数学形态学的基本运算有-Read

第五章图像平滑
第一部分 图像代数—数学形态学
一、 引言 二、 二值形态学 三、 形态学的应用 四、 Biblioteka 用实例——细化第五章图像平滑
1 .引 言
数学形态学 (Mathematical Morphology) 诞生于 1964 年，是由
法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁
第五章图像平滑 腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结 构元素取3×3的像素块，腐蚀一次将使物体的边界沿周边减少一
个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，
这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小 的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够 大时， 通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，
第五章图像平滑
基本符号和术语
1. 元素和集合
在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。
对于二值图像而言，将整幅图像看作是由目标和背景组成，目标中所有 的像素组成集合A，背景中所有像素就是集合A的补集， 集合A中元素与目标
中像素是一一对应的。
对于一幅图像，如果点 a在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为 a∈A，否则，记作a∈A， 如下图（a）所示。
b a A (a) (b) B A
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2. 交集、 并集和补集
并集： 两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集， 记为
A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。
矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/ 击不中变换”， 并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式， 建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础。 数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量
度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
第五章图像平滑 数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有 完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理奠定了坚实 的基础。 数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形 状特性，并除去不相干的结构。 数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构， 实现了形 态学分析和处理算法的并行，大大提高了图像分析和处理的速
y 5 4 3 2 1 0 1 2 (a) 3 4 x 3 2 1 0 b 1 2 (b) 3 4 x y 5 4 3 2 1 0 1 2 (c) 3 4 x (d) y y x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
图 平移与反射
第五章图像平滑 5. 目标和结构元素
将要被处理的图像称为目标图像，一般用大写英文字母表示。
“结构元素”一般也用大写英文字母表示，例如用S表示。在图像中不断
移动结构元素， 就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸 要明显小于目标图像的尺寸。
＋
(a)
(b)
(c)
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2.二值形态学
设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用 S对 A进行操作。对每个结构元素需要指定一个原点，它是结构元素 参与形态学运算的参考点。 原点可以包含在结构元素中，也可
称为S对X的腐蚀(简称腐蚀，有时也称X用S腐蚀)，记为XS。 腐蚀也可以用集合的方式定义，即
XS {x | S x X }
上式表明， X 用 S 腐蚀的结果是所有使 S 平移后仍在 X 中的 x 的集
合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
S ＋x3 x

S ＋x2
S ＋x1
(2) S+x XC； (3) S+x∩X与S+x∩XC均不 为空。
S+x的三种可能的状态
第五章图像平滑 第一种情形说明 S+x 与 X 相关最大，第二种情形说明 S+x 与 X 不相关，而第三种情形说明 S+x 与 X 只是部分相关。因而满足式
(8-1)的点x的全体构成结构元素与图像最大相关点集，这个点集
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4.平移和反射
设A是一幅数字图像（见图(a)），b是一个点（见图(b)），那么定义A被 b平移后的结果为A＋b＝{a＋b| a∈A}，即取出A中的每个点a的坐标值，将其 与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的 图像就是A被b平移的结果，记为A+b，如图（c）所示。
B A
B
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3.击中（Hit）与击不中（Miss）
，那么称B击中A，记为 设有两幅图像 A 和 B ，如果 A∩B≠ 是空集合的符号；否则，如果A∩B= B↑A， 其中 ， 那么称B
击不中A， 如图所示。
A
B
A
B
(a)
(b)
图 击中与击不中 （a） B击中A； （b） B击不中A
度。
第五章图像平滑 数学形态学的基本运算有4个： 膨胀（或扩张）、腐蚀（或 侵蚀）、开启和闭合， 它们对图像的处理各有特点。 基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算 法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分 割、特征抽取、边界检测、 图像滤波、图像增强和恢复等。数 当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各个部分之间的相 互关系，从而了解图像的结构特征。
交集：两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为A∪B， 即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。 补集：对一幅图像 A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称为 A的补集， 记为AC，即AC={a｜a ∈ A}。
交集、并集和补集运算是集合的最基本的运算，如下图所示。
A∩B A∪B AC
A A B
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例腐蚀运算图解。给出腐蚀运算的一个简单示例。其中，
图(a)中的阴影部分为集合X， 图 (b)中的阴影部分为结构元素S， 而图(c)中黑色部分给出了X被S腐蚀 的结果。由图可见，腐蚀将 图像（区域）收缩小了。
以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。二值形态学
中两个最基本的运算——腐蚀与膨胀，如图所示。
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二值 图像 腐蚀 膨胀
腐蚀与膨胀示意图
第五章图像平滑 1.腐蚀

对一个给定的目标图 像X和一个结构元素S， 将S在图像上移动。在 每一个当前位置x， S+x只有三种可能的状 态（见图）： (1) S+x X；