=。
所以：二次函数142+-=x y 在定义域]21,21[-∈x 上的值域为]1,0[。
第四步：计算函数1221)(++-=x x x f 的值域。
12142021140114011402222⨯≤+-≤⨯⇒≤+-≤⇒≤+-≤⇒≤+-≤x x x x 4214222221422021420222≤++-≤⇒+≤++-≤+⇒≤+-≤⇒x x x ，4)]([22142)]([222≤≤⇒++-=x f x x f 。
1221)(++-=x x x f ，021≥-x ，0)(01221012≥⇒≥++-⇒≥+x f x x x ， ]2,2[)(2)(24)]([22∈⇒≤≤⇒≤≤⇒x f x f x f 。
例题二：已知：函数x x x f --+=12)(。
计算：函数)(x f 的值域。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到：02≥+x ，201-≥⇒≥-x x ，]1,2[1-∈⇒≤x x 。
第二步：对函数进行平方。
2222)1(122)2()12()]([12)(x x x x x x x f x x x f -+-⋅+⋅-+=--+=⇒--+=32232221)1)(2(2222++---=+-+--=-+-+-+=x x x x x x x x x 。
第三步：计算二次函数22+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域。
二次函数对称轴：21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
对称轴21-=x 在定义域]1,2[-∈x 内，二次函数22+--=x x y 开口向下。
二次函数的最大值在对称轴21-=x 处取得：492)21()21(max 2=+----=。
定义域]1,2[-∈x 的两个边界：2-=x 到对称轴21-=x 的距离为23，1=x 到对称轴21-=x 的距离为23二次函数的最小值在2-=x 和1=x 处同时取得：02)2()2(m in 2=+----=。
所以：二次函数22+--=x x y 在定义域]1,2[-∈x 上的值域：]49,0[。
23222022320492049202222⨯-≥+---≥⨯-⇒≤+--≤⇒≤+--≤⇒≤+--≤x x x x x x x x 0322333322303220222≥++---≥⇒+-≥++---≥+⇒-≥+---≥⇒x x x x x x ，0)]([3322)]([222≥≥⇒++---=x f x x x f 。
x x x f --+=12)(，02≥+x ，x x x --+⇒≥-1201正负都有可能。
]3,3[)(3)(30)]([32-∈⇒-≥≥⇒≥≥x f x f x f 。
跟踪训练一：已知：函数x x x f 2232)(---=。
计算：函数)(x f 的值域。
跟踪训练二：已知：函数x x x f -++=32)(。
计算：函数)(x f 的值域。
题型二：计算函数d cx b ax x f +±+=)(在定义域上的值域。
本题解析：第一步：不带根号的一次函数变为根号下的一次函数的形式。
假设：)(2323)1(23b k kx x b kx k x b x k x ++-=+⇒+-=+⇒+-=+。
根据对应系数相等得到：3=-k ，32-=⇒=+k b k ，5)1(3235+--=+⇒=x x b 。
x x x f -++=123)(，5)1(323+--=+x x ⇒51)1(315)1(3)(2+-+--=-++--=x x x x x f 。
假设：),0[1+∞∈⇒-=t x t ，53)(2++-=t t x f 。
第二步：计算二次函数532++-=t t y 在),0[+∞∈t 上的值域。